Метод оценки прочности хрупких материалов на основе градиентной теории

Проблема прочности, являющаяся главной проблемой сопротивления материалов, многогранна. Она включает в себя, в том числе, следующие фундаментальные вопросы.

1. Оценка локальной мгновенной прочности упругого тела при заданных в рассматриваемой точке напряжениях и характеристиках материала. Теории прочности, занимающиеся этим вопросом, называются классическими.

2. Учет так называемого градиентного эффекта прочности, то есть того экспериментально обнаруженного факта, что прочность в данной точке тела зависит не только от напряженного состояния в этой точке, но и от скорости изменения напряженного состояния по координатам (росту градиента напряженного состояния отвечает увеличение прочности тела). Данный эффект может быть значительным в самых обычных случаях, что не позволяет не принимать его в расчет.

3. Определение прочности тела в сингулярных точках, где напряжения, найденные упругим расчетом, бесконечны. Надо заметить, что бесконечные напряжения отвечают сколь угодно малой нагрузке, тем не менее разрушение наступает лишь при критическом уровне нагрузки. Конечно, использование теории пластичности (псевдопластичности в случае хрупких материалов) может избавить от бесконечных напряжений. Но такой подход сопряжен с большими трудностями, по сравнению с традиционным упругим расчетом. Поэтому желательно научиться определять запас прочности тела, опираясь на фиктивные бесконечные напряжения, доставляемые упругим расчетом.

4. Влияние времени на прочность в условиях ползучести (предмет теорий длительной прочности).

5. Усталостное разрушение под действием циклических нагрузок.

6. Образование и развитие микрои макротрещин в теле.

7. Статистические аспекты прочности (вероятностная постановка вопроса).

8. Масштабный эффект прочности.

9. Физические аспекты прочности (связь прочности со структурой материала и внешними факторами — температурой, влажностью и др.).

10. Интегральный подход к прочности конструкции (исчерпание прочности объекта не локально, а в целом).

Диссертация посвящена рассмотрению второго и третьего из перечисленных выше вопросов. При этом классические теории прочности, отнесенные к первому вопросу, служат базой для обобщений.

Указанные вопросы интенсивно разрабатываются и существенно продвинуты в своем решении. Тем не менее, ни один из них не может считаться решенным исчерпывающим образом, в частности, остаются многочисленные расхождения теоретических разработок с опытом. Вместе с тем, от обоснованного их решения непосредственно зависит экономичное проектирование конструкций. Этим определяется актуальность темы диссертации.

Целью диссертации является разработка метода оценки прочности хрупких материалов, учитывающего градиентный эффект прочности и наличие сингулярных точек.

Отправной точкой исследования послужила градиентная теория хрупкого разрушения, разработанная В. Д. Харлабом. Далее раскрываются некоторые важные ее особенности.

1. Градиентный подход к прочности материала объединен с подходом к оценке прочности в сингулярных точках, исходя из предположения, что бесконечно большие градиенты напряжений в сингулярных точках позволяют материалу сохранять прочность при бесконечно больших напряжениях (пока нагрузка не достигла некоторого критического уровня).

2. В разработанной теории регулярные и сингулярные напряжения оказались равноправными, а это означает, что неправомерно отбрасывать (как это обычно делают) конечные напряжения из суммы их с бесконечными. Следствием оказалось исчезновение ряда парадоксов (например того, что бесконечно малое отверстие в центре диска вдвое уменьшает прочность диска, или того, что достаточно малая трещина упрочняет материал).

3. Теория содержит всего лишь один новый экспериментальный параметр, способы определения которого указаны.

4. Теория охватывает широкий круг задач и позволяет решать новые для механики задачи (например, прочность среды под сосредоточенной силой).

Теория В. Д. Харлаба подтверждается разумностью вытекающих из нее следствий и согласием результатов с данными опытов.

Вместе с тем, рассматриваемая теория предоставляет возможности для ее развития в нескольких направлениях, что дополняет актуальность темы диссертации.

Во-первых, требуемое теорией преобразование классических критериев прочности в градиентные является затруднительным в случае нелинейности исходных критериев и при многократном использовании преобразования, связанном с наилучшим выбором классического критерия. Эта трудность требует преодоления.

Во-вторых, переход от регулярного к сингулярному случаю выглядит в ней не вполне естественным. Желательно устранить этот недостаток.

В-третьих, остался неохваченным один очень важный вид проявления сингулярности — расходимость рядов.

Перечисленные три пункта составляют программу диссертации и получают свое решение. Таким образом, научная новизна работы состоит в перечисленных ниже пунктах.

1. Предложено упрощение преобразования классических критериев прочности в градиентные по теории В. Д. Харлаба, сохраняющее точность результатов.

2. Получена формула для оценки прочности в сингулярных точках, не требующая дополнительных видоизменений исходной формулы теории В. Д. Харлаба.

3. Разработан алгоритм для проверки прочности в случае важного вида сингулярности — расходимости рядов.

Учет градиентного и сингулярного эффектов прочности необходим при рациональном проектировании конструкций. Работа дает способ такого учета, который опробован в конкретных проектных расчетах. Эти положения составляют практическую значимость работы.

Достоверность результатов исследования подтверждается применением обоснованных методов теории упругости и математики, а также согласием результатов с опытом и исследованиями других авторов по данному вопросу.

На защиту выносятся:

1) Идея градиентного преобразования главных напряжений с последующей их подстановкой в классический критерий прочности (вместо преобразования сразу всего критерия), что существенно упрощает применение подхода.

2) В случае сингулярного напряженного состояния многократное использование обычного градиентного преобразования вместо специального преобразования, предложенного научным руководителем, что дает оригинальную новую формулу.

3) Учет сингулярностей нестепенного вида.

4) Решение ряда конкретных задач с использованием исходного и модифицированного подходов и с привлечением различных классических теорий прочности.

5) Разработка способа проверки прочности в точках тела, где напряженное состояние описывается расходящимися рядами.

6) Анализ полученных результатов и выводы.

В опубликованных ранее статьях [35−38, 55] описаны отдельные идеи и задачи, являющиеся заделом настоящей работы.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры сопротивления материалов СПбГАСУ в особенности профессору В. Д. Харлабу за помощь в освоении материала и поддержку при написании работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе описаны новые предложения по модификации градиентной теории прочности В. Д. Харлаба. Изложенные предложения применены для решения ряда задачи теории упругости. Полученные результаты и выводы излагаются ниже.

1. Выполнен обзор имеющихся на данный момент экспериментальных данных и теоретических исследований по градиентному эффекту прочности.

Поскольку существенное значение имеет исходная классическая теория прочности, являющаяся основой для учета градиентного эффекта, работу предваряет краткий обзор классических теорий прочности. Показано, что имеет место существенных разброс, как экспериментальных, так и теоретических данных о сложном напряженном состоянии.

Градиентный эффект экспериментально обнаружен в начале XX века. Опытные данные 20−30-х годов не могу считаться достоверными из-за неразвитой технической базы, однако все они качественно подтверждают влияние градиентного эффекта на прочность. Можно выделить опыты О. Эйзелина, Г. Би-рета, А. Тума и Ф. Вундерлиха, С. П. Тимошенко. На основе первых опытных данных предприняты попытки вывести теоретические зависимости, отражающие градиентный эффект. Среди них выделяются работы Ф. Ринагля, В. Кунце, В. Прагера, С. В. Серенсена. С появлением новых средств измерения опытные данные приобретают количественную надежность. Например, опыты А. Баску-ля и Ж.-К. Мазо о растяжении пластин с круглым отверстием послужили базой для дальнейших теоретических исследований. Упомянутые авторы, а также Дж. А. Кениг и В. Ольшак, А. Бран, Г. А. Гениев и другие предложили свои формулы для учета градиентного эффекта. Эти формулы в разном виде содержали не только эквивалентное напряжение, но и его производную (градиент). Общим недостатком этих предложений является наличие множества экспериментальных постоянных. При этом в работах не указан способ их определения. Другой недостаток — отсутствие теоретического обоснования. Как правило, формулы являлись обработкой экспериментальных данных.

Существенная работа по вопросам прочности бетона проведена во Всесоюзном научно-исследовательском институте гидротехники. Опыты К. А. Мальцова, А. В. Караваева, А. П. Пака показывают влияние градиентного эффекта на прочность бетона. К. А. Мальцевым предложена эмпирическая формула, хорошо отражающая экспериментальные данные. В 90−2000;х годах в Новосибирске выполнен ряд работ, посвященных учету градиентного эффекта. М. Д. Новопашиным, С. В. Сукнёвым, М. А. Леганом и другими разработан хорошо обоснованный градиентный критерий прочности, содержащий один структурный параметр материала. Критерий хорошо согласуется с опытными данными для металлов. В последнее время он распространен авторами на хрупкие материалы. Другой градиентный критерий, относящийся к хрупким материалам, в 90-е годы предложил В. Д. Харлаб. Он применил его к решению ряда важных задач и получил хорошие результаты. Несмотря на то, что градиентная теория В. Д. Харлаба обладает существенными преимуществами, о чем сказано в диссертации, она оставляет некоторые возможности для развития, которые осуществлены в настоящей работе.

Несмотря на большое количество исследований, направленных на учет градиентного эффекта, этот вопрос остается до конца не решенным.

2. Как показано в обзоре, для учета градиентного эффекта прочности принято рассматривать критерий прочности (эквивалентное напряжение) по той или иной классической теории, к которому вносится некоторая «градиентная поправка» — в конечном итоге положительная величина, большая 1, на которую домножается классическое эквивалентное напряжение. Способ ее определения различен у разных авторов. Поскольку эквивалентное напряжение может представлять собой сложную комбинацию главных напряжений, получение «градиентной поправки» оказывается не всегда удобно. В настоящей работе предложено применять градиентные преобразования отдельно к главным напряжениям, то есть каждое из главных напряжений должно получить свою градиентную поправку". Таким образом, получаются «градиентные напряжения». Они должны подставляться в критерий прочности для получения решения с учетом градиентного эффекта. В работе приведено решение задачи о толстостенной трубе под действием внутреннего давления (задача Ляме), задачи об изгибе кривого бруса (задача Головина), задача о растяжении плоскости с круглым отверстием (задача Кирша). Показано, что описанное предложение удовлетворительно описывает градиентный эффект. Так, для задачи Ляме градиентный эффект составляет 16,4−18,9% (в зависимости от выбранной исходной теории прочности), максимальное различие между предлагаемым и исходным подходом В. Д. Харлаба составляет всего 1,3%. Для задачи Головина эти цифры составляют соответственно 27,5−31,0% и 3,5%. Для задачи Кирша — 21,6−23,8% и 2,2%. Как видно, разброс, обусловленный применением разных теорий прочности, выше, чем разница между исходным и предлагаемым подходом. При этом предлагаемый подход позволяет существенно упростить применение аппарата.

3. Предложен новый подход к рассмотрению сингулярных точек. Предполагается, что прочность в таких точках сохраняется (несмотря на бесконечно большие напряжения) за счет сильного градиентного эффекта. Предложено «сильный градиентный эффект» учитывать применением градиентного преобразования несколько раз. Показано, что использование исходной градиентной формулы В. Д. Харлаба п раз применительно к сингулярной функции степенного вида Б {г) = к/ г" приводит к конечному значению, численно равному значению функции при г = г* = [Г (и + ^^" б (5 — структурный параметр материала из градиентной теории). Другими словами для оценки прочности в сингулярной точке, следует рассматривать некоторую регулярную точку на расстоянии г* от первой. Для иллюстрации описанного подхода приводятся решения задач о действии на полупространство сосредоточенной силы (задача Буссинеска), о растяжении бесконечной плоскости с трещиной (задача Гриффитса), о вдавливании в полупространство жесткого прямоугольного штампа.

Анализ результатов решения задачи Гриффитса проведен через величину вязкости разрушения, которая оказывается связанной со структурным параметром градиентной теории 5. Однако, такая оценка не является надежной, так как опытные данные по определению вязкости разрушения имеют большой разброс. Это обусловлено условностью определяемой величины и трудностью в исключении различных факторов (например, для исключения влияния структуры материала испытываемые образцы должны иметь большой размер). Исходный и модифицированный подходы дают разницу в определении вязкости разрушения в среднем 20,2% в то время как опытные данные — 78,2%. Оба теоретических результата попадают в интервал опытных данных. Таким образом, следует заключить, что предлагаемый подход не противоречит исходному и экспериментам.

Задача о штампе и задача Буссенеска должны рассматриваться совместно (с привлечением также задачи Фламана о действии на полуплоскость сосредоточенной силы), так как из этих задач может быть теоретически предсказана прочность материала при местном смятии. В качестве контрольных данных использована эмпирическая формула Баушингера, нашедшая применение в нормативной документации. Для задачи Буссинеска разница между подходами составила около 50%. При этом эмпирический результат отличается от результата, полученного по предлагаемому подходу, на 9,6%, а по исходному — на 44,7%. Отметим, что формула Баушингера не может считаться точной и дает существенный запас. Важным также является тот факт, что описанный подход позволяет решать задачи о сосредоточенных нагрузках. Для анализа результатов решения задачи о штампе привлечены опытные данные С. К. Нийоги. Разница между подходами составила 20%, а с данными опытов 6,6% и 25,2% соответственно. Таким образом, для данного класса задач модифицированный подход дает более достоверные результаты.

4. Для сингулярных функций общего вида (отличного от степенного) предложен способ определения расстояния г*, основанный на обработке сингулярных функций степенного вида, описанной в пункте 3. Замечено, что для таких функций г* является решением простой системы уравнений, полученной из комбинации сингулярной функции и ее производной. По аналогии с идеей В. Д. Харлаба выдвинуто предположение, что из этой системы можно получить г* для любого вида сингулярности. В качестве примера рассмотрена задача об изгибе круглой пластинки сосредоточенной силой.

Она не дает однозначного ответа о предпочтительном методе решения. Разброс результатов, базирующихся на различных классических теориях прочности, доходит до 50%. Положительным является то, что опытные данные попадают в этот интервал. Разница между исходной теорией и предлагаемым подходом составляет около 20%. При этом результат, полученных по исходной теории приближается к опытным данным при использовании теории прочности наибольших удлинений, а модифицированный подход — теории максимальных напряжений и теории Лебедева. Получить решение по исходной теории с привлечением теории Баландина и некоторых других и удается. Модифицированный подход устраняет этот недостаток.

5. Предлагаемые модификации применены к особому случаю сингулярности — расходящемуся ряду. Это приложение является главным в настоящей работе, поскольку большое количество задач теории упругости решается с помощью рядов, которые при определенных условиях (в точках с «особенностями») оказываются расходящимися. Идея состоит в установлении вида сингулярности, стоящем за этими «особенностями». Например, выявлено, что в случае кручения стержня с сечением, имеющим входящие углы, в этих углах имеет место сингулярность степенного вида 8(г) = к/гп с п = 1-п/а. Этот результат позволяет применить к широкому кругу задач подход, описанный в пункте 3. В качестве примера рассмотрена задача о кручении стержня с сечением в виде сектора круга. Получен результат для оценки прочности в опасной точке, находящейся в вершине входящего угла.

Другим примером является задача об изгибе прямоугольной пластинки сосредоточенной силой. В этом случае также имеет место сингулярность степенного вида с п= 1. В задаче выделено две опасные точки: регулярная (максимальные нормальные напряжения) и сингулярная (максимальные, в общем случае бесконечные, касательные напряжения). После применения предлагаемого подхода установлено, что опасной является регулярная точка, что оправдывает традиционно принятую проверку прочности в пластинках только по нормальным напряжениям.

6. Полученные результаты показывают возможность применения выдвинутых предложений. Следует признать учет градиентного эффекта перспективным направлением дальнейших исследований. В частности учет градиентного эффекта (в том числе и с использованием выдвинутых в настоящей работе предложений) может быть распространен на: оценку длительной прочности материалов (в том числе с учетом ползучести) — сингулярности, не рассмотренные в данной работе (например, случаи отверстий и выточек с острыми углами) — оценку прочности при циклических нагрузках (некоторыми авторами подтверждается существенное влияние градиентного эффекта для этого случая) — вычисление деформаций.

Основной вывод, вытекающий из проделанной работы, состоит в том, что модифицированная теория хрупкого разрушения является достаточно обоснованной и как таковая может широко применяться в теоретических и практических расчетах. В частности, она может оказаться полезной в теории железобетона для определения момента образования трещин с учетом градиентного эффекта или при обработке результатов вычисления напряжений (часто имеющих сингулярные особенности) в компьютерных программах, реализующих упругий метод расчета.