Об асимптотике и оценках скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля с малым параметром для ньютоновских и неньютоновских жидкостей

1 Описание проблемы и обзор литературы.

Теория пограничного слоя впервые был предложен Людвигом Прандт-лем в 1904 году в его докладе [60] как модель, описывающая движение вязкой жидкости вблизи твердого тела. Прандтль указывал, что при некоторых условиях течение жидкости в окрестности обтекаемого тела можно разделить на две области — сравнительно тонкий слой вблизи тела (собственно пограничный слой), где силы вязкого трения играют существенную роль, и область вне этого слоя, где силами трения можно пренебречь (внешний поток). Из-за прилипания жидкости к поверхности тела, скорость потока в пограничном слое резко меняется, возрастая от нуля на поверхности обтекаемого тела до скорости внешнего потока на границе погранслоя. Прандтлем были выведены уравнения, определяющие движение жидкости в пограничном слоетак называемая система уравнений Прандтля. Для случая плоскопараллельного движения несжимаемой ньютоновской жидкости вдоль пластины, расположенной в плоскости у = 0, данная система имеет вид щ + иих + vuy = ииуу + Ut + UUX Ux + vy = 0.

Здесь (it, v) — вектор скорости жидкости в данной точке, U — продольная составляющая внешнего потока жидкости, предполагаемая известной величиной.

Эксперименты показывают, что гипотеза Прандтля справедлива при достаточно больших значениях числа Рейнольдса Re = v~lU$X: а именно, при малой вязкости, большой характерной скорости внешнего потока или больших линейных размерах тела. В этом случае систему Прандтля можно рассматривать как приближение системы уравнений Навье-Стокса (см., например, [47]). Поскольку уравнения Прандтля проще, нежели уравнения Навье-Стокса, и вместе с тем хорошо отвечают экспериментальным данным, теория пограничного слоя заняла одно из центральных мест в гидродинамике.

Данной проблематике посвящена обширная литература, содержащая результаты теоретических и экспериментальных исследований. Из монографий упомянем прежде всего работы Шлихтинга [39], Лойцян-ского [13], Шетца [62]- математическим аспектам теории пограничного слоя посвящен классический труд Олейник и Самохина [17].

Известны различные модификации теории пограничного слоя. Отметим прежде всего магнито-гидродинамический пограничный слой (см. [3], [29]), возникающий при движении проводящей среды в присутствии магнитного поля (примерами таких сред являются плазма, расплавы металлов, различные электролиты.) Успешно зарекомендовал себя пограничный слой в теории теплои массопереноса (см., например, [57], [35], [36]), в гидродинамике реагирующих сред (см. [38]).

Одна из основных прикладных задач, связанных с интересующей нас тематикой — это проблема управления пограничным слоем. Состоит она в следующем: требуется ослабить или предотвратить срыв потока с обтекаемой поверхности с целью уменьшения сопротивления среды. Это возможно, например, путем вдува-отсоса жидкости в пограничный слой, либо, для электропроводных сред, путем создания достаточно мощного магнитного поля. Отметим некоторые недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости (см. например

63], [61], [18], [48], [49]), посвященные различным методам управления обычным и магнитогидродинамическим погранслоем.

Наряду с линейно вязкими жидкостями в теории пограничного слоя активно исследуются так называемые неньютоновы жидкости, или жидкости с нелинейным реологическим законом (см. например, [37], [12]). Одной из моделей нелинейно-вязких жидкостей является модель Оствальда, в которой компоненты тензора напряжений зависят от компонент тензора скоростей деформации степенным образом, а именно: 1.

Tij = —Sijp + к y-emiehnj е^, где &ij = — ^ - компоненты тензора скоростей деформации, рдавление, к — показатель консистенции жидкости, 5ij — символ Кроне-кера.

Для таких жидкостей естественным образом можно ввести понятие пограничного слоя. В этом случае главным членом в уравнении Прандтля будет д.

КГЧ).

При 0 < п < 1 подобная жидкость носит название псевдопластическойк таким жидкостям относятся многие полимеры. При п > 2 среда называется дилатантной. Постановку задач обычной и магнитной гидродинамики и подробное изложение известных результатов можно найти в [17], [29], [25], [26]. Задаче смешанных сред посвящена, например, работа [28]. Пограничный слой для модификации Ладыженской уравнений Навье-Стокса (см. например [8]) рассматривается в работе [30].

Значительный интерес представляют различные задачи усреднения в гидромеханике. Данная область имеет немалую практическую ценность, позволяя изучать свойства микронеоднородных жидкостей (как то: суспензии, взвеси), поведение жидкостей под воздействием быстро меняющихся внешних сил, движение жидкостей в областях с микронеоднородной структурой. Отметим некоторые из результатов, связанные с данной проблематикой.

В работе [33] изучены задачи усреднения уравнений конвекции и нестационарных уравнений Навье-Стокса в поле быстро осциллирующих сил. Усреднение уравнений конвекции с использованием интегральных представлений проведено также в работе [10].

В работе [56] исследована задача для уравнений Навье-Стокса в предположении быстро осциллирующих начальных данных, описываемых функцией V + Описано поведение решения задачи при стремлении е к нулю, в зависимости от свойств функции W.

В работе [45] расматриваются эллиптические системы уравнений с заданными граничными условиями. Системы описывают стационарные уравнения Навье-Стокса или Стокса для несжимаемой вязкой жидкости в области, содержащей большое количество дырок размера е, причем дырки распределены в области периодически с периодом, пропорциональным е. Изучено поведение такой задачи при стремлении г к нулю. Показано, что движение жидкости в этой системе описывается движением некоего сжимаемого потока жидкости. Доказывается теорема о слабой сходимости решения задачи при е —"• 0 к решению усредненной задачи.

В работе [14] изучается задача, относящаяся к описанию движения слабо концентрированной суспензии мелких твердых осесимметриче-ских частиц в вязкой несжимаемой жидкости. Диаметры траектории центров масс и векторы ориентации частиц описываются некоторыми заданными функциями. Считается, что в процессе движения частицы не сталкиваются, при этом они возмущают несущую жидкость. Задача сводится к начально-краевой задаче для системы уравнений Навье-Стокса в меняющейся со временем области, расположенной вне движущихся частиц. Изучено ассимптотическое поведение решений этой начально-краевой задачи, когда число частиц стремится к бесконечности, а диаметры и расстояния между ними стремятся к нулю. Доказано, что множество решений сходится в среднем к множеству решений некоторой усредненной задачи, в которой влияние движения твердых частиц на жидкость учитывается введением в усредненную систему интегрального слагаемого, содержащего функцию распределения частиц.

В работе [24] рассматриваются возмущения, вносимые линейным осциллятором в трехмерный пограничный слой на гладкой пластинке в предположении, что число Рейнольдса стремится стремится к бесконечности. Линеаризованное уравнение взаимодействующшего пограничного слоя разлагается в интегралы Фурье по двум координатам, расположенным на обтекаемой поверхности. При решении задачи численные методы комбинируются с ассимптотическими.

В работе [59] изучена система уравнений Навье-Стокса в области с периодической структурой в предположении, что период стремится к нулю. Строится предельная задача, доказывается сходимось решений.

В работе [51] исследуется зависимость лобового сопротивления от структуры поверхности обтекаемого тела. Ищется численное решение уравнений Навье-Стокса в предположении, что на поверхности тела расположены микронеровности, наподобие шипообразной чешуи акулы. Для упрощения вычислений применяется метод усреднения, найдено приближенное численное решение задачи. Поиску оптимальной формы «чешуек» посвящена работа [50]. Задача сводится к уравнениям пограничного слоя в малой части начальной области. В предположении, что структура поверхности описывается гладкими функциями, численное решается задача о минимизации лобового сопротивления. Показана близость решений усредненной задачи в пограничном слое и усредненной задачи во всей области.

В работе [41] рассмотрена задача гидродинамики теплового потока. Предполагается, что жидкость, описываемая уравнениями Стокса-Буссинеска, представляет собой суспензию сферических частиц, распределенных с периодом е. Выполняется процедура усреднения для случая, когда радиус сфер порядка е3, что является критическим размером перфораций для системы Навье-Стокса, и когда отношение теплопроводности жидкой/твердой составляющих порядка ?6. Построена предельная задача, доказана теорема усреднения.

В работе [31] изучена задача об асимптотическом поведении решений нестационарной линеаризованной системы уравнений гидродинамики с малым коэффициентом вязкости и быстроосциллирующими по пространственным переменным данными. Получены погранслой-ные слагаемые, построена предельная система уравнений и задачи на ячейках, решения которых определяют приближенные асимптотики решений рассматриваемой системы. Доказаны оценки точности таких приближений. Вид полученных асимптотик существенно зависит от взаимного асимптотического поведения коэффициента вязкости и параметра периодичности, характеризующего быстрые осцилляции данных. При очень малой вязкости такие асимптотики могут содержать быстроосциллирующие слагаемые, растущие линейно по временной переменной. Аналогичные утверждения доказаны для нестационарной системы уравнений Стокса и частично для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса.

В работе [52] рассмотрена задача о течении ламинарного потока жидкости над пористой поверхностью. Размеры пор считались величиной порядка е. Была построена усредненная задача со специальными граничными условиями, получена оценка ошибки приближения, зависящая от е.

В работе [53] рассмотрена задача о течении вязкой жидкости в канале с неровной границей. В предположении, что неровности стремятся к нулю, построена предельная задача, получены оценки для силы лобового сопротивления жидкости.

Задача усреднения для течения малосжимаемой жидкости сквозь пористую среду рассмотрена в работе [40]. В [42] рассмотрена аналогичная задача для пористой среды, состоящей из материалов двух типов. Предполагается, что отношение проницаемостей материалов есть величина порядка I2, где I — характерный масштаб неоднородности. Распределение материалов и пор предполагается случайным. Строится усредненная задача, доказывается двухмасштабная сходимость решений в среднем.

Уравнение Стокса в случайной пористой среде рассмотрено в работе [1]. Вместо однородного условия Дирихле на границах мелких и многочисленных пор в уравнения добавлен член с положительным быет-роосциллирующим потенциалом, что соответствует частичной проницаемости твердого скелета пористой среды.

Нелинейное нестационарное уравнение конвекции-диффузии рассматривалось в работе [55]. Предполагалось, что коэффициенты уравнения быстро осциллируют, а конвекционный член достаточно велик.

Неоднократно рассматривались различные задачи усреднения в пограничном слое. Задача о пограничном слое в случае быстро осциллирующего внешнего потока рассмотрена в работе [54]. В работе [7] искалось приближенное решение задачи о пограничном слое с отводом движущейся среды через дискретную систему отверстий. При этом ступенчатая функция отвода жидкости заменялась частичной суммой ее ряда Фурье. В работе [4] рассматривалась задача о пограничном слое с интенсивным вдувом.

В работе [27] изучена задача о продолжении пограничного слоя ньютоновской жидкости в условиях интенсивного вдува-отсоса на обтекаемой поверхности, предполагается, что соответствующая функция имеет вид и (§-). В предположении о гладкости и периодичности v построена предельная задача', доказана теорема усреднения.

В [17, § 10.2] рассмотрена задача магнитной гидродинамики о продолжении пограничного слоя ньютоновой жидкости в предположении, что внешнее магнитное поле задается функцией s (x, Построена предельная задача, доказана сильная сходимость решений при е —" О в непрерывной норме и слабая сходимость в пространстве Соболева однако оценки скорости сходимости получены не были. Обобщение данной задачи на случай многомасштабной осцилляции магнитного поля проведено в работе [19]. Уравнения пограничного слоя в областях с осциллирующей границей рассматривались в [20], [21].

Отметим также некоторые известные результаты об усреднении параболических уравнений.

Обоснование задачи усреднения для абстрактного параболического уравнения вида xt = A (x) + f (x, ujt) где, А — линейный оператор, си стремится к бесконечности, отображение / подчинено А, дано в работе [32].

В работе [34] предложен метод нахождения решения усредненной задачи для абстрактного параболического уравнения решение при помощи последовательных приближений. Приближения отыскиваются путем решения линейных абстрактных параболических уравнений с линейным оператором, не содержащим параметра со и единым для всех приближений, и с правыми частями, содержащими предыдущие приближения. Доказывается теорема об их сходимости в специальной норме, получена зависимость скорости сходимости данных приближений в зависимости от частоты.

Случай нестационарного параболического оператора с быстро осциллирующими коэффициентами и с большим параметром при членах малого порядка рассматривался в работе [46]. Предполагалось, что осцилляция происходит как по пространственной, так и по временной переменным, причем периоды осцилляций предполагались пропорциональными e~l и е~2 соответственно. Получено представление решения через решение усредненной задачи и решение спектральной задачи на ячейке периодичности.

Ассимптотическое разложение решения вырождающегося параболического уравнения с малым параметром получено в работе [6].

Случай параболических операторов с почти-периодическими коэффициентами рассмотрен в [5].

Усреднению случайного параболического уравнения посвящена работа [58]. Предполагалось, что коэффициенты уравнения зависят от некоего диффузионного процесса, являющегося решением стохастического дифференциального уравнения. Случай случайного параболического уравнения с большим параметром при младших членах рассмотрен в работе [43].

В работе [11] изучен случай абстрактных параболических уравнений с линейной стационарной главной частью и подчиненным ей нелинейностью, в которую входят быстроосциллирующие во времени с нулевым средним слагаемые, пропорциональные корню квадратному из частоты осцилляций. Обоснован метод усреднения. Для линейных уравнений того же типа обоснован один алгоритм исследования устойчивости решений, когда стационарная усредненная задача имеет собственные значения, лежащие на мнимой оси.

В работе [44] исследовались параболические уравнения в перфорированных областях с быстро пульсирующей по времени периодической перфорацией в предположении, что период? стремится к нулю. Были доказаны оценки решений в весовых нормах, построены главные члены формального ассимптотического разложения по е. Доказана зависимость вида усредненной задачи от геометрии отверстий.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи о пограничном слое линейно вязкой либо псевдопластической жидкости в присутствии быстро меняющегося магнитного поля и при условии интенсивного вдува-отсоса на границе. Предполагается, что амплитуда изменения магнитного поля (равно как и функции вдува-отсоса) ограничена, частота же является большим параметром. Строится усредненная задача, доказывается сильная сходимость решений в специальных нормах и оценивается скорость сходимости.

Для оценки скорости сходимости строится вспомогательная линейная задача параболического типа, вырождающаяся на границе. Доказывается ее разрешимость и ограниченность решения в некотором анизотропном весовом классе.

2 Структура работы.

Диссертация занимает 90 страниц текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, который содержит 63 наименования. Нумерация формул, теорем, лемм и т. п. тройная: номер главы, номер параграфа и собственный номернапример, Теорема 3.1.2 — теорема 2 первого параграфа третьей главы. Обозначения в различных главах, как правило, независимы.

1. Беляев А. Ю., Эфендиев Я. Р. Усреднение системы уравнений Стокса со случайным потенциалом // Матем. заметки, 1996, т. 59, № 4, с. 504−520.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М: Наука, Физматлит., 1975.

3. Брановер Г. Г, Цинобер А. Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых жидкостей. М: Наука, 1970.

4. Горский В. В., Суржиков С. Т. Применение метода квазилинеаризации к решению уравнений пограничного слоя с интенсивным вдувом// Изв. вузов. Машиностроение, 1978, № 11, с.179−181.

5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение параболических операторов с почти периодическими коэффициентами. // Матем. сб., 1982, т. 117(159), № 1, с. 69−85.

6. Калякин Л. А. Асимптотическое разложение решения вырождающегося параболического уравнения с малым параметром. // УМН, 1983, т.386 № 1(229), с. 169−170.

7. Кулонен Г. А., Кулонен Л. А. Отсос ламинарного пограничного слоя через систему щелей конечной ширины// Прикладная механика, 1978, т. 14, № 9, с. 83−88.

8. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, Физматлит, 1970.

9. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1967.

10. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях// Сиб. матем. журн., 1993, т. 34, № 2, 92−109.

11. Левенштам В. В. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. матем., 2006, т. 70, № 2, 25−56.

12. Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М: Наука, 1982.

13. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Глав. изд. физ.-мат. лит., 1962.

14. Львов В. А. Сходимость решений начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса в области с подвижной мелкозернистой границей. // Доклады АН УССР, 1987, А, № 7, 21−24.

15. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. Физматлит, 1977.

16. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородный упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

17. Олейник О. А., Самохин В. Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997.

18. Пенязьков О. Г., Храмцов П. П., Черник М. Ю., Шатан И. Н., Ших И. А. Влияние плазмы высокочастотного барьерного разряда на структуру динамического пограничного слоя на плоской поверхности // Инж.-физ. журнал, 2008, Т. 81, № 1, с. 55−61.

19. Романов М. С. Усреднение задач со многими масштабами в магнитной гидродинамике. // Проблемы мат. анализа, №.35, 2007, с. 133−138.

20. Романов М. С., Г. А. Чечкин. О системе уравнений прандтля в областях с оциллирующей границей // Материалы международной конференции «Тихонов и современная математика Москва, 2006, с 219−220.

21. Романов М. С. Пограничный слой гофрированной пластины // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007, с. 257−258.

22. Романов М. С. О скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля, зависящих от малого параметра // материалы конференции «Современные проблемы математики, механики их приложений с. 196, Москва, 2009.

23. Романов М. С., Самохин В. Н., Чечкин Г. А. О скорости сходимости решений уравнений Прандтля в быстро осциллирующем магнитном поле. // Доклады АН, 2009, том 426, № 4, с. 450−456.

24. Рыжов О. С., Савенков И. В. Пространственные возмущения, вносимые гармоническим осциллятором в пограничный слой на пластинке. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1988, т. 28, № 4, 591 602.

25. Самохин В. Н. О нестационарной системе уравнений МГД-пограничного слоя псевдопластической жидкости / / Маг-нит.гидродинамика, 1985, № 1, с. 130−132.

26. Самохин В. Н. О системе уравнений пограничного слоя проводящей псевдопластической жидкости в магнитном поле // Гидродинамика, 1988, вып. 58, с. 31−33.

27. Самохин В. Н. Усреднение системы уравнений Прандтля // Диф-ференц. уравнения, 1990, том 26, № 3, с. 495−501.

28. Самохин В. Н. О системе уравнений ламинарного пограничного слоя при вдуве неньютоновской жидкости // Сиб. матем. журн., 1993, т.34, Ш, с. 157−168.

29. Самохин В. Н. Математические вопросы магнитной гидродинамики неныотоновских сред. М.: Изд-во МГУП, 2004.

30. Самохин В. Н., Фадеева Г., Чечкин Г. А. Модификация О.А. Ладыженской уравнений Навье-Стокса и теория пограничного слоя. // Вестник МГУП, 2009, № 5, с. 127−143.

31. Сандраков Г. В. Влияние вязкости на осцилляции в некоторых линеаризованных задачах гидродинамики, j j Изв. РАН. Сер. матем., 2007, т. 71, № 1, с. 101−154.

32. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сб., 1970, т.81(123), № 1, с. 53−61.

33. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем. сб., 1972, т. 87(129), № 2 с. 236−253.

34. Симоненко И. Б. Старшие приближения метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сб., 1973, т. 92(134), № 4(12), с. 541−549.

35. Хуснутдинова Н. В. Тепловой пограничный слой на пластине // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, № 3. С. 605−608.

36. Хуснутдинова Н. В. Теоретический анализ модели теплового пограничного слоя с сопротивлением. // Сиб. матем. журн., 2005, т. 46, № 2, с.449—459.

37. Шулъмап З. П., Берковский Б. М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей. Минск: Наука и техника, 1966.

38. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987.

39. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя (пер с нем.) // М.: Наука, Физматлит., 1974.

40. Arbogast Т., Douglas J. Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal., 21 (1990), pp. 823−836.

41. Bentalha F., Gruais I., Polisevski D. Asymptotics of a thermal flow with highly conductive and radiant suspensions// Applicable Analysis 85 (2006), no. 6−7, pp. 811−830.

42. Bourgeat A., Mikelic A., Piatnitski A. On the double porosity model of single phase flow in random media. // Asymptotic Analysis, 34 (3,4), june 2003 — IOS Press, pp. 311−332.

43. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential // Stochastic Processes and their Applications 93, No. l, 57−85, (2001).

44. Cioranescu, D.- Piatnitski, A. Homogenization in perforated domains with rapidly pulsing perforations. // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 9, 461−484, (2003).

45. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems arising in Fluid Mechanics // J. math, pures et appl., 1985, v. 64, № 1, pp. 31−75.

46. Fife P.C. Toward the validity of Prandtl’s approximation in a boundary layer // Arch.Rat.Mech.Anal., 1965, v. 18, No 1, pp. 113.

47. Font G. I. Boundary Layer Control with Atmospheric Plasma Discharges // AIAA Paper 2004;3574.

48. Font G. I., Morgan W.L. Plasma Discharges in Atmospheric Pressure Oxygen for Boundary Layer Separation Control // AIAA Paper 2005;4632.

49. Friedmann E. The optimal shape of riblets in the viscous sublayer // J. of Math. Fluid Mech., DOI 10.1007/s00021−008−0284-z, 2008.

50. Jager W., Mikelic A., Neuss N. Asymptotic Analysis of the Laminar Viscous Flow Over a Porous Bed // SIAM Journal on Scientific Computing, 2000, v.22, № 6, pp 2006 2028.

51. Jager W., Mikelic A. On the roughness-induced effectiv boundary conditions for an incompressible viscous flow // J. Diff. Equations, 2001, v.170, pp 96−122.

52. Lin C.C. Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating external flow// Proc. 9-th Intern. Congr. Appl. Mech. Brussels. V.4 Brussels, 1957, pp. 155−167.

53. Marusic-Paloka, E.- Piatnitski, A. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscillating coefficients and strong convection // Journal of London Math. Soc. 72, No. 2, 391−409 (2005).

54. McLaughlin D., Papanicolaou G., Pironneau O. Nonlinear Evolution Equation with Rapidly Oscillating Initial Data // Lecture Notes in Physics, Vol. 154, 1982, pp. 177−182.

55. Pantakar S.V., Spolding D.B. Heat and Mass Transfer in Boundary Layers. Morgan-Grampian, London, 1967.

56. Pardoux, E.- Piatnitski A. Homogenization of a nonlinear random parabolic partial differential equation // Stochastic Processes and their Applications, 104, No. 1, 1−27, (2003).

57. Polisevski D. Homogenization of Navier-Stokes model: the dependance upon parameters// ZAMP, 1989, v40, no 3, pp 387−394.

58. Prandtl L. Uber Fltissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandl. d. III. Intern. Math.-Kongr. Heidelberg, 190 490.

59. Roth J.R., Sherman D.M., Wilkinson S.P. Boundary Layer Flow Control with a one Atmosphere Uniform Glow Discharge Surface Plasma // Proceed, of 36th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 12−15, 1998, AIAA paper 98−0328.

60. Schetz J.A. Boundary Layer Analysis. Prentice-Hall, Inc. 1993.

61. Weier Т., Fey U., Gerbeth G., Mutschke G., Lielausis 0., Platacis E. Boundary layer control by means of wall parallel Lorentz forces // Magnetohydrodynamics 2001, v.37, No. ½, pp. 177−186.