Матричное лагранжево описание вихревых структур в идеальной жидкости

Фундаментальной задачей современной гидродинамики, унаследованной от классической механики жидкости, остается изучение динамики и взаимодействия вихревых структур. По образному выражению, приведенному в книге Сэффмена [1], вихри — это «мышцы и жилы гидродинамики». Без представления о механизмах, определяющих их поведение, невозможно продвижение в построении динамических моделей турбулентности, решении проблем устойчивости и контроля течений, совершенствовании аэродинамики крыла и развитии многих других разделов гидродинамической теории и технических приложений.

За длительную историю развития гидродинамики было предложено несколько формулировок исходных уравнений, на которых может базироваться исследование тех или иных аспектов динамики вихрей. Например, можно рассматривать скорость как функцию координат в пространстве, или считать текущие координаты частиц жидкости функциями их начальных положений, или в некоторых случаях за независимые переменные принимать компоненты скорости, комплексный потенциал и функцию тока, использовать потенциалы Клебша, гамильтоновский формализм и так далее. Известные методы построения теории разделяются на три большие группы в зависимости от того, какой принцип описания движения жидкости лежит в их основе: эйлеров, лагранжев или смешанный, сочетающий элементы первых двух.

Традиционно наиболее широкое применение в классической и современной механике жидкости находят методы, развиваемые в рамках эйлерова («полевого») описания, когда течение характеризуется полями скорости (или другими связанными с ней величинами) как функциями координат в системе отсчета, не зависящей от движения среды. Альтернативой этому способу описания является лагранжев («материальный») подход, когда изучается эволюция каких-либо динамических характеристик для материальных элементов среды — жидких частиц, сохраняющих свою индивидуальность в потоке. В своем традиционном виде лагранжева теория ставит целью прослеживание перемещений жидких частиц, помечаемых с помощью некоторого набора параметров — лагранжевых переменных. Лагранжево описание используется при рассмотрении ряда фундаментальных задач в классической литературе [2−4], однако в современной гидродинамической теории оно применяется значительно реже, чем эйлерово. Особенность лагранжева подхода, создающая существенные затруднения при описании вязких сил, заключается в следующем. С физической точки зрения вязкие напряжения определяются взаимным расположением и относительными скоростями частиц в текущий момент времени, но при лагранжевом представлении независимые переменные характеризуют расстояния между частицами лишь на тот момент времени, который был выбран за начало отсчета. Следствием этого является появление в лагранжевых уравнениях, учитывающих вязкость, чрезвычайно громоздких анизотропных членов диффузионного типа, которые также имеют и высокую степень нелинейности [5−7].

Тем не менее для идеальной жидкости лагранжева формулировка уравнений гидродинамики обладает некоторыми преимуществами по сравнению с эйлеровой, поскольку она позволяет непосредственно использовать имеющиеся лагранжевы инварианты (величины, сохраняющие свое значение для жидкой частицы) для упрощения задачи. Постоянство во времени каждой такой величины означает наличие интеграла, который можно использовать для понижения порядка рассматриваемых дифференциальных уравнений. Кроме того, существенно лагранжевы характеристики, связанные с вихревыми трубками и поверхностями тока, позволяют предсказывать фундаментальные топологические свойства векторных полей, конвективно переносимых жидкостью и «вмороженных» в течение. Достаточно современный обзор топологических методов, опирающихся на свойства лагранжевой инвариантности (они оказались особенно плодотворными в магнитной гидродинамике), представлен в работе Моффата [8].

Соответствие между эйлеровыми и лагранжевыми характеристиками одного и того же течения, вообще говоря, может быть весьма нетривиальным. Примером этого могут служить волны Герстнера ([3,4], см. также § 4.5 настоящей работы) — они описываются замечательно простым решением лагранжевых уравнений, но не имеют явного представления в эйлеровом описании. Более типичным, однако, является как раз противоположное соотношение между эйлеровыми и лагранжевыми характеристиками. Даже в случаях, когда эйлерово поле скоростей относительно простое и детерминированное, картина движения частиц жидкости может приобретать хаотический характер (тогда говорят, что имеет место стохастическая адвекция, или лагранжев хаос — см., скажем, работу Арефа [9]). Обзор известных решений лагранжевой гидродинамики, включая собранные в книгах [10,11], свидетельствует о том, что общие аналитические методы исследования трехмерных лагранжевых уравнений не получили развития до настоящего времени. Подтверждением этому служат также и работы из специального тематического выпуска трудов Лондонского королевского общества, собранные под заглавием «Лагранжева картина движения жидкости"1 и отражающие в совокупности современные представления о различных аспектах движения жидкости с лагранжевой точки зрения. Единственный метод решения трехмерных задач, упоминаемый Стюартом и Табором в заглавной статье этого выпуска [12], пригоден лишь для специального класса частных решений, когда явная зависимость давления от координат и времени предполагается известной. Далее в том же тематическом выпуске Ареф (см. [9], Р. 274) констатирует, что «. хотя имеется простое соответствие между уравнениями гидродинамики в эйлеровом и лагранжевом представлениях и выбор между ними в значительной степени является делом вкуса, аналитическая традиция явным образом отдает предпочтение эйлерову представлению и рассматривает лагранжеву версию как непригодную для аналитического исследования».

Вопреки этому установившемуся мнению успешное развитие аналитических методов лагранжева описания для трехмерных вихревых течений оказывается возможным, если не ограничиваться рамками общепринятой парадигмы лагранжевой гидродинамики. С целью исследовать эти возможности в настоящей диссертации разрабатывается новый вариант теории, использующей лагранжев взгляд на движение жидкости, — матричное лагранжево описание.

Побудительным мотивом для развития нового подхода служили также и следующие очевидные соображения. Как правило, для каждой из известных формулировок уравнений гидродинамики имеется ряд задач, которые решаются просто и наглядно, хотя в других ситуациях та же самая форма уравнений может оказаться сложной для интерпретации и построения решений. Примеров этому множество: уже упомянутые выше вихревые волны Герстнера, теория которых в эйлеровой версии, вероятно, была бы еще более сложной, чем разложения Стокса для потенциальных волнс другой стороны, картина движения частиц для нестационарных решений уравнений Эйлера в большинстве случаев неясна.

Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. A. 1990. V. 333, № 1631. The lagrangian picture of fluid motion. A Theme compiled and edited by J. T. Stuart and M. Tabor. без специального исследования. Анализ этих и многих других примеров, на которых можно сопоставить результаты приложения различных формулировок теории, подтверждает следующее очевидное соображение. Там, где не удается продвинуться с помощью традиционных приемов, для получения новых результатов необходимо искать альтернативные способы построения теории. Именно таким образом возникли задачи разработки и приложения матричного описания, призванного облегчить изучение трехмерных вихревых структур с лагранжевой точки зрения.

Необходимо отметить, что попытки развить новые теоретические подходы в гидродинамике предпринимались неоднократно и часто оказывались весьма плодотворными. Например, оригинальная формулировка лагранжевых уравнений гидродинамики, предложенная Овсянниковым в работе [13], положила начало многочисленным работам его школы по теории устойчивости нестационарных течений со свободной границей, обзор которых можно найти в книге Андреева [10].

Мощный и универсальный гамильтоновский формализм, приложение которого к уравнениям гидродинамического типа было развито благодаря работам В. Е. Захарова, создал основу для целого направления исследований динамики и статистики волновых процессов в океане, атмосфере и плазменных средах. Современное изложение идей, приводящих к гамильтоновским формулировкам гидродинамических уравнений, представлено в обзоре Захарова и Кузнецова [14].

С использованием моделей гамильтоновской теории Кузнецовым и Руба-ном недавно было предложено так называемое представление вихревых линий — смешанный лагранжево-эйлеров вариант описания, когда каждая вихревая линия нумеруется двумерным лагранжевым маркером, а третья независимая переменная изменяется вдоль вихревых линий [15]. В последующих работах Кузнецова с соавторами [16,17] на основе этого описания был выдвинут и исследован механизм гидродинамического коллапса, связанный с опрокидыванием вихревых линий.

В работе Юдовича [18], посвященной той же проблеме — коллапсу и потере гладкости решений уравнений гидродинамики, уравнение Эйлера преобразовывалось в систему связанных уравнений для тензора скоростей деформации и «тензора завихренности», равного антисимметричной части тензора произволных от компонент скорости.

В числе появившихся за последнее время идей следует упомянуть и ква-тернионную формулировку уравнения Эйлера, которая представлена в работе Гиббона [19], опубликованной лишь несколько месяцев назад. Путем введения четырехкомпонентного вектора, элементы которого характеризуют взаимную ориентацию завихренности и главных осей тензора скоростей деформации, уравнение Эйлера удалось преобразовать к кватернионному уравнению Риккати или такому же уравнению Шредингера с нулевым собственным значением, для которого потенциал определяется матрицей Гесса от давления.

Подытоживая это далеко не полное перечисление различных подходов к построению теории, можно сделать вывод о том, что любая последовательная оригинальная формулировка основных уравнений (помимо того, что она интересна с методической точки зрения) способна стать эффективным инструментом решения тех или иных актуальных проблем динамики жидкости. С учетом этого обстоятельства и была определена цель данной работы.

Цель работы.

Основной целью настоящей работы является развитие нового варианта гидродинамической теории — матричного лагранжева описания, основанного на замкнутой системе уравнений для лагранжевой матрицы Якоби, разработка методов решения матричных лагранжевых уравнений и приложение полученных решений к изучению трехмерных вихревых структур в идеальной несжимаемой жидкости.

Достижение этой цели включает следующие этапы: изложение и обсуждение особенностей предлагаемого метода описания движения жидкости в рамках лагранжева представления, формулировка соответствующего ему математического аппарата — матричных лагранжевых уравненийразвитие методов построения решений системы матричных уравнений гидродинамики (в том числе на примерах модельных задач и путем сопоставления с известными результатами) — приложение разработанных методов к исследованию конкретных вихревых течений и получение новых результатов в области динамики трехмерных вихревых структур, подтверждающих эффективность предлагаемого подхода.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Замкнутая система уравнений для лагранжевой матрицы Якоби, описывающая движение идеальной несжимаемой жидкости и составляющая основу матричного лагранжева описания.

2. Общее представление завихренности через инварианты Коши течения и развитая на его основе физическая и геометрическая интерпретация инвариантов Коши в естественной «лагранжевой» криволинейной системе координат.

3. Новый класс двумерных нестационарных вихревых течений, описывающий эволюцию слоистых распределений завихренности в безграничной области или при наличии границ специальной формы.

4. Новое семейство нестационарных трехмерных вихревых течений с прецессией вектора завихренности, для которых траектории частиц представляются как сумма трех круговых вращений с различными амплитудами и пространственной ориентацией. Прецессия цилиндрического вихря эллиптического сечения во внешнем потенциальном потоке, изученная на основе найденных решений.

5. Лагранжево обобщение преобразования Лундгрена, включающее, помимо осесимметричного деформационного потока, сдвиговое течение в направлении главной оси тензора скоростей деформации. Построенные с помощью этого преобразования трехмерные точные решения, описывающие птоло-меевские вихри с осевым потоком в деформационном поле, а также волны Герстнера с поперечным течением.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 138 страниц, включая 17 рисунков и список литературы из 122 наименований.

Основные результаты диссертации.

1. Предложено уравнение совместности для лагранжевой матрицы Якоби. С помощью этого уравнения в совокупности с матричными уравнениями неразрывности и вихря построена замкнутая относительно матрицы Якоби система уравнений, которая является основой матричного лагранжева описания движений идеальной несжимаемой жидкости.

Показано, что матричные уравнения сохраняют свою структуру при унитарных преобразованиях пространственных координат и лагранжевых переменных. Даны комплексные формулировки трехмерных лагранжевых уравнений гидродинамики в матричной и обычной координатной формах.

2. Получено общее представление завихренности течения в виде разложения на составляющие, пропорциональные инвариантам Коши, в естественном лагранжевом базисе, в котором лагранжевы переменные играют роль криволинейных координат в пространстве. Дана физическая и геометрическая интерпретация смысла инвариантов Коши.

Определена универсальная система лагранжевых переменных для стационарных течений, установлена связь между их функцией Бернулли и инвариантами Коши. Найдено общее выражение для лагранжевой матрицы Якоби плоских стационарных потенциальных течений. На его основе в матричной форме построено решение задачи об эволюции малых вихревых возмущений в крупномасштабном потенциальном потоке.

Для решения задач «сшивки» трехмерных вихревых и потенциальных движений на границе вихря предложен новый параметрический метод, основанный на матричной формулировке условий потенциальности течения вне вихревой области.

3. С помощью методов факторизации и разделения переменных в действительной форме матричных уравнений найден и исследован новый класс двумерных решений, для которых временная зависимость положений частиц выражается суммой двух действительных экспонент с показателями различных.

128 знаков, а пространственная структура определяется заданием формы двух плоских кривых. Установлено, что эти решения описывают нестационарные вихревые течения со слоистыми распределениями завихренности в безграничной области или при наличии границ специальной формы. Получены трехмерные решения, обобщающие этот класс плоских течений.

4. Построено и изучено новое семейство нестационарных трехмерных вихревых течений, общими свойствами которых являются прецессия вектора завихренности и характер траекторий частиц в виде суперпозиции трех круговых вращений с различными амплитудами и пространственной ориентацией. На основе найденных решений исследовано трехмерное прецессионное движение цилиндрических вихрей эллиптического сечения под действием окружающего потенциального потока и установлен вид внешнего деформационного потенциала, определяющего прецессию вихря.

5. Найдено лагранжево обобщение преобразования Лундгрена для произвольных плоских движений, которое, помимо осесимметричного деформационного поля, включает сдвиговое течение в направлении главной оси тензора скоростей деформации. Построено семейство точных решений, описывающее трехмерные нестационарные вихри сложной радиальной и азимутальной структуры — птоломеевские вихри с осевым потоком в осесимметричном деформационном поле. Изучена модель распространения вихревых гравитационных поверхностных волн конечной амплитуды на неоднородном поперечном течении, найдены траектории частиц и поле завихренности для результирующего трехмерного движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящем разделе формулируются основные результаты диссертации.