Обобщенные решения модели Маргерра-Власова при шарнирном закреплении края оболочки

1°. Общая характеристика проблематики.

Актуальность темы

.

Математические модели механики сплошной среды определяют довольно четко очерченную систему классов краевых и начально-краевых задач. Решения этих задач описывают состояние или развитие соответствующей механической системы. Одним из разделов теории дифференциальных уравнений математической физики является качественное исследование решений математических моделей механики сплошной среды, который распадается, естественно, на части, посвященные исследованию конкретных фундаментальных моделей.

Одной из основополагающих проблем для каждой из таких моделей является вопрос о разрешимости начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени, который в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Под разрешимостью в данном случае подразумеваются теоремы существования и единственности обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова нелинейных колебаний пологих оболочек с шарнирно закрепленным краем при отсутствии инерции продольных перемещений для оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Известно, что сравнение результатов численного анализа с экспериментальными данными показывают, что для пологих оболочек из ряда материалов модели Маргерра-Власова дают хорошие приближения колебательных движений таких оболочек.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется возможностью приложения полученных результатов к некоторым разделам математики, прикладной математики и механики.

2°. История вопроса.

Рассматриваемые в работе модели были предложены К. Маргерром в [1] и В. З. Власовым в [2], [3]. В своих основополагающих работах [4]-[7] И. И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой .задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при жестком защемлении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И. И. Ворович предложил первым сразу после Хопфа [8] и, по-видимому, независимо от него. Там же им была доказана теорема существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И. И. Воровичем в [5], носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Безусловная теорема единственности, то есть теорема, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана В. И. Седенко в [9] и [10] с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений и, в частности, для компенсации отсутствия ограниченного вложения //^(q) в В дальнейшем, этот метод (или его несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отметим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений Кармана, доказанную в [11], теорема существования для которых была доказана намного раньше в [12], [13]. Далее, в [14] была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых приведена в [15]. Метод В. И Седенко был использован в [16] для доказательства единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями и в [17] для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек. В настоящей работе теоремы единственности обобщенных решений доказываются с помощью некоторого развития схемы и метода, опубликованного в [18].

Следует отметить, что основное развитие теории разрешимости в целом по времени начально-краевых задач для моделей Кармана и Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с шарнирным защемлением края оболочки осуществляется под руководством профессора В. И. Седенко.

3°. Содержание диссертации.

Первая глава посвящена построению приближений Бубнова-Галеркина. Первые два параграфа содержат информацию об используемом далее традиционном инструментарии. Именно, в § 1 приведена информация о стандартных общеупотребляемых функциональных пространствах. В § 2 изложены классические неравенства и оценки. В третьем параграфе изложена начально-краевая задача, работа над которой, собственно, и ведется в диссертации. В § 4 в рамках реализации начального этапа абстрактной схемы, предложенной И. И. Воровичем в [5], вводится функциональное пространство.

Н{0.,/л) и изучаются его свойства. На основе полученных результатов в пятом параграфе делаются выводы о существования дискретного положительного спектра краевой задачи для бигармонического оператора с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки. Затем, в § 6, определяются приближения Бубнова-Галеркина основной начально-краевой задачи и изучаются их свойства.

Вторая глава посвящена доказательству теорем существования глобальных по времени обобщенных решений. В первом параграфе второй главы выводится энергетическое соотношение для приближений Бубнова — Галеркина, из которого обычным образом следует возможность продолжения приближений на любой интервал времени, что и доказывается в §§ 2, 3 одновременно с выводом оценок, обеспечивающих в дальнейшем соответствующие дифференциальные свойства обобщенных решений. В четвертом параграфе с помощью предельного перехода на основе обычных соображений слабой компактности доказывается существование обобщенных решений. В третьей главе изложены теоремы единственности обобщенных решений. Делается предположение о существовании двух обобщенных решений с одинаковыми данными. В § 1 третьей главы выводится соотношение для разности решений, а в § 2 — интегральное неравенство для норм разности решений, правая часть которого состоит из восьми слагаемых. В третьем параграфе осуществляются оценки четырех из них с помощью стандартной техники. В трех остальных параграфах этой главы оцениваются четыре оставшиеся слагаемые. Так, в § 4, в случае, когда оболочка состоит из материалов с внутренним трением, в результате оценивания мы приходим к неравенству типа однородного неравенства Гронуолла от нормы разности решений, что позволяет сделать заключение о невозможности существования двух разных обобщенных решений с одинаковыми данными. В пятом и шестом параграфах такие оценки делаются с использованием техники, предложенной В. И. Седенко в [9], [10], [18], [19], использующей операторы сглаживания. В результате получаются неравенства от норм разности обобщенных решений, таким образом зависящие от произвольного параметра (сглаживания), что применение оценки решения неравенства Гронуолла вместе с последующим устремлением параметра к бесконечности приводит к равенству нулю норм разности обобщенных решений с одинаковыми данными. В приложении приведены теоремы существования и единственности внешней начально-краевой задачи. В заключении сделаны основные выводы и приведены полученные в работе результаты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, в данной работе получены следующие новые результаты:

1. В рамках реализации схемы, предложенной И. И. Воровичем, введены гильбертовы функциональные пространства и описаны их свойства, используемые при доказательстве теорем существования и единственности обобщенных решений.

2. Определены приближения Бубнова-Галеркина. Приведена локальная по времени теорема существования решений для системы приближений Бубнова-Галеркина. После установления энергетического соотношения получена глобальная по времени теорема существования для системы приближений Бубнова-Галеркина.

3. Исследованы дифференциальные свойства приближений Бубнова-Галеркина.

4. Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.

5. Доказаны теоремы существования обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки в случае, когда оболочка проектируется на ограниченную область.

6. Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений.

7. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений.