Для большинства газов внутренние трения и теплопроводности проявляются в основном в довольно тонких слоях, примыкающих к обтекаемой поверхности. Поэтому для решения многих практических задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями пользуются идеями и методами теории пограничного слоя, которые были предложены Л. Прандтлем для течения несжимаемой жидкости в 1904 г. [74].
Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной и дала мощный толчок к развитию теоретических исследований. Под влиянием задач, поставленных развитием авиационной и ракетной техники, эта теория быстро развилась и превратилась в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.
Следует отметить, что в зависимости от значений числа Рейнольдса и других условий течения внутри пограничного слоя, он может быть ламинарным или турбулентным. Теория ламинарного пограничного слоя в настоящее время довольно глубоко развита в многочисленных исследованиях [см. например 27, 36, 43, 44, 52, 60, 68], чего нельзя утверждать в отношении турбулентного пограничного слоя.
Главными областями применения теории пограничного слоя являются задача о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела, расчет теплопередачи между телом и обтекаемой жидкостью, определение точки отрыва пограничного слоя и др.
Имеются различные способы, позволяющие влиять на характеристики пограничного слоя. Один из таких способов, заключающийся в отсасывании пограничного слоя, указал еще Л. Прандтль в своей первой работе о пограничном слое.
Как показали расчеты, ламинарный пограничный слой в состоянии преодолеть без отрыва относительно небольшое расстояние, а при турбулентном течении опасность отрыва значительно меньше, чем при ламинарном, так как турбулентное течение дает непрерывный перенос импульса из внешнего течения в пограничный слой. Несмотря на это и при турбулентном режиме течения желательно управлять пограничным слоем.
Методы управления пограничным слоем проверены экспериментально [1, 3, 7, 8, 38, 40, 41], а часть из них исследована теоретически [6, 27, 36, 39, 49, 59, 60, 68]. Все способы управления пограничным слоем предполагают: либо охлаждение обтекаемой стенки, либо вдув в пограничный слой или, отсос, либо придание стенке особой формы, либо приведение стенки, на которой образуется пограничный слой, в движение в сторону течения, либо сдув пограничного слоя.
Охлаждение обтекаемой стенки позволяет в области сверхзвуковых чисел Маха полностью стабилизировать пограничный слой и уменьшить его толщину. Если через пористую или перфорированную стенку вдувать (отсасывать) газ в пограничный слой, то можно уменьшить теплопередачу между стенкой и внешним течением и уменьшить сопротивление трения и, следовательно, уменьшить лобовое сопротивление обтекаемого тела.
Из всех способов управления пограничным слоем наибольшее практическое значение представляют отсос и вдув в пограничный слой [28, 44, 68].
Точное решение задачи о трении и теплообмене при вдуве в турбулентный пограничный слой представляет большие трудности, поэтому на практике широко используются эмпирические зависимости [45−48].
Следует также отметить, что в качестве средства, создающего эффект пленочного охлаждения, широко используется и тангенциальный вдув.
Вдув газа в пограничный слой используется как средство уменьшения трения и теплопередачи. С увеличением скорости вдува в направлении нормали к стенке напряжение трения в пограничном слое, уменьшается [28, 44, 68]. Причем, если вдува нет, то максимум напряжения трения имеет место на стенке, а с увеличением интенсивности вдува напряжение на стенке значительно уменьшается, а в пограничном слое существенно возрастает, достигая максимума на некотором удалении от поверхности. При этом, если интенсивность вдува невелика, то сохраняются основные допущения теории пограничного слоя. Методы расчета параметров турбулентного пограничного слоя при наличии вдува представлены в многочисленных работах (см., например, [1, 3, 49, 53, 59]).
Наряду с классическими постановками задач по управлению пограничным слоем на проницаемых профилях в последние годы благодаря работам Казанского профессора Т. К. Сиразетдинова и его учеников успешно развивается новое направление: теория оптимально управляемого пограничного слоя.
Первой публикацией в этом направлении является работа [62].
Как уже было отмечено, одним из способов решения этой задачи является управление местными значениями градиентов продольной скорости на обтекаемой поверхности путем вдува жидкости в пограничный слой. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход жидкости, мощность системы управления) ограничены, то естественным образом возникает вариационная задача оптимального управления пограничным слоем.
В работах [63, 64] в качестве функционалов выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо количество тепла в единицу времени, передаваемое от пограничного слоя к обтекаемой поверхностиуправлением служит скорость вдува, который предполагается «слабым», т. е. практически не влияющим на внешней границе пограничного слоя. В качестве ограничений выступает суммарный расход и кинетическая энергия вдуваемой жидкости (мощность системы управления). Разработан метод интегрирования сопряженной системы, основанный на идее пограничного слоя решений для множителей Лагранжа. Позднее Крайко [42] сделал полезное замечание к проблеме интегрирования сопряженной системы, вытекающее из факта существования интеграла Крокко для уравнения энергии в случае обтекания пластинки при числе Прандтля Рг = 1 и постоянной температуре стенки.
В работе [9] с помощью теоремы Нетер [73] был найден первый интеграл сопряженной системы для случая минимизации силы трения в пограничном слое несжимаемой жидкости на произвольном проницаемом профиле. Групповые свойства уравнений оптимального управляемого пограничного слоя исследованы в работе [26], а в [25] было осуществлено их расслоение. В работе [11] построено основное интегральное соотношение сопряженной системы и получено следствие из первого интеграла, которое предложено использовать для построения минимизирующей последовательности оптимальных законов вдува. На примере обтекания пластинки была показана эффективность использования группового подхода к решению вариационной задачи по сравнению с идеей пограничного слоя решений для множителей Лагранжа, предложенного в [64].
Задача оптимизации теплообмена для случая несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса рассмотрена в работе [10], а в работах [12, 14] поставлена и решена задачи минимизации конвективного теплового потока, передаваемого от пограничного слоя сжимаемого газа к обтекаемой поверхности соответственно в плоском и осесимметрическом случаях. Получен первый интеграл сопряженной системы, справедливый для любой зависимости вязкости от температуры, любой скорости на внешней границе пограничного слоя и произвольной температуры стенки.
В работе [2] дана постановка и решение задачи оптимального управления двухфазным пограничным слоем несжимаемой жидкости (через проницаемую поверхность подается жидкость с физическими свойствами, резко отличающимися от свойств жидкости в основном потоке). Разработан алгоритм построения оптимального закона вдува для случая обтекания пластинкив качестве функционала выступает величина силы ньютоновского трения, в качестве ограничений — расход и энергия вдуваемой жидкости. В статье [38] результаты работы [2] были распространены на случай оптимизации теплового обмена в двухфазном пограничном слое несжимаемой жидкости. Отметим, что в работах [2, 38] для построения оптимальных управлений был использован первый интеграл сопряженной системы, полученный ранее в [9].
В работе [21] была разработана разностная схема для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя, а в статье [22] для случая обтекания клиньев потоком несжимаемой жидкости впервые была доказана конечность оптимального управления в критической точке. Следует подчеркнуть, что разностные схемы была построены с учетом первого интеграла, полученного профессором К. Г. Гараевым для сопряженной системы относительно множителей Лагранжа.
В работе [12, 14] поставлена и решена задача о построении оптимальной неразрушающей тепловой защиты поверхностей, обтекаемых потоком вязкого газа при любой зависимости вязкости от температуры, произвольном числе Прандтля и произвольной температуре поверхности. Отметим, что в работе [64] подобная задача была поставлена для случая постоянной температуры стенки и линейной зависимости вязкости от температурытам же были получены необходимые условия оптимальности. В качестве функционала выступает конвективный тепловой поток, передаваемый от пограничного слоя к стенкев качестве управления — местный расход газа через проницаемую поверхность. Задача решается при ограничении на мощность системы охлаждения, которая рассчитывается с учетом закона Дарси [4, 57]. Оптимальная задача алгоритмизирована: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына [35, 51, 56] сведена к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми особенностями в точке полного торможения потока. Проведен вычислительный эксперимент по построению оптимального расхода охладителя через пористую стенку кругового цилиндра. Минимизирующая последовательность строилась комбинированным способом: на первой итерации оптимальное управление определялась методом типа Пикара, последующие приближения методом наискорейшего спуска [63]- была обнаружена быстрая сходимость итерационного процесса: оптимальное управление, найденное в первом приближении в аналитическом виде, дает значение функционала, совпадающее с точностью до 1−2% с его значением, полученным для «предельного» управляющего воздействия. Работа [14] посвящена минимизации тепловых потоков на проницаемых телах вращения. Получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен оптимальный закон вдува охладителя в первом приближении (также в аналитической форме), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Проведен вычислительный эксперимент для случая обтекания сферы сверхзвуковым потоком. Кроме того, поставлена и решена задача о форме внутреннего контура стенки, обеспечивающей требуемую температуру наружной стороны обшивки. В работе [5] рассмотрена задача оптимального управления пограничным слоем диссоциирующего газа при гиперзвуковых режимах течения.
Следует подчеркнуть, что все указанные здесь оптимальные задачи принадлежат к классу двумерных вариационных задач типа Майера [16].
Среди зарубежных работ следует отметить работы [69, 70], в которых рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости в стационарном случае, уравнения которого взяты в форму Мизеса: требуется найти уравнение (вдув или отсос [70], или распределение скорости на внешней границе пограничного слоя [69]), реализующее заданное распределение продольной компоненты скорости в фиксированном сечении х = х*. Функционал записывается в виде чебышевского отклонения действительного распределения скорости от желаемого. В обеих работах наискорейшего спуска проведены вычислительные эксперименты для модельных задачпри этом обнаружена достаточно быстрая сходимость метода последовательных приближений.
Данная диссертация посвящена управлению пограничным слоем при различных режимах течения, как в случае ламинарного, так и турбулентного потока. Работа состоит из трех глав.
В первой и второй главах рассмотрена задача управления температурным режимом на поверхностях, обтекаемых вязким газом в турбулентном сверхзвуковом потоке, что является важной проблемой прикладной аэродинамики: в некоторых случаях на определенных участках поверхности летательного аппарата необходимо создать определенный температурный режим, который требуется для нормального функционирования соответствующих приборов и оборудования, установленных на летательном аппарате, например, для проведения аэрофотосъемки на прозрачном участке обшивки необходимо поддерживать постоянную температуру для уменьшения оптических искажений.
В первой главе работы для этой цели предлагается математическая модель задачи тепломассообмена между турбулентным сверхзвуковым газовым потоком и произвольной криволинейной поверхностью с учетом сопряженного тепломассообмена. Эта модель представлена уравнениями турбулентного пограничного слоя, составленных с учетом гипотезы Прандтля-Ван-Дриста [49] и уравнениями распространения тепла в обшивке летательного аппарата с соответствующими граничными условиями. С помощью преобразований Степано-ва-Манглера-Дородницына эти уравнения приведены к виду, близкому к уравнениям пограничного слоя для несжимаемой жидкости и для решения соответствующей краевой задачи используется метод обобщенных интегральных соотношений А.Дородницына.
Расчет поля температур в твердой стенке, обтекаемой сверхзвуковым потоком, произведен для случая, когда стенка составлена из последовательно соединенных между собой частей с различными теплофизическими свойствами. Вначале идет непроницаемая часть, затем проницаемая, через которую осуществляется вдув газа и затем непроницаемая пластина (которую и необходимо защищать). Краевая задача стационарной теплопроводности для составной пластинки решена методом Бубнова-Галеркина и вариационным методом.
Вычислительный эксперимент проведен для различных значений параметров набегающего потока (числа Маха, высота), теплофизических свойств материала стенки (пористость, теплопроводность, толщина), а также скоростях вду-ва.
В результате был построен закон управления местным расходом газа через пористый участок обшивки, который обеспечивает практически постоянную температуру защищаемой части обшивки.
Во второй главе также рассмотрена задача стабилизации температуры на защищаемом участке пластины с применением полуэмпирической теории Кутателадзе-Леонтьевав этом случае защищаемая часть представляет собой адиабатическую пластинку с предвключенным участком, который можно либо охлаждать, либо осуществлять вдув (по нормали к поверхности). Кроме того, рассматривался и тангенциальный вдув: через щель в обшивке перед защищаемым участком производится вдув охладителя по касательной к поверхности в предположении ее адиабатичности.
Расчеты проведены для различных чисел Маха, высотах и скоростей вдуваварьировалась и высота щели при тангенциальном вдуве. Вдувался воздух. Результаты расчетов показали, что эффективность газовых завес с подачей охладителя выше, чем у завесы с охлаждаемым предвключенным участкомпри тангенциальном вдуве можно обеспечить практически постоянную температуру защищаемого участка поверхности. Однако для этого требуется значительно больший расход воздуха, чем при вдуве по нормали.
В третьей главе работы поставлены и решены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем на тонких клиньях и конусах в сверхзвуковом потоке. Система уравнений, описывающая ламинарный пограничный слой на цилиндрическом теле при его обтекании сверхзвуковым газом под нулевым углом атаки приводится к аппроксимирующей системе второго приближения (в смысле A.A. Дородницына). Ставится вариационная задача: среди непрерывных функций, описывающих законы вдува, требуется найти такой, который реализует минимальное значение ньютоновского сопротивление трения, при заданном ограничении на мощность системы управления.
Получена приближенная формула для оптимального управления.
Проведен вычислительный эксперимент для различных значений угла полураствора клина при различных числах Маха. Результаты вычислений показали, что при фиксированном угле полураствора выигрыш увеличивается с увеличением числа Маха, а при фиксированном числе Маха максимальная эффективность достигается на пластине.
Максимальная эффективность оптимального управления по сравнению с постоянным законом вдува достигает 34%.
В этой же главе поставлена и решена задача об определении оптимального закона вдува в пограничный слой на остром конусе в сверхзвуковом потоке, реализующего минимальное значение ньютоновского сопротивления трения. Оптимальное управление в первом приближении также получено в аналитическом виде.
Завершая вводную главу подчеркнем, что проблема управления пограничным слоем является особенно актуальной при сверхзвуковых режимах течения.
Цель работы:
— разработка математической модели для турбулентного режима обтекания сверхзвуковым потоком составной пластины с учетом сопряженного тепломас-собмена с целью управления температурным режимом на защищаемом участке;
— постановка и решение вариационных задач о минимизации величины ньютоновского трения на заостренном клине и конусе в сверхзвуковом потоке.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют, во-первых, обеспечить требуемые тепловые режимы на защищаемых участках поверхностей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа при турбулентном режиме обтеканияво-вторых, построить оптимальные законы вдува охладителя на пористом клине и конусе при их обтекании сверхзвуковым потоком, что, в конечном итоге, должно привести к снижению веса двигательной установки.
Основные научные результаты:
— математическая модель сопряженного тепломассообмена в двухфазной среде «газ-стенка», состоящая из уравнений турбулентного пограничного слоя, уравнения распространения тепла в составной обшивке летательного аппарата и условия теплового баланса на обтекаемой поверхности;
— постановка и методы решения задачи управления температурным режимом на внешней стороне обшивки на защищаемом участке затупленной пластины при сверхзвуковом режиме обтекания;
— результаты вычислительного эксперимента по стабилизации температуры на защищаемом участке твердой стенки;
— сравнение эффективности газовых завес;
— постановка и решение вариационных задач об оптимальном вдуве охладителя в сверхзвуковой пограничный слой на клине и заостренном конусе.
Научная новизна. Во-первых, использованная в диссертации математическая модель для решения задачи управления тепловыми режимами на определенных участках поверхности, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком, по-видимому, предложена впервые.
Во-вторых, автору неизвестны постановки и решения, рассмотренных в диссертации вариационных задач по оптимальному управлению пограничным слоем на заостренных тонких телах при сверхзвуковом режиме обтекания.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории пограничного слоя, тепломас-собмена, метод обобщенных интегральных соотношений Дородницына и методы вычислительной математики.
Достоверность исследований обеспечивается корректным использованием метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына, теории сопряженного тепломассобмена и методов вычислительной математики.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
— VII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 1997 г.;
— VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 2002 г.;
— XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий, Миасс, 2003 г.;
— XII Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2004 г. (2 доклада);
— VII международной летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 2005 г.;
— Всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2005 г.;
— научных семинарах кафедр теоретических основ теплотехники и специальной математики Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева (КАИ).
Постановка и решение задач по оптимальному управлению ламинарным пограничным слоем на клиньях и остром конусе в сверхзвуковом потоке были проведены согласно договору-подряду № 05−5.2−263 на средства фонда НИОКР РТ по теме: «Теоретико-групповые методы в проблеме управления ламинарным пограничным слоем».
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17,18, 23,24, 30−33,54, 55].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 116 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 6 таблиц и 16 рисунков.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертационной работе получены следующие результаты:
1. Предложена математическая модель сопряженного тепломасссообмена в двухфазной среде «сжимаемый газ-твердая стенка», состоящая из уравнений пограничного слоя газа и уравнения теплопроводности в обшивке летательного аппарата, позволяющая поставить и решить задачу управления температурой обшивки на защищаемом участке поверхности при турбулентном режиме течения.
2. С помощью вычислительного эксперимента найдены законы распределения удельного расхода газа через пористый или перфорированный участок, обеспечивающие заданные температуры защищаемого участка затупленной пластиныпоказана возможность стабилизации температуры на этом участке (расход охладителя является монотонно возрастающей функцией на предвклю-ченном участке). Получена аналитическая формула для соответствующих потребных перепадов давления.
3. На основе полуэмпирического метода расчета турбулентного пограничного слоя Кутателадзе С. И. и Леонтьева А. И. показана эффективность использования переменного закона вдува по нормали по сравнению с тангенциальным и постоянным законом вдува.
4. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве охладителя, минимизирующего интегральное сопротивление трения, испытуемого клином в сверхзвуковом потоке при ламинарном режиме течения. В качестве ограничения выступает мощность системы охлаждения, рассчитываемая с учетом фильтрационного закона Дарси. Оптимальное управление в первом приближении найдено в аналитической форме.
5. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве для случая обтекания сверхзвуковым потоком тонкого кругового конуса при предположении о том, что ударная волна является присоединенной. Проведенный вычислительный эксперимент для различных чисел Маха набегающего потока и углов полураствора конуса показали эффективность оптимального вдува по сравнению с неоптимальным (постоянным) законом вдува: выигрыш в значении минимизируемого функционала достигает 30%.
