Площади многоугольников

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

1.1 Вычисление площадей в древности

1.2 Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»

1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади

1.2.2 Понятие о многоугольнике

1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

1.3 Различные формулы площадей многоугольников

1.4 Вывод формул площадей многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

1.4.2 Площадь прямоугольника

1.4.3 Площадь трапеции

1.4.4 Площадь четырёхугольника

1.4.5 Универсальная формула

1.4.6 Площадь n-угольника

1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

1.4.8 Формула Пика

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

1.6 Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

1.7 Отношение площадей подобных треугольников

1.8 Фигуры с наибольшей площадью

1.8.1 Трапеция или прямоугольник

1.8.2 Замечательное свойство квадрата

1.8.3 Участки другой формы

1.8.4 Треугольник с наибольшей площадью

Глава 2. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах

2.1 Тематическое планирование и особенности преподавания в классах с углубленным изучением математики

2.2 Методика проведения уроков

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы

Заключение

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой — выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе — непосредственно уже методические особенности изучения площадей.

Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

1.1 Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 — 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т. п. Для вычисления площади четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула

(1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Рис. 1.1

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором, египтяне пользовались приближенной формулой:

(1.2)

Рис. 1.2

Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и) к основанию высоты из. Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции — произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток — с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков — энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: «Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 — останется 8, затем 14 — останется 7 и, наконец, 15 — останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз — получится 1176, а это еще 6 раз — получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

В своем наиболее важном геометрическом произведении «Метрика» Герон излагает доказательство примененной выше формулы:

где _ стороны, _ полупериметр треугольника.

Эта формула носит название «формулы Герона». На самом деле она была установлена еще в 3 в. до н. э. величайшим математиком древности Архимедом.

Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.

1.2 Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника»

1.2.1 Понятие о площади. Свойства площади

Обычно говорят, что площадь фигуры есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь. Легко понять, что прямоугольник со сторонами 3 и 5 см «составляется» из 15 квадратных сантиметров (его легко разрезать на 15 квадратов со стороной 1 см; рис. 1.3,а)

Но сколько подобных квадратов нужно, чтобы «составить» круг радиуса 2 см (рис. 1.3, б), совершенно неясно.

Строгое математическое определение площади можно получить с помощью палетки — прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной, равной 1. Если фигура полностью помещается в фигуре, составленной, например, из81 квадрата палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов (рис. 1.4), то .

Рис. 1.4

Для большей точности измерения можно каждый квадрат палетки разбить на сто квадратов (стороны которых в 10 раз меньше, чем у квадратов первой палетки, а площадь равна 1/100). Новая, более мелкая палетка даст и более тесные границы, в которых заключена площадь фигуры, скажем,. Если каждый квадрат второй палетки снова разбить на 100 квадратов, точность измерения ещё увеличится — например, получатся границы. Так, используя набор палеток со всё более мелкой сеткой, мы будем приближаться к пределу — площади фигуры .

Но здесь есть одна тонкость. Вначале мы получили отрезок, где, , в котором содержится искомое число. Затем этот отрезок уменьшили до, где,. Потом уменьшили ещё — до, где, , и т. д. Но пересечение системы вложенных отрезков

числовой прямой есть либо одна точка (в том случае, когда имеется только одно число, принадлежащее все рассматриваемым отрезкам (рис. 1.5), фигуру называют квадрируемой (по Жордану), а число — площадью фигуры .

Рис. 1.5

Второй случай, когда пересечение всех отрезков представляет собой отрезок, а не одну точку, на первый взгляд кажется просто невозможным. Ведь всякая фигура имеет какую-нибудь площадь S(F). Число S(F) и должно быть единственной общей точкой рассматриваемых отрезков. Но на самом деле это не так. Следующий пример подтверждает это.

Возьмём квадрат Q₁ со стороной 1. Выбросим из него крестообразную фигуру площадью, как показано на рис. 1.6.

рис. 1.6

Остаётся фигура Q₂ из четырёх равных квадратов, примыкающих к вершинам Q₁. (Сторона каждого из них составляет). Теперь в каждом из квадратов фигуры Q₂ вновь построим, а затем удалим крестообразную фигуру. Её размер определим из условия, что сумма площадей четырёх таких фигур была равна. Получим фигуру Q₃ из 16 квадратов. Из каждого из них опять выбросим крестообразную фигуру так, чтобы сумма площадей всех 16 таких «крестов» была равна. Получим фигуру Q₄ из 64 квадратов и т. д.

Обозначим через F пересечение всех фигур Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, … Другими словами, F получается, если из квадрата Q₁ выбросить по очереди все «кресты». Общая площадь фигур, выбрасываемых из Q₁, равна. Значит, на долю множества F остаётся площадь. Это кажется невероятным: ясно, что в фигуре F нет ни одного, пусть самого маленького, целого квадратика, и тем не менее она имеет площадь, равную .

Попробуем теперь измерить площадь фигуры F по Жордану (т. е. с помощью палеток). Какую бы мелкую палетку мы не взяли, площадь фигуры, составленной из квадратов палетки и включающей в себя F, равна нулю (поскольку в F нет ни одного целого квадрата. Таким образом, каждый из получающихся отрезков

(а потому и пересечение всех этих отрезков) содержит отрезок, т. е. их пересечение не состоит из одной точки. Значит, фигура F неквадрируема.

Способ измерения площадей с помощью палеток был предложен в XIX веке французским математиком Камилем Жорданом. Другой французский математик — Анри Лебег предложил более общее определение площади. Построенная выше фигура F неквадрируема по Жордану, но имеет площадь (равную), по определению Лебега, или, как говорят, измерима по Лебегу. Если же фигура квадрируема по Жордану, то она обязательно измерима и по Лебегу (и имеет ту же площадь).

А какие плоские фигуры квадрируемы? Прежде всего многоугольники. Для других фигур применяют следующую теорему:

Плоская фигура F (рис. 1.7) в том и только в том случае квадрируема, если для любого положительного числа найдутся два таких многоугольника M и N, что М содержится в F, а N содержит F, и при этом

.

Рис 1.7

Другими словами, квадрируемы фигуры, которые можно сколь угодно точно приблизить многоугольниками. Например, площадь круга находят как предел площади вписанного в него или описанного около него правильного n-угольника при .

Поскольку обе площади имеют общий предел, их разность стремится к нулю, значит, круг — квадрируемая фигура. Вообще, любая плоская выпуклая фигура квадрируема. Квадрируема и криволинейная трапеция под графиком непрерывной функции, заданной на отрезке .

Кроме приведённого выше определения площади с помощью палеток имеется ещё одно, аксиоматическое определение. Прежде чем его сформулировать рассмотрим некоторые свойства площади (будем иметь в виду только площадь по Жордану).

Обозначим через Q множество всех квадрируемых плоских фигур, тогда площадь S(F) есть числовая функция, определённая на данном множестве. Перечислим свойства, которыми она обладает.

А. Неотрицательность. Площадь любой квадрируемой фигуры F неотрицательна:. Не исключается нулевое значение площади, поскольку, например, любой отрезок представляет собой квадрируемую фигуру нулевой площади.

В. Аддитивность. Пусть F₁ и F₂ — две квадрируемые фигуры, у которых нет общих внутренних точек. Обозначим через F объединение этих фигур. Тогда фигура F квадрируема и справедливо равенство. То же имеет место при объединении не двух, а большего числа фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек.

С. Инвариантность. Если две квадрируемые фигуры F₁ и F₂ равны, т. е. одна получается из другой с помощью движения, то площади таких фигур равны:. Иначе говоря, площадь не изменяется при движениях.

D. Нормируемость. При определении площади фигуры задаётся некоторая единица площади — квадрат К, сторона которого равна динице длины: .

Очевидно, что площадь, определяемая с помощью палеток, действительно удовлетворяет свойствам, А и D. Проверить два других свойства сложнее. Например, если фигура F₁ переходит в F₂ при повороте, то эти две фигуры будут по-разному расположены относительно палеток и доказательство равенства их площадей (свойство С) требует некоторых усилий. Тем не менее можно утверждать:

На множестве Q всех квадрируемых фигур существует одна и только одна функция, которая обладает свойствами A, B, C, D.

То есть всякая функция на множестве Q, удовлетворяющая всем четырём свойствам, совпадает с .

Стало быть, свойства A, B, C, D можно принять за аксиомы площади, т. е. определить площадь как функцию на множестве квадрируемых фигур Q, удовлетворяющую данным аксиомам. Это и есть аксиоматическое определение площади. Все остальные её свойства можно вывести из перечисленных аксиом. Например, формулы для вычисления площадей многоугольников вытекают именно из аксиом A, B, C, D точно так же, как формулы площади круга, эллипса и других фигур.

Заметим, что и в геометрии Лобачевского, и в сферической геометрии площадь определяется теми же аксиомами. Однако палетками пользоваться уже не приходится; за эталон площади принимают не квадрат, а иную фигуру — квадратов на плоскости Лобачевского и сфере просто нет. Интересно, что в обеих геометриях площадь многоугольника пропорциональна разности между суммой его углов и суммой углов плоского многоугольника с тем же числом сторон.

1.2.2 Понятие о многоугольнике

Термин «многоугольник» понимается в математике и, в частности, в школьном курсе математики двояко. Во-первых, многоугольник как линия. В этом случае многоугольник — это простая (т. е. без самопересечения) замкнутая ломаная, лежащая в некоторой плоскости. И, во-вторых, многоугольник, как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломанной. Эти две трактовки понятия «многоугольник» могут быть использованы самостоятельно в зависимости от характера рассматриваемой задачи. В логическом плане второе понимание термина «многоугольник2 связано с первой теоремой Жордана. В теореме Жордана речь идёт о многоугольнике как о простой замкнутой ломаной.

Каждый многоугольник разбивает все точки плоскости, содержащей этот многоугольник, не принадлежащие самому многоугольнику, на два класса (множества) следующим образом. Любые две точки, принадлежащие одному классу, можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник. И каковы бы ни были две точки, принадлежащие разным классам, — этого сделать нельзя. Один из классов содержит прямые, не пересекающие многоугольник. Множество точек этого класса называют внешней областью многоугольника. Любая прямая, содержащая точки другого класса, пересекает многоугольник и содержит также точки из внешней области многоугольника. Множество точек этого класса называют внутренней областью многоугольника.

Внутренняя область многоугольника вместе с самим многоугольником образует понятие многоугольника во втором смысле (как части плоскости, ограниченной простой замкнутой ломаной).

1.2.3 Понятие о площади многоугольника. Дескриптивное определение

В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В этом смысле понятие «многоугольник» используется в дальнейшем в изложении школьного курса математики, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

В различных учебниках по геометрии для общеобразовательных учреждений определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше.

Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию, заданную на множестве всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами (аксиомами площади):

1) неотрицательность площади;

2) аддитивность площади;

3) инвариантность площади;

4) нормированность площади.

Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня (): b — есть неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Ведь и в этом случае арифметический корень определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции

и) есть .

Второе следует из строго монотонного возрастания рассматриваемой функции.

Для корректного определения площади многоугольников — функции — требуется доказать, что такая функция существует и единственна.

Определения указанного типа носят название дескриптивных (буквально, описательных, от английского слова descriptive — описательный).

Дескриптивные определения отличаются от определений конструктивных (буквально, построительных, от лат. слова construction — построение).

Примером конструктивного определения является, например, определение степени с натуральным показателем: (если произведение чисел ранее определено).

Поборник ознакомления школьников с понятием дескриптивного определения, видный отечественный математик и педагог Я. С. Дубнов, отмечал, что из уравнения, мы имеем дело с дескриптивным определением этого числа, и что концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоей задачи, вполне доступна пониманию школьника, стоит только фиксировать его внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений. Если этого не делают, то, вероятно, потому, что недооценивают образовательное значение идеи дескриптивного определения, которое одновременно служит инструментом исследования и преддверием к пониманию аксиоматического метода.

Это высказывание более чем сорокалетней давности актуально и сегодня. В школьных учебниках, где фактически программа реализации дескриптивного определения площади многоугольника выполнена полностью (доказаны существование и единственность функции) не только ничего не говорится о специфике дескриптивного определения, но и сам термин «дескриптивное определение» не используется. Здесь проявляется многовековая традиция, состоящая в следующем: практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надёжным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Многим же сам вопрос (об определении площади) покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению.

Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился ещё в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что «площадь» нуждается в специальном определении.

Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться — если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это — основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции, а для вычисления площади основных плоских фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и плоских фигур, составленных из этих основных. Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами.

1.3 Различные формулы площадей многоугольников

Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле (рис. 1.8)

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам

где а — его основание, b — боковая сторона, б — угол между ними, h — высота (рис. 19)

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Площадь многоугольника вычисляется по формулам

где а — одна из сторон треугольника, h — проведённая к ней высота (рис. 1.10, а);

где a, b — стороны треугольника, г — угол между ними (рис 1.10, а);

(формула Герона),

где а, b, с — стороны треугольника, а — полупериметр (рис. 1.10, б);

где р — полупериметр, r — радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.10, в);

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.10, г);

где — сторона треугольника, б — противолежащий ей угол, в,г — два других угла (рис. 1.10, д);

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле

где — сторона правильного треугольника (рис. 1.10, е).

а) б)

в) с)

д) е)

Рис. 1.10

Площадь трапеции вычисляется по формулам

где а и b — основания трапеции, h — высота (рис. 1.11, а);

где MN — средняя линия трапеции, h — её высота (рис. 1.11, б);

где d₁, d₂ — диагонали трапеции, б — угол между ними (рис. 1.11);

где с — боковая сторона трапеции, — перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.11, г).

а) б)

в) г)

Рис. 1.11

Если даны диагонали e и f и угол б между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле

.

В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.12):

.

Рис. 1.12

Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:

где р — полупериметр четырёхугольника.

Рис. 1.13

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты

а описанного (рис. 1.14, б) () — по формуле

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:

.

а) б)

Рис. 1.14

Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле

где R — радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р — периметр прямоугольника.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n-угольник (его форму и размеры), нужно указать 2n — 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величины n — 2 образованных ими углов.

1.4 Вывод формул площадей многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:

.

Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC. Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е.

.

Рис. 1.15

Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):

;; .

Тогда

;

И, следовательно,

; ,

откуда ;

и .

Рис. 1.16

Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.

Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.

Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.

На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а, которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ, а поэтому площади этих треугольников равны.

Рис. 1.17

Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.

Следствие 1?. Пусть дан отрезок АВ. Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S, есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)

Рис. 1. 18

Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.

На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований

.

Из следствия 2 следуют важные частные случаи:

1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.

2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b, делит его на два треугольника, площади которых относятся как a: b.

Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Это следует из того, что (рис. 1.19)

поэтому .

Рис. 1.19

В частности, имеет место следующее утверждение:

Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k² раз больше площади второго.

Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:

(1.3)

где a, b, c — длины сторон треугольника, г — угол, противолежащий стороне с.

Из (1.3) находим .

Значит,

Замечая, что

, ,

где — полупериметр треугольника, получаем:

.

Таким образом, площадь треугольника

.

Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1.20) со сторонами a,b,c.

Рис. 1.20

В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольника АВС:

следовательно, для её определения достаточно вычислить. По теореме Пифагора:

.

Кроме того,

.

Решаем полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, :

(1.4)

Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:

Теперь из первого уравнения системы (1.4) находим :

.

Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.

1.4.2 Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Рассмотрим одно из доказательств этой теоремы, которое в школьном курсе не рассматривается.

Пусть нам дан прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (рис. 1.21). Докажем, что

.

Рис. 1.21

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь этого квадрата .

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями

Из чего имеем:

.

Отсюда получаем:

.

Теорема доказана.

1.4.3 Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перепендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция (), — середина стороны — перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. (рис. 1.22)

Рис. 1.22

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р — точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т. е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

следовательно, .

1.4.4 Площадь четырёхугольника

Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:

где, a, b, c, d — длины сторон, р — полупериметр, д и в — противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b,

CD = c, DA = d; ABC = в, ADC = д (рис. 1.23)

Рис. 1.23

Из в силу теоремы косинусов

Из: .

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

или. (1.5)

Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:

откуда

(1.6)

В равенствах (1.5) и (1.6) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

Выполним равносильные преобразования, получим

что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

.

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180⁰, т. е.

.

Поэтому .

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.

то

, , .

Имеем:

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

.

Доказательство. Так как и в силу следствия 1

то

1.4.5 Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

где — длина нижнего основания, — длина среднего основания, — длина верхнего основания, h — высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 6, а)

для трапеции (рис 6, б)

для треугольника (рис 6, в)

.

а) б)

в)

Рис. 1.24

1.4.6 Площадь n-угольника

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Рис 1.25

Доказательство. Соединив центр О (рис. 1.25) со всеми вершинами описанного многоугольника, разделим его на треугольники, в которых за основания можно взять стороны многоугольника, а за высоты — радиус круга.

Обозначив этот радиус через R, будем иметь:

и т. д.

Следовательно,

где Р — периметр прямоугольника.

Теорема доказана.

Следствие. Площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, т. к. всякий правильный многоугольник можно рассматривать как описанный около круга, у которого радиус есть апофема.

Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить. Но здесь возникает следующий вопрос: почему при различных разбиениях многоугольника на треугольники соответствующие суммы окажутся одинаковыми? Если бы это было доказано, то при условии единственности площади прямоугольника (произведения длин его сторон) тем самым была бы построена единственная функция. Это доказательство состоит из ряда этапов и далеко не просто. Проведение такого доказательства в средней школе вряд ли целесообразно. Однако в классах с углубленным изучением математики после формулировки свойств площади важно сообщить, что функция, обладающая этими свойствами, существует и единственна.

Метод, о котором далее пойдёт речь был впервые применён французским математиком Жераром в 1895 году и усовершенствован Лебегом.

Отыскание функции, удовлетворяющей аксиомам площади, проведём в несколько этапов.

I. Выбираем на плоскости произвольную точку О. Указываем выражение для произвольного выбранного многоугольника F в двух формах. Независимость от фиксированной точки О и проверка выполнения аксиом площади на этом этапе не устанавливаются.

Пусть или их продолжения через соответственно. Сопоставим многоугольнику F число с помощью следующей формулы:

(1.7)

где ставится знак «+», если прилегающая к стороне внутренняя часть многоугольника и точка О находятся в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей, и знак «- «- в противном случае. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.26, при i = 1; 5 будет знак «- «, а при i = 2; 3; 4; 6 — знак «+».

Рис. 1.26

Отметим, что значение не изменится, если какую-либо сторону многоугольника считать остоящей из нескольких непрерывающихся отрезков.

Так, например (рис. 1.26),

,

причём знаки перед выражениями, входящие в формулу (1.7), будут одинаковыми (в данном случае «+»).

Формула (1.7) может быть записана в векторной форме. Обозначим через единичный вектор внешней нормали к стороне. Введём вектор. Точка произвольно фиксирована на прямой, содержащей, обозначим. Покажем, что, где знак выбирается так же, как в формуле (1). (- скалярное произведение векторов и).

Доказательство проведём для двух сторон прямоугольника, у которых произведение входит в формулу (1) с разными знаками. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.27, произведение берётся со знаком «- «, а — со знаком «+».

Рис. 1.27

Итак,

.

Для остальных сторон соотношение доказывается аналогично. Теперь величину можно представить в виде:

. (1.7)

II. Докажем, что величина не зависит от выбора точки О. Возьмём какую-либо точку, вместо точки, сохранив прежними точки, тогда для всех i векторы заменяются векторами. При этом, обозначая, получим (рис. 1.28):

.

Рис. 1.28

Для произвольного многоугольника найдём разность значений функции и, вычисленных по формуле (1') относительно точек О и О'.

Введём вектор и покажем, что. Сумму векторов найдём по правилу многоугольника. Отложим вектор от какой-либо точки, а каждый следующий от конца предыдущего. В итоге получим замкнутую ломанную, образующую многоугольник, равный многоугольнику F (его можно рассматривать как результат параллельного переноса и поворота на прямой угол многоугольника F). Так как ломаная, построенная на векторах, оказалась замкнутой, то

.

Из полученного равенства следует, что

.

Таким образом, величина не зависит от выбора точки О.

III. Покажем, что значения для прямоугольников и треугольников совпадают с известными выражениями их площадей.

Пусть точка О находится в одной из вершин прямоугольника F со сторонами a и b, тогда сумма (1.7) состоит из двух положительных слагаемых и (), следовательно,

В частности, если — квадрат со стороной единичной длины, т. е., то и выполнена аксиома и площади многоугольников (нормированность площади).

Если точку О поместить в вершину А треугольника F, равного треугольнику АВС, то получим обычную формулу площади треугольника

.

IV. Покажем, что удовлетворяет аксиоме площади 2, т. е. инвариантности площади. Пусть многоугольник может быть получен из многоугольника движением. Выберем произвольно точку О для многоугольника F. В качестве точки для многоугольника выберем точку, полученную из О тем же движением плоскости, при котором многоугольники и совмещаются. Тогда, и знаки при и совпадают (), а, значит, (по формуле (1.7)).

V. Докажем, что удовлетворяет аксиомам 3 и 1, т. е. аддитивности и положительности площади.

Возьмём прямоугольник, представляющий собой объединение двух неперекрывающихся многоугольников и (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Общей частью многоугольников и является отрезок АВ.

Используем формулу (1.7'). Вклады отрезка АВ в суммы и взаимно уничтожаются, так как положительные нормали для отрезка АВ, фигур и противоположно направлены. Таким образом, сумма даёт значение для объединения многоугольников и, т. е. удовлетворяет аксиоме 3. Вывод, очевидно, остаётся справедливым и в случае, если многоугольник является объединением любого конечного числа не перекрывающихся многоугольников (в том числе и для треугольников). Отсюда, в частности, следует, что при разбиении произвольного многоугольника на конечное число n попарно не перекрывающихся треугольников сумма для совокупности составляющих треугольников совпадает с для данного многоугольника, независимо от способа его разбиения. Поскольку площадь треугольника положительна, то удовлетворяет аксиоме 1.

Итак, функция, определённая формулами (1.7') и заданная на множестве всех многоугольников, удовлетворяет аксиомам площади.

1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом (1596−1650) и П. Ферма (1601−1665), является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие — система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади многоугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат.

Площадь треугольника

Теорема 1. Если — площадь треугольника

где, и ,

то справедливо равенство

(1.8)

где .

будем называть определителем площади треугольника.

Доказательство. Пусть вершины треугольника расположены в первой координатной четверти. Возможны два случая.

Случай 1. Направление (или, или) расположения вершин треугольника совпадает с направлением движения конца часовой стрелки (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Имеем:

.

Но

Так как фигура — трапеция.

Аналогично находим, что

и .

Выполнив алгебраические преобразования

получим, что:

. (1.9)

В равенстве (1.9) определитель площади, о поэтому перед выражением стоит знак «минус», так как .

Покажем, что. Действительно, здесь

так как

(площадь прямоугольника с основанием и высотой больше суммы площадей прямоугольников с основаниями, и высотами,; (рис. 1.30), откуда

.

Случай 2. Указанные направления в случае 1 противоположны направлению движения конца часовой стрелки (рис. 1.31)

Рис. 1.31

Здесь

.

Но

так как фигура — трапеция, а

и .

получим:

(1.10)

где. Действительно, здесь

Теорема доказана, когда вершины треугольника расположены в первой координатной четверти.

Воспользовавшись понятием модуля, равенства (1.9) и (1.10) можно записать так:

так как

Замечание 1. Мы вывели формулу (1.8), рассматривая простейшее расположение вершин, изображённое на рисунках 1.30 и 1.31; однако формула (1.8) верна при любом расположении вершин .

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1.32.

Рис. 1.32

Здесь

.

Но

где

Поэтому, выполнив несложные геометрические преобразования:

получим снова, что, где

.

Площадь n-угольника

Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым, порядок нумерации вершин считается отрицательным, если вершины нумеруются по направлению движения конца часовой стрелки. Многоугольник, не имеющий самопересечения сторон, будем называть простым. Для простого именно n-угольника справедлива следующая

Теорема 2. Если — площадь простого n-угольника, где, то справедливо равенство

где

будем называть определителем площади простого n-угольника.

Доказательство. Возможны два случая.

Случай 1. n-угольник — выпуклый. Докажем формулу (1.11) методом математической индукции.

Для она уже доказана (теорема 1). Предположим, что она справедлива для n-угольника; докажем, что она остаётся справедливой и для выпуклого (n+1)-угольника.

Добавим к многоугольнику ещё одну вершину (рис. 1.33).

Рис. 1.33

Имеем:

Таким образом, формула справедлива для (n+1)-угольника, и, значит, условия математической индукции выполнены, т. е. формула (1.11) для случая выпуклого n-угольника доказана.

Случай 2. n-угольник — невыпуклый.

В любом невыпуклом n-угольнике можно провести диагональ, лежащую внутри него, и поэтому доказательство случая 2 для невыпуклого n-угольника аналогична доказательству для выпуклого n-угольника.

Замечание 2. Выражения для запоминаются нелегко. Поэтому, для вычисления его значений удобно выписать в столбец координаты первой, второй, третьей, …, n-й и снова первой вершин n-угольника и провести умножение по схеме:

(1.12) (1.13)

Знаки в столбце (1.12) надо расставить так, как указано в схеме (1.13).

Замечание 3. При составлении столбца (1.12) для треугольника можно начать с любой вершины.

Замечание 4. При составлении столбца (1.12) для n-угольника () необходимо соблюдать последовательность выписывания координат вершин n-угольника (с какой вершины начинать обход безразлично). Поэтому вычисление площади n-угольника следует начинать с построения «грубого» чертежа.

1.4.8 Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S — площадь многоугольника, — число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и — число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .

Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги — в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:

где — площадь, r — число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.

Эту формулу называют «формула Пика» — по имени математика, открывшего её в 1899 году.

Простые треугольники

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Проделав это, например, для треугольников, изображённых на рисунке 1.34, можно убедиться, что площадь получается всегда равной «полученному» числу — числу вида, где — целое.

Рис. 1.34

Назовём треугольник простым, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, за исключением вершин. Все простые треугольники на рис. 1.34 имеют площадь. Мы увидим, что это не случайно.

Задача. Три кузнечика (три точки) в начальный момент времени сидят в трёх вершинах одной клетки, а затем начинают «играть в чехарду»: каждый может прыгнуть через одного из двух других, после чего оказывается в симметричной относительно его точке (рис. 1.35, ясно, что после любого числа таких прыжков кузнечики будут попадать в узлы клетчатой бумаги). В каких тройках точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики?

Рис. 1.35

Назовём треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые вначале были в трёх вершинах одной клетки; прыжком будем называть преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в точку, симметричную относительно любой из двух других вершин (эти две вершины остаются на месте).