Методы решения граничных задач для нелинейных стационарных управляемых систем на бесконечном промежутке времени

Одной из проблем математической теории управления являются вопросы, связанные с исследованием граничных задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые полное решение этих задач для линейных нестационарных систем в классе управляющих функций, суммируемых с квадратом, было выполнено в [1]. В последующие десятилетия появились работы, направленные на исследование локальных и глобальных граничных задач для линейных и нелинейных управляемых систем специального вида [2], [4]-[60],[62]. Исследование граничных задач ведется по трем основным направлениям. Первое связано с нахождением необходимых и достаточных условий, наложенных на правую часть управляемых систем, гарантирующих перевод систем управления в заданную точку фазового пространства [1], [2], [4]-[7], [11]-[20], [22]-[29], [33], [34], [36]-[39], [40], [42]-[44], [48], [49], [53], [56]. Второе включает исследование множества конечных состояний, в которые возможен перевод управляемой системы из некоторого начального состояния [1], [2], [4], [5], [9]-[11], [13], [16], [21], [30], [35], [41], [46], [54], [57], [60], [62]. Третье направление касается разработки точных или приближенных методов построения управляющих функций и соответствующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве [8], [32], [45], [47], [50]-[52], [55], [58]-[61], [63].

Использование цифровой вычислительной техники в системах управления обусловливает формирование дискретных управляющих воздействий. Одним из важных и сложных аспектов математической теории управления являются вопросы, связанные с поиском методов синтеза дискретных управляющих функций, при которых решения различных типов систем обыкновенных дифференциальных уравнений соединяют заданные точки в фазовом пространстве. Этим исследованиям посвящены работы [65]-[70].

При практической реализации законов управления управляющий сигнал, поступающий на исполнительные органы, реализуется с некоторым запаздыванием. Это происходит, в частности, вследствие инерционности исполнительных органов, ограниченности быстродействия вычислительных комплексов и других факторов. В связи с указанным обстоятельством значительный научных и практический интерес представляет изучение проблемы решения граничных задач с учетом запаздывания управляющего воздействия. Основные результаты этих исследований содержатся в работах [71]-[95].

Часто при решении технических задач формировать закон управления на основе информации о полном фазовом состоянии объекта не представляется возможным ввиду доступности измерению лишь некоторой функции от фазовых координат. В связи с этим обстоятельством возникает проблема нахождения искомых управляющих функций по реально измеряемым величинам. Одним из подходов к решению этой проблемы является метод, связанный с построением асимптотического наблюдателя. Основы теории асимптотических наблюдателей для линейных стационарных систем были заложены работой Люенбергера Д. [106]. В последующие десятилетия появились работы, обобщающие и распространяющие эту теорию на линейные нестационарные, билинейные и нелинейные системы специального вида [107]-[113].

Все упомянутые выше аспекты исследования проблемы управляемых систем достаточно хорошо изучены для линейных стационарных, нестационарных и нелинейных систем специального вида. Однако для нелинейных систем общего вида проблема построения управляющих функций при решении граничных задач остается актуальной. Диссертационная работа посвящена разработке методов построения управляющих функций, гарантирующих перевод объекта управления из начального состояния в заданное конечное состояние на бесконечном промежутке времени.

Главное отличие результатов, полученных в диссертационной работе, от известных ранее состоит в том, что в ней для широкого класса нелинейных управляемых систем получены достаточно простые для численной реализации, устойчивые к погрешностям вычислений и случайным возмущениям алгоритмы перевода объектов управления из начального состояния в заданное конечное в классе дискретных и непрерывных управляющих функций с учетом их ограниченности, запаздывания управляющего сигнала и реально измеряемых величин. Кроме того получены достаточно легко проверяемые кон/ структивные условия выбора начальных и конечных фазовых состояний, шага дискретности и величины запаздывания управляющего воздействия, а также ограничений на случайные возмущения, гарантирующие реализацию полученных алгоритмов. Их эффективность иллюстрируется при численном моделировании конкретных практических задач.

Первая глава диссертации посвящена решению задачи перевода объектов управления из заданной точки фазового пространства в начало координат на бесконечном промежутке времени. В первом параграфе рассматривается задача построения непрерывной синтезирующей управляющей функции, обеспечивающей решение поставленной задачи с учетом ее ограничений и ограничений на вектор фазовых координат. Рассмотрены случаи полной и неполной управляемости линейной части исходной системы. Сформулирована и доказана теорема, на основании которой предложен алгоритм решения поставленной задачи. Во втором параграфе рассматривается задача, сформулированная в первом параграфе, в классе дискретных управлений. Сформулирован критерий, гарантирующий существование решения поставленной задачи, и приведен алгоритм построения искомой дискретной управляющей функции. Поставленная цель достигается сведением исходной задачи к задаче непрерывной стабилизации линейной стационарной системы и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Третий и четвертый параграфы посвящены соответственно задачам синтеза непрерывного и дискретного управления с учетом неполной информации о фазовом состоянии объекта. В третьем параграфе посредством построения асимптотического наблюдателя типа Люенбергера разработан достаточно простой для численной реализации алгоритм синтеза управляющей функции при решении задачи перевода объекта управления из заданной точки фазового пространства в начало координат для широкого класса нелинейных стационарных систем с учетом нелинейности измерителя и ограниченности управления, а также найден конструктивный критерий, гарантирующий существование решения поставленной задачи. В четвертом параграфе решается аналогичная задача в классе дискретных управлений и с учетом дискретности измерителя.

Вторая глава посвящена решению задач терминального управления. В первом параграфе этой главы ставится задача построения синтеза дискретного управляющего воздействия, с помощью которого исходная система переводится из начала координат в некоторую точку г-мерной поверхности, проходящей через начало координат фазового пространства. Доказана теорема, которая содержит в себе алгоритм построения указанной функции. Получен конструктивный критерий выбора конечных состояний и шага дискретности, гарантирующий разрешимость поставленной задачи с учетом ограничений на управление. Во втором параграфе разработан алгоритм решения аналогичной задачи с учетом дискретности управления и измерителя.

В третьей главе рассматриваются объекты управления, описываемые широким классом нелинейных управляемых систем при наличии в их правых частях слагаемых, характеризующих заранее неизвестные возмущения, которые могут быть обусловлены влиянием случайных внешних воздействий, ошибками вычислительных систем и другими факторами. В первом и во втором параграфах предложены алгоритмы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод объектов управления как из заданного начального состояния в начало координат, так и из начала координат в заданное конечное состояние. Процедура нахождения искомых управляющих функций сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Порядки обеих систем совпадают с порядком исходной системы. В третьем параграфе предложен конструктивный метод решения задачи, сформулированной во втором параграфе, с учетом ограничений на управление. Соответствующий алгоритм сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и управляющего вектора. Получены критерии выбора конечных состояний и ограничений на заранее неизвестные возмущения, при которых гарантируется существование решения поставленной задачи. В четвертом и пятом параграфах получены алгоритмы решения задачи, сформулированной в третьем параграфе, с учетом дискретности и запаздывания управляющего сигнала. Процедура их реализации сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и удвоенной размерности управляющего вектора.

Четвертая глава иллюстрирует эффективность алгоритмов, полученных в первых трех главах, при решении конкретных практических задач. Проведено численное моделирование следующих задач:

— перевода гироскопической системы в окрестность положения равновесия в классе дискретных управлений,.

— межорбитального перелета в классе дискретных управлений, -межорбитального перелета с учетом реально измеряемых величин, дискретности управления и дискретности измерителя, -адаптивного управления мостовым краном.

Вспомогательные сведения.

I. Рассмотрим линейную стационарную систему в отклонениях х = Рх + фи, (1) где Р, — постоянные матрицы размерностей [п х п] и [п х г] соответственно. Задача стабилизации системы (1) состоит в том, чтобы построить управление вида и = Сх (2) так, чтобы замкнутая система х={Р + (ЗС)х (3) была асимптотически устойчива.

Рассмотрим общий алгоритм построения стабилизирующего управления. 1. Для системы (1) построим матрицу 5* замены переменных я = ву (4) следующим образом.

5 = (яъ Ряъ • • •, Рф, • • •, Рк~ь 5ш+ь • • •, в&bdquo-). (5).

Здесь ?71,., 1 < I < г — столбцы матрицы (5- Первая цепочка из к векторов формируется до тех пор, пока эти вектора остаются линейно независимыми. Если выполнено условие к < г, то к построенной цепочке добавляется следующая цепочка из векторов, которая также формируется до тех пор, пока сохраняется общая линейная независимость. Таким образом формируется базис линейной оболочки столбцов матрицы РС5,., Рп1<2), а ёт+1,., ёп — его дополнение до базиса пространства Ип. Возможны два случая.

1.1. Случай полной управляемости.

5 = (<&, Ряг, ¦ ¦ ¦, Рк1~1Ч 1, • • •, Р®-, • • •, Р*" 1®-), (6) где ., эд, 1 < I < г — столбцы матрицы (5, к +.. + к = п.

1.2. Случай неполной управляемости.

5 = (ди Рдь ., Р*1″ 1^,., РЯ1,., Р*'" 1®-, вт+ь ., ёп), (7) где ^ +. + к1 = т = гапд{Я, Р<2,., Р" «1^. 2. После замены (4) система (1) примет вид у = 8~1РЗу + 8-^и.

— г,.

8).

2.1. В случае полной управляемости матрица 5 1РБ будет блочно-треу-гольной, а по диагонали будут стоять матрицы Фробениуса Р^,., Р^г вида.

Рк. =.

0 О.

1 О оа.

Оа.

А-—1.

О о о о 0 1.

— ог,.

— о—.

9).

Матрица Р^ - сопровождающая матрица для полинома /о (А) = ?е?(Р0 — АЕ) = к + А¹ +. + ак.

2.2. В случае неполной управляемости после замены (4) система (1) примет вид.

У2) 021 Р22) У2) о2).

Здесь у = {у1,у2)Т ~ разбиение вектора у на две части г/1, размерностей гп и п — тп соответственно. Рассмотрим систему.

У = Рп У + Яи.

И).

У2 = Р22У2• (12).

Здесь матрица Р22 имеет размерность [п — т х п — т]. Очевидно, что гапВДь РпЯь ., Р^Ях] = т.

3. Если реализовался случай 2.1 полной управляемости, то стабилизирующее управление существует и решение задачи продолжается.

Если реализовался случай 2.2, то необходимо проверить систему (12) на асимптотическую устойчивость. Если асимптотическая устойчивость не будет иметь места, то стабилизирующее управление построить невозможно и решение задачи прекращается.

4. Сделаем преобразование переменных у по формуле у = Кф, ф = (^п-г., ф) Т.

13).

4.1. В случае полной управляемости К = сИад (К1,., К{). При этом каждый блок К{, г = 1,.,/ строится по Р^.

Кг = ак-1 ак-2 а к—2 а1 1 V 1.

1 О.

О О.

1 О.

О О.

14).

4.2. В случае неполной управляемости К = сИад^Кх,., К1, Еп-т). Здесь Еп-т — единичная матрица размерности [п — т х п — т], соответствующая системе (12).

5. Каждому диагональному блоку Р^ поставим в соответствие эталонный многочлен /г (А) степени предварительно зафиксировав эталонные собственные числа. По его коэффициентам /Зкг и коэффициентам а^ характеристического полинома матрицы Рог построим строку с элементами <уц = а^ — Ркй ¦ ¦ ¦, = а и — АгДалее сформируем матрицу.

Г для обоих случаев /.

5.1. Г.

5.2 Г =.

71 0. О О О 72. О О О. О О 0 у.

6. Искомое стабилизирующее управление будет иметь вид и = ТК~13~1х,.

15).

16) или окончательно и = Сх, где С = ТК 1.

II. Лемма [62]. Пусть и{Ь) — непрерывная функция, удовлетворяющая при? > £о неравенству.

О < и (Ь) < 5 + / (?7 + где ?, г], Ь — постоянные и 6 > 0, г] > О, Ь > 0. Тогда имеет место неравенство и < — 1) + XV.

Рассмотрим систему х = А (г)х + Я (х,$, (17) где А (£) — линейный ограниченный оператор, непрерывный по ?, функция Д (ж,?) удовлетворяет в области ?): ||а-|| < Я, 0 <? < оо условию.

Д (М)||<�ВД.

Пусть И^(£, г) — оператор Коши уравнения ж = Л (?)ж, 12.

18) и пусть имеет место неравенство.

Мо)|| <�Ве~а^ (20) где а, В — положительные постоянные, не зависящие от ¿-о.

Теорема [62]. Пусть выполнены условия (18), (20) и если, кроме того, постоянные а, В, L удовлетворяют неравенству.

Х = а — BL > 0, (21) то нулевое решение (17) будет экспоненциально устойчиво. III. Рассмотрим систему rjnr = P (t)x, х е Rn, (22) dt где P (t) — матрица с вещественными, непрерывными, ограниченными коэффициентами при t > 0.

Следствие теоремы [2]. Пусть система (22) экспоненциально устойчива. Тогда существует такая положительно определенная функция V{x, t) = xTB (t)x, что лг.

— INI2, (23) dV ~dt.

22) где матрица квадратичной формы V (x, t) имеет вид.

Вт (т, t) B (T, t) dr, В{т, t) = Y{T)Y-t), (24) где Y (t), У (0) = E — фундаментальная матрица системы (22).

1. Каллман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. 1971. Мир. Москва. Перевод с англ. под ред. Э. Л. Напельбаума. 399 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления. Москва. Наука. 1975. 495с.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Москва. Изд-во физ.мат.лит. 1959. 211 с.

4. Walczak S. A note on the controllability of nonlinear systems// Math. Sys-temg. Theory 1984. 17. № 4, p. 351−356.

5. Потапов А. П. Области управляемости для некоторых систем с регуляторами// Вестн. ЛГУ. 1984. № 13, с. 39−48.

6. Лепс Н. Л. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка// Автомат, и телемехан. 1984. № 1, с. 19−25.

7. Ohta Y., Maeda Н. Reachability, observability of continuous-time positive system// SIAM J.Contr. And Optim. 1984. 22. № 2, p. 171−180.

8. Комаров В. А. Синтез ограниченных управлений для линейных неавтономных систем// Автоматика и телемеханика. 1984. № 10, с. 44−50.

9. Панасюк А. И. Уравнение множеств достижимости// Сиб. мат. журнал. 1984. 25. № 4, с. 143−154.

10. Блинов А. П. Об оценки области управляемости в нелинейных системах//ПММ. 1984. 48. № 7, с. 593−600.И. Крищенко А. П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелиней-ных систем управления// Автомат, и телемех. 1984. № 6. с. 30−36.

11. Dirk Д. Controllability for polinomial systems// Lect. Notes Contr. And Jnt. Sci 1984. 63. p. 542−545.

12. Крищенко А. П. Управляемость и множество достижимости нелинейных стационар-ных систем // Кибернет. и вычислит, техн. Киев. 1984. № 62, с. 3−10.

13. Гуденко JI. В., Семенов В. Н. Гладкие ветви многозначных отображений в проблеме локальной управляемости// Кибернет. и вычислит, техн. Киев. 1984. № 62, с. 21−28.

14. Агуладзе В. А., Пономарев Ю. П. Групповой подход к анализу управляемых систем // Кибернетика. Киев. 1984. № 5, с. 8−11.

15. Комаров В. А. Оценка множества достижимости для линейных систем// Изв. АН СССР Сер. Мат. 1984. № 1, с. 83−87.

16. Айсагалиев С. А., Онайбаев К. О. Управляемость нелинейных систем управления// Изв. АН Каз. ССР Сер. Физ.-Мат. 1985. 48. № 4, с. 865−879.

17. Huashu О. On the controllability of nonlinear control system// Comput and Math. 1985. 10. № 6, p. 441−451.

18. Calizia A. Minimal controllability for generalized linear systems// Boll. Unione mat. Ital. 1985. 4. № 1, p. 265−278.

19. Furi M., Nistri P., Zezza P. Topological methods for global controllability of nonlinear systems//J. optimiz. Theory and Appl. 1985. 45. № 2, p. 231−256.

20. Панасюк А. И. Дифференциальные уравнения невыпуклых множеств достижимости// Мат. заметки. 1985. 37. № 5, с. 717−726.

21. Stefanu Gianu. Polinominal approximations to control systems and local controllabil-ity// Proc. 24 th JEEE Conf. decis. and Contr. 1985. V.l. P. 33−38.

22. Balachandran К. Global and local controllability of nonlinear systems. JEEE Proc. 1985. № 1, p. 14−17.

23. Пантелеев В. П. Об управляемости нестационарных линейных систем// Дифференциальные уравнения. 1985. 21. № 4, с. 623−628.

24. Коробов В. И. Почти полная управляемость линейных стационарных систем // УМЖ. 1986. 38. № 2, с. 163−169.

25. Schmitendorf W. Е., Hwang W. G. Global results for with constrained controller// J. Opti-miz. Theory and Appl. 1985. 46. № 4, p. 581−590.

26. Bianchini T. R., Conty R. On local and global controllability// Gas. Pestov. Mat. 1986. № 1, p. 54−61.

27. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г. Критерии управляемости нелинейных систем // Докл. А.Н. СССР. 1986. 290. № 1, с. 18−22.

28. Aeyls D. Global controllability for smooth of nonlinear systems// SIAM J. Contr. And Optim. 1985. № 23, p. 452−565.

29. Константьинов Г. И., Сидоренко Г. В. Внешние оценки мнолжеств досижимости управляемых систем// Изв А. Н. СССР Техн. Кибернет. 1986. № 3, с. 28−34.

30. Hirschon R. Strong controllability of nonlinear systems// SIAM J.Contr. and Optim. 1986. 24. № 2, p. 264−275.

31. Корнилов Ю. H., Петров Ю. П. Реализация наибольшей области управляемости для систем второго порядка.// Изв. А, Н. СССР Мех. Тверд, тела 1986. № 5, с. 73−76.

32. Lovas N., Powers D. On controllability generalized statespace (descriptor) systems// Int. J. Conr. 1986. 43 № 4, p. 1271−1281.

33. Jersy S. On controllability of smooth and nonsmooth dynamical systems// Bull. Soc. Sci. et lett Lodz. 1986. 36. № 28, p. 1−11.

34. Черноусько Ф. Jl., Янгин А. А. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечения и объединения эллипсоидов// Изв. А.Н. СССр Техн. Кибернет. 1987. № 4, с. 145−152.

35. Nistri P. On a general notion of controllability for nonlinear systems // Boll. Uniopne mat. Ital. 1986. № 1, p. 383−403.

36. Айсагалиев С. А. Управляемость нелинейных систем управления// Изв. А. Н. Каз. СССР физ.мат. 1987. № 3, с. 7−10.

37. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Критерий управляемости двумерных нелинейных систем в области при ограничениях на управление// Докл. А.Н. СССР. 1987. 294. № 6, с. 1310−1314.

38. Benzaid Z. Global null controllability of perturbed linear periodic systems// JEE Trans. Autom. Contr. 1987.32. № 7, p. 623−625.

39. Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1987. 23. № 5, с. 798−806.

40. Крищенко А. П., Назаренко А. Н. Множества управляемости нелинейных систем второго порядка// Изв. А.Н. СССР Техн. кибернет. 1988. № 4, с. 159 166.

41. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Исследование управляемости методом аппроксимации групп и систем// Докл. А. Н. СССР. 1988. 309. NM, с. 821−823.

42. Balachandran К. Controllobility of class of pertubet nolinear systems// Cy-bernetica. 1988. 24. № 1, p. 61−64.

43. Naito Koichiro. An inequality condition for approximate controllability of semilinear con-trol systems// J. Math. Anal, and Appl. 1989. № 1, p. 129−136.

44. Bardi Martino. A boundary value problem for minimal-time function// SIAM J. Contr. And Opt. 1989. 27. № 4, p. 776−785.

45. Лотов А. В. О внешних оценках построения множества достижимости для нелиней-ных управляемых систем.// ЖВМ и МФ. 1990. 30. № 4, с. 483 493.

46. Коробов В. И., Скляр Г. М. О множестве позиционных ограниченных управлений решающих задачу синтеза// ДАН. 1990. 312. № 6, с. 1304−1308.

47. Айсагалиев С. А. К теории управляемости линейных систем// Автоматика и телемеханика. 1991. № 2, с. 35−41.

48. Balachandran К., Dauer J. Controlladility of njnlinear systems to affine manifolds// Л. Optimiz. Theory and Appl. 1990. 64. № 1, p. 15−27.

49. Крищенко А. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем// Изв. А. Н. Техн. Кибернетика 1994. № 1, с. 48−57.

50. Коврижкин Г., Крамаренко Е. Л. Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием// Автоматика и телемеханика. 1994. № 3, с. 37−42.

51. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах// Тр. мат. ин-та РАН. 1995. 211, с. 457−47.

52. Klamka J. Approximate relative controllability retarded dynamical systems// App. Math, and Comput. Sci. 1996. 6. № 1, p. 15−26.

53. Бутенина H. H. Построение множества управляемости в произвольную точку плоскости// В кн. Методы анализа нелинейных систем. Изд-во МГУ. 1997. С. 29−37.

54. Гусар В. В. Об одной задаче сплайн управления// Дифференциальные уравнения. 1998. № 9, с. 1475−1481.

55. Мастерков И. К. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае// Изв. вузов. Мат. 1999. № 2, с. 68−74.

56. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейной управляемой системы// Дифференциальные уравнения. 2003. 39. № 1, с. 50−56.

57. Квитко А. Н. Об одном методе построения программных движений// ПММ. Т. 65. 2001. Вып 3, с. 392−399.

58. Квитко А. Н. Об одной задаче управления// Дифференциальные уравнения. Т. 40. 2004. Вып. 6, с. 740−746.

59. Бердышев Ю. И. О построении области достижимости в одной нелинейной задаче// Изв. РАН. Теория и системы упр. 2006. № 4, с. 22−26.

60. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы// ЖВМ и МФ. Т. 46. 2006. № 73, с. 12 411 250.

61. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. Москва. Наука. 1967. 223 с.

62. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Москва. Наука. 1968. 475 с.

63. Верещагин Ф. П. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы. Пермь. 1972.

64. Nguen Than Bang. Numerical solution of the d-control problem for nonlinear systems// Arch. Autom and telemech. 1983. 28. № 3, p. 131−143.

65. Fury M., Nistri P., Pera M. P., Zezza P. L. Linear controllability by piecewize constant control with assigned switching times// J. Optimize Theory and Apl.1985. 45. № 2, p. 219−229.

66. Zezza P. On the reachable set for linear systems with piecewise constant controls// Bol. Unione mat. Ital. 1986. 5. № 1, p. 127−137.

67. Allon Amit, Segev Reuven. Driving a linear constant system by a piecewise constant control// Int. Contr. 1988. 47. № 3, p. 815−825.

68. Кухта К. Я. О решении нелинейной, нестационарной непрерывно-дискретной граничной задачи в теории управления// Автоматика и телемеханика. 1991. № 6, с. 78−83.

69. Лапин С. В. Кусочно-постоянная стабилизация систем линейных относительно управления// Автоматика и телемеханика. 1992. № 6, с. 37−45.

70. Somasundaram D., Balachandran К. Controllability of nonlinear systems consisting of a bilinear mode with distributed delays in control// IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. V. 29. № 6, p. 573−575.

71. Sinha A. S. Null-controllability of nonlinear infinite delay systems with restrained controls// Intern. J. Contr. 1985. V. 42. № 3, p. 735−741.

72. Balachandran K., Somasundaram D. Relative controllability of nonlinear systems with time varying delays in control// Cybernetika. 1985. V. 21. № 1, p. 14−17.

73. Sinha A. S. Controllability of non-linear delay systems// Intern. J. Contr.1986. V. 43. № 4, p. 1305−1315.

74. Balachandran K. On the controllability of class of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control// IEE Proc. 1986. V. 133. № 6, p. 297 300.

75. Balachandran К., Somasundaram D. Controllability of nonlinear delay systems with delay depending on state variable// Cybernetika. 1986. V. 22. № 5, p. 439−444.

76. Balachandran K. Controllability of non-linear systems with delays in both state and control variables// Cybernetika. 1986. V. 22. № 4, P. 340−343.

77. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with time-varying multiple delays in control// Intern. J. Contr. 1987. V. 46. № 1, p. 193−200.

78. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with distributed delays in control//Inter. J. Modeling and Simulation. 1987. V. 7. № 3, p. 28−33.

79. Balachandran K. Null controllability of nonlinear delay systems// Jntern. J. Modeling and Simulation. 1989. V. 15. № 2, p. 13−18.

80. Onwuatu J. Null controllability of systems with delayed state and control// Adv. Model, and Simul. 1989. V. 15. № 2, p. 19−37.

81. Минюк С. А. К теории полной управляемости систем с последействием при наличии ограничений// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. № 12, с. 2169−2170.

82. Колмановский В. В., Королева Н. Н. О синтезе билинейных систем с запаздыванием// ПММ. 1993. Т.57. Вып.1, с. 32−40.

83. Kopeikina Т. I., Karpuk V. V. Dynamic after-effect systems: controllability, absorbability, point wise completeness// Int.Conf. Func. Diff. Equat. and Appl. Moscow. 1994. C. 25−46.

84. Paula R., Jan W. Controllability for delay-differential systems// Proc. 33 rd IEEE Conf. Decis. and Contr. 1994. V.3. P. 2894−2897.

85. Klamka J. Approximate relative controllability retarded dynamical systems // App. Math, and Comput. Sci. 1996. V.6. № 1, p. 15−26.

86. Paula R., Jeffrey W. A new perspective on controllability properties for dynamic systems// Appl. Math, and Comput. Sci. 1997 V.7. № 4, p. 869−679.

87. Желтиков В. В. Построение решения задачи управления с запаздыванием // Тез. Докл. Междунар. конф. Одесса. 2000. С. 102.

88. Копейкина Т. В., Шашков Б. В. Об аппроксимации задачи управляемости с запаздыванием // Вестн. НАН Беларуа Сер. Физ. Мат. 2002. № 1, с. 51−56.

89. Ким А. В., Волканин Л. С. К синтезу управления для систем с последействием и управляющих параметрах// Изв. УРГУ. Мат. и мех. 2003. Вып. 5. № 26, с. 81−86.

90. Оленчиков Д. М. Глобальная управляемость билинейных импульсных систем с запаздыванием// ПММ. 2004. Т.68. Вып 4. С. 602−610.

91. Lianwen W. Approximate controllability of delay Simi linear control system// J. Appl. Math, and Stocast. Anal. 2005. V. 22. № 1, p. 67−76.

92. Марченко В. M., Луазо Ж. Ж. Реализация динамических систем в шкалах систем с последействием Управляемость. Наблюдаемость. Минимальность// Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 2, с. 41−51.

93. Отакулов С. А. О разностной аппроксимации одной системы управления с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4, с. 157−167.

94. Квитко А. Н. О методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы при учете запаздывания управляющего воздействия// ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 3. С. 394−405.

95. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с учетом дискретности управления// Информационно-управляющие системы. 2011. № 6, с. 25−29.

96. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение задачи синтеза дискретной стабилизации с учетом неполной информации для нелинейной стационарной управляемой системы// Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия. 2012. № 2, с. 21−30.

97. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики// Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. № 12, с. 30−33.

98. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном// Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. № 5, с. 56−65.

99. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Алгоритм построения кусочно-постоянного синтезирующего управления при решении граничной задачи для нелинейной стационарной системы// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. № 1, с. 138−145.

100. Антончик В. С. Методы стабилизации программных движений. СПб, Изд-во С.-Петербургского унив-та. 1998. 208 с.

101. Luenberger D. G. Determing the state linear system with observers low dynamic order// Ph.D.dissertation-Stanford University. 1963.

102. Luenberger D. G. Observers for multivariable systems // IEEE Transactions of Automatic Controll. 1966. P. 190−197.

103. Trin H., Ha Q. P. Design of linear functional observers for linear systems with unknown inputs// International Journal of Systems Science. 2000. Vol. 31. № 6, p. 741−749.

104. Roman J. R., Bullok T. E. Design of minimal-order stable observes for linear functions of the state via realization theory// IEEE Transactions of Automatic Control. 1975. Vol. 20. P. 613−622.

105. Bhattachargun S. P. Observer design for linear system with unknown in-put// IEEE Transactions of Automatic Control. 1978. Vol. 23. P. 483−484.

106. Коровин С. К., Фомичев В. В. Экспоненциальные наблюдатели билинейных систем на плоскости// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 12, с. 1605−1612.

107. Коровин С. К., Фомичев В. В. Экспонециальные наблюдатели билинейных систем на плоскости// Докл. РАН. Теория управления. 2001. Т. 385. № 5, с.' 713−728.

108. Коровин С. К., Фомичев В. В. Асимптотические наблюдатели для некоторых классов билинейных систем с линейным входом// Докл. РАН. Теория управления. 2004. Т. 398. № 1, с. 38−43.