Математические методы и модели прогнозирования нестационарных систем

Актуальность работы.

Диссертация посвящена математическим методам и моделям прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений, имеющих важное социально-экономическое значение.

Прогноз (от греч. Ttpoyvcoau- — предвидение, предсказание) — наиболее важная и востребованная, но при этом и наиболее трудная научная проблема в исследовании социально-экономических систем. Точный и надёжный прогноз позволяет осуществить эффективное планирование, что особенно актуально в непростой период экономической депрессии. В то же время, типичные социально-экономические системы обладают рядом свойств («эмпирических эффектов»), затрудняющих даже краткосрочный прогноз их поведения. К таким свойствам относятся тяжёлые хвосты распределений и сложная, существенно нелинейная динамика.

Поведение функции распределения случайных величин в области хвостовых значений (экстремальных событий) характеризует индекс экстремальных величин 7 [1, 2]. На практике исследование экстремальных событий принципиально осложнено тем, что накопленная по ним статистика либо отсутствует, либо крайне невелика. Существующие методы оценки экстремального индекса (метод Хилла, метод блок-максимумов, пороговый метод) обладают тем недостатком, что в расчётах используется лишь малая часть исходной выборки. Как следствие, получаемая оценка экстремального индекса оказывается неэффективной, а прогноз потенциального ущерба от воздействия экстремальных событий — неточным. Поэтому актуальной является научная задача разработки нового математического метода оценивания экстремального индекса, позволившего бы получать более точные и эффективные оценки благодаря использованию всего доступного массива исходных данных.

Исследования показателей различных сложных систем, в том числе финансовых рынков с высокой волатильностью, обнаружили наличие нелинейных статистических связей между их экстремальными значениями [3]. Известные методы анализа совместных распределений, опирающиеся на гипотезы о независимости или нормальности, позволяют описать в лучшем случае корреляционные связи линейного типа, тогда как актуальной является задача анализа нелинейных хвостовых зависимостей [1, 4]. Отсутствие учёта нелинейных хвостовых зависимостей приводит к существенной недооценке потенциального ущерба от совместного воздействия экстремальных событий. Поэтому существует необходимость в разработке новых математических методов оценки показателей хвостовых зависимостей.

Сложный характер динамики исследуемых систем может проявляться в наличии автокорреляции, сезонности, возникновении нелинейных эмпирических эффектов кластеризации волатильности, изменчивости формы распределений в зависимости от масштаба времени. При этом часто математические модели и методы, традиционно используемые для описания нестационарных стохастических процессов, являются неэффективными или вовсе неадекватными. Так, приведённая в ГОСТ методика прогнозирования лесопожарных ситуаций [5] фактически не учитывает недетерминированный характер явления, в результате чего получаемый по ней прогноз уровня пожарной опасности обладает низким уровнем статистической связи с действительными значениями количества очагов возгорания. Поэтому важной практической задачей является разработка новой математической модели стохастического процесса лесопожарных ситуаций, позволившей бы получать статистически значимый прогноз уровня пожарной опасности.

Примером стохастического процесса, обладающего существенно нелинейной динамикой, является поведение показателей курсовой стоимости акций на российском фондовом рынке. Традиционным подходом к описанию поведения финансовых показателей является использование эконометрических моделей авторегрессионного типа: AR, ARMA [6], GARCH [7]. Однако эти модели фактически являются линейными и не позволяют объяснить, например, феномен каскадной структуры эмпирических распределений. Поэтому актуальной научной проблемой является разработка новых математических моделей и методов прогноза поведения финансовых показателей, позволивших бы учесть эмпирические эффекты кластеризации волатильности и каскадной структуры наблюдаемых распределений.

На основании изложенных выше научных проблем сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы.

Разработка математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, обладающих следующими эмпирическими свойствами: феномен тяжелохвостых распределений, нелинейный характер хвостовых статистических зависимостей, изменчивость формы распределений в зависимости от масштаба времени и сезонных факторов.

Задачи диссертационной работы.

1. Разработка математического метода оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса);

2. Разработка математического метода оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Разработка математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке;

4. Разработка математической модели и метода прогноза стохастического процесса развития лесопожарных ситуаций.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Метод оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса) по значениям выборки ограниченного объёма;

2. Метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Математическая модель и метод прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке с использованием уравнения Фоккера—Планка с нелинейным коэффициентом диффузии;

4. Математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью и метод прогноза развития лесопожарных ситуаций.

Научная новизна.

1. Предложен новый метод оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которого является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами Хилла, блок-максимумов и порогов;

2. Разработан новый параметрический метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин, обеспечивающий одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами;

3. Отличительной особенностью предложенной математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей с использованием уравнения Фоккера—Планка является инвариантность по отношению к масштабу времени;

4. Впервые для описания и прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью.

Практическая значимость.

Разработанные математические модели и методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1. Прогноз потенциального экономического ущерба от воздействия экстремальных событий (с использованием значений показателей риска Value-at-Risk, Expected Shortfall);

2. Прогноз величины и структуры потенциальных убытков страховой компании, расчёт оптимального размера и структуры рискового капитала;

3. Количественный анализ риска инвестиций в акции и портфели акций на российском фондовом рынке в периоды высокой волатильности финансовых показателей;

4. Получение статистически значимого прогноза (оценок ожидаемого значения и границ доверительных интервалов) количества очагов возгорания.

Апробация работы.

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Кафедры Прикладной Математики проф. Л. А. Уваровой (МГТУ «Станкин», 2003;2005 гг.), на Международной конференции’студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2005, 2006 гг.), на XIII-XVI Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2007, 2009 гг.- Дубна, 2006,.

2008 гг.), VI Международном Конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), Международной Научной Школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (С.-Петербург, 2005 г.), Международном семинаре «Extreme Events in Complex Dynamics» (Дрезден, Германия, 2006 г.), XLV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2009 г.).

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах, из них 2 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [8, 9], 7 статей в сборниках трудов конференций и 14 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объём диссертации составляет 109 страниц. Диссертация содержит 20 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 55 наименований.

Выводы к главе 4.

Впервые для прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью. Разработан программный пакет marls для среды статистических вычислений R, предоставляющий процедуры для подбора параметров модели по исходным данным, составления/разложения процесса на компоненты, моделирования и прогноза будущих значений процесса.

Заключение

.

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений.

2. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которых является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами.

3. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин. Метод обеспечивает одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами.

4. Предложена математическая модель и метод прогнозирования поведения финансовых показателей с использованием стохастического уравнения Фоккера—Планка. Разработан вычислительный алгоритм подбора параметров модели по исходным данным. Отличительной особенностью метода является инвариантность по отношению к масштабу времени.

5. Впервые для прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью. Разработан программный пакет marls для среды статистических вычислений R, предоставляющий процедуры для подбора параметров модели по исходным данным, составления/разложения процесса на компоненты, моделирования и прогноза будущих значений процесса.

6. Проведены численные эксперименты по прогнозу и моделированию различных нестационарных систем, как на искусственно сгенерированных выборках, так и с использованием реальных данных. Верификация результатов расчётов показала, что разработанные математические модели, методы и комплекс программ позволяют строить статистически состоятельный прогноз поведения рассмотренных систем. Быстродействие разработанного комплекса программ достаточно для практических применений.