Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах

Диссертация: Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут… Читать ещё >

Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Операторный метод исследования бифуркационных задач
    • 1. 1. Задача о вынужденных колебаниях
    • 1. 2. Бифуркации отображений и периодических орбит
    • 1. 3. Бифуркации малых решений операторных уравнений
    • 1. 4. Доказательства основных утверждений
  • 2. Исследование основных сценариев бифуркаций вынужденных колебаний
    • 2. 1. Признаки бифуркации вынужденных колебаний
    • 2. 2. Асимптотические формулы
    • 2. 3. Алгоритм локализации языков Арнольда
    • 2. 4. Доказательства основных утверждений
  • 3. Устойчивость бифурцирующих решений
    • 3. 1. Задача об устойчивости бифурцирующих решений
    • 3. 2. Основные положения метода исследования устойчивости
    • 3. 3. Анализ устойчивости бифурцирующих решений
    • 3. 4. Доказательства основных утверждений

Актуальность темы

В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам A.M. Ляпунова [33], [34], А. Пуанкаре [47], H.H. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [10], [11], [29], [72], В. Г. Веретенникова [14], [15], И. Г. Малкина [40], [41], В. А. Плисса [44], [45], М. Розо [48], Ж. Флоке, Л. Чезари [56], И. 3. Штокало [59], В. А. Якубовича [61] и многих других математиков.

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвящены работы Андронова A.A. [1−3], В. И. Арнольда [4], [5], М. А. Красносельского [25], A.M. Красносельского [24], А. П. Кузнецова и С. П. Кузнецова [30], [31], [70], B.C. Козякина [21], [22], H.A. Магницкого [35], [36], [37], М. Т. Терехина [52], Ж. К. Хейла [55], [65], [66], Л. П. Шильникова [58], [74] и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.

Основной целью диссертационной работы является разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка операторных методов исследования основных сценариев бифуркационного поведения многопараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;

2. Получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных динамических системах и их дискретных аналогах;

3. Получение асимптотических формул для вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два.

Краткое содержание работы.

Основным объектом исследования работы является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра /л, с Тпериодической по i правой частью: ж'=/(ж, г,, же^, ¡-1еВк) (1) где функция /(ж, /х) непрерывна по? и непрерывно дифференцируема по х и д. Пусть система (1) при всех значениях параметра ?1 имеет нулевую точку равновесия х = 0, т. е. /(О, /?) = 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде х' = ¡-1)х + а (х, д), (2) где /?) = /?(0, /1) — матрица Якоби вектор-функции /(ж, ?, /2), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а (ж, ?1) равномерно по? и [1 удовлетворяет соотношению ||а (ж,?, /х)|| = 0(||ж||2) при ||ж|| —>• 0- здесь и ниже через || • || обозначена евклидова норма векторов в пространстве Я" .

Обозначим через матрицу монодромии линейной системы х'= А{г,[л)х. (3).

Пусть при ?1 = /хо система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1- тогда точка равновесия х = 0 системы (1) при ц = до является негиперболической. В этом случае значение до будем называть точкой бифуркации системы (1).

В частности, при близких к до значениях д у системы (1) в окрестности точки равновесия х — 0 могут возникать Т-периодические решения (вынужденные колебания), кТ-периодические решения при к ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций, исследованию устойчивости возникающих колебаний и посвящена диссертационная работа.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории неавтономных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, из теории локальных бифуркаций динамических систем, описываются основные сценарии таких бифуркаций. Также приводятся модели динамических процессов описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Основное содержание главы составляет обоснование метода качественного и приближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений операторных уравнений. Глава носит вспомогательный характер.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 1.1 приводятся известные сведения из теории систем с периодическими коэффи-циетами. В параграфе 1.2 приводится постановка задачи о бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от параметров, описываются необходимые условия локальных бифуркаций и их основные сценарии. В параграфе 1.3 главы излагаются операторные методы исследования задачи о локальных бифуркациях динамических систем.

Основные результаты работы содержатся во второй и третьей главах. Во второй главе приведены новые достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний системы (1), а также получены асимптотические формулы для возникающих колебаний. Приведем основные результаты второй главы.

Пусть система (3) при ?2 — цо имеет один или несколько мультипликаторов равных по модулю 1, т. е. матрица V (fio) имеет собственные значения вида е±21тдг, где 0 < в ^ -. В диссертации основное внимание t уделяется рассмотрению случаев, когда матрица V{¡-iо) имеет:

51) простое собственное значение 1;

52) пару простых собственных значений е±2уг^г, где 0 ^ в ^ — и в 2 р рационально: в =—несократимая дробь. q.

Во обоих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы V (fio) не равны 1 по модулю.

В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы (1).

В случае 31) коразмерность бифуркации равна одномув этом случае естественным будет предположение, что параметр д является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до (т.е. либо при д ^ до, либо при д ^ До) ненулевых Т-периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если каждому? > 0 соответствует такое д = д (б:), при котором система (1) имеет ненулевое Т-периодическое решение, причем д (е) —> д0 и шах ||ж (£, г)|| —> 0 при г —> 0.

В случае Б2) коразмерность бифуркации равна двум. Поэтому здесь естественным будет предположение, что параметр д является двумерным, т. е. д = (а, Р), где, а и ?3 — скалярные параметры. Здесь в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов кТ, где к ^ q. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем бифуркацией субгармонических колебаний периода с[Г системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое д = д (е), при котором система (1) имеет ненулевое дТ-периоди-ческое решение причем д (е) —"• до и тах \xit, ?:)|| —"• 0 при —>¦ 0 .

В параграфе 2.1 приведены достаточные признаки того или иного сценария бифуркации системы (1) в виде теорем, которые являются одними из основных утверждений данной работы.

Рассмотрим сначала случай 31). Обозначим через еже*- собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 матриц У (до) и У*(до) соответственноздесь У (д) — транспонированная к У (д) матрица. Векторы е и е* можно выбрать в соответствии с равенствами ||е|| = 1, (е, е*) = 1. Обозначим через д) решение задачи.

Коши х' = A (t, ц) х, ж (0) = е, и положим.

6=.

Теорема 0.1 Пусть выполнено условие S1 ио 0. Тогда? iq является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (2.1).

Рассмотрим теперь случай S2). Положим В{¡-j) — Vq (/i) — тогда матрица B{fiо) (а вместе с ней и транспонированная матрица B*(¡-iо)) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Обозначим через е, g и е*, д* соответствующие линейно независимые собственные векторы матриц B{¡-iо) и В*(fio). Векторы е, д, е* и д* будем считать выбранными в соответствии с соотношениями.

Теорема 0.2 Пусть выполнено условие и (о ^ 0. Тогда /хо = («о, ¡-Зо) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ системы (1).

В параграфе 2.2 второй главы приведены асимптотические формулы для существующих в условиях теорем 0.1 и 0.2 бифурцирующих решений. Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для уравнения (2.2), когда нелинейность а (х, ¡-л) представима в виде а (ж, t, /л) = u2(x, i, ¡-л) -f а3(ж, t, /л),.

5) где a, 2{x, t, ii) содержит квадратичные по х слагаемые, а нелинейность оз (ж, i, >l?) удовлетворяет соотношению \аз (х, t, /?)|| = 0(||ж||3) при х —> 0 равномерно по t и? i.

Теорема 0.3 Существующие в условиях теоремы 0.1 бифурцирующие решения x (t, e) системы (1) и соответствующие значения параметра? i{e) представимы в виде: x (t, e) = ee (t) + ?2ei (t) + ец (г, е), = ?o + e? i + ?ii (e). (6).

Здесь e (t) = x (t, ?jlq) — для функции e (t) и числа в диссертации также получены расчетные формулы, а функции рп (£), eu (t, e) удовлетворяют соотношениям ||/in (^)|| = 0{е2), max ||en (i, в)|| = 0(е3) при е —0 .

Теорема 0.4 Существующие в условиях теоремы 0.2 бифурцирующие решения x{t, e) системы (1) и соответствующие значения параметра ц{е) = (a (?),?(e)) представимы в виде: x (t, ?) = ee (t) + ?2ei (t) + en (t, e), a (e) = a0 + £аг + ац (е)} = ?o + e? i + /?п (е).

Здесь e (t) = x (t,ß-о) — Для функции e (t), чисел ai, Д в диссертации также получены расчетные формулы, а функции огц (£), ?n (?)> ец (í-, ?:) удовлетворяют соотношениям ||ап (е)Ц = 0(?2), ||/?ц (£)|| = 0(е2), max ||en (i, г)|| = 0(е3) при е—>0.

В параграфе 2.3 приведен алгоритм локализации языков Арнольда системы (1).

Основной задачей исследования в третьей главе является анализ устойчивости бифурцирующих решений возникающих в условиях теорем 0.1 и 0.2. Предлагаемая схема анализа устойчивости использует общие методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, восходящие к Л. Чезари, Ж. К. Хейлу, И. З. Штокало и М. Розо, основные положения которого изложены в параграфе 3.2. Критерии устойчивости приведены в параграфе 3.3.

Ограничимся приведением критерия устойчивости бифурцирующих решений для случая S1). Здесь основным объектом исследования является система (2), в которой матрица A (t, fi) представима в виде.

A{t, ti) = Ao + {/j, — ¡-ю)A1(t) + A2(t, /i).

Предполагается, что постоянная матрица Aq имеет простое собственное значение 0, матрицы Ai (t) и A2(t, ?1) являются Т-периодическими, причем max||A2(i,/i)|| = 0{ц — ??0|2), при |/i-/io| -*0. Определим число т m = (J[Mi-^i® + U2x (e®, г, Цо)]дте, е*). о.

Теорема 0.5 Пусть нелинейность a (x, t,/i) имеет вид (5). Тогда при всех малых значениях? > 0 бифурцирующие решения x (t, е) системы (2), существующие в условиях теоремы 0.1, асимптотически устойчивы, если щ < 0, и неустойчивы, если щ > 0.

Здесь a2x (x, t, fi) — матрица Якоби квадратичной нелинейности a2(x, t,/i).

Заключение

.

В настоящей диссертационной работе исследованы следующие задачи:

1. Разработан операторный метод исследования основных сценариев бифуркационного поведения двупараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;

2. Получены достаточные признаки локальных бифуркаций коразмерности два неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов;

3. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы, позволяющие определить основные гармоники вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Проведен анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два;

5. Предложены асимптотические формулы в задаче о локализации языков Арнольда неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в основных резонансах.

Показать весь текст

Список литературы

  1. A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959, 560 с.
  2. A.A., Леонтович Е. В., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
  3. A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967, 488 с.
  4. В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 400 с.
  5. В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Наука, 1978, 304 с.
  6. В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 368 с.
  7. В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шилъников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.// Динамические системы V. М.: ВИНИТИ, 1986, Т.5, С. 5−218.
  8. Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1967, 223 с.
  9. Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. Москва-Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006, 360 с.
  10. H.H., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 223 с.
  11. H.H., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // Собрание научных трудов. М.: Математика и нелинейная механика, 2005, Т. 3, 605 с.
  12. А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2004, 540 с.
  13. М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969, 529 с.
  14. В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984, 320 с.
  15. В.Г., Маркеев А. П. Исследование устойчивости нелинейных систем. М.: МАИ, 1980, 87 с.
  16. Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.
  17. Ибрагимова JI. C, Юмагулов М. Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007, № 4, С. 3−12.
  18. Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 742 с.
  19. Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975, 740 с.
  20. К am, ок А. Б., Хасселблат, Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб, 2005, 464 с.
  21. B.C., Красносельский М. А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. // Доклады АН СССР. 1980, Т. 254, № 5, С. 1061−1064.
  22. B.C. Субфуркация периодических колебаний. // ДАН СССР. 1977, Т. 232, № 1, С. 25−27.
  23. B.C., Красносельский A.M., Рачинский Д. И. О языках Арнольда в задаче о периодических траекториях больших амплитуд. // Доклады АН. 2006, Т. 411, № 3, С. 1−7.
  24. A.M. Системы с периодическими нелинейностя-ми. // Доклады Академии наук, 2011, Т.438, № 2, С. 176−180.
  25. М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 332 с.
  26. М.А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 456 с.
  27. М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.
  28. М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений. // ДАН России. 1995, Т. 365, № 2, С. 162−164.
  29. Н. М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
  30. С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.
  31. П. Теория матриц. М.: Наука, 1983, 328 с.
  32. A.M. Общая задача устойчивости движения. M.-JI.: Изд-во АН СССР, 1956, С. 7−263.
  33. А. М. Собрание сочинений. M.-JL: Гостехиздат, 1956, Т.2, 542 с.
  34. Н. А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАНД, 2011, 320 с.
  35. H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, 336 с.
  36. Н. А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных неавтономных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 11, С. 1507−1514.
  37. Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный экспери-мент:Введение в нелинейную динамику. М.:Наука, 1997, 225 с.
  38. Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Наука, 2000, 336 с.
  39. И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956, 491 с.
  40. И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Едиториал УРСС, 2004, 432 с.
  41. Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 362 с.
  42. И. Д., Ю магу лов М. Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. 1993, № 3, С. 101−108.
  43. В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. с.
  44. В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 с.
  45. Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. И.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.
  46. А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.
  47. М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971, 287 с.
  48. К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 400 с.
  49. В.П. Обратимые механические процессы. // Нелинейная динамика. М.:Физматлит, 2001, С. 131−146.
  50. В.Н. Периодические движения обратимой механической системы второго порядка. Приложение к задаче Ситникова // ПММ. 2006, Т. 70, Вып. 5, С. 813−834.
  51. М.Т. Ненулевые периодические решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод малых форм. // Известия вузов. Матем., 2002, № 6, С. 63−68.
  52. Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. М.: Наука, 1970, 800 с. — М.: Л.: Гостех-издат, 1937.
  53. ., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985, 280 с.
  54. Дж. Теория функционально-дифференциальных урпане-ний. М.: Мир, 1984, 421 с. М.- Л.: Гостехиздат, 1937.
  55. Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Мир, 2004, 1964 с.
  56. Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955.
  57. Л.П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 416 с.
  58. И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. (Асимптотические методы и критерий устойчивости и неустойчивости решения.) Киев: Изд. АН УССР, 1960.
  59. М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах. // Доклады Академии наук. 2009, Т. 424, № 2, С. 177−180.
  60. В.А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972, 720 с.
  61. Burton Т. A. Linear differential equations with periodic coefficients// Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, № 2, p. 327−329.
  62. Dancer E. N. Bifurcation theory in Real Banach Space. // Proc. London Math. Soc., 3, № 23, 1971, p. 699−734.
  63. Guckenheimer J. and Worfolk P. Dinamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic orbits of Vector Fields. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc., 1993, p. 241−278.
  64. Hale J. K. Non linear oscillations. New York, McGraw Hill, 1963.
  65. Hale J. KKogak H. Dynamics and Bifurcations. // Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York etc. 1991.
  66. Kozyakin V.S. and Krasnoselskii M.A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem, Nonlinear Analysis, 11, Vol. 2, 1987, P. 149−161.
  67. Krasnosel’skii A. M., Mawhin J. Periodic solutions of equations with oscillating nonlinearities. // Mathematical and Computer Modelling, 32, 2000, p. 1445−1455.
  68. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer, 1998.
  69. Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. Synchronization of forced quasi-periodic coupled oscillators.// Preprint nlin, 2011, p. 5382.
  70. Mettin R., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation structure of the driven Van der Pol oscillator. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1993, Vol. 3, № 6, P. 1529.
  71. Mitropolskiy Yury. A., Valeriy Hr. Samoylenko Onasymptotic solutions to delay differential equation with slowly varing coefficients'. // Nonlinear Analysis, 52, 2003, P. 971−988.
  72. Noris J. The dousing of Arnold tongues for periodically forced limit cycle. // Nonlinearity, 1993, Vol. 6, P. 1093.
  73. Shilnikov L.P., Turaev D. V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics// World Scientific Series on «Nonlinear Science», series A, vol.5, (Part 1+Part2), 2001, 957 p.
  74. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. // Applied Mathematical Sciences, V. 41, SpringerVerlag, 1982.
  75. Vance W., Ross J. A detailed study of forced chemical oscillator: Arnold tongues and bifurcation sets. // Chem. Phys, 1989, Vol. 92, № 12, P. 7654.
  76. Ye Zhi-yong, Han Maoan J. Periodic orbits and invariant tori from a semistable limit cycle in the fast dynamics. Shanghai Jiaotong Univ. Sci, 2006. 11, № 1, P. 107−112.
  77. Yumagulov M. G. Operator approach for the studi of periodic solutions to Lienard equation. // Adv. in Math. Sci. AppL, Gakkotosho, Tokyo, 1997, Vol. 7, № 2, P. 569−578.
  78. А. А., Ибрагимова JI. С., Муртазина С. А., Юмагу-лов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. // Уфимский математический журнал, Уфа, 2010, Т 2, № 4, С. 3 26.
  79. А. А. Муртазина С.А. Приближенное исследование бифуркации малых решений операторных уравнений. // Новые программные средства для предприятий Урала: сборник научных трудов, Магнитогорск, 2006, Вып. 5, С. 100 102.
  80. . С. А. Метод малого параметра в задачах приближенного построения малых автоколебаний. //Новые программные средства для предприятий Урала: сборник трудов региональной научно-технической конференции. Магнитогорск, 2004, Вып. 3, С. 199 201.
  81. С.А. Признаки бифуркации вынужденных колебаний в двупараметрических системах. // Уральский регион РБ: человек, природа, общество: материалы региональной научно-практической конференции, Сибай, 2009, С. 365 369.
  82. Мурт.азина С. А. Бифуркация субгармонических колебаний в многопараметрических динамических системах. // Дифференциальные уравнения и их приложения: труды Всероссийской научной конференции с международным участием, Стерлитамак, 2011, С. 113−115.
  83. . М.Г., Муртазина С. А. Коразмерность бифуркации векторных полей. //Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008, С. 102 109.
  84. . М.Г., Муртазина С. А. Бифуркация вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления. // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды международной научной конференции, Стерлитамак, 2008, Т. З, С. 51 55.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!