Исследование асимптотики решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотического поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений где VW-3, Ъ—.

Уравнение (I) называется обобщенным уравнением типа уравнения Эмдена-Фаулера. Частные случаи этого уравнения (VY=1?

Ъi ОС.) имеют ряд физических приложений в астрофизике (уравнения Эмдена) и в атомной физике (уравнения Ферми-Томаса).

Изучение асимптотических свойств решений существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравненийданный вопрос давно привлекает внимание исследователей.

В последние двадцать пять лет стали широко изучаться свойства решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: колеблемость, монотонность, асимптотика решений, существование особых решений и т. д. Это прежде всего объясняется тем, что многие нелинейные уравнения, описывая реальные физические процессы, приводят к новым физическим эффектам. В качестве примера можно указать математическую теорию нелинейной теплопроводности, разработанную академиком А.А.Са-марским и его учениками [15] .

Уравнение (I) является существенно нелинейным" Исследование различных свойств его решений даже в случае сопряжено с определенными трудностями. Тем не менее в настоящее время многие свойства решений уравнения второго порядка вида (I) хорошо изучены (см., например, работы И. Т. Кигурадзе [29] (случай VI? i), Т. А. Чантурия [6l] (случай 0<И<1) и др.).

Приведем некоторые определения, которые будут в дальнейшем использованы.

Определение I. Решение уравнения (I) назовем правильным, если оно определено в некотором промежутке [Х0 и при ХеСОС^^о) для любого Х^О^.

Определение 2. Правильное решение уравнения (I) назовем колеблющимся, если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся кV 00 и неколеблющимся — в противном случае.

Определение 3. Нетривиальное решение (X.) уравнения (I) назовем особым, если оно тождественно равно нулю, начиная с некоторого значения аргумента.

Основные результаты исследования асимптотического поведения при X—правильных решений уравнения типа уравнения Эмдена-Фаулера изложены в монографиях Р. Белдмана t8], Дж. Сансоне 149], И. Т. Кигурадзе [25], в работах Т. А. Чантурия [б1~, А. В. Костина ^3,3,35} и др.

Общего метода нахождения асимптотических представлений решений для нелинейных уравнений нет. Однако для уравнений вида (I) при 1. эффективный метод исследования разработали И. Т. Кигурадзе [25−29], P.V.Atkinson ^6}-ТД.Чантурия [62,63], В. А. Кондратьев [31,32], М. М. Арипов [2,3], В. М. Евтухов [21,34], Г. А. Стойкова [36,52], В. Вазов [Ю], I.W.Haidel [бО], Seda Valter [50], Ohme Paul А.^б].

И др.

Особенно хорошо изучен класс квазилинейных уравнений (см. работы А. М. Ляпунова [39], А. Коддингтона, Н. Левинсо-на [30″ }, Ф. Хартмана [59*]).

В разработку асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений существенный вклад внесли А. А. Дородницын [20], М. В. Федорюк [54−56], И. М. Рапопорт [481, И.П. Еругин[22] «И. Я. Лященко 140 ], М. А. Наймарк 145] ', М. М. Ханаев 157,58], Л .А .Беклемишева [7], А. Б. Васильева, В.Ф.Буту-зов [12,13}, Б. Р. Вайнберг ^П], Ф. Трикоми [53], С. А. Ломов [38}, Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов [43Д, Азамов A. [i] и др.

Результаты исследования различных асимптотических свойств решения линейного уравнения третьего порядка приведены В Монографии M. Grequs [l6*][ .

И.Т.Кигурадзе [28] для уравнения (I) при VY17/1.. получил необходимые и достаточные условия существования монотонных решений, имеющих на бесконечности полиномиальную асимптотику. Он яе указал на существование решения уравнения (I), не имеющего полиномиальной асимптотику.

В обзоре И. Т. Кигурадзе [27] можно найти результаты исследований советских и зарубежных математиков, касающихся различных свойств решений уравнения типа уравнения Эмдена—Фаулера, и познакомиться с рядом новых проблем, поставленных автором. Для уравнения (I) в случае здесь отмечена важность нахождения асимптотических видов решения уравнения (I) со следующими свойствами: И.

Z) Ч.

2) IJ.

3) ^.

4) Vj г>и оо.

I" со, ч о, ^ i о, ^.

Всюду далее зашсь оо оо со.

ОО г У 0.

Х^ означает о, а ftJLvw ¦

X-^OG Ц) (х) сО — liwv jJ^X)-О, ilwv Ц)^ ^оо.

ОС.*" *'00.

Для нелинейных уравнений Л^Д^О dtm Т.

3).

И.Т.Кигурадзе при некоторых условиях, наложенных на.

126}, теорема 4), доказал, что все неколеблющиеся, монотонно стремящиеся к нулю при «t-, нетривиальные решения уравнения (3) особые*.

Различные краевые задачи как в конечных, так и в бесконечных областях для нелинейного уравнения третьего порядка изучены Т. Д. Дкураевым ([18], гл" Я1).

Асимптотика различных решений уравнения подробно исследована итальянским математиком Ohme Paul а. Однако он не получил асимптотические виды решения уравнения (4) со свойствами (2).

Г. А.Стойковой[36, 52) для случая, VI>1 при соответствующих условиях, налагаемых на ^ (/эсЛ «получены асимптотические представления частных решений уравнения (I). Однако в этих работах нет результатов, касающихся асимптотического поведения всех положительных правильных (п.п.) решений уравнения (I).

В настоящей диссертационной работе развивается и обосновывается метод ВКБ СГ. Вентцель ^14], Н. А. Крамерс ]^37], Л. Бриллюэн ^9)) для установления асимптотики п.п. решений существенно нелинейного уравнения третьего порядка типа уравнения Эмдена-Фаулера. Доказаны теоремы об асимптотическом поведении всех п.п. решений уравнения (I). В частности получены асимптотические представления решений, обладающих свойствами (2). При этом с привлечением ВКБ решения исходное уравнение преобразуется к некоторому другому, которое легче исследовать, и доказывается, что ВКБ решение является хорошим инструментом для установления асимптотики решений уравнения оО ^.

При ^U'HteU < функция оо. Ь.

1 / (^.

СсГ*^ (су^сЫм t = const называется ВКБ решением уравнения (I), Эта функция при является частным решением уравнения (I) в случае jb^i. При.

Т ^^ 00 ВКБ решением уравнения (I) называется функция г.

J I? ± Суы. С, а) .

Отметим, что идея преобразования линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к более простому принадлежит В. А. Стеклову. Так, в монографии [51] исследование асимптотики решений уравнения при определенных условиях, налагаемых на коэффициенты, сводится к изучению решений более простого уравнения d^ 1 В. А. Стеклову удалось получить этим способом асимптотические выражения для многих специальных функций.

Некоторую модификацию этого метода с применением к физическим задачам дали Г. Вентцель, Р. А. Крамерс, Л.Бриллюэн. Существенный вклад в обоснование метода ВКБ внесли А. А. Дородницын [20}, В .П.Мае лов [41,42], М. В. Федорюк [54−5б], И.А.Пав-люк[47], Н. НЛоисеев [441 и др.

Для одного класса нелинейных уравнений метод ВКБ был применен и обоснован М. М. Ариповым [2, з] .

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Диссертационная работа состоит из трех глав" В первой главе исследована асимптотика неколюблющихся решений уравнения.

VI 71, (5) где О < Cj (x) еСЬ[х0 ?оо) — при Х-^ .

Другие условия, налагаемые на функции CJ (X.), будут приведены в формулировке теорем.

Мы ограничимся исследованием положительных решений, поскольку либо Ц (^Х^ не является действительным при отрицательном V^X^, либо (^У1- V^, если И четное, и d если И нечетное. В § I описываются результаты общего исследования уравнения (5) при ОС—• Приведем две теоремы из этого параграфа.

Теорема I.I. Если функция (^(Х) положительная и непрерывная в (^Х Q, то п.п. решения уравнения (5) и их производные до второго порядка включительно являются монотонными и имеют предел (конечный или бесконечный) при X—. 6о.

Теорем а1.3. Если ^ ^Х^хМх < 00, то не существует п.п. решений уравнения (5), стремящихся к нулю при.

В зависимости от сходимости или расходимости интеграла V для получения асимптотики решений исследование уравнения (5) разбивается на две части.

При Ч^^со в (5) произведем преобразование.

A— I 1 Гйч.

— i rf X, а при j,^ oo — и, 1.

ЭСг.

— о.

X J (7).

ОС о.

В § 2 исследуется вспомогательное уравнение где д.

Сформулируем две основные теоремы из этого параграфа.

Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия:

I) существует.

Пук А (±-)=1 >

•Ь о унг з) —- • la-1.

Тогда п.п. решение уравнения (8), удовлетворяющее условию W (А^в U (t0, при «t—имеет один из следующих асимптотических видов: t t t t0 ALtT) dr, to где.

Теорема 2.3. Пусть выполняются первое и второе условия теоремы 2.2 и.

VH1. ^.

VI-1 L ^ оо.

При дополнительно требуется, чтобы.

Тогда п.п. решение уравнения (8) имеет один из следующих асимптотических видов: ^ хр (^Cbeapj Ai. lt)d-г^⁰ t pL^i^cit, Ыд,.

I 1 to о'-«ti"i Q^t-ti 1 или пересекается с функцией (- ^ бесконечное число раз при t сю.

В § 3 исследовано вспомогательное уравнение.

УЫ где.

K+ls1 Го,. dA I.

Здесь также приведено несколько теорем, подобных теоремам 2*2 и 2.3.

В § 4 с помощью результатов предыдущих параграфов описана асимптотика п.п. решений уравнения (5). Приведем некоторые теоремы из этого параграфа.

Теорема 4.1. Пусть выполняются следующие условия:

I) существует где со |.

Aix^-l—^ Q <рчXldSE- (Ю).

2) A^eLKXo, 00), i-M,.

Где oo .

A^-—f-А —(II).

3) -< L 00 •.

При дополнительно потребуем, чтобы v п-1.

• Тогда п.п. решение уравнения (5) имеет один из асимптотических видов ^^ ~ Сг>О, ~ 0, ^[ix) ~ 0 ,.

Ос" либо (^Х4) пересекается с функцией U ^Х^ бесконечное число раз при X—•.

Теорема 4.2. Пусть выполняются:

I) первое и второе условия теоремы 4.1;

— 14 n УМ-2−2) условие U < L < •.

Тогда п.п. решение уравнения (5) при X—имеет один из асимптотических видов: vo. MS ~ о.

Теорема 4.5. Пусть выполняются следующие условия:

1) существует (Llm, А (Х)-с, где рч^г, (12) х0.

2) 1−1Д, где ^ 1 i^l г,^Шг —-f*— - —fj— з) со <

1<~.

И-1.

Тогда п.п. решение уравнения (5) при X—имеет асимптотический вид.

VjCX4)^ Cl-CGVlSrbO, ,.

Теорема 4.6. Пусть выполняется первое условие теоремы 4.5, где.

М1<?<- Л. у~ 1 1 И.-1 ли Llwv Ал^ > СО L.

Тогда либо п.п. решение уравнения (5) имеет асимптотический вид.

1 I X либо U (Х> пересекается с функцией.

Щх) бесконечное d IT и+г число раз и стремится к нулю при X—• При 1С ^ ^ п.п. решение уравнения (5) стремится к нулю при X—• Во второй главе исследуется п.п. решение уравнения VI? i. (14).

В § 5 проводится общее исследование уравнения (14), которое с помощью преобразования (6), (7) приводится к вспомогательным уравнениям. Исследование этих вспомогательных уравнений аналогично исследованию уравнений (8), (9). Приведем некоторые теоремы из § 8.

Теорема 8.1. Пусть выполняются следующие условия: существует tlvvl AlX), ос-*00.

— 16.

2) AlCX)€:L (X0,oo>) f L =.

3).

VI-1 где AlOcJ) «AlC^C.) «1−1.Д «определяются соответственно формулами (10), (II). Тогда п.п. решение уравнения (14) при ОС.—имеет один из следующих асимптотических видов:

• > (15).

Теорема 8.3. Пусть выполнено первое и второе условия теоремы 8.1 и г vv-i.

Тогда п.п. решение уравнения (14) имеет при X—один из следующих асимптотических видов: .^(Х) удовлетворяют соответственно формулам (15), (16),.

1 оо ^ — 3 X где 1.

VH-l) VV-1 J или i^) либо пересекается с функцией бесконечное число раз при X-, либо.

X) ~, ¦—, ц (ОС) оо .

Теорема 8 «5. Пусть выполняются следующие условия: I) существует LlWL, х-^оо.

2) А^^и^о, 00), I—.

3) < < 4з.

И-1 где ", , определяются соответственно формулами (12), (13). Тогда либо п.п. решение уравнения (14) имеет один из следующих асимптотических видов: u^so д^нг^зЛ*-1 либо ^(X) пересекается с функцией С. U" (X), где V 1 VI-1 / / бесконечное число раз при X —* .

В § 9 исследована асимптотика п.п. автомодельных решений нелинейного уравнения в частных производных где г.

Приведем одну из теорем этого параграфа.

Теорема 9.3. Если -(И.+2) ^ Со <, то п.п. автомодельное решение уравнения (17), где —, при больших имеет один из асимптотических видов:

X4 X.

В третьей главе исследуются асимптотические представления особых и п.п. решений уравнения.

Ш, лп^П^.

XJО при 0.

18).

В § 10 уравнение (18) с помощью преобразования переменых j V.

19) где.

1 + 3 о р приводится к вспомогательному уравнению.

4геЩсirbjiUi) +W (20) где.

1 (Л-и-У1 (Л-и-К^+З) qdCMiy с e-t 1 -t i-HX^Sf Приведем одну из теорем этого параграфа.

Теорема 10.3. В уравнении (20) существуют решения, имеющие при t —> м асимптотический вид.

4 ' 1-VL ^ 3 1-Й,.

В § II доказана следующая теорема.

Теорема II.I. Если 0, то в уравнении (18) существует особое решение, имеющее следующие асимптотики при 3 1.

2> 1-Ц при X ^ X* Шх) .

В § 12 исследована асимптотика п.п. решений уравнения.

18) при X -•.

Приведем одну теорему из этого параграфа. Теорема 12.2. Если ^ + Ь > 0, + то п.п. решение уравнения (18) при X—имеет один из асимптотических видов: нием уравнения (18).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях 14, 5, 19, 23, 24] .

В заключение считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность члену-корреспонденту АН УзССР, профессору Т"Д"Джураеву и доценту М. М. Арипову за постановку задач и ценные замечания. причем это решение является особым реше.

1. А замов А. Применение характеристических показателейftt-го порядка к изучению асимптотической устойчивости. Дифференциальные уравнения, 1971, т. УП, Я II, с. 2086;2090,.

2. А р и п о в М, М. О решении обыкновенного нелинейного уравнения второго порядка. Докл. АН УзССР, 1970, JS 7, с. 6−8.

3. А р и п о в М. М. Метод «эталонных» уравнений (ВКБ-метод)для нелинейных уравнений второго порядка. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1970, J8 4, с.4−8.

4. А р и п о в М.М., К, а ю м о в Т, К асимптотическому поведению решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям, Ашхабад, 1978, с, 93−94,.

5. А р и п о в М.М., К, а ю м о в Т. Асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения Докл. АН УзССР, 1982, В 6, с. 11−13.

6. Atkins on F.V. The asymptotic solution of second order differential equations. .Ann.mat.pura ed. appl. 1954, vol.37, p.347−378.

7. Беклемишева Л. А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. Матем. сборник, 1962, т. 56(98), X 2, с. 207−236.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954, 216 с.

9. Васильева А. Б., Б у т у з о в В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. — 272 с.

10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярновозмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 107 с.

11. Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die zweck der Wellenmechanik (10).- Phys., 1926, vol. 38, p. 518−529.

12. Галактионов B.A., Курдюмов C.JI., Михайлов А. П., Самарский А. А. Локализация тепла в нелинейных средах. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, А 10, с. I826-I84I.

13. Grequs М. Linearna diferencialna rovnica tretieno radu. Bratislava, 1981. 205 c.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теорииустойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

15. Д ж у р, а е в Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. -438 с.

16. Д ж у р, а е в Т.Д., К, а ю м о в Т. Об асимптотике решений нелинейного дифференциального уравненияi-^CX^^Q. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1982, J 3, с, 20−25.

17. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка.- JHH, 1952, т. УП, вып. 6, с.3−98.

18. Е в т у х о в В. М. Об одном нелинейном дифференциальномуравнеии второго порядка. Докл. АН СССР, 1977, т.233, Я 4, с. 531−534.

19. Е р у г и н И. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. 272 с.

20. Каюмов Т. К асимптотике нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.- В кн.: Краевые задачи для уравнений математической физики. Ташкент: Фан, 1980, с. 120−133.

21. Каюмов Т. К асимптотике решений нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения. Докл. АН УзССР, 1980, Jfi.2, с. 14−16.

22. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

23. К и г у р, а д з е И. Т. Асимптотические свойства решенийодного нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера. Изв. АН ССОР, серия матем., 1965, т.29, IS 5, с. 965−986.

24. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теорияобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

25. Кондратьев В. А., С, а м о в, а л B.C. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена-Фаулера.-Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, Д 4, с. 749−750.

26. Кондратьев В. А., Никишин В. А. 0 поло1. Vжительных решениях уравнения Vj. В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управлением движением. Саранск, 1980, с. I34-I4I.

27. К о с т и н А.В. К вопросу о существовании у системыобыкновенных дифференциальных уравнений ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при «L —* 00. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, В 5, с. 585−604.

28. Костин В. В., Е в т у х о в В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения. Докл. АН СССР, 1976, т.231, Я 5, с. 1059−1062,.

29. Костин А. В., Стойкова Г. А. Асимптотическоепредставление решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения VIго порядка. Докл. АН СССР, 1980, т.250, 18 5, с. 1050−1053.

30. К о с т и н А.В., Стойкова Г. А. Исследование одного нелинейного дифференциального уравнения Ylго порядка. Одесса, Деп. в ВИНИТИ, 1980,)S 3289−80 Деп.

31. Kramers N.A. Das Eigenwertproblem im eindimensiohaben periodischen Krafftfelde (4.10). Phus., 1935, vol 2, p. 489−490.

32. Л о mob C.A.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, I98lj 398 с.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 16-я тип. 1950. 472 с.

34. Л я ш е н к о Н. Я. Об одной теореме полного разделениялинейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторых свойствах матрицы разделения. Укр. матем. журн., 1955, т. УП, & 4, с. 403−418.

35. М, а с л о в В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 553 с.

36. М, а с л о в В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейныхуравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

37. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и редакционные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

38. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.

39. Н, а й м, а р к М. А. Линейные дифференциальные операторы.М.: Наука, 1969. 526 с.

40. О h m е Paul A. Asumptotic behavior of the solutionsof the third order nonlinear differential equations U" 1 ite U «0. Annali di Matematica Ригаed Applicota. Italia, 1975, vol.104, p. 43−65.

41. П, а в л ю к И. А. Асимптотическое интегрирование некоторых классов неавтономных систем дифференциальных уравнений с помощью дифференциальных инвариантов.- Дифференциальные уравнения, 1970, т. У1, J6 6, с. 975−988.

42. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954. 290 с.

43. С, а н с он е Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. т. 2, М.: ИЛ., 1954. 416 с.

44. Seda Valter. On a generaliation of the ThomarFermi equation. Acta math Uniw comen. 1980, No 39. p. 37−114.

45. Стеклов В. А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков: Изд-во ХГУ, 1956. 138 с.

46. Стойкова Г .А. Об асимптотике одного нелинейногодифференциального уравнения. Одесса, 1976. Деп.- 2289−76.

47. Т р и к о м и Ф. Д. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. 351 с.

48. Ф е д о р ю к М. В. Асимптотика решений обыкновенных линейных уравнений VIго порядка. Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, Л 4, с.492−507.

49. X, а п, а е в М. М. Об устойчивости положения равновесиясистем дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, Л 5, с. 848−855.

50. X, а п, а е в .М.М., 0 неустойчивости при постоянно действующих возмущениях. Докл. АН СССР, 1968, т.178, JS I, с. 47−51.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

52. Н е i d е 1 I.W. The existence of oscilatory solutionsfor a nonlienear odd order differential equation.- Gzech. Mat. Jorn. 1970, vol.20 (95), No 1, p.93−97.

53. Чантурия T.A. Об асимптотическом представлении решений уравнения U^CUt) IILI^SL^VlU.. Дифференциальные уравнения, 1972, т.8, JS 7, с. II95-I206.

54. Чантурия Т. А, Об асимптотическом представлении решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1970, т. У1, Д 6, с. 948−961.

55. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении колеблющихся решений уравнения типа Эмдена-Фаулера. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, JS 6, с. 1035−1040.