Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений

Диссертация: Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Огромное место в математическом моделировании занимают дифференциальные уравнения, так как наибольшая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с приложениями в самых различных отраслях знаний, проходит через дифференциальные уравнения. Хорошо известна, например, роль линейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании. Несмотря на то, что линейные уравнения… Читать ещё >

Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Численные инструменты для моделирования и исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений
    • 1. 1. Устойчивость численного интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими решениями
    • 1. 2. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
    • 1. 3. Решение систем параболических уравнений на отрезке
      • 1. 3. 1. Схема решения, ее устойчивость и погрешность аппроксимации
      • 1. 3. 2. Аппроксимация граничных условий для второй краевой задачи
    • 1. 4. Приближенный метод нахождения гомоклинических и гетероклинических решений особых точек в системах обыкновенных дифференциальных уравнений
      • 1. 4. 1. Гетероклинические решения седло-узлов и седло-фокусов
      • 1. 4. 2. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса
      • 1. 4. 3. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла
    • 1. 5. Другие численные инструменты
    • 1. 6. Выводы
  • Глава 2. Переход к хаосу в диссипативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 2. 1. Система уравнений Лоренца
      • 2. 1. 1. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций
      • 2. 1. 2. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического аттрактора в системе Лоренца
    • 2. 2. Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
      • 2. 2. 1. Системы уравнений Валлиса
      • 2. 2. 2. Системы уравнений Рёсслера
      • 2. 2. 3. Модель реакции Белоусова-Жаботинского
      • 2. 2. 4. Модель Вольтерра-Гаузе
      • 2. 2. 5. Система Чуа
      • 2. 2. 6. Система «Simple»
      • 2. 2. 7. Система Рабиновича и Фабриканта
      • 2. 2. 8. Макроэкономическая модель Магницкого
      • 2. 2. 9. Пример Магницкого
      • 2. 2. 10. Система Рикитаки
      • 2. 2. 11. Комплексная система дифференциальных уравнений Лоренца
    • 2. 3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом
    • 2. 4. Неавтономные двумерные системы дифференциальных уравнений
      • 2. 4. 1. Уравнение Дюффинга-Холмса
      • 2. 4. 2. Уравнение Матье
      • 2. 4. 3. Система уравнений Крокета
      • 2. 4. 4. Уравнение Краснощекова
    • 2. 5. Выводы
  • Глава 3. Пространственно-временной динамический хаос
    • 3. 1. Модель диффузионного хаоса в маломодовом приближении
    • 3. 2. Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений
      • 3. 2. 1. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье
      • 3. 2. 2. Переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения Курамото-Цузуки
    • 3. 3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора
      • 3. 3. 1. Первая краевая задача
      • 3. 3. 2. Вторая краевая задача
    • 3. 4. Выводы
  • Глава 4. Основы теории перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений
    • 4. 1. Динамика мультипликаторов в каскадах бифуркаций удвоения периода предельных циклов
    • 4. 2. Свойства особой точки «ротор» в двумерных неавтономных системах
    • 4. 3. Образование динамического хаоса в трехмерных диссипативных автономных системах дифференциальных уравнений
    • 4. 4. Динамический хаос в многомерных системах. Универсальность механизма образования хаоса в диссипативных системах дифференциальных уравнений
    • 4. 5. Структура решений. Классификация сингулярных хаотических аттракторов
      • 4. 5. 1. Структура решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений
      • 4. 5. 2. Классификация сингулярных хаотических аттракторов
    • 4. 6. Выводы
  • Глава 5. Применение теории динамического хаоса в математическом моделировании
    • 5. 1. Локализация и стабилизация неустойчивых решений в хаотических динамических системах
      • 5. 1. 1. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом
      • 5. 1. 2. Стабилизация термодинамической ветви в системах дифференциальных уравнений вида реакция-диффузия
      • 5. 1. 3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений
      • 5. 1. 4. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов в уравнениях с запаздывающим аргументом
    • 5. 2. Бегущие волны в активных средах и динамический хаос
      • 5. 2. 1. Бегущие волны в осциллирующей среде
      • 5. 2. 2. Бегущие волны в уравнении вида реакция-диффузия с переносом
      • 5. 2. 3. Бегущие волны в возбудимой среде
    • 5. 3. Идентификация динамической системы по траектории
    • 5. 4. Численный подход к исследованию гамильтоновых систем
    • 5. 5. Выводы

Важной задачей математического моделирования является познание закономерностей окружающего нас мира, будь то естественные или технические науки, экономические, социальные или экологические системы.

Огромное место в математическом моделировании занимают дифференциальные уравнения, так как наибольшая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с приложениями в самых различных отраслях знаний, проходит через дифференциальные уравнения [4]. Хорошо известна, например, роль линейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании. Несмотря на то, что линейные уравнения по-прежнему широко применяются в математическом моделировании даже в фундаментальных науках, тем не менее все большее значение уделяется нелинейным математическим моделям и, в частности, нелинейным дифференциальным уравнениям. Интерес к применению нелинейных математических моделей совершенно закономерен и обусловлен нелинейностью нашего мира — природных явлений, экономических и социальных отношений, экологических связей и многих других процессов. Стремление к более адекватному описанию различных явлений и процессов в физике, химии, в технических науках, в биологии экономике и в других отраслях знаний неизбежно требует учитывать более глубокие и, как правило, нелинейные связи pi соотношения, что естественным образом находит отражение в использовании нелинейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.

Однако, в ходе все более широкого применения нелинейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании было установлено, что нелинейные системы дифференциальных уравнений часто обладают чрезвычайно сложным, хаотическим поведением решений. Причем выяснилось, что такое поведение никоим образом не исключение, а типичное свойство многих систем. Это явление, имеющее место даже в сравнительно простых нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, получило название динамического (или детерминированного) хаоса. Проблема образования хаотических режимов в нелинейных системах дифференциальных уравнений актуальна в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, биологии, метеорологии, экономике, в социодинамике и в других областях научной и практической деятельности. Решение данной проблемы имеет большое значение как для правильной интерпретации результатов моделирования процессов и явлений, модели которых основаны на системах с хаотическими режимами, так и при использовании самих хаотических систем в моделировании сложных нерегулярных процессов, например, временных рядов, шума. Не менее актуальным является решение данной проблемы для использования нелинейных дифференциальных уравнений в системах управления, а также в задачах управления хаотическими системами.

Проблема перехода к хаосу является также одной из важнейших задач хаотической динамики — стремительно развивающейся области современной математики. Значительный вклад в решение этой задачи для консервативных и гамильтоновых систем дифференциальных уравнений связан с именами А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, В. В. Козлова [3, 5, 28, 29], проблема хаоса в диссипативных дискретных отображениях решена в рамках теории гиперболических систем Д. В. Аносова [2]. Интересные исследования, начатые С. П. Курдюмовым и А. А. Самарским [8] по стационарным диссипативным структурам, ведутся в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша.

В наименьшей степени проблема образования динамического хаоса оказалась разработанной для диссипативных нелинейных систем дифференциальных уравнений. Задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора, рассмотренного Р. Вильямсом, Дж. Гукенхеймером и Дж. Йорке [125, 150, 151], была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI столетия [99]. В связи с тем, что теоретические исследования за последние сорок лет не дали ощутимых результатов, для решения проблемы образования хаотических решений в диссертации принят подход, основанный на моделировании и численном исследовании хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

Целью настоящей диссертационной работы является решение проблемы образования хаотических решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений с гладкой правой частью.

Для решения этой проблемы автором были сформулированы конкретные задачи.

1. Разработка методики численных исследований нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением для установления механизма перехода к динамическому хаосу в системах с непрерывным временем.

2. Разработка алгоритмов и оценка эффективности численных методов для решения нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и уравнений в частных производных.

3. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для определения спектральных свойств матрицы монодромии.

4. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для нахождения гомоклиничсских и гетероклинических решений особых точек в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Исследование механизма перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом и уравнениях в частных производных.

6. Исследование динамического хаоса в решениях вида бегущей уединенной волны с целью установления механизма образования бегущих волн в активных средах.

7. Обоснование и разработка методов и алгоритмов решения прикладных задач хаотической динамики: управление хаотическими системами, их идентификация и использование для аппроксимации и прогноза нерегулярных временных рядов.

Объектом диссертационного исследования являются диссипативные нелинейные системы дифференциальных уравнений с хаотическим поведением решений.

Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы теории бифуркаций, теории устойчивости дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Разработанная автором методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением позволила установить каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, установить единый механизм перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения в частных производных параболического типа, установить механизм образования решений в виде бегущих волн в осциллирующеи активном среде.

Обоснованность выводов диссертации обеспечивается строгими доказательствами утверждений, приведенных в диссертации, обоснованными оценками погрешностей применяемых численных методов, а также публикациями статей в ведущих рецензируемых журналах в России и двух монографий, одна из которых издана за рубежом в издательстве Scientific World.

Автор выносит на защиту следующие научные положения:

1. Обоснована корректность использования численных методов интегрирования устойчивых периодических решений в хаотических системах и на этом основании разработана методика исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, которая включает: анализ динамической системы методами качественной теории дифференциальных уравненийисследование поведения системы методом численного продолжения по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решенийчисленное определение спектральных характеристик матриц монодромииисследование гомоклинических и гстсроклинических решений — сепаратрис особых точек систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. На основании численного исследования спектральных свойств матриц монодромии периодических решений установлен единый механизм перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и системы уравнений в частных производных параболического типа.

3. Предложена классификация хаотических аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, установлена структура устойчивых решений в нелинейных системах, которая определяется спектром показателей Флоке.

4. В рамках автомодельного приближения установлен новый механизм образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Показано, что аналогичный механизм имеет также место при образовании бегущих волн в возбудимой среде.

5. Решены задачи стабилизации неустойчивых предельных циклов в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и в уравнениях с запаздывающим аргументом, а также задачи стабилизации неустойчивых тривиальных решений в уравнениях с запаздывающим аргументом и термодинамической ветви в уравнениях с частными производными типа «реакция-диффузия». Разработаны алгоритмы и комплексы программ для их реализации.

6. Обоснован и разработан метод идентификации динамических систем, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогнозирования. Созданы алгоритмы и комплексы программ для реализации метода.

Практическая ценность работы заключается в том, что научные выводы и предложения по проблеме образования динамического пространственно-временного хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений носят общий характер. Поэтому доказанные утверждения, разработанные методы и алгоритмы могут широко использоваться в научных исследованиях по математическому моделированию сложных систем, в том числе систем с хаотическим поведением, а также при исследовании консервативных и гамильтоновых нелинейных систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности. Полученные в диссертации результаты могут служить основой для разработки методов управления хаотическими системами, методов аппроксимации временных рядов хаотическими системами, методов прогноза нерегулярных временных рядов.

Область применения результатов достаточно широка. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях, например, в теории дифференциальных уравнений, в хаотической динамике, в математическом моделировании, в частности, при идентификации динамических систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности, а также при решении ряда задач, имеющих прикладное значение: управление хаотическими системами, разработка методов аппроксимации и прогнозирования временных рядов.

Основное содержание диссертации изложено в 28 научных трудах, включая две монографии и 16 научных работ в центральных рецензируемых научных журналах по списку ВАК. Результаты диссертации также частично опубликованы в трудах всероссийских и международных конференций, в научных сборниках.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: монографии.

1. Магницкий II.А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. — М.: УРСС, 2004. 320 с.

Автором на основе разработанной им методики проведено численное исследование хаотических систем нелинейных дифференциальных уравнений, включая дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, численно решены задачи стабилизации неустойчивых периодических решений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом, задачи стабилизации тривиальных решений в уравнениях с частными производными, модернизирована макроэкономическая модель Магницкого, разработан метод идентификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-Singapure: World Scientific, 2006, 363 p.

К указанному выше автором решена проблема пространственно-временного (диффузионного) хаоса в системах дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа. публикации по перечню ВАК.

3. Сидоров С. В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 11. — М.: Изд.-во ЛКИ, 2007. — с. 78−84.

4. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1494−1506.

5. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, № 12, с. 1606−1610.

6. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О нахождении гомоклиничсских и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511−1520.

В работах [4] - [6] автором разработана и применена методика исследования, основанная на численном продолжении устойчивых решений дифференциальных уравнений по параметру, проведено численное исследование решений, созданы алгоритмы и комплекс программ нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек для ряда нелинейных систем ОДУ.

7. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Актуальные проблемы хаотической динамики диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41−84.

В работе [7] автором проанализированы проблемы в хаотической динамике нелинейных систем с учетом уже полученных результатов, намечены пути решения ряда задач, в том числе проблемы диффузионного хаоса.

8. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем. Дифференциальные уравнения, т. 40, № 11, 2004, с. 1500−1514.

В работе [8] автором разработаны алгоритмы и комплекс программ для исследования систем с особой точкой типа ротор, проведено численное исследование этих систем.

9. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: Численное исследование. Дифференциальные уравнения, т. 41, № 11, 2005, с. 1550−1559.

В работе [9] автором разработаны программы и численно исследован диффузионный хаос на примере уравнения Курамото-Цузуки, обоснован механизм перехода к диффузионному хаосу, построена бифуркационная диаграмма решений.

10. Сидоров С. В. Универсальность перехода к хаосу в динамическихдиссипативных системах дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. — М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51−87.

11. Сидоров С. В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. — М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91−97.

12. Сидоров С. В. Появление хаотических решений в модели Вольтер-ра-Гаузе. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН, т. 25, 2006, с. 217−221.

13. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения т. 42, № 11, 2006, с. 1507−1514.

В работе [13] автором применена разработанная им методика к исследованию неавтономных двумерных диссипативных систем дифференциальных уравнении, выполнены численные исследования.

14. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Применение ФШМ-теории к анализу гамильтоновых систем. Дифференциальные уравнения т. 42, № 11, 2007, с. 1474−1479.

В работе [14] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования гамильтоновых систем, проведено численное исследование гамильтоновых систем с полутора степенями свободы, показана применимость разработанной технологии для исследования гамильтоновых систем.

15. Сидоров С. В. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны. Дифференциальные уравнения т. 44, № 8, 2008. с. 1148−1149.

16. Сидоров С. В. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем. Вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176−184.

17. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем, т. 33, вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49−65.

В работе [17] применена разработанная автором методика к исследованию турбулентности вязкой несжимаемой жидкости за уступом.

18. Сидоров С. В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование. Дифференциальные уравнения т. 45, № 2, 2009. с. 250−254. публикации в других изданиях:

19. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 179−194.

В работе [19] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, проведено численное исследование решений.

20. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова и С. К. Коровина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243−263.

В работе [20] автор модифицировал макроэкономическую модель саморазвивающейся экономики, показал наличие хаотического поведения в решениях модели.

21. Сидоров С. В. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 1./ РосЗИТЛП. М.: 2004, с. 168−178.

22. Сидоров С. В. Исследование диффузионного хаоса. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 2./ РосЗИТЛП. М.: 2005, с. 151 — 165.

23. Сидоров С. В. О механизме перехода к диффузионному хаосу. Первая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии». 12−16 сент. 2005 г. Переславль-Залесский, Россия. С. 124 — 129.

24. Сидоров С. В. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, № 11, 2006, с. 197−199.

25. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, с. 109−124.

В работе [25] автором предложен метод исследования решений систем параболических уравнений в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве с использованием отображения Пуанкаре для исследования решений на двумерных инвариантных торах. Проведено сравнение результатов полученных решений с решениями маломодового приближения.

26. Сидоров С. В. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып 3. / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190 — 197.

27. Сидоров С. В. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛПМ. 2007, с. 198 — 202.

28. Сидоров С. В. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии». 10−14 сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280−284.

Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список используемой литературы из 152 наименований, включает 122 рисунка.

Основные результаты работы регулярно докладывались на руководимом академиком РАН С. К. Коровиным научном семинаре кафедры МГУ им. М. В. Ломоносова «Нелинейные динамические системы и процессы управления», на руководимом член-корреспондентом РАН Ю. С. Попковым научном семинаре Учреждения российской академии наук Институт системного анализа РАН, на объединенном семинаре кафедр физики и высшей математики ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет», на научно-методических семинарах ГОУ ВПО «Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности», на семинаре кафедры теоретической физики ГОУ ВПО «Российский университет дружбы народов», а также на следующих международных и всероссийских конференциях:

1) Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, янв. 1998, Пущино, янв. 1999, Дубна, янв. 2000, Дубна, янв.

2006. 2) Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, май 2005. 3) Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения», Воронеж, май 2000. 4) Международный симпозиум IFAC «Nonlinear control systems — NOLCOS’Ol», Saint Petersburg, Russia, jun. 2001. 5) Internationale Conference «Nonlinear World», Suzdal, jun. 2002. 6) International Conference on Differential and Functional Equations, Moscow, Russia, aug. 2002. 7) Первая международная научно-практическая конференция «Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления», Москва, июнь 2004. 8) Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии», Переславль-Залесский, сент. 2005 и Обнинск, сент. 2007. 9) Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям, Рязань, окт. 2001 и сент. 2006. 10) Международная междисциплинарная конференция «Синергетика в естественных науках», Тверь, март.

2007. 11) Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ», Санкт-Петербург, июль 2007. 12) Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», Москва, июнь 2008. 13) Международная конференция «Математическая теория систем» МТС-09, Москва, янв. 2009.

Заключение

.

Поставленная в диссертационной работе цель — решение проблемы образования динамического, в том числе и пространственно-временного хаоса в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений решена автором на основе математического моделирования и численного исследования. Основные результаты, полученные автором при выполнении работы заключаются в следующем.

1. Доказана корректность применения численных методов для решения задач хаотической динамики. Разработана методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическими решениями, основанная на численном продолжении по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений в фазовом пространстве с определением спектральных характеристик матриц монодромии и исследования гомоклинических и гетероклинических решений особых точек. Обоснованы погрешности применяемых, в том числе и оригинальных, численных методов.

2. На основании разработанной методики проведено численное исследование большого количества различных нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений, включая автономные и неавтономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с запаздывающим аргументом и системы дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. В частности, впервые исследовано образование хаотических решений в важных для приложений математической модели реакции Белоусова-Жаботинского и нестационарном уравнении Гинзбурга-Ландау.

Установлено, что во всех исследованных системах дифференциальных уравнений переход к хаосу происходит не в результате одномоментного разрушения регулярного решения под влиянием сколь угодно малых возмущений, а вследствие все большего усложнения решений в результате субгармонического (в смысле порядка Шарковского) и гомоклинического каскадов бифуркаций циклов (или двумерных инвариантных торов). Установленный механизм образования диффузионного хаоса, т. е. хаотических аттракторов в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия не требует привлечения дополнительной гипотезы о разрушении сколь угодно малыми возмущениями некого трехмерного тора с образованием странного аттрактора.

Отмечено, что образование пространственно-временного (диффузионного) хаоса и структура хаотических аттракторов в системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа зависят от вида краевой задачи.

Установлено, что все хаотические аттракторы: аттрактор Фейгенбаума, субгармонический и гомоклинический аттракторы образуются при некоторых критических значениях бифуркационного параметра, отвечающих завершению соответствующего каскада бифуркаций, и, следовательно, эти хаотические аттракторы не являются структурно устойчивыми образованиями.

3. На основании теории Флоке построена модель динамики мультипликаторов при эволюции вещественной динамической системы в пространстве параметров и численно установлены особенности спектра матрицы монодромии для каскада бифуркаций удвоения периода цикла. Показано, что в вещественной системе дифференциальных уравнений бифуркации удвоения периода цикла предшествует рождение устойчивого сингулярного цикла, который в отличие от регулярного, имеющего только комплексно сопряженные показатели Флоке, имеет пару показателей Флоке, в которой вещественные части различны, а мнимые отличаются на 2i: ik/T. В двумерной неавтономной системе такому циклу соответствует неподвижная особая точка ротор. Показано, что неавтономная двумерная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с Т-периодической матрицей в особой точке ротор может иметь периодические решения с периодом, отличным от Т.

Теоретически показано, что образование динамического хаоса в автономных нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и в распределенных системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, где переход к хаотическому поведению осуществляется через каскады бифуркаций двумерных инвариантных торов, обусловлено только появлением сингулярного цикла.

4. Установлена дискретная структура устойчивых решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, которая определяется спектром показателей Флоке, при этом появление хаотических решений в вещественной системе связано с бифуркацией рождения сингулярного цикла.

5. Предложена классификация хаотических аттракторов в диссипативных системах дифференциальных уравнений, основанная на характере и видах бифуркаций, приводящих к появлению хаотических режимов.

6. На основании численных исследований построена модель образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей активной среде. В рамках автомодельного приближения показано, что образование гомоклинической петли сепаратрисы, расположенной на первичном цикле двумерного инвариантного тора, осуществляется через каскады бифуркаций вторичного цикла двумерного инвариантного тора, которые завершаются образованием гомоклинической петли сепаратрисы особой точки типа седло-фокус, принадлежащей первичному предельному циклу. Показано, что аналогичный механизм образования решений в виде бегущей волны имеет место и в случае возбудимой среды, где гомоклини-ческая петля сепаратрисы особой точки формируется как предел последовательности устойчивых циклов, образующихся в субгармоническом и гомоклиническом каскадах бифуркаций предельного сингулярного цикла в окрестности этой точки.

7. Решен ряд задач управления хаотическими системами: стабилизация тривиального решения в системе уравнений с запаздывающим аргументом, стабилизация термодинамической ветви в системе уравнений вида «реакция-диффузия», стабилизация неустойчивого предельного цикла в обыкновенных дифференциальных уравнениях и в уравнении с запаздывающим аргументом.

8. Разработан метод идентификации систем дифференциальных уравнений, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогноза.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А. А. Понтрягин JI. С. Грубые системы // Докл. АН СССР, 1937, 14, 247−251.
  2. Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.- Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1967, № 90, 210 с.
  3. В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи матем. наук, т. 18, 1963, вып. 5, с. 13 -40.
  4. В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978, 304 с.
  5. В. И. Козлов В.В. Нейштадт А. И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 5−304.
  6. Т.С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники, т. 28. ВИНИТИ, 1986, с. 207−313.
  7. Т.О., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Самарский А.А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности точки бифуркации. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986, с. 7−59.
  8. Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука, 1992, 541 с.
  9. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.-М.: Наука, 1987, 630 с. хаотических и стохастических систем.— Саратов, 1999, 368 с.
  10. П., Помо И., Видалъ К. Порядок в хаосе.- М.: Меркурий Пресс, 2000, 366 с.
  11. . Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова М.: 1966, 576 с.
  12. Д., Гарел О. Колебательные химические реакции,— М.: Мир, 1986, 250 с.
  13. Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных системах: вещественные и комплексные уравнения Лоренца // Синергетика. М.: Мир 1984, с. 164−179.
  14. В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк. 2001.- 395 с.
  15. А.Ф., Крищенко А. П. Аналитические условия существования гомоклинической петли в цепях Чуа. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с. 263−268.
  16. Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970, 534 с.
  17. .П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967, 472 с.
  18. Н.М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом.// Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, № 1, с. 69−73.
  19. Н.М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем, т. 33, вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49−65.
  20. А. М. Концентрационные колебания.— М.: Наука, 1974, 179 с.
  21. Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. химии. 1938. Т. 12. Вып. 1. С. 100−105.
  22. Д. А., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с. 99−106.
  23. Г. И., Сидоров С. В. Определение кинетических параметров процесса при соэкстракции нескольких веществ. Доклады РАСХ, 2000, № 3, с. 47−50.
  24. Ким А.В., Пименов В. Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256 с.
  25. Князе в Е.А., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Стабилизация неустойчивых стационарных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом. Нелинейная динамика и управление. Сб. трудов ИСА РАН.- М.: Эдиториал УРСС, 1999, с. 133−141.
  26. Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958, 474 с.
  27. А.П., Петровский И. Г., Пискунов П. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Сек. А. 1937. Т. 1. Вып. 6. С. 1−26.
  28. А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР, т. 98, 1954, № 4, с. 527 530.
  29. А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. В кн.: Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (обзорные доклады). М.: Физматгиз, 1961, с. 187 208.
  30. Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959, 212 с.
  31. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки. Странные аттракторы.- М.: Мир, 1981, с. 164−192.
  32. Е.С., Малых А. В. Исследование уединенных бегущих волн в одной четырех компонентной модели типа реакция-диффузия. Журн. выч. математики и мат. физики. 2001. Т. 41. № 10. С. 1597−1609
  33. Г. А. Об оценке параметров бифуркации пели сепаратрисы седла системы Лоренца // Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, № 6, с. 972−977.
  34. Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения.— СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2004. 144 с.
  35. А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Меркурий-ПРЕСС, 200, 528с.
  36. А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику.- М.: Наука, 1990, 272 с.
  37. А. М. Общая задача об устойчивости движения.- г. Череповец. Изд.-во Меркурий ПРЕСС, 2000, 386 с.
  38. Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики. Тр. ВНИИСИ АН СССР, 1991, с. 16−22.
  39. Н.А. Бифуркация Хопфа в системе Рёсслера // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 3, с. 538−541.
  40. Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических отображений.// Доклады РАН, т. 351, № 2, 1996, с. 175−177.
  41. Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических динамических систем.// Доклады РАН, т. 352, № 5, 1997 с. 610−612.
  42. Н.А. О стабилизации неустойчивых циклов хаотических отображений.// Доклады РАН, т. 355, № 6, 1997, с. 747−749.
  43. Н.А. О стабилизации неустойчивых предельных циклов двумерных динамических систем. Методы анализа нелинейных систем. М.: Диалог-МГУ, 1997, с. 84−87.
  44. Н.А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: Сборник статей
  45. Под ред. Емельянова С. В., Коровина С. К- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, с. 37−58.
  46. Н.А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах.// Дифференциальные уравнения, т. 34, № 11, 1998, с. 1051−1509.
  47. Н.А., Сидоров С. В. О некоторых подходах: к проблеме управления диффузионным хаосом // Дифференциальные уравнения, т. 35, № 5, 1999, с. 664−669.
  48. Н.А., Сидоров С. В. Стабилизация неустойчивых периодических решений в уравнениях с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения, т. 36, № 11, 2000, с. 1488−1492.
  49. Н.А., Сидоров С. В. Локализация и стабилизация неустойчивых решений хаотических динамических систем. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с. 217−246.
  50. Н.А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. // Дифференциальные уравнения, т. 37, № 11, 2001, с. 1494−1506.
  51. Н.А., Сидоров С. В. О некоторых мифах, связанных с возникновением аттрактора Лоренца. Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения, № 5, 2001, с. 91−92.
  52. Н.А., Сидоров С. В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243−262.
  53. Н.А., Сидоров С. В. Аттрактор Лоренца: мифы и реальность // International Conference «Nonlinear World», Suzdal, 24−29 jun. 2002.
  54. H.A., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина, — М.: Физматлит, 2002, с. 179−194.
  55. Н.А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов // Дифференциальные уравнения, т. 38, №. 12, 2002, с. 1606−1610.
  56. Н.А., Сидоров С. В. О нахождении гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511−1520.
  57. Н.А., Сидоров С. В. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем // Дифференциальные уравнения, т. 40, №. 11, 2004. с. 1500−1514.
  58. Н.А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004, 320 с.
  59. Н.А., Сидоров С. В. Актуальные проблемы хаотической динамики диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41−84.
  60. Н.А., Сидоров С. В. О диффузионном хаосе в уравнении Курамото-Цузуки. XIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». 29 мая 5 июня 2005 г. Ростов-на-Дону, Россия. С. 50.
  61. Н.А., Сидоров С. В. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит, 2005, с. 109−124.
  62. Н.А., Сидоров С. В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: численное исследование // Дифференциальные уравнения, т. 41, №. 11, 2005, с. 1550 1559.
  63. Н.А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения т. 42, № 11, 2006, с. 1507−1514
  64. Н.А., Сидоров С. В. Применение ФШМ-теории к анализу гамильтоновых систем // Дифференциальные уравнения т. 42, № 11, 2007, с. 1474−1479.
  65. Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 368 с.
  66. Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Под ред. Д. В. Трещева // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 448 с.
  67. М.Д., Павлов Б. М. Об одной нелинейной модели со сложной динамикой.//Вестник МГУ, сер. «Вычислительная математика и кибернетика», 2000, № 2.
  68. А. Избранные труды в трех томах. Том II. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. М.: Наука, 1972. 999 с.
  69. М.И., Фабрикант A.JI. // ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 617−629.
  70. Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука. 1998. — 255 с.
  71. Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы М.: Мир, 1981, с. 117−151.
  72. А.А., Гулин А. В. Численные методы.-М.: Наука, 1989, 430 с.
  73. А.А. Теория разностных схем.— 3-е изд., испр.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— 616 с.
  74. С.В. Об одной модели саморазвивающейся экономики. Сложные управляемые системы:/ Межвузовский сборник научных трудов. М.: РосЗИТЛП. 1996. С. 148−151.
  75. С.В. Восстановление параметров динамической системы. Математика, компьютер, образование. V Междунар. конф., Дубна, 26−31 янв. 1998, с. 183.
  76. С.В. Об управлении устойчивостью стационарных решений в системе реакция диффузия.- VII Междунар. конф. «Математика Компьютер. Образование». Дубна, 24−29 янв. 2000. С. 297.
  77. С.В. Исследование диффузионного хаоса. // Новое в науке и производстве текстильной м легко промышленности: Сборник научных трудов/ Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности. М.: 2005, с. 151 165.
  78. С. В. Бифуркационная диаграмма для уравнения Курамото-Цузуки. ХШ Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». 29 мая — 5 июня 2005 г. Ростов-на-Дону, Россия. С. 54.
  79. С.В. Универсальный сценарий перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений.- XIII Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 23−28 янв. 2006. С. 28.
  80. С.В. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, № 11, 2006, с. 197−199.
  81. С.В. Универсальность перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений. Динамиканеоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51−87.
  82. С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91−97.
  83. С.В. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып 3. / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190 197.
  84. С.В. Каскады бифуркаций решений в нелинейных дифференциальных уравнениях диффузионного типа. Нелинейный динамический анализ 2007. Тез. докладов международного конгресса, С-Петербург, 4−8 июня 2007. С. 242.
  85. С.В. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛП- М. 2007, с. 198 202.
  86. С.В. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии». 10−14 сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280−284.
  87. С.В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях // Динамика неоднородных систем / Труды ИСА РАН. Вып. 11. М.: Изд.-во ЛКИ, 2007. — с. 78−84.
  88. С.В. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны// Дифференциальные уравнения т. 44, № 8, 2008. с. 1148−1149.
  89. С.В. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176−184.
  90. С.В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование. Дифференциальные уравнения т. 45, № 2, 2009, с. 250−254.
  91. С.В. О переходе к решению в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», 17 22 июня 2008 г. Москва, Россия. С. 195.
  92. С.В., Сидоров С. С. О реконструкции динамической системы с хаотическим поведением. Математика, компьютер, образование. VII Междунар. конф., Дубна, 24−29 янв. 2000, с. 296.
  93. К. Эффективные вычисления в гамильтоновой механике. В кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: ИКИ, 2002, с. 10 40.
  94. Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 560 с.
  95. С. Математические проблемы следующего столетия. В кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: ИКИ, 2002, с. 280−303.
  96. Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. 564 с.
  97. Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. 389 с.
  98. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику.- М.: Изд.-во Моск. физико-техн. ин.-та, 1994. 528 с.
  99. М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343−374.
  100. Р., Бургер М. Колебания и бегущие волны в химических системах. М.: Мир, 1988. 720 с.
  101. В. А., Фаркаш X., Стрижак П. Е. Условия появления слож-нопериодических и детерминированных хаотических режимов в нелинейных химических реакциях // Теорет. и эксперим. химия. -2002, т. 38, № 5. С. 293−298.
  102. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1970, 720 с.
  103. Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984. 421 с.
  104. ., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла М.: Мир, 1985, 280 с.
  105. .В. Введение в комплексный анализ. 4.1-М.: Наука, 1985, 336 с.
  106. А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Укр. мат. журн., 1964, № 1, с. 61−71.
  107. Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн.: Марс-ден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавления II М.: Мир, 1980, с. 317−335.
  108. С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. Пятая летняя математическая школа. (Теория обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний), г. Ужгород, июнь-июль 1967 год. Киев: с. 473−549.
  109. Г. Детерминированный хаос: введение. — М.: Мир, 1988, 240 с.
  110. Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964, 128 с.
  111. Berger, P., Pomeau, Y. and Vidal, С. (1984). L’ordre dans le chaos: Vers une approche deterministe de la turbulence, Paris: Hermann.
  112. Brawn R., Rulkov N.F., and Tracy E.R. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data. // Phys. Rev. E, 1994, v. 49, p. 3784.
  113. Chen X. Lorenz equations. Part I: Existence and nonexistence of homo-clinic orbits 11 SIAM J. Math. Anal., 1996, v. 27, № 4, p. 1057−1069.
  114. L. О., Komuro M. and Matsumoto T. The double scroll family.// IEEE Trans. Circuits and Syst. -1986.- V. 33(1,2).- P. 1073−1118.
  115. Deissler R.J. Spatially growing waves, intermittency and convective chaos in an open-flow system. // Physica D. 1987.- V.25, № 1−3. -P. 233−260.
  116. Deissler R.J. Turbulent bursts, spots and slugs in a generalized Ginzburg-Landau equation. 11 Phys. Lett. A. 1987.- V.120, № 7. -P. 334−340.
  117. FitzHug R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophys. J. 1. 1961. P. 445−466.
  118. Gause, G. F. The Struggle for Eristence (Williams and Wilkins, Balti-mor), 1935.
  119. Ginous J.-M., Rosetto В., Jamet J.-L. Chaos in a three-dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type. Intern. Journ. of Bifurcation and Chaos, v. 15, №. 5, 2005, pp. 1689−1708.
  120. Guekenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz at-tractors//Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59−72.
  121. Guekenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.- N.-Y.: Springer, 1983, 453 p.
  122. Hung Yu-Fen, Sehreiber I., Ross J. New Reaction Mechanism for the Oscilatory Peroxidase Oxidase Reaction and Comparison with Experiments.// J. Phys. Chem. 1995. V.99, № 7. P. 1980 — 1987.
  123. Kuramoto Y. and Tsuzuki T. 1975 On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems.// Progr. Theor. Phys.- 1975.-V. 54(3).-P. 687−699.
  124. Lefever R., Prigogine I. Symmetry-breaking instabilities in dissipative systems // J. Chem. Phys., 1968, 48, p. 1695−1700.
  125. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci., 1963, v. 20. P. 130−141.
  126. Mackey M. and Glass.Oscillations and chaos in physiological control systems // Sciense.- 1977.- V. 197.- P. 287−289.
  127. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear Dynamics on the Life and Social Science. IOS Press, NATO Science Series. Ser. A. Life Science, 2001, v. 320, pp. 33−44.
  128. Magnitskii N.A., Sidorov S. V. On control of nonlinear chaotic 5th IFAC symposium «Nonlinear control systems NOLCOS’Ol», Saint-Petersburg, Russia, 2001. Dynamical systems.
  129. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. On chaotic attractors in the Lorenz system./ / International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts, Moscow, Russia, August 11−17, 2002, p. 68−69.
  130. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Actuale Problem of Chaotic Dynamics in Dissipapive Systems of Nonlinear Ordinare Differention Equations // Dynamics of Nongenerous Systems, № 7, 2003, pp. 5−43
  131. Magnitskii N. A., Sidorov S. V. New Methods for Chaotic Dynamics.— Singapore: World Scientific, 2006, 363 p.
  132. Manneville P., Pomeau Y. Intermittency and the Lorenz Model.- In: Symmetries and Broken Symmetries in Condensed Matter Physics, I.D.S.E.T. Paris, 1981.
  133. Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. An active impulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE 50. 1962. P. 2061−2070.
  134. Parlitz U. Estimating model parameters from times series by autosyn-chronization. // Phys. Rev. Lett. v. 76, 1996, p. 1232.
  135. Robinson C. Dynamical Systems, 2nd ed CRC Press, N.-Y., 1995.
  136. Rossler О. E. An equation for continuous chaos.// Phys. Lett.-1976-A 57(5).- pp. 397−398.
  137. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shil’nikov-type bifurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793−821.
  138. Shil’nikov L.P. Chua’s circuit: rigorous results and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994, v. 4, № 3, p. 488−519.
  139. Takens F. Detecting strange attractors on turbulence. Lecture notes in mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokio. 1981. V. 898, pp. 336−381.
  140. Tucker W. A rigorous ODE solver and Small’s 14th problem// Found. Comput. Math., 2002, p. 53−117.
  141. Turing A. On the chemical basic of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237, p. 37−52.
  142. Vallis G. K. A chaotic dynamical system// Science, 1986, v. 232, p. 243−245.
  143. Vallis G.K. Conceptual models of El Nino // J. Geophys. Res., 1988, v. 93, p. 13 979−13 991.
  144. Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in speciean-imali conviventi. Mem. Acad. Lincei III 6, 1926, p. 31−113.
  145. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors.//Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321−347.
  146. Yorke J.A. and Yorke E.O. Metastable chaos: the transition to sustained chaos oscillations in a madel of Lorenz// J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263−277.
  147. Zimmerman M.G., Firle S.O., Natiello M.A. et al. Pulse bifurcation and transition to spacetemporal chaosin an excitable reaction-diffusion model // Physica D. 1997. V. 110. P. 290−299.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!