Аппроксимация функций

Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

аналитический

графический

табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f (x) можно рассмотреть другую функцию ц (ч) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

ц (х) — аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x₀ f (x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f (x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n, a_n-1, …a₀, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

P_n(x_i)=y_i i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

ij

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом х=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

CLS

DIM Y (9)

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N — 1

1 X (I) = X0 + H * I

READ Y (I)

PRINT Y (I); X (I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N — 1

2 S1 = S1 + X (I) ^ 2

S2 = S2 + X (I)

S3 = S3 + X (I) * Y (I)

S4 = S4 + Y (I)

NEXT I

D = S1 * N — S2 ^ 2

D1 = S3 * N — S4 * S2

D0 = S1 * S4 — S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT «A0=»; A0, «A1=»; A1, «YC=»; YC

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

END

XC= 10

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 .1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

S=-1.594 203

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i, y_i), i=0,1,2,…n, где n — общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно «хорошего» приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

S = (f_i-y_i) ® min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |f_i-y_i| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т. е. определяют такую функциональную зависимость, при которой

S = (f_i-y_i)² , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f (x)=C₀ + C₁X + C₂X²+…+C_MX^M. (2)

Формула (1) примет вид S = (C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+…+C_MX_i^M — Y_i ) ²

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁,…С_М :

S_C0 = 2 (C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+…+C_MX_i^M — Y_i ) = 0 ,

S_C1 = 2 (C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+…+C_MX_i^M — y_i ) X_i = 0 ,

… (3)

S_CM = 2 (C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+…+C_MX_i^M — Y_i ) X_i^M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C₀ (N+1) + C₁ X_i + C₂X_i² +…+ C_M X_i^M = Y_i ,

C₀X_i + C₁X_i² + C₂X_i³ +…+ C_MX_i^M+1 = Y_i X_i ,

… (4)

C₀X_i^M + C₁X_i^M+1 + C₂X_i^M+2 +…+ C_MX_i^2M = Y_i X_i^M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются «оригинальными» и заполняются с помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

¦DIM Y (9): DIM X (9)

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

¦FOR I = 0 TO N — 1

¦X = X0 + H * I:

¦X (I) = X

¦READ Y (I)

¦PRINT X (I), Y (I)

¦NEXT I

¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

¦I = 0

¦10 S1 = S1 + X (I) ^ 2:

¦S2 = S2 + X (I):

¦S3 = S3 + X (I) * Y (I):

¦S4 = S4 + Y (I)

¦I = I + 1

¦IF I <= N — 1 THEN 10

¦D = S1 * N — S2 ^ 2:

¦D1 = S3 * N — S2 * S4:

¦D0 = S1 * S4 — S2 * S3

¦A1 = D1 / D:

¦A0 = D0 / D

¦Y = A1 * XC + A0

¦PRINT TAB (2); «КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=»; A0,

¦PRINT TAB (2); «КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1=»; A1,

¦PRINT TAB (2); «ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=»; Y

¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10

¦Y = A1 * X + AO

¦PRINT X, Y

¦NEXT X

¦FOR I = 1 TO N — 1

¦S = S + Y (I): NEXT I

¦D = H / 2 * (Y (0) + Y (N — 1) + 2 * S)

¦PRINT «ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D=»; D

Ответы

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 .1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709 182

КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5 007 687

ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701 495

10 5.7 687

20 10.1 537

ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725