Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов в плоскости

Общая характеристика работы.

В диссертационной работе изучаются две взаимосвязанные экстремальные задачи для алгебраических многочленов: о наилучшем в смысле равномерной нормы продолжении многочлена с единичной окружности на концентрическую окружность в плоскости К2 и о неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости.

Актуальность темы

.

Точные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности и родственные задачи для тригонометрических полиномов являются классическим разделом теории функций. Впервые подобные неравенства широко изучались С. Н. Бернштейном, М. Риссом, Г. Сеге, А. Зигмундом и др. К настоящему времени данной тематике посвящено большое количество работ, в том числе работы С. Н. Бернштейна, Г. Сеге, А. Зигмунда, С. Б. Стечкина, JI.B. Тайкова, В. В. Арестова.

В частности, JI.B. Тайков исследовал неравенство между равномерными нормами тригонометрического многочлена и его сопряженного на концентрических окружностях. Задача о точном неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях является естественным продолжением данных исследований.

Построенная в диссертации интерполяционная формула для оператора вида Бернштейна обобщает некоторые интерполяционные формулы, построенные ранее для исследования неравенств. Кроме того, необходимые и достаточные условия С. Н. Бернштейна интерпретируются в терминах коэффициентов интерполяционной формулы.

Задача о наилучшем продолжении алгебраического многочлена с единичной окружности является интересным и естественным распространением данной тематики. Очевидно, что норму алгебраического многочлена Рп (х, у) двух переменных на окружности радиуса г ф 1 невозможно оценить через его норму на единичной окружности. Достаточно в качестве примера рассмотреть многочлены Рп (х, у) = А (х2+у2 — 1), где, А — сколь угодно большое число. На окружности единичного радиуса эти многочлены равны нулю, а значит и ||Рп||с (Г1) = 0 — норма же на окружности радиуса Л > 1 равна ||-Рп||с (Гл) — А (Я2 ~~ 1)1 • Поэтому естественной представляется задача наилучшего (в смысле нормы) продолжения многочленов.

В силу сказанного, тема исследования данной диссертации является актуальной.

Цель работы: изучение величины наилучшего продолжения алгебраического многочлена двух вещественных перменных с единичной окружности плоскости на концентрические окружности большего и меньшего радиусовизучение точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскостипостроение интерполяционной формулы для линейных операторов вида.

Бернштейна на пространстве тригонометрических многочленов заданной степени.

Методика исследований.

Исследование величины наилучшего продолжения проходит в три этапа: построение общего вида продолжения, построение оценки снизу и построение оценки сверху. Общий вид продолжения строится при помощи теоремы Гильберта о корнях. Для оценки снизу достаточно построить конкретный алгебраический многочлен и оценить его наилучшее продолжение (точнее, в данном случае, показать, что его нельзя продолжить лучше в смысле нормы). Для оценки сверху для каждого многочлена строится конкретное продолжение и производится оценка нормы продолжения через норму многочлена.

Для изучения точной константы в неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях значение алгебраического многочлена на окружности большего радиуса представляется как оператор от его вещественной части на единичной окружности. Далее для оператора применяется результат С.Н. Берн-штейна [6].

Для построения интерполяционной формулы используется метод «приближения хвостами» для интегрального оператора от тригометрических полиномов: к ядру изучаемого оператора свертки добавляются специальным образом подобранные гармоники порядка старше чем порядок полинома (см., например, [21, 16]).

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: вычислены величины наилучшего продолжения алгебраического многочлена с единичной окружности на окружности большего и меньшего 7 радиусовизучено точное неравенство между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскостинайдены необходимые и достаточные условия для выполнения точного неравенства между равномерными нормами многочлена порядка п и его вещественной части на концентрических окружностях единичного радиуса и радиуса г > 1 с константой гпполучена интерполяционная формула для линейных операторов вида.

Берпштейна.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения точных неравенств для многочленов на окружностях и задач наилучшего продолжения многочленов многих переменных.

Публикации.

Основные результаты опубликованы в центральной печати в работах [22], [23], а также в трудах международной конференции [24].

Апробация.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная летняя математическая школа С. Б. Стечкина по теории функций (2007);

Международная конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач посвященная 100-летию В. К. Иванова (2008). на научных семинарах: под руководством член-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2008, 2009, 2010) — под руководством профессора В. В. Арестова в Уральском государственном университете им. A.M. Горького (2007, 2008, 2009, 2010).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [24, 25].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 2 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав и параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 52 страницы. Библиография содержит 25 наименований.

1. В. О неравенствах С. Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических многочленов // Докл. АН СССР. 1979. Т 246. № 6. С. 1289−1292.

2. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т 45. № 1. С. 3−22.

3. Арестов В. В. Об одном неравенстве Сеге для алгебраических многочленов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.2. С. 27−33.

4. Арестов В. В. Неравенства Бернштейна и Сеге для тригонометрических полиномов // Известия Уральского государственного университета. 2008. № 58. вып. 11. С. 43−58.

5. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 580 с.

6. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 2. М.: Изд-во. АН СССР, 1954. 627 с.

7. Ван дер Варден Б. JI. Алгебра. СПб.: Лань, 2004. 624 с.

8. Дубинин В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. вып. 5. С. 16−43.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.

11. Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 489−498.

12. Полиа Г., Сеге Г. Задачи теоремы из анализа: в 2 т. T.l. М.: ГИТТЛ, 1956. 396 с.

13. Рыжаков И. Ю. Об одной задаче С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 2. С. 282−285.

14. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

15. Сторженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Матем. сб. 1975. Т. 98, № 140. С. 395 415.

16. Тайков Л. В. Равномерная оценка величины сопряженного полинома на плоскости // Мат. заметки. 1993. Т. 54, вып. 6. С. 142−145.17. «Уолш Дж. JT. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961. 508 с.

17. Frappier С., Rahman Q. I. and Ruscheweyh St. New inequalities for polinomials // Trans.Amer.Math.Soc. 288(1985). pp. 69−99.

18. Govil N. K. On Growth of Polynomials // J of Inequal. and Appl. 2002. Vol. 7(5). pp. 623−631.

19. Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen fur Polynome // Deutch Mat. Ver. 1914. H. 23 S. 354−368.

20. Szego G. Uber einen Satz des Hern Serge Bernstein // Schrift. Konigsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. J. 5, H. 4. S. 59−70.Публикации автора по теме диссертацииВ ведущих рецензируемых научных журналах:

21. Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15. № 1. С. 184−194.

22. Парфененков А. В. Оценка алгебраического многочлена в плоскости через значение его вещественной части на единичной окружности // Известия вузов. Математика. 2010. № 3. С. 92−96.В трудах и тезисах конференций:

23. Парфененков А. В. Наилучшее продолжение алгебраического многочлена двух переменных с единичной окружности // Тр. Междунар. летн. мат. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С. 110−114.