Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Математическая модель космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга в приближении фоккера-планка

Диссертация: Математическая модель космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга в приближении фоккера-планка
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Найдено в квадратурах формальное решение полного интегро-дифференциального уравнения модели в виде разложения функции распределения в ряд Тейлора по малому времени космологической эволюции. При этом получены реккурентные соотношения между коэффициентами разложения и доказано выполнение интегральных законов сохранения для каждого члена ряда. В явном виде найдено решение уравнения модели во втором… Читать ещё >

Математическая модель космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга в приближении фоккера-планка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава I. Релятивистские кинетические модели космологического расширения плазмы
    • 1. 1. Общерелятивистские кинетические уравнения
    • 1. 2. Релятивистские уравнения переноса динамических величин и законы сохранения
    • 1. 3. Кинематика столкновений для четырехчастичных реакций
    • 1. 4. Условия локального и глобального термодинамического равновесия
    • 1. 5. Асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории
    • 1. 6. Асимптотические ограничения на б'-матрицу и скейлинг взаимодействий
    • 1. 7. Космологическая эволюция бесстолкновительных частиц
    • 1. 8. Кинетика космологического расширения плазмы в условиях JITP
  • Глава II. Дифференциальное уравнения типа Фоккера
  • Планка для сверхтепловых частиц
    • II. 1 Уравнение Фоккера-Планка для классической плазмы. 27 II.2 Кинетические уравнения для сверхтепловых частиц
    • II. 3 Вывод интеграла столкновений в форме Фоккера-Планка. 31 И.4 Релятивистское кинетическое уравнение типа Фоккера
  • Планка
    • 11. 5. Модель на основе интегрального уравнения Фоккера-Планка
    • 11. 6. Модель на основе дифференциального уравнения типа Фоккера-Планка
    • 11. 7. Численная модель высокоэнергетического хвоста распределения
  • Глава III. Интегральное уравнение типа Фоккера-Планка для малых времен эволюции
    • III. 1 Численная модель начального распределения
      • 111. 2. Законы сохранения для релятивистского уравнения типа Фоккера-Планка
      • 111. 3. Разложение уравнения Фоккера-Планка по малости т. .¦
        • 111. 3. 1. Общее решение в виде ряда
        • 111. 3. 2. Первое приближение функции распределения
        • 111. 3. 3. Второе приближение функции распределения
  • Глава IV. Асимптотическое приближение интегрального уравнения типа Фоккера-Планка
    • IV. 1 Функция распределения нулевого приближения
    • IV. 2 Функция распределения первого приближения

В последние годы в связи с существенным качественным прорывом в области внегалактической астрономии, расширением и уточнением наблюдательных данных в области космологии и обнаружением целого ряда противоречий предсказаний теоретических моделей эволюции вселенной с данными наблюдений происходит ревизия основных положений стандартных космологических моделей. Этот процесс затрагивает также и существующие теоретические модели фундаментальных полей, элементарных частиц и их взаимодействий при сверхвысоких энергиях и теоретические модели ряда фундаментальных процессов, протекавших на самых ранних стадиях эволюции вселенной. Одним из таких фундаментальных космологических процессов, оказывающим принципиально важное влияние на всю физику космологического расширения плазмы, образование реликтовых частиц и современную пространственную структуру вселенной, является процесс установления локального термодинамического равновесия в расширяющейся космологической плазме. Существующие стандартные космологические сценарии построены на основе горячей модели вселенной, предложенной Георгием Гамовым в 40-х годах ХХ-го столетия. Основным положением горячей модели вселенной, равно как и основанных на ней стандартных космологических сценариев, является предположение о существовании локального термодинамического равновесия (JITP) в космологической плазме на ранних этапах расширения и нарушении JITP на поздних стадиях. Указанное предположение обосновывалось Г. Гамовым и другими исследователями на основе существующих в те годы экспериментальных данных о сечениях взаимодействий известных на тот период элементарных частиц в области низких энергий.

В 80-е годы в связи с развитием релятивистской кинетической модели вселенной Ю. Г. Игнатьевым на основе принципа конформной инвариантности теории поля была доказана асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории в ультрарелятивистском пределе и выполнен ряд работ по исследованию кинетики процесса космологического расширения плазмы с учетом кулоновских столкновений заряженных частиц и комптоновского рассеяния фотонов на электронах [1], [2], [3], [4], [8]. На основе этих исследований в дальнейшем была развита кинетическая теория бариогенезиса в космологической плазме [5], [6], [7], [12].

В дальнейшем на основе результатов аксиоматической теории S — матрицы относительно поведения сечений взаимодействий частиц при сверхвысоких энергиях был проведен детальный анализ процесса установления ЛТР в космологической плазме. Было показано, что при восстановлении конформной инвариантности взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, т. е., при восстановлении скейлинга взаимодействий, когда инвариантное сечение взаимодействия элементарных частиц становится обратно пропорциональным первому кинематическому инварианту s = (рьрз)2 ~ Е2 (pi — импульсы сталкивающихся частиц, Е — их кинетическая энергия в системе центра масс):

Const Const, л.

Vtot————, (1).

ЛТР должно нарушаться на ранних стадиях космологического расширения и, наоборот, восстанавливаться на поздних [10]. 1 В предположении изначального нарушения ЛТР на основе релятивистской кинетической теории были предложены модели космологической эволюции сверхтепловых частиц и высказана гипотеза о возможной связи сверхтепловой компоненты плазмы с космическими лучами. В частности, в предположении мало.

1При этом на очень поздних стадиях эволюции вселенной ЛТР снова может быть нарушено. сти передаваемого при столкновениях частиц импульса и асимптотического скейлингова поведения полного сечения взаимодействия: ~~j~~2 7 Т (2).

5 In sf 4 релятивистское кинетическое уравнение для бинарных столкновений было сведено к интегро-дифференциальному кинетическому уравнению типа Ландау-Фоккера-Планка [13], [14], на основе которого были сделаны некоторые оценки поведения спектра сверхтепловых частиц. Была также рассмотрена упрощенная модель, основанная на замене полученного интегро-дифференциального уравнения уравнением теплопроводности. Однако, в 80-е годы идея неравновесного космологического сценария оказалась невостребованной. С одной стороны, это было вызвано триумфальным, как тогда казалось, шествием теорий так называемого великого объединения фундаментальных взаимодействий и появлением множества сопутствующим им космологических сценариев. С другой стороны, сама неравновесная модель вселенной не была достаточно разработана, как с математической стороны, в частности, не были четко сформулированы начальные и граничные условия, а также не были развиты методы ее исследования, что было связано, в первую очередь, с отсутствием в те годы соответствующей и доступной вычислительной техники и программного обеспечения, которые были необходимы для проведения численного моделирования. В настоящее время в связи с указанными трудностями стандартных космологических сценариев и ревизией космологических моделей исследование неравновесных моделей вселенной представляет значительный интерес для космологии. С другой стороны в настоящее время имеются все возможности построения численных компьютерных моделей в широком диапазоне значений их параметров.

Таким образом, построение математической модели космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц и численное моделирование этого процесса является актуальной проблемой, как для релятивистской космологии, так и математического моделирования.

Заключение

.

1. На основе интегро-дифференциального релятивистского уравнения типа Фоккера-Планка и в предположении восстановления скейлинга в области сверхвысоких энергий частиц сформулирована математическая модель эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты космологической плазмы при наличии скейлинга. Сформулированы начальные и граничные условия модели, соответствующие космологической постановке задачи.

2. Осуществлена проверка сформулированной модели на выполнение интегральных законов сохранения плотности числа частиц и энергии.

3. Исследован упрощенный вариант модели, сводящийся к трехмерному уравнению теплопроводности для сферически-симметричного распределения по импульсам. Найдено и исследовано решение упрощенной задачи в квадратурах.

4. Найдено в квадратурах формальное решение полного интегро-дифференциального уравнения модели в виде разложения функции распределения в ряд Тейлора по малому времени космологической эволюции. При этом получены реккурентные соотношения между коэффициентами разложения и доказано выполнение интегральных законов сохранения для каждого члена ряда. В явном виде найдено решение уравнения модели во втором по космологическому времени приближении.

5. Найдено в квадратурах асимптотическое решение полного интегро-дифференциального уравнения модели для больших времен космологической эволюции.

6. На основе полученных решений разработаны программные процедуры численного моделирования космологической эволюции сверхтепловой компоненты плазмы.

7. С помощью созданных программных средств проведено численное моделирование космологической эволюции сверхтепловой ультрарелятивистской компоненты плазмы и выявлены основные закономерности этого процесса. Доказан факт формирования двух максимумов в распределениях энергии сверхтепловых частиц.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю, профессору Ю. Г. Игнатьеву, за постановку всех задач, постоянную моральную и научную поддержку на протяжении всей работы.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология/Ю.Г.Игнатьев// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией К. П. Станюковича — М.: — Атомиздат.- 1980. — Выпуск И — С. 113−124.
  2. Ю. Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. -№.4.- С. 92−96.
  3. А. В., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В. Ю. Кинетика изотропного расширения однородной электронно-фотонной плазмы/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. — №.9. — С. 53−57.
  4. А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В. Ю. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. — т. 25. — №.10, — С. 82−85.
  5. Ignatyev Yu.G., Alsmadi К. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. I. Exact model/Yu.G.Ignatyev, K. AIsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. -Vol. 11. — No 3. — P. 252−258.
  6. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. II. Numericalmodel/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005.- Vol. 11. No 4. — P.363−368.
  7. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. III. Cpecific Entropy Calculation/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation & Cosmology, -2007. Vol. 13. — No 2. — P.114−118.
  8. Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. I /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. — 23. — №.8, 1980, с. 42−47.
  9. Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология. II /Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1980. — 23. — №.9. — С. 27−32.
  10. Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, — 1986. т.29. — №.2. — С. 27−32.
  11. Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Игнатьев Ю. Г. Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации.- Тезисы докл. Всесоюзной конференции. -, Москва. 1984. — с. 19−21.
  12. Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Астрономический журнал, 62, №. 4, 1985, с. 633−638.
  13. Ю.Г. Космологические последствия скейлинга/Ю. Г. Игнатьев// Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной / Под редакцией Игнатьева Ю. Г. — Издательство КГПИ. — Казань. — 1988.- С. 62−84.
  14. Л.Д.Ландау /Л.Д.Ландау// ЖЭТФ, 1937, — с. 203−210.
  15. Л.Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика/Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц 1964. — М.: Наука. 568 е.
  16. Ю.Г. О кинетическом уравнении в общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1979. — т.22. -№.2. — С.72−76.
  17. Lichnerovich A., Marrot R. Proprietes statistiques des ensembles de particules en relativite restreinte/A.Lichnerovich, R. Marrot// C.R., 1940.- V.210. P. 759−761.
  18. Ю.Л. Релятивистское уравнение для квантовой функции распределения/Ю.Л.Климонтович// Доклады Акад. Наук СССР, — 1952. т. 87. — Вып. 6. — С.927−930.
  19. Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы. I./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959. — т.37. С.735−746.
  20. Ю.Л. Релятивистские уравнения для плазмы. П./Ю.Л.Климонтович// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960. — т.38. С.1212−1224.
  21. Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симмметричном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1960.- т. 133. С.333−336.
  22. Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. — т. 144. — С.89−92.
  23. Tauber G.E., Weinberg J.W. Internal state of a gravitating gas/G.E.Tauber, J.W.Weinberg// Phys. Rev., 1961. — V. 122. -P.1342−1365.
  24. Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. — т. 144. — С.544−547.
  25. Chernikov N.A. The macroscopic foudation of the relativistic hydrodynamics/A.N.Chernikov// Acta Phys. Polon., 1965. — V. 27. — P.723−739.
  26. А.А. Статистические функции распределения /А.А.Власов -М.: Наука, 1966. 356 е.
  27. Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением I. Общая теория/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. -т. 18, Ж 6, — С.7−15.
  28. Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физ. журнал, 1976. — т.18. — № 12. -С.1971−1977.
  29. Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО/Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ. — 1978. — Выпуск 14. — С. 90−107.
  30. Ю.Г. Локальные свойства релятивистского максвеллов-ского распределения частиц в гравитационном поле /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией
  31. B.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. — 1980. — Выпуск 16.1. C. 65−72.
  32. Ю.Г. Локальная температура статистической системы в общей теории относительности /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ. — 1980. — Выпуск 16. — С. 73−75.
  33. Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией
  34. B.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. — 1980. — Выпуск 17.1. C. 56−70.
  35. Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Журнал эксперим. и теоре-тич.физики, 1981. — т.81.- № 1. — С. 3−12.
  36. Ю. Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ. — 1981. — Выпуск 18. — С. 73−75.
  37. Ю. Г., Шуликовский В. Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. — т. 25. -№.10. -С. 85−92.
  38. Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. Ж11. — С. 96−99.
  39. Ю. Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1982. — 25. — Ж11. — С.99−102.
  40. Ю. Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ. — 1983. — Выпуск 19. — С. 79−88.
  41. Ю. Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ. — 1983. — Выпуск 20. — С. 50−109.
  42. Ю. Г. Действие плоских гравитационных волн на плазмо-подобные среды и жидкости/Ю.Г.Игнатьев// Космические исследования на Украине / Под редакцией Писаренко Г. С. — Киев: Наукова Думка. — 1983. — Выпуск 17, С. 65−66.
  43. Balakin А.В., Ignat’ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors/A.B.Balakin, Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters., 1983. Vol. 96A. -P. 10−11.
  44. Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. — Ж.8. — С. 15−19.
  45. Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. — №.8. — С. 19−23.
  46. Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. — №.12. — С. 9−14.
  47. Ю.Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны/ Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. — т.26. — №.12. — С. 7−9.
  48. Ю.Г., Шуликовский В. Ю. Действие гравитационных волн на радиационно-доминированную плазму/Ю.Г.Игнатьев,
  49. B.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. — №.1532−84. — Деп., — 34с.
  50. Ю.Г., Шуликовский В. Ю. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю.Шуликовский// ВИНИТИ, 1984. — № 1531−84. — Деп., — Юс.
  51. Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием/Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// Украинский физический журнал, 1984. — т.29. — №.7.1. C. 1021−1025.
  52. Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физический журнал, 1984. — т.29. — №.7. — С. 1025−1029.
  53. Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1984. — т.27. 12. -С. 70−74.
  54. Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1985. — т.28. — № 1. -С.74−77.
  55. Ю.Г. Игнатьев, Н. Р. Хуснутдинов Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму/Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов// Украинский физический журнал, 1986. — т.31. -№.5. -С.707−715.
  56. Ю.Г. Кинетические процессы в релятивистских полях тя-готения/Ю.Г. Игнатьев// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Казань, Казанский государственный педагогический институт. — 1986. — 359 С.
  57. Ю.Г., Смирнов А. В. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев, А.
  58. B.Смирнов// Украинский физический журнал, 1987. — т.32. — №. 6.1. C.1917−1925.
  59. А.И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинами-ка/А.И.Ахиезер, В. Б. Берестецкий 1969. — М.: Наука. 624 е.
  60. А.И., Пелетминский С. В. Методы статистической физи-ки/Ахиезер А.И., Пелетминский С. В. 1977. — М.: Наука. 367 е.
  61. Alvares E.J. On the transport equations for a one component relativistic gas/E.J.Alvares// J. Phys. and Math. Gen., 1976. — Vol.9. — P.1861−1875.
  62. Г. Г. Уравнение Улинга Уленбека и квантовая статистика идеальных газов в ОТО/Г.Г.Иванов // Гравитация и теория относительности / Под редакцией В. Р. Кайгородова — Казань: изд-во КГУ.- 1978. Выпуск 14. — С. 80−89.
  63. Syng J.L. Relativity: The General Theory/J.L.Syng North-Holland Publishing Company: Amsterdam. — 1960. — 432 p.
  64. А.З. Новые методы в общей теории относительности/А.З.Петров 1966. — М.: Наука. — 496с.
  65. Cartan Е. Les espaces de Finsler/E. Cartan 1934.- Paris. — 234 p.
  66. H.A., Шавохина H.C. Принцип конформной инвариантности. /Н.А.Черников, Н.С.Шавохина// Новейшие проблемы гравитации, Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, 1973. — М: Изд-во ВНИИФТРИ. — С.40−42.
  67. I., Geren P., Sachs R. К. Isotropic solutions of the Einstein -Liouville equstions /I.Ehlers, P. Geren, R.K.Sachs// J. Math.Phys., 1968.- Vol.9. P.1344−1361.
  68. С.В. Релятивистское расширение бозе- конденсата/Орлов С.В.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией Станюковича К. П. -М.: Энергоатомиздат. -1985. — Выпуск 16.- С.119−122.
  69. Я.В., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной /Я.Б.Зельдович Я. Б., И. Д. Новиков М.: Наука. -1975. -736с.
  70. B.C., Любимов В. А., Новиков Е. Г., Нозик В. З., Третьяков Е. Ф. Об оценке массы ve по спектру (3 распада трития в валине/В.С.Козик, В. А. Любимов, Е. Г. Новиков, В.3.Нозик, Е.Ф.Третьяков// Ядерная физика, — 1980. -Т.32. — С. 301−303.
  71. Pilkuhn Н.М. Relativistic Particle Physics/H.M.Pilkuhn New York-Heidelberg-Berlin. — Springer-Verlag. — 1982. — 544p.
  72. H.H. Специальные функции и их приложения/Н.Н.Лебедев 1963. — Москва-Ленинград. — ГИФМЛ. — 360 с.
  73. Janke Е., Emde F., Losch F. Tafeln Hoherrer Funktionen/E. Janke, F. Emde, F. Losch 1960. — Stuttgart. — B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.
  74. А.Д.Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев Интегралы и ряды. Дополнительные главы/А. Д. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев 1986. — М.: Наука. — 800 с.
  75. X. Пилькун Физика релятивистских частиц/Х. Пилькун 1983. -М.: Мир. — 542 с.
  76. Л.Б. Окунь Лептоны и кварки/Л.Б. Окунь 1981. — М.: Наука. — 304 с.
  77. С. Де Гроот, В. Ван Леувен, X. Ван Верт Релятивистская кинетическая теория. Принципы и применения/С. Де Гроот, В. Ван Леувен, X. Ван Верт 1983. — М.: Мир. — 422 с.
  78. Я.Б. Зельдович, М. Ю. Хлопов Масса нейтрино в физике элементарных частиц и космологии ранней Вселенной/Я.Б. Зельдович, М. Ю. Хлопов Успехи физ. наук.1981. — Т.135. — С.45−77
  79. Л.Д. Ландау Л. Д. Ландау. Собрание трудов, том 1/Л.Д. Ландау -1969. М.: Наука. — 512 с.
  80. Ю.Г., Кузеев P.P. Кинетическая теория равновесной само-гравитирующей плазмы /Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// II Всесоюзное совещание по избранным вопросам статистической физики / Под редакцией Москва: — 1982. — С. 54−55.
  81. С.Н. Явление переноса в плазме. /Брагинский С.Н.// Вопросы теории плазмы., 1963. — М: Госатомиздат, — Вып.1 — С. 183 272.
  82. Р. Соударения элементарных частиц при высоких энерги-ях./Иден Р. М.: Наука. -1970. -392с.
  83. Ю.Г. Нарушения термодинамического равновесия в ранней вселенной/Игнатьев Ю. Г. Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации.- Тезисы докл. Всесоюзной конференции. Москва. 1984. — с. 18−19.
  84. L.B., Zeldovich Ja.B. /L.B.Okun, Ja.B.Zeldovich// Comments on Nucl. and Part. Physics, 1976. — Vol. 6. — P. 69−73.
  85. Ignat’ev A.Yu., Krasnikov N.V., Kuzmin V.A., Tavhelidze A.N. /A.Yu.Ignat'ev, N.V.Krasnikov, V.A.Kuzmin, A.N.Tavhelidze// Phys. Letters, 1978. — V. 76B. — P. 436 — 439.
  86. Weinberg S. Cosmological Production of Baryons/S.Weinberg// Phys. Rev. Lett., 1979. — V.42. — P. 850−853.
  87. Weinberg S. Beyond the first Three Minutes/S.Weinberg// Physics Scripta, 1981. — V.21. — P.773−791.
  88. А.Д., Зельдович Я.Б Космология и элементарные частицы/А.Д.Долгов, Я.Б.Зельдович// Успехи физ. наук, 1980. — Т.130.- С.559−614.
  89. М. /Froissart М.// Phys. Rev., 1961. — V.123. — p. 1053.
  90. A. /Martin A.// Phys. Rev., 1963. — V.129. — p. 1432.
  91. A. /Martin A.// Nouvo. Cim., 1966. — V.142. — p. 930.
  92. Jin Y.S., Martin A. /Jin Y.S., Martin A.// Phys. Rev., 1964. — V.135B.- p. 1369.
  93. M. /Sugawara M.// Phys. Rev. Lett., 1965. — V.14. — p. 336.
  94. Вj or ken J.D., Paschos E.A. /Bjorken J.D., Paschos E.A.// Phys. Rev., -1969. V.185. — p. 1975.
  95. R.P. /Feyman R.P.// Phys. Rev. Lett., 1969. — V.23. — p. 1415.
  96. Л.П.Грищук /Л.П.Грищук// ЖЭТФ, 1974. — т.67. — С. 825.
  97. И.С.Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/И.С.Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физматгиз. -1963.
  98. С.Л.Соболев Уравнения математической физики/С.Л.Соболев М.: Наука. -1966.
  99. М.А.Евграфов Аналитические функции/М.А.Евграфов М.: Наука. -1991.
  100. Ф.Клоуз Кварки и партоны. Введение в теорию/Ф.Клоуз Москва: Мир. — 1982. — 438 с.
  101. Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия. /Ландау Л.Д.// Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937. -№ 4. — С.203−210.
  102. Ignatyev Yu.G., Ziatdinov R.A. Diffusion model of evolution of superthermal high-energy particles under scaling in the early Universe./Yu.G. Ignatyev, R.A. Ziatdinov// Gravitation & Cosmology, -2006. Vol. 12. — No 4. — P.289−298.
  103. Р.А., Игнатьев Ю. Г. Математическая модель космологической эволюции космических лучей./Зиатдинов Р.А., Игнатьев Ю.Г.- Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского, Казань. 2006. Т.34 — с. 109−110.
  104. Р.А. Исследование кинетики восстановления равновесия в ранней вселенной в пакете MAPLE./Зиатдинов Р. А. Тезисы VIII Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП-2007), Смоленск. 2007. — с. 41−43.
  105. Р.А. Математическая модель космологической эволюции космических лучей: приближение малых времен эволюции./Зиатдинов Р. А. Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского, Казань. 2007. — Т. Зб — с. 84−85.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!