Математическое моделирование хаотических колебаний гибких упругих пологих сферических оболочек

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы) Быстрое развитие нелинейной теории оболочек обусловлено научными потребностями практики. Широкое применение новых материалов, использование оболочек в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий настоятельно требует дальнейшего совершенствования методов расчета. Основы теории гибких пластин были заложены русским ученым И. Г. Бубновым. Теодором фон Карманом были даны общие уравнения для пластин. В 1949 г. В. З. Власов получил систему дифференциальных уравнений теории гибких пологих оболочек. Нелинейные уравнения осесимметричной деформации гибких пологих оболочек вращения вывели Д. Ю. Панов и В.И. Фео-досьев. Большой вклад в обоснование и развитие геометрически нелинейной теории внесли С. А. Алексеев, A.C. Вольмир, И. И. Ворович, К. З. Галимов, Б. Я. Кантор, Ю. Г. Коноплев, В. А. Крысько, Х. М. Муштари, В. В. Новожилов, A.B. Погорелов, JI.C. Срубщик, A.B. Саченков, В. И. Феодосьев.

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как H.A. Алумяэ [1], И. М. Бабаков [2], В. В. Болотин [3,4], Э. И. Григолюк [5] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для другихцепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края. Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий. Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги A.C. Вольмира [6], Б. Я. Кантора [7], В. А. Крысько [8], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе — перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов с позиций нелинейной теории. Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В. А. Крысько. В этом направлении A.B. Крысько [9] исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [10−11].

Отметим несколько работ, опубликованных в последнее десятилетие.

М.М. Карчевский и Л. Ш. Заботина [12] предложили смешанную схему метода конечных элементов для задачи о физически и геометрически нелинейном изгибе тонкой пологой оболочки. Конечноэлементная формулировка, обеспечивающая решение геометрически и физически нелинейных задач в области расчета напряженно-деформированного состояния составных оболочеч-ных конструкций, дана в статье Сорича [13]. Шиммельс и Палаиотто [14] рассматривали задачи о геометрически и физически нелинейном поведении оболо-чечных конструкций при больших деформациях. Сравнение различных подходов к проблеме геометрически и физически нелинейных оболочек проведено Сявяновской [15]. Причем полное совпадение с теорией Кирхгофа — Лява продемонстрировано для случая пологих оболочек. Нелинейное поведение сетчатых пологих оболочек, имеющих в плане прямоугольную форму, исследовали Ни и Лю [16]. Теорему о существовании решений краевой задачи физически и геометрически нелинейной теории пологих оболочек доказал С. Н. Тимергалиев [17]. Задачу определения напряженно — деформированного состояния геометрически и физически нелинейных пологих оболочек, не подчиненных никаким геометрическим граничным условиям, рассматривали И. Г. Терегулов и С. Н. Тимергалиев [18].

Запросы в первую очередь авиационной и космической техники определили настоятельную потребность в изучении динамических процессов в оболо-чечных конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Этим задачам посвящены монографии A.C. Вольмира [6], В. А. Крысько [8], В. А. Пальмова [19], Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [20], А. Л. Гольденвейзера, В. Б. Лидского и П. Е. Товстика [21], В.Л. Araмирова [22]. См. также обзор Я. М. Григоренко и В. И. Гуляева [23] и работу Лью и Лима [24], где изучаются свободные колебания пологих оболочек с прямоугольным планом.

Методы математического моделирования динамических процессов, применяемые в теории оболочек, разрабатывались и в работах, посвященных колебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных. Из работ последних лет можно выделить следующие. Т. Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [25] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упруго-пластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечным сечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесь обобщен на случай задач с движущимися граничными условиями. Проанализирован возможный характер разрушения балки при перемещениях области воздействия динамической нагрузки. Накано, Шинтани и Осуми [26] построили физико-математическую модель динамического поведения консольной упругой балки, основанную на результатах динамических испытаний на поперечные колебания. Предложен эффективный расчетный алгоритм идентификации посредством введения неизвестных параметров. Ямакава, Мураками и Синода [27] с целью исследования влияния совместного растяжения-сжатия, изгиба и поперечного сдвига на статическую и динамическую реакции анизотропных балок с узким прямоугольным поперечным сечением использовали теорию поперечного изгиба балок Тимошенко и с помощью составленных уравнений определили статические прогибы и показатели гармонического движения свободно опертых анизотропных балок. Анализ частот и форм колебаний балочных конструкций в условиях ударного нагружения провели Козыра и Шчесняк [28], найдены наибольшие амплитуды динамического прогиба упругой с признаками неоднородности балки в варианте шарнирного закрепления по концам. В работе Шпехта и Крампа [29] основное внимание уделено влиянию показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Собственные частоты и коэффициенты демпфирования испытываемых балок определялись в зависимости от величины и частоты действующих нагрузок. Чен и Ю [30] предприняли численноаналитическое исследование показателей процесса динамического разрушения жесткопластичной защемленной балки с краевыми поперечными трещинами у опертых концов под действием вертикального удара твердым снарядом. Проанализировано влияние соотношения масс балки и снаряда, а также осевой силы на конечную деформацию. Ли и Йо [31] построили физико-математическую модель поведения консольной упругой балки с ограничением в виде нелинейной пружины на свободном конце под действием поперечного гармонического возбуждения. Редди [32] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Обсуждены динамические версии этих моделей. Представлены результаты численного расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. В монографии A.A. Анане-ко и K. J1. Комарова [33] рассмотрены вопросы жесткои упругопластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Большое внимание уделено использованию современных методов решения задач динамического нагружения балок. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жесткои упругопластических сред.

В следующих работах исследовались математические модели оболочек.

И.В. Андрианов и Е. Г. Холод [34] получили эффективное аналитическое решение в одном примере нелинейных колебаний пологой сферической оболочки. С использованием асимптотического метода А. И. Станкевич, А.Ю. Ев-кин и С. А. Веретенников [35] вывели обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение оболочки при значительных амплитудах прогиба. Результаты расчетов (по методу Рунге — Кутта) сопоставляются с известными экспериментальными данными. Метод расчета тонких пологих оболочек, позволяющий по единому алгоритму решать физически и геометрически нелинейные задачи статики, динамики и устойчивости, предложили Г. В. Васильков и Аль-Халаби [36]. Рассмотрен пример нелинейной пологой оболочки с билинейной диаграммой деформирования. Сатьямурти [37] использовал теорию пологих оболочек для геометрически нелинейного анализа колебаний с большими амплитудами умеренно толстых изотропных сферических оболочечных конструкций. Ли [38] аналитическим путем определил параметры нелинейных осе-симметричных свободных и вынужденных колебаний ортотропных пологих оболочек вращения, особое внимание уделив исследованию динамического поведения тонких сферических оболочек в зависимости от их геометрических и физических характеристик. Устойчивость нелинейных колебаний оболочек при двухчастотном возбуждении исследовали Энеремаду, Цу и Римрот [39]. Задачи о собственных колебаниях толстых пластин и оболочек рассматривали Аврей-цевич и В. А. Крысько [40]. Используются уточненные оболочечные теории типа Тимошенко и трехмерная теория упругости. В качестве модельной задачи исследованы свободные колебания прямоугольного параллелепипеда с двумя свободными гранями. Проводится сравнительный анализ применения оболочечных теорий различного порядка к расчету частот. Новую методику решения нестационарных задач теории оболочек с локальными конструктивными неод-нородностями типа дополнительных опорных элементов предложил Л.Б. Лер-ман [41]. Она основана на применении разложений искомых величин в ряды по собственным формам колебаний. Догаки, Пек и Ионезава [42] провели численное исследование показателей динамической неустойчивости и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин с начальными деформациями под действием комбинации статической и периодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейности перемещений и физической нелинейности применяемого материала.

Особый раздел теории колебаний оболочек представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний к полной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Естественную трактовку эти задачи нелинейной динамики оболочек получили в рамках общей теории динамических систем, новый этап в развитии которой начался также в 1970;е годы. Появление понятий детерминированного хаоса и странного аттрактора позволило лучше понять эволюцию колебательных процессов. Этим вопросам, в частности, посвящены монографии Муна [43], Берже, Помо и Видаля [44], B.C. Анищенко [45], Капитаника [46].

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике колебательных систем в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения.

Следует отметить ту важную роль, которую играют в этих исследованиях современная вычислительная техника и методы математического моделирования динамических процессов.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например, монография Капитаника [47], ориентированная на инженеров — практиков. Обзор результатов проведенных в 1980;е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Капитаник в [48]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [49] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [50] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В 1979 году Холмс [51] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению. Мун [52] установил, что гармонически вынужденное движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Тенг и Доуэлл [53] определили пороговое значение нагрузки, вызывающей хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня, на основе анализа временного ряда. Поддар, Мун и Мухерджи [54] усовершенствовали расчетную модель шарнир-но закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении.

Хаотическим колебаниям деформируемых систем посвящен доклад Хана-гуда и Ашлани [55]. В частности, в нем для стержневых систем описаны различные пути перехода к хаосу в колебательных процессах. A.C. Беломытцев и В. Н. Карабан [56] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую в результате серии бифуркаций удвоения периода решения. Изучены квазипериодические колебания периодически возбуждаемой системы и многорежимные периодические колебания. Хан, Ху и Янг [57] рассматривали стойку с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена осевая сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

В 1985 г. Саймондс и Ю [58] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упругопластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Детально изучая этот эффект, Ли, Саймондс и Бо-рино [59] нашли, что в начальный период нагружения балки движение неизбежно носит хаотический характер. Этот преходящий хаос регистрируется как во временном ряде, так и на фазовом портрете и спектрограмме. Установлена также экспоненциальная природа повышения чувствительности процесса к изменениям параметров. В серии статей, опубликованных Ю. Лепиком, эти наблюдения были продолжены и расширены. Например, в [60] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго — пластической балки переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении.

Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [61]. Иосимура, Хино, Камата и Анантанараяна [62] описали хаотические колебания нелинейной шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [63] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой балки, лежащей на нелинейном упругом основании. Сложным колебаниям консервативных и диссипативных механических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа В. А. Крысько, В. В. Бочкарева и Т. А. Бочкаревой [64]. Оказалось, что хаотические колебания в собственном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

В.А. Баженов, Е. С. Дехтерюк и Ю. С. Петрина численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим.

Аврейцевич, В. А. Крысько и A.B. Крысько [65] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменных во времени сдвиговых нагрузок, В. А. Крысько и А. Г. Ромакин [66] установили, что при любых заданных значениях частоты и коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузки такое, что при больших значениях амплитуды колебания становятся хаотическими. В. А. Крысько, Т. В. Вахлаева и A.B. Крысько [67] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин проанализирован в работе Аврейцевича и В. А. Крысько [68]. Хаотические эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойных неспаянных пластин исследовали A.B. Крысько и Т. В. Бабенкова [69]. П. С. Ланда [70] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [71] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго — пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [72] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрел-ло, Френди и Браун [73] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипа-тивных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали A.B. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботаревский [74]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В. А. Крысько и A.B. Кириченко [75]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

На основе приведенного обзора публикаций, посвященных условиям возникновения хаотических движений в строительных конструкциях, подвергнутых переменным во времени нагрузкам, можно сделать следующие выводы.

1. В большинстве работ исследовались балочные системы. Тем не менее, и для них общие закономерности перехода к хаосу пока не выяснены, в основном идет накопление конкретных результатов для различных математических моделей.

2. Анализ нелинейных колебаний обол очечных конструкций, по-видимому наталкивается на еще большие трудности. Если для прямоугольных в плане пластин, подвергнутых продольным знакопеременным нагрузкам, удалось получить сценарии перехода к хаосу [67], то в случае собственно оболочек до сих пор были лишь проведены отдельные компьютерные эксперименты.

3. Математические модели круглых в плане, секториальных геометрически нелинейных пологих оболочек с точки зрения нелинейных колебаний, вызванных поперечной гармонической нагрузкой, не изучались.

Исследованию динамики пологих сферических на круглом плане оболочек методом конечных разностей в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек. Для достижения этой цели необходимо решить задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрического параметра или параметра пологости, граничных условий и геометрии плана оболочки.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек при произвольных краевых условиях.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи воздействия дополнительной знакопеременной локальной нагрузки или знакопеременного опорного момента.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 143 страницы наборного текста, 48 рисунков, 22 таблицы.

Выводы по диссертации.

1. Построена математическая модель теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности для круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки.

2. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа участков деления радиуса и угла для круглых и секториаль-ных оболочек при действии поперечной равномерно распределенной знакопеременной нагрузки.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлен и исследован новый сценарий перехода в хаос, обнаруженный в колебаниях исследуемой механической системы.

4. Исследована периодичность А. Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих сферических оболочек.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний сферических оболочек с помощью метода конечных разностей.

6. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров |<70, сор для круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки с рассмотренными краевыми условиями и типами нагруже-ния.

7. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах, сор для круглых, секториальных сферических оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки, локальной знакопеременной нагрузки и знакопеременного опорного момента, где происходило до 5 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума.

8. Обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Таккенса-Ньюхауза, и выявлены его области на картах со }. Данный сценарий присутствует в колебаниях круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек.

9. Исследована интегральная сходимость метода конечных разностейдается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

Ю.Исследована возможность управления хаосом с помощью дополнительного нагружения знакопеременной локальной нагрузкой или знакопеременным опорным моментом.