Методика численного исследования нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта мягких оболочек в плоской и осесимметричной постановках

Современные требования, предъявляемые к конструкциям, заставляют при проектировании их элементов использовать новые виды конструкционных материалов, обладающих дешевизной, простотой изготовления и использования. К таким относятся тканевые, сеточные и пленочные материалы, применение которых обеспечивает эффективную эксплуатацию. Элементы конструкций, изготовленных из этих материалов — это мягкие оболочки (МО).

Благодаря своим отличительным достоинствам: компактности при транспортировке, быстроте развертывания и малому весу, конструкции, изготовленные из мягких оболочек, находят широкое применение в народном хозяйстве. МО используются в качестве пневмоподъемников [9], [17], [33], [70], амортизаторов [15], [58], устройств для крепления грузов при транспортировке [71], [75], контейнеров [76], аварийно-спасательных средств на флоте [1], пневматических плотин [48], [117], защитной надувной подушки водителя и камеры автомобиля [18], [121], перекрытий, тентов, ангаров [34], [48], [81], [84], парашютов, летательных аппаратов, искусственных спутников земли [27], [48], [81], и т. д. Подробно применение мягких оболочек изложено в обзорных работах [27], [29], [48], [71], [76], [81], [84].

Расчет МО является существенно нелинейной задачей. При исследовании квазистатического деформирования МО необходимо учитывать следующие особенности [8], [11], [15], [37]: отсутствие формы в недеформированном состоянии, большие перемещения, большие деформации, нелинейно-упругое поведение материала. Решения при больших упругих деформациях чувствительны к незначительным изменениям физических соотношений. Неспособность МО воспринимать сжимающие напряжения приводит к тому, что в процессе квазистатического нагружения она может состоять из двух различных зон [8]. Первая — растянутая зона, где главные натяжения положительны. Вторая — зона одноосного напряженного состояния, где одно главное натяжение положительно, другое равно нулю. Последнюю зону можно рассматривать как совокупность несвязанных между собой гибких нитей.

Актуальными задачами, в которых необходим учет всех этих особенностей, являются задачи расчета пневматических амортизаторов и устройств для крепления грузов (Рис. 1). Такие конструкции обычно состоят из наполненных газом МО. Их работа [15], [71], как правило, происходит при больших упругих деформациях и состоит из двух этапов. На первом этапе оболочка нагружается до некоторого рабочего состояния, на втором происходит контакт оболочки с конструкцией существенно большей жесткости. В связи с зггим, при решении необходимо рассматривать два типа нелинейных задачнакачивание и контакт. В задаче накачивания, помимо геометрической и физической нелинейностей, возникает необходимость учета возможной конструктивной нелинейности, обусловленной появлением заранее неизвестных складчатых областей. Решение контактной задачи требует использования нелинейного уравнения состояния газа. Здесь так же существует нелинейность, связанная с постановкой граничных условий на заранее неизвестной области контакта [57]. Вследствие малости массы оболочки, скорости накачивания и частоты вибрации грузов, инерционными силами в этих примерах можно пренебречь [15] и рассматривать квазистатическое нагружение.

Рис. 1.

Объектом научного исследования МО стали в 40-х — 50 -х годах 20 века. Изложение развития теории МО содержится в обзорах [2], [27], [35],. Среди многочисленных публикаций по теории мягких оболочек, выделим работы С. А. Алексеева [2−8], Л. И. Балабуха {11−12], В. Л. Бидермана [13−15], Б. Л. Бухи-на [13 -14], [18], А. С. Вольмира [21], Н. А. Галимова [22−25], Г. А. Гениева [26], А. С. Григорьева [30−32], Б. В. Гулина [35−38], Б. И. Друзя [39−41], [66], В. В. Ермолова [48], В. Д. Кулагина [66], В. 3. Магулы [66−70], А. Д. Москаленко [71], [75], В. В. Риделя [36−38], Н. П. Стрекозова [88−90], В. И. Ускжина [11], [92−100], К. Ф. Черныха [102 -104], Н. A. Hart-Smith L. I. [114−116], J. Т. Odert [79], Ф. От-то и Р. Тростеля [81].

Наиболее исследованными являются задачи деформирования некруговых цилиндрических [39 — 41 ], [67], [81] и осесимметричных МО [3], [7], [17], [18], [21], [30], [32], [78], [79], [81], [88−89], [92−94], [96], [98 — 102], [114], [118]. Задачам теории мягких оболочек произвольной формы посвящено относительно немного работ [37], [55−56], [81], [87]. Контактные задачи рассматривались в работах [18], [57]. Обзоры по исследованиям деформирования МО содержатся в работах [20], [52].

Способность мягкой оболочки к большим перемещениям уже при малых нагрузках заставляет четко различать раскройную и конечную формы. В соответствие с этим С. А. Алексеев [2] разделил задачи теории мягких оболочек на три типа. К первому типу относятся задачи, где при известной конечной форме, нагрузках и условиях закрепления определяется ее начальная или раскройная форма, ко второму типу применимы задачи, в которых по данной раскройной форме, нагрузках и условиях закрепления требуется найти конечную форму оболочки и ее НДС. В задачах третьего типа для предварительно напряженного состояния, считаемого известным, определяются изменение формы и НДС оболочки при действии дополнительной системы нагрузок.

В теории мягких оболочек задачи первого типа фактически являются обратными. Этим задачам посвящено небольшое количество работ [101].

В подавляющем же числе работ рассматриваются решения задач второго типа. Среди этих публикаций отметим работы содержащие результаты конкретных исследований [8], [15], [18], [21], [37], [39−42], [55−57], [67], [77 — 79], [81 ], [94], [96] [102], [114] и др.

Для третьего типа задач В. И. Ускжиным разработана техническая теория МО [11], [92], согласно которой НДС разделяется на два состояния — основное и дополнительное. Основное напряженное состояние соответствует простому виду нагружения и в дальнейшем корректируется дополнительным состоянием, найденным из решения линеаризованной системы. Решение задач по технической теории позволяет приближенно учесть нелинейный характер деформирования и получить аналитические решения при умеренных деформациях.

По величине деформации схемы расчета МО делятся на нерастяжимые МО, МО с малыми деформациями, МО с большими деформациями. Каждая схема, в зависимости от поставленных целей исследования задач, вносит в решение определенные упрощения.

Нерастяжимым МО посвящены работы С. А. Алексеева [8], В. Э. Магулы [67], Ф. Отто и Р. Тростеля [81 ]. Изменение их формы происходит только за счет перемещений, при отсутствии деформации. К тому же, вследствие малости толщины, изгибные напряжения играют ничтожно малую роль и нерастяжимая оболочка рассматривается безмоментной. Таким образом, такая схема расчета является простейшей. В ней невозможно учесть свойства материала и внимание, в основном, уделяется формам раскройного и конечного состояний, а так же появлению зон складок.

Исследованию НДС МО в области малых деформаций посвящено наибольшее количество работ. Их можно найти в обзорных статьях [2], [27], [35], [52].

Расчет МО при больших деформациях требует максимально точного учета геометрической, физической и конструктивной нелинейностей. Для этой области деформаций строгая модель МО получена В. И. Ускжиным в работе [95]. Характерной особенностью данной расчетной схемы является то, что в большинстве случаев нелинейные физические соотношения основаны на уравнениях состояний высокоэластичных сжимаемых и несжимаемых гиперупругих материалов. Закон их поведения описывается функцией упругого потенциала (потенциальной энергией деформации). Различные виды упругих потенциалов рассматривались в многочисленных публикациях, среди которых выделим основополагающие работы А. И. Лурье [64], Р. С. Ривлина.

85], К. Ф. Черныха [106], J. T. Oden [79] и др. Обзор таких работ содержится в.

86]. К высокоэластичным материалам относятся натуральные и синтетические каучуки, резины, некоторые виды полимеров, различные материалы биологического происхождения [105]. Их упругие деформации могут достигать 800% - 900%.

Для дискретизации нелинейной модели МО широко используются МКР и МКЭ. Применение МКР рассматривалось в работах Б. В. Гулина [37], В. В. Ри-деля [37], В. И. Усюкина [99], а так же в статьях [16], [111], [118]. Наиболее распространеным численным методом исследования МО является МКЭ. Он использовался в многочисленных публикациях [28], [79], [87], среди которых выделим работы В. Н. Кислоокого и В. К. Цыхановского [55−57]. Авторы использовали МКЭ для исследования задач деформирования и контакта МО различных форм при больших упругих деформациях.

Расчет современных оболочечных элементов конструкций, работающих при больших упругих деформациях, требует максимально точного учета нелинейных геометрических и физических соотношений. Решение таких задач может сопровождаться появлением многозначности решения, изменением определяющих соотношений при нагружении, диссипацией энергии и т. д. Все это приводит к трудностям при аналитическом решении, вследствие чего появляется необходимость использования численных методов.

Сложность метематической модели заставляет использовать при численном расчете итерационные методы, такие как метод сжимающих отображений, метод Ньютона — Рафсона, методы спуска и градиентной минимизации, методы поиска и т. д. Их обзор содержится в работах [79], [80]. Однако, они не всегда позволяют получить желаемый результат. Во — первых, могут существовать решения, при которых итерационный процесс расходится. Вовторых, методы неприемлимы при многозначных решениях. В — третьих, они не учитывают «историю» нагружения.

Для учета этих особенностей, были разработаны схемы решения, при которых для некоторого известного НДС ищется решение при действии дополнительной нагрузки. Если дополнительная нагрузка мала, то математическую модель можно упростить. Значительное упрощение достигается за счет линеаризации основных соотношений. На основе этой идеи разработана теория наложения малой деформации на конечную. Изложение теории содержится в многочисленных публикациях, среди которых выделим работы С. И. Дымникова [44], Л. М. Зубова [53], Э. Э. Лавенделла [47], А. И. Лурье [64−65], А. Е. Green [113], R. S. Rivlin [85], [113]. С использованием теории удается получить хорошие результаты для некоторых нелинейных задач при средних и больших деформациях.

С позиций теории наложения малой деформации на конечную [44], [47], создан метод пошагового нагружения. Он является одним из самых эффективных методов решения нелинейных краевых задач и с его помощью возможно проводить исследования промежуточных состояний, учитывать историю нагружения, определять решения в случае их многозначности и т. д. Последовательное приложение к телу приращений по нагрузке позволяет естественным образом, после решения задачи нагружения, продолжить решение контактной задачи и, таким образом, получить полную картину нелинейного деформирования.

Общее изложение метода дано в работах В. Г. Баженова [10], С. И. Дымникова [43−47], С. А. Капустина [54], Э. Э. Лавенделла [45 — 47], [60], В. В. Петрова [82], С. В. Шешенина [107], К. J. Bathe [108−109], P. G. Bergan [110], М. A. Crisfield [112], J. Т. Oden [79], Е. Riks [119−120], К. Washidzu [19]. Применение к задачам деформирования и устойчивости оболочечных конструкций содержится у С. И. Дымникова [44], Э. Э. Лавенделла [47], В. В. Петрова [82], Р. G. Bergan [110], М. A. Crisfield [112], Е. Riks [119−120]. Использование метода в контактных задачах изложено А. С. Кравчуком [59], К. J. Bathe [108−109].

В развитие идей В. 3. Власова В. В. Петров [82] использовал пошаговый метод для решения нелинейно-упругих задач изгиба и устойчивости пластинок и оболочек. Деформирование конструкции описывалось системой нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях. На шаге нагрузки производилась линеаризация системы. Для численного решения использовался метод Бубнова — Галеркина. Однако, несмотря на полученные хорошие результаты, предложеный подход обладает рядом недостатков. Так, в случае, когда конструкции свойственно изменение вида напряженного состояния при нагружении, приходится менять всю систему нелинейных дифференциальных уравнений и строить заново схему численного решения.

В монографии К. Washidzu [19] приведена инкрементальная вариационная постановка задачи с использованием принципа минимума потенциальной энергии и дано ее применение к МКЭ. При этом рассматриваются два подхода: в первом актуальные параметры выражаются через параметры отсчетного состояния (подход Лагранжа), во втором — через параметры достигнутого состояния (модифицированный подход Лагранжа). Рассматриваемые в работе «мертвые» силы на шаге по нагрузке не всегда позволяют эффективно проводить численное решение нелинейной задачи.

В работах Э. Э. Лавенделла, С. И. Дымникова [43−47], [60] метод пошагового нагружения имеет название дельта-метода. Здесь содержатся инкрементальные постановки нелинейных и линеаризованных задач для несжимаемых и слабосжимаемых материалов, алгоритмы их численного решения, показаны примеры и приведены экспериментальные данные. Однако, используемый в работах дельта-метод имеет ряд недостатков [44]: он оказывается «нечувствительным» к большим поворотам материальных волокон, неприем-лим для некоторых диаграмм нагружения, а область деформаций, где метод дает хорошие результаты, составляет не более 40 — 50%.

Из проведенного анализа литературы следует, что существующие методики инкрементального численного исследования нелинейно-упругих задач не позволяют при больших деформациях эффективно осуществлять решения, определять энергию деформации и работу внешних сил, контролировать выполнение закона сохранения энергии. Как следствие, вопрос построения эффективной методики инкрементального исследования при больших нелинейно-упругих деформациях остается актуальным.

В диссертационной работе представлена методика численного исследования нелинейных задач теории МО для больших упругих деформаций. Она основана на использовании инкрементальных соотношений нелинейной пространственной теории упругости, содержащейся в работах [64], [91], [105]. Это позволяет помимо решения задач теории МО использовать методику для численного исследования других задач. С помощью методики возможно определять энергию деформации и работу внешних сил при больших упругих деформациях.

Целью диссертационной работы является разработка вариационной постановки нелинейно-упругой квазистатической задачи на шаге нагружения при модифицированном подходе Лагранжа, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие «следящей» поверхностной нагрузки. Создание на ее основе эффективной численной методики, алгоритмов и программных средств для исследования в геометрически и физически нелинейно-упругой плоской и осесимметричной постановках квазистатических задач деформирования и контакта МО для больших деформаций.

Защищаемые положения диссертационной работы.

1. Вывод инкрементальных соотношений и варианта вариационной постановки нелинейно-упругой квазистатической задачи на шаге нагружения при модифицированном подходе Лагранжа, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие «следящей» поверхностной нагрузки.

2. Разработка методики пошагового численного исследования нелинейно-упругих квазистатических задач деформирования и контакта МО в плоской и осесимметричной постановках для больших деформаций.

3. Разработка с использованием МКЭ алгоритмов и программных средств решения нелинейно-упругих плоских и осесимметричных квазистатических задач деформирования и контакта мягких оболочек.

4. Решение новых задач нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта МО при больших деформациях.

Научная новизна.

Разработка инкрементальных соотношений и создание на их основе с применением модифицированного подхода Лагранжа, варианта вариационной постановки задачи на шаге, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие «следящей» поверхностной нагрузки. Создание эффективной методики пошагового численного исследования квазистатических задач деформирования и контакта МО в плоской и осесимметричной постановках для больших упругих деформаций с учетом геометрической и физической нелинейностей. Методика позволяет определять энергию деформации, работу внешних сил и осуществлять при численном исследовании контроль выполнения уравнений равновесия и закона сохранения энергии. С использованием методики получены новые результаты при исследовании задач деформирования и контакта мягких оболочек.

Достоверность результатов.

Проверка достоверности результатов, полученных с использованием предлагаемой инкрементальной методики, осуществлялась сравнением с аналитическими решениями, с решениями, полученными другими авторами, контролем сходимости численных решений, контролем выполнения уравнений равновесия и закона сохранения энергии.

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы, программы и полученные новые результаты численного исследования процессов нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта МО могут быть использованы в практике научных, проектных и конструкторских организаций на стадии проектирования и анализа прочности и ресурса.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

— Итоговой научной конференции Нижегородского госуниверситета (Нижний Новгород, 1998 г.);

— XXV и XXVI международных молодежных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г., 2000 г.);

— XIX международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1999 г.);

— XVIII международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов» (Санкт — Петербург, 2000 г.);

— 14- Научных семинарах каф. ТУиП Нижегородского госуниверситета под руководством проф. Малкова В. П. (Нижний Новгород, 1999 г.), проф. Любимова А. К. (Нижний Новгород, 2000 г.).

— Научном семинаре каф. ТУ Санкт-Петербургского госуниверситета под руководством акад. РАН, проф. Морозова Н. Ф. (СанктПетербург, 2000 г.).

— Научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (Нижний Новгород, 2000 г.).

Публикации.

Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в публикациях [49−51], [61−63], [72−74],.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и содержит 145 страниц печатного текста, 68 рисунков, 5 таблиц.

Список литературы

включает 121 наименование.

Заключение

.

1) Проведен анализ пошаговых методов решения нелинейно-упругих задач теории оболочек. Установлено, что существующие методы и алгоритмы не позволяют при больших деформациях эффективно проводить решения, определять энергию деформации и работу внешних сил, контролировать выполнение закона сохранения энергии.

2) На основе нелинейной пространственной теории упругости получены инкрементальные соотношения и предложен вариант вариационной постановки нелинейно-упругой квазистатической задачи при модифицированном подходе Лагранжа, использующий тензор истинных напряжений и учитывающий действие «следящих» поверхностных сил. Предложен способ определения энергии деформации и работы внешних сил для нелинейно-упругого квазистатического деформирования. При модифицированном подходе Лагранжа получены инкрементальные соотношения для материала с наложенными связями.

3) Предложена методика пошагового численного решения задач нагружения и контакта мягких оболочек в нелинейно-упругой плоской и осесиммет-ричной постановках при больших деформациях с учетом геометрической и физической нелинейностей. Методика позволяет осуществлять при численном исследовании контроль выполнения уравнений равновесия и закона сохранения энергии.

4) Согласно методике разработаны алгоритмы и созданы программные средства, позволяющие с использованием МКЭ решать задачи деформирования и контакта мягкой оболочки с жесткой плоскостью. Для решении контактной задачи предложен алгоритм определения актуального контактного давления из нелинейного уравнения состояния газа.

5) С целью тестирования и подтверждения достоверности методики решены: задача накачивания цилиндрической пневмооболочки в плоской постановкеосесимметричные задачи накачивания цилиндрической пневмооболоч.

— 130ки неоднородной по материалу и с переменной толщиной меридианазадачи накачивания усеченной конической пневмооболочкидеформирования под действием центробежных сил усеченного конуса, контакта круговой цилиндрической пневмооболочки с жесткой плоскостью. Сравнение с известными методиками пошагового решения на этих примерах показало эффективность методики, разработанной в диссертационной работе.

6) Получены новые результаты решения нелинейно-упругих задач контакта мягкой торовой пневмооболочки с жесткой плоскостью при отсутствии сил трения и с учетом «прилипания» узлов к контактной поверхности.