Некоторые классы функциональных пространств, характеризуемых в терминах средней осцилляции и операторов с ядрами типа Бергмана

Результаты диссертационной работы относятся к теории функциональных пространств вещественного и комплексного переменного.

Диссертационная работа посвящена исследованию новых классов существенно различных функциональных пространств, в определении и (или) описании которых используется средняя осцилляция функции. Развиваются новые методы исследования и обобщаются известные и ставшие уже классическими методы, основанные на технике дробного интегродифференцирования, технике преобразования Березинаметоды теории интегральных операторов с каноническими ядрами, методы теории функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного.

Исследованы весовые аналитические пространства Бесова на единичном /щеке, пространства функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске и пространства функций с р— суммируемой с весом ограниченной средней осцилляцией па. вещественной оси, полуоси и отрезке.

Пространства Бергмана, Харди, Бесова, Липшица, Блоха и ВМОА наиболее широко изучены в современной литературе в ряду пространств аналитических функций одного или многих переменных. Широкий круг задач, в том числе интегральные представления функций из этих классов, разложение на атомы, вопросы двойственности, интерполяции, характеризация в терминах производных (в том числе и дробных) объединяет эти пространства и связывает решение этих задач со ставшими уже классическими операторами типа Бергмана, операторами дробного интегродифференцирования, преобразованием Березина и техникой средней осцилляции. Эти пространства, за исключением ВМОА, естественно могут считаться частью достаточно общего семейства аналитических пространств Соболева, однако детальное изучение каждого специфического класса представляет самостоятельный интерес. Не менее важным и актуальным представляется исследование пространств функций, определяемых условиями суммируемости на среднюю осцилляцию функций. Характеризация этих пространств представляется важной с точки зрения внутренних задач теории функций, каковыми, например, являются задачи описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в таких пространствах, а также вопросы аппроксимации локально суммируемых функций сингулярными интегралами в терминах средней осцилляции.

Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Получена характеризация весовых аналитических пространств БесоваВр (В) на единичном диске в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка, в терминах осцилляции функции в гиперболической метрике Бергмана.

Дана характеризация классов функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске ВМОд (У2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по гиперболическим дискам.

Введены и изучены классы функций с р— суммируемой (с весом) ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси ВМОРА,(М), полуоси ВМОР) и-(М±) и отрезке в терминах интегрального скачка Сарасона.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Безвесовые аналитические пространства Бесова на единичном диске комплексной плоскости, а также специальные классы так называемых Qp пространств, в определении которых участвуют производные, активно изучались в последние годы в контексте исследования инвариантных относительно преобразования Мебиуса пространств на единичном диске (упомянем, например, работы J. Arazy, S. Fisher, J. Peetre [40]-[44], [72], J. Xiao [89], [90], K. Zhu [91]-[97]). В связи с тем, что производные функций из аналитических пространств Бесова принадлежат весовым пространствам Бергмана, многие вопросы теории пространств Бергмана и операторов Теплица в этих пространствах связаны по-существу с характеризацией весовых пространств Бесова.

Важный класс аналитических пространств Бесова составляют так называемые диагональные пространства Бесова. Эти пространства введены и описаны в работе Zhu К. [94] в случае единичного диска и далее изучены в контексте ограниченной симметричной области [95], [96]. Характеризация функций из пространств Бесова приводится в различных терминах, включая осцилляцию функции в метрике Бергмана, проектор Бергмана и также некоторые аналоги оператора дробного дифференцирования.

Весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, изученные в первой главе диссертации, являются обобщением указанных пространств на весовой случай и определяются следующим образом. Для 0 < р < оо, — 1<�А<�оо весовое пространство Бесова В^ (В) определяется как множество аналитических на В функций, для которых.

1 — г2)" р-21{МЧг)^х (г) < оо, в где^д (-г) определяется равенством с1ц (г) = (Л + 1)(1 — 2) Х (11л (г), ¿-^{г) — —йхйу,.

7 Г, а Nлюбое фиксированное натуральное число, удовлетворяющее условию N > (определение весового пространства Вр (Ш) не зависит от N >

Основные результаты первой главы составляют описание этих пространств в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка в терминах осцилляции функции в метрике Бергмана, и др. Упомянутые операторы дробного дифференцирования характеризуются, например, действием на каноническое ядро Бергмана.

1 1 яа, ьт:-= т^-гттт—гт, г, УЗ е Ю>,.

1 -ггВ)2+а (1~гъй)2+а+г и широко используются в различных вопросах теории аналитических функций.

Одним из основных результатов первой главы является описание весовых пространств БесоваВр (Ю) в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана. Этот результат формулируется и доказывается в теоремах 1.15, 1.16.

В этом же контексте интересным представляется характе-ризация в терминах дробного дифференцирования Яа’ь (теорема 1.19).

Особый интерес представляет характеризация функций из Вр (Ш) в терминах осцилляции в гиперболической метрике Бергмана (теорема 1.22).

Исследованы также дальнейшие свойства весовых пространств 5р (В), в том числе нолучен результат о разложении на атомы функций из пространства?? р (В), изучено поведение коэффициентов ряда Тейлора функций из наконец, приведены результаты об интерполяции и двойственности весовых пространств Бесова в различных терминах. Именно, использованы различные формы скалярного произведения. Здесь мы не останавливаемся на этих вопросах.

Глава 2 посвящена описанию функций из весового пространства ВМОд (У2) на единичном бидиске V2 = В х В. Ясно, что все результаты немедленно обобщаются на многомерный случай полидиска Vя, так что случай бидиска рассматривается в контексте упрощения формулировок и доказательств.

Пространство ВМОд (У2), 1 < р < оо, — 1 < А < оо, определяется как совокупность измеримых на V2 функций, для которых полунорма.

1И1#, ВМОР (У2) = 8иР 11<Р° <**(•) -геУ2 конечна. Здесь (г) = {Х1 + 1)(Х2 + 1)(1-г12)Х1(1-г22)хЧф) и (¿-^(^-преобразование Березина функции (/?, связанное с весовым пространством Бергмана на бидиске, определяется следующим образом: р (*)= [ о, ¿-еУ2,.

У½ где функция.

А (1 — ы')"-" ' (1 — г, т,)-'ь.(1 — г2ш2)2+Л2 есть нормированное когерентное состояние в соответствующем весовом пространстве Бергмана на бидиске.

Выбор техники преобразования Березина для определения и описания пространств неслучаен. Преобразование Березина эффективно используется при изучении операторов в пространствах Бергмана. По — видимому, впервые символ Березина (ковариант-ный символ) с такой целью использовался в работах [47], [48]. Также преобразование Березина успешно применяется при исследовании пространств, начиная с пространств Харди (см., например, [83]) и включая пространства Бергмана-Сегала (см. [47]), и, носуществу, используется в контексте (аналитических) пространств Блоха и пространств с ограниченной средней осцилляцией (см., например, [91]).

Классы функций с ограниченной и исчезающей средней осцилляцией ВМО и VMO в гиперболической метрике Бергмана на единичном диске были введены и изучены в работе К. Zhu [91] и далее в работе D. Becolle, С. Berger, L. Coburn, К. Zhu [46] в случае ограниченных симметричных областей (упомянем также H. Li, D.H. Lueking [69]). Были исследованы также аналитические аналоги ВМОА, VMOA и ESV на единичном шаре в Сп. Эти исследования нашли приложение к задаче о связи между компактностью оператора Теплица с символом из ВМО и поведением преобразования Березина оператора Теплица при прр1ближении к границе диска (см. работы N. Zorboska [99], [100] и А. Н. Карапетянц [20], [21]). При этом в работах А. Н. Карапетянца вводились и изучались весовые пространства ВМОд (В) па единичном диске, обобщение которых на случай бидиска и представлено в настоящей диссертационной работе.

Отметим также, что в настоящее время имеется большое число работ по пространствам ВМО и их модификациям на полидиске (бидиске), см. например, Ferguson S., Sadosky С. [59] и Lacey M.,.

Ferguson S. [68] и имеющиеся там ссылки. В этих работах приведена характеризация функций из пространства ВМО и некоторых обобщений этого пространства в терминах мер Карлесона и в терминах двойственности, и далее результаты применяются к задачам ограниченности теплицевых и ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах Харди в полидиске. Упомянутые работы фактически не затрагивают тематику ха. рактеризации пространств в терминах гиперболической метрики, а также в терминах преобразования Березина. По-видимому, такое исследование может быть дальнейшим развитием данной тематики. Очевидно, что в случае полидиска возникает большое количество существенно различных модификаций ВМО — пространств.

В диссертационной работе приводится характеризация свойств функций из ВМОд (У2), в том числе доказывается липшицевость в метрике на V2 преобразования Березина функции из ВМОд (У2). Последний результат, например, является ключевым при исследовании свойств ограниченности и компактности операторов типа Теплица с символами из ВМОд (У2) в весовых пространствах Бергмана.

Одним из основных результатов второй главы диссертации является теорема 2.15, в которой приводятся эквивалентные описания условии принадлежности функции BMOj (V2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по бидискам D (z, w) = D{zi, W) X D (Z2,W2).

Описание пространств с ограниченной средней осцилляцией в терминах преобразования Березина вполне естественно с точки зрения комплексного анализа. Однако, используется также альтернативный подход к описанию пространств с ограниченной средней осцилляцией — следуя традициям теории вещественного переменного, описание дается в терминах средних по гиперболическим дискам. Это описание дается в теореме 2.19, которая вытекает из ряда предшествующих результатов, представляющих самостоятельный интерес (например, лемма 2.20).

К вещественным пространствам ВМО, а точнее, к некоторым обобщениям этих пространств, мы обращаемся в третьей главе диссертации.

Пространства, определяемые условиями на среднюю осцилляцию функций, представляют важный объект исследования с точки зрения внутренних задач теории функций, таких как задача описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в гармоническом анализе в пространствах типа ВМО.

Классы функций, определяемые условиями на среднюю осцилляцию, изучались, например, в работах Э. Лапвоп [60], II. Бе Уоге, II. ЭЬагрку [55] и других авторов. В работах Р. Рзаева [32]-[34] исследовались многомерные сингулярные операторы в более общих пространствах ВМОК определяемых с помощью уело-вий на модуль гладкости к — го порядка, а также вопросы аппроксимации функций из этих пространств. Заметим, что в этих обозначениях упомянутые выше работы Э. ЛапБоп, К. БеУоге, Я. 8Ьагр1еу относятся к случаю к = 1, (р (6) = 5х, 1 ^ в ^ оо и к ^ 1, <р (5) = ¿-)л, в — оо. В частности, если </?(?) = 1, то ВМОф ^ — ВМО+Р^ 1, где ВМО — класс всех локально интегрируемых функций, имеющих ограниченную среднюю осцилляцию и Рк — множество полиномов степени не выше к.

В главе 3 мы продолжаем исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, вида ВМп. Именно, изучаются классы функций ВМОР) Ш (М), ВМОРА,(М±),.

ВМОРА,(а, Ь) с р— суммируемой с весом 1/а-р ограниченной средней осцилляцией. Здесь непрерывная неотрицательная функция со Фц-1 '•— {и 1 р почти убывает при Ь 6 (0, сю)}.

Рассматриваются вопросы продолжения и склеивания функций из пространств ВМОРА-(М±), приводятся необходимые условия принадлежности функций этим пространствам в терминах сходимости некоторого интеграла. В качестве приложения исследованы вопросы ограниченности операторов свертки и с однородными степени — 1 ядрами в пространствах ВМОРА,(М+) и ВМОР) и,(1&). Этот ряд вопросов для указанных пространств ранее не рассматривался.

Пусть I = (а, Ъ)~ интервал в М, |/| = Ъ — а — длина этого интервала. Для функции /, как обычно, положим = ЩI /Шу, Ш Л = щ /1 №) — Шх.

I I и га/(г) = 8ир{П (/, /): |/| < / С К}.

Пространство ВМОР) Ш (М), 1 ^ р < оо, состоит из функций, локально интегрируемых на М, для которых следующая полунорма конечна: I оо. р

11/||#, ВМОр,"(Ж).

1 о.

I. ] р, а < оо. (о.1).

Аналогично вводятся пространства ВМОРА,(М+), ВМОрл-(а, Ь).

Вначале приводятся некоторые оценки для локально интегрируемых функций, в том числе доказывается полнота пространства ВМОрДМ).

Один из основных результатов — характеризация функций из ВМОР-^(М+), продолжения которых на полуось х < 0 нулем, четным или нечетным образом принадлежит всему пространству ВМОР) а-(К). Этот результат состоит из теорем 3.17, 3.18, 3.19.

Далее рассматриваются вопросы склеивания функций из пространств ВМОр5а-(М±). Здесь используется аналог интегрального скачка, введенного Д. Сарасоном:

Т+£ Т вгМ) = / f (t)dt¦ т т—е.

Это выражение позволяет локально характеризовать пространства функций с ограниченной средней осцилляцией.

Таким образом, следующий ряд результатов — теоремы 3.26 и 3.27, в которых сформулированы и доказаны необходимые и в определенном смысле достаточные условия принадлежности ВМОТ) в терминах интегрального скачка в случае бесконечных и конечных интервалов.

Наконец, как уже было отмечено, в качестве приложения полученных результатов сформулированы и доказаны теоремы об ограниченности операторов Вольтерра и свертки в пространствах ВМОрДМ) и ВМОр>а-(М+).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Карапетянцу за постановку задач, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация выполнена в Южном федеральном университете на кафедре Дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований: «Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ 06−01−297-а, исполнитель) — и «Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами» (РФФИ 04−01−862-а, исполнитель).

Отдельные части диссертации докладывались на 4-ой международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАБЕ-2006, Минск, Белорусский госуниверситет, сентябрь 2006) — па международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, МГУ, май 2007) — на международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование» (Волгодонск, сентябрь 2007).

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета, на семинарах кафедры математики Ингушского государственного университета.

Содержание диссертации опубликовано в работах [101]-[111]. Профессору, д.ф.м.н. Н. К. Карапетянцу принадлежит постановка задач, решение которых составило третью главу диссертационной работы, а научному руководителю, д.ф.м.н. А. Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач первой и второй главы диссертации и последующее руководство решением задач, составивших диссертационную работу. Автору диссертации принадлежит реализация рекомендаций и доказательства соответствующих результатов. Результаты совместных с А. Н. Карапетяицем рабой1 были обобщены и существенно дополнены соискателем в единоличной работе [110], и вошли в диссертацию именно в том виде, в котором они получены в указанной работе.

1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. Труды московского матем-го общества. -1956. -Т. 5. -С. 483−522.

2. Берколайко М. З. Оценки модулей непрерывности функций из пространств B^'q, H^? и их приложения.// ДАН СССР.-1977. -Т. 233. № 5. -С. 761−764.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции // М.:Мир. -1984. 470 с.

4. Гиль A.B. Интегральные операторы свёртки и с однородными ядрами в пространстве ВМО: Диссертация. кандидата физ.-матем. наук // Ростов-на-Дону. -2004.

5. Гиль A.B. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО. //Сборник научных трудов: Модели и дискретные структуры. Элиста. -2002. -С. 152−163.

6. Гиль A.B., Карапетянц Н. К. Интегральный оператор с однородным степени —1 ядром в пространстве ВМО. // Сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения». Ростов-н/Д, Изд-во ДГТУ. -2001. Вып.5. -С. 59−77.

7. Гиль A.B. Операторы с однородным ядром в пространстве ВМОк (R+). // Материалы международного российскогоказахского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. НальчикЭльбрус. -2004. -С. 39−40.

8. Гиль A.B. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО (0, оо). // Тезисы докладов X Международной конференции: «Математика. Экономика. Образование.» II Международный симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Ростов-н/Д. -2002. -С. 67.

9. Гиль A.B. Интегральные операторы Винера-Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО. // Ростов-н/Д. Ростовский ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.02.2004. № 209-В2004, 35 с.

10. Гиль A.B., Карапетянц Н. К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией. // Доклады РАН. -2004. -Т. 397. № 1. -С. 1−4.

11. Гиль A.B. Ограниченность оператора с суммарным ядром в пространствах ВМО, VMO и VMO на полуоси. // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Ростов-н/Д, Изд. РГУ. -2003. -Т. 9. -С. 25−28.

12. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтлвуда в пространствах ReH1 и ВМО // Матем. сб. -1997. -Т. 188. № 7. -С. 93−106.

13. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения // М.: Наука. -1971. 352 с.

14. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш.

Введение

в в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений.// М.: Наука. -1980.

15. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики // Труды Тбил. Мат. ин-та АН Груз. ССР. -1974. -Т. 60. 134 с.

16. Дыбин В. В., Карапетянц. Н. К. Об интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций // Сибирский матем. журнал. -1966. Т. УП. № 3. -С. 531−545.

17. Дыбин В. Б., Джиргалова C.B. Оператор дискретной свёртки в пространстве {а, {3}р, 1 < р < оо // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение. Математика и механика. Ростов-н/Д. -2003. № 9. -С. 3−16.

18. Карапетянц А. Н. Характеризация функций из весового пространства BMO^CD) на единичном диске // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. -2005. Ж 9. -С. 8−17.

19. Карапетянц А. Н. Описание весовых пространств ВМОд (Ю>) в терминах средней осцилляции в метрике Бергмана // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2006. №. 1. -С. 15−19.

20. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения // Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. -1988. 188 с.

21. Карапетянц Н. К. О локальных свойствах решения уравнения Винера-Хопфа // Изв. Вузов. Математика. -1983. № 4. -С. 6167.

22. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды // М.: Наука. -1984. 496 с.

23. Кузнецов Д. С. Специальные функции // Изд-во «Высшая школа», Москва. -1965.

24. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр // М.: Мир. -1984. 364 с.

25. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1 // Душанбе: Дониш. -1966. 48 с.

26. Прссдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений // М.: Мир. -1979. 494 с.

27. Рабинович B.C. Некоторые оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига в пространствах с весом // Изв. Вузов. Математика. -1968. № 10. -С. 72−80.

28. Рабинович B.C. Многомерные операторы типа свертки в пространствах, интегрируемых с весом функций // Мат. заметки. -1974. -Т. 16. № 2. -С. 267−276.

29. Рабинович B.C. Многомерное уравнение Винера-Хопфа для конусов // Сб. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения». -1968. Вып. 6. -С. 59−67.

30. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций. // ДАН СССР. -1990. -Т. 314. № 3. -С. 562−565.

31. Рзаев P.M. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций и некоторые приложения: Диссертация. доктора физ.- матем. наук // Баку. -1993.

32. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию кго порядка. // Доклады РАН. -1997. -Т. 356. Я0 5. -С. 602−604.

33. Садовничий В. А. Теория операторов // Изд-во МГУ. -1980.

34. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск. Наука и техника. -1987.

35. Симонснко И. В., Чииь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость // Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. -1986.

36. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций // М.: Высшая школа. -1991. 208 с.

37. Шанкишвили Л. Д. Интегро-дифферепцирование комплексного порядка в гельдеровских классах: Диссертация. кандидата физ.- матем. наук // Ростов-на-Дону. -1999.

38. Arazy J., Fisher S. The uniqueness of the Dirichlet space among Mobius-invariant Hilbert spaces // Illinois J. Math.29. -1985. -P. 449−462.

39. Arazy J., Fisher S. Mobius-invariant spaces of holomorfic functions in bounded symmetric domains // Operator theory, Advances and Applications. -1990. -V. 48. -P. 67−91.

40. Arazy J. Realization of the invariant inner products on highest guoticnts of the composition series // Arkiv Mat. 30. -1992. -P. 1−24.

41. Arazy J., Fisher S., Janson S., Peetre J. An identity for reprodusing kernels in a planar domain an Gilbert-Schmidt Hankel operators // -1988.

42. Becolle D., Berger C.A., Coburn L.A., Zhu K. BMO in Bergman metric on bounded symmetric domains //J. Funct. Anal. -1990. -V. 93. -P. 310−350.

43. Berger C.A., Coburn L.A. Toeplitz operators and quantum mechanics // J. Funct. Anal. 1986. — T. 68. — C. 273 — 299.

44. Berger C.A., Coburn L.A. Toeplitz operators of the Seagal-Bargmann space // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. — T. 301. — C. 813 — 829.

45. F.A. Berezin. Wick and anti-Wick symbols of operators // Math. USSR Sbornik. -1971. -V. 84. -R 578−610.

46. F.A. Berezin. Covariant and contravariant symbols of operators // Math. USSR Sbornik. -1972. -V. 6. -R 1117−1151.

47. F.A. Berezin. Quantization // Math. USSR Izvestija. -1974. -V. 8. -R 1109−1165.

48. F.A. Berezin, M.A. Shubin The Schroedinger equation // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston. -1991.

49. Bottcher A., Silberman B. Analysis of Toeplitz Operators.// New-York, Berlin: Springer Verlag. -1990.

50. Brown L., Shields A. Cyclic vectors in the Dirichlet space // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. -V. 285. -P. 269−304.

51. De Vore R.A., Sharpley R.C. Maximal functions measuring smoothness // Memoirs. AMS. -1984. -V. 47. № 293. 115 p.

52. Fefferman C., Stein E.M. Characterization of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. — T. 77. — C. 587 -588.

53. Fefferman C., Stein E.M. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. — T. 129. — C. 137 — 193.

54. Frazier M., Javerth B. Decomposition of Besov spaces // Indiana Univ. Math. J. -1985. -V. 34. -P. 777−799.

55. Ferguson S., Sadosky C. Characterization of bounded mean oscillation on the polydisc in terms of Hankel operators and Carleson measures // J. D’Analyse Math. 2000. — V. 81. -P. 239 — 267.

56. Janson S. On function with conditions on the mean oscillation // Ark. Math. -1976. -V. 14. -P. 1189−196.

57. Iledenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces // New York: Springer-Verlag, 2000.

58. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with involutive operators and their applications / / Boston-Basel-Berlin: Birkhauser. -2001. 427 p.

59. Karapetiants N.K., Samko N. Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spaces via indices and Mw // Fract. Calc. Appl. Anal. -2004. -V. 7. № 4. -P. 437−458.

60. Kerman R., Sawyer R. Carleson measures and multipliers of Dirichlet-type space // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. -V. 309. -P. 87−98.

61. Krantz S. Function theory of several complex variables. John Wiley (c)Sons, 1982.

62. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications. I. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2001. -V. 258. -P. 629−641.

63. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications IT. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2001. -V. 258. -P. 642−657.

64. Lacey M., Ferguson S. A characterization of product BMO by commutators // Acta Mathematica 2002. — V. 189. № 2. — P. 143 — 160.

65. Li H., Lueking D. H. BMO on strongly pseudoconvex domains: Hankel operators, duality and d estimates // Trans. Amer. Math. Soc. — 1994. — V. 346. № 2. — P. 661 — 691.

66. Peetre J. Invariant function spaces connected with the holomorfic discrete series // Anniversary on Approximation Theory and Functional Analysis (Proceedings, Oberwolfach 1983), Intermat. Ser. Numer. Math.65. -1984. -P. 119−134.

67. Peetre J. Invariant function spaces and Hankel operators a rapid survey // Exposition Math.5. -1986. -P. 3−16.

68. Peetre J. New Thoughts on Besov spaces // Duke Univ. Math. Series 1. Durham. -1976.

69. Poller V. Hankel operators of class Cp and their applications (rational approximation, Gaussian processes, the problem of majarizing operators) // Math. USSR-Sbornik 41. -1982. -P. 443 479.

70. Rochberg R. Decomposition theorems for Bergman spaces and their applications // Operators and Function Theory (S. C. Power, editor), D. Reidel. -1985. -P. 225−277.

71. Rochberg R., Semmes S. A decomposition theorem for functions in BMO^(V2) and applications //J. Funct. Anal. -1986. -V. 67. -P. 228−263.

72. Samko N. Singular integral operators in weighted spaces with generalized Holder condition // Proc. Razmadze Math. Inst. -1999. -V. 120. -P. 107−134.

73. Samko N. On compactness of integral operators with a generalized weak singularity in weighted spaces of continuous functions witha given continuity modulus // Proc. Razmadze Math. Inst. -2004. -V. 136. -P. 91−113.

74. Samko N. On non-equilibrated almost, monotonic functions of the Zygmund-Bari-Stechkin class // Real Analysis Exchange. -2005. -V. 30. № 2. -P. 727−746.

75. Sarason D. Toeplitz operators with precewise quasicontinuous symbols.// Indiana Univ. Math. J. -1977. -V. 28. № 5. P. 817−838.

76. Shapiro J., Random A. Dirichlet functions are multipliers. -1988.

77. Shapiro H., Shields A. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces // Math. Z. -1962. -V. 80. -P. 217−229.

78. D. Stegenga Multipliers of the Dirichlet space, III // J. Math. -1980. -V. 24. -P. 113−139.

79. Stroethoff K. Algebraic properties of Toeplitz operators on the Hardy space via the Berezin transform // Contemp. Math. 232, AMS. Providence, RI. — 1999.

80. G. Taylor Multipliers on Da // Trans. Amer. Math. Soc. -1966. -V. 123. -P. 229−240.

81. Torchincky A. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis // Academic Press, Inc., -1986. -V. 123. -P. 468.

82. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator, Lqo, and BMO. //J. London Math. 1993. Soc. II. Ser. -48. -P. 167−177.

83. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator and the gap between Loo and BMO. //J. London Math. Soc. 1998. II. Ser. -57. -P. 196−208.

84. Yacubov A.Y. Fractional type integration operators in weighted generalized Holder spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. -2002. -V. 5(3). -P. 275−294.

85. Xiao J. Holomorfic Q Classes // Lecture Notes in Math.1767. Springer-Verlag, Berlin. -2001.

86. Xiao J. Geometric Q Classes // Frontiers in Math. Birchauser-Verlag. -2006.

87. Zhu K. VMO, ESV, and Toeplitz operators on the Bergman space // Trans. Amer. Math. -1987. -V. 302. -P. 617−646.

88. Zhu K. Operator theory in function spaces. // Monografs and textbooks in pure and applied mathematics. New York: Marcel Dekker. -1990.

89. Zhu K. Mobius invariant Hilbert spaces of holomorfic functions on the unit ball of Cn // Trans. Amer. Soc.323. -1991. -P. 823−842.

90. Zhu K. Analytic Besov spaces // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -1991. -V. 157. -P. 318−336.

91. Zhu K. Holomorphic Besov spaces on bounded symmetric domains // Quarterly J. Math. Oxford (2). -1995. -V. 46. -P. 239 256.

92. Zhu K. Holomorphic Besov spaces on bounded symmetric domains, II // Indiana University Mathematics Journal. -1995. -V. 44. № 4. -P. 1017−1031.

93. Zhu K. Spaces of holomorphic functions in the unit ball // Graduate texts in Mathematics. Springer, 2004.

94. Zhu К. Operator theory in function spaces // American Mathematical Society. -2007. -V. 138.

95. Zorboska N., Toeplits operators with BMO symbols and the Berezin transform //IJMMS. -2003. -V. 46. -P. 2929−2945.

96. Zorboska N. The Beresin transform and radial operators // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. — V. 131. № 3. — P. 793 — 800.

97. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit ball // Proc. A. Ra, zmadze Math. Inst. -2005. -V. 139. -P. 125−127.

98. Кодзоева Ф. Д. Характеризация функций из аналитического пространства БесоваBi (ID) на единичном диске в терминах весового проектора Бергмана // Научный вестник Ингушского госуниверситета. Магас. -2005. №.1−2. -С. 130−134.

99. Карапетянц А. Н., Кодзоева Ф. Д. Характеризация функций из весового аналитического пространства Бесова на единичном диске //В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВИЦ РАН. -2006. -Т. 1. -С. 48−62.

100. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit disc and polydisc // Тезисы докладов 4-ой международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Минск. -2006. -С. 61.

101. Кодзоева Ф. Д. Характеризация функций из BMO (V2) в терминах преобразования Березина // Труды 4-ой международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений». Минск. -2006. -Т. 2. -С. 84−88.

102. Кодзосва Ф. Д. Характеризация функций из ВМО (у2) в терминах преобразования Березина // Тезисы докладов международной конференции: «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». МГУ. Москва. -2007. -С. 144.

103. Кодзоева Ф. Д. Описание весового пространства ВМО^(У2) // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. № 3. -С. 3−11.

104. Кодзоева Ф. Д. Характеризация функций из ВМО^(У2) в терминах средних по гиберболическим дискам // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. Ж4. -С. 8−15.

105. Кодзоева Ф. Д. Двойственность и интерполяция весовых аналитических пространств Бесова на единичном диске // В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВИЦ РАН. -2008. -Т. 1. -С.

106. Кодзоева Ф. Д. Описание аналитических пространств Бесова в терминах радиальных операторов дифференцирования дробного порядка // Известия вузов. Математика. Изд-во Казанского Гос. Университета. -2008. № 10. -С. 1−4.

107. Кодзоева Ф. Д. Пространство BMOP-U,(®L) и оценки средних значений // Ростов-на-Дону. Южный Федеральный Университет. Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.05.2008. № 474-В2008. 42 с. 131.136.