Развитие и применение метода фиктивных канонических областей

Одним из наиболее важных направлений развития математической физики является разработка методов решения краевых задач. С решением краевых задач связано большинство проблем прочности, надежности и долговечности объектов ответственного назначения (военных и гражданских сооружений, транспортных средств, объектов энергетики и т. д.), поэтому, особую актуальность это направление приобрело в XXI веке.

В истории развития методов решения краевых задач математической физики можно проследить два периода. Первый исторический период, продлившийся примерно до середины XX в., начался с основополагающих работ Ж.Л. Д’Аламбера и Ж.Б. Ж. Фурье, выполненных в XVIII — начале XIX вв. С помощью метода разделения переменных им удалось получить ряд решений дифференциальных уравнений в частных производных для простейших областей, называемых каноническими — круга, квадрата, цилиндра, шара и пр. Дальнейшие усилия математиков в этой области на протяжении последующих полутора веков в основном сводились к развитию метода разделения переменных и изобретению других приемов, позволяющих получить решение той или иной краевой задачи для других дифференциальных уравнений, для других областей с другими краевыми условиями. Каждое такое решение было своего рода событием в математическом мире, и методы математического моделирования были доступны узкому кругу математиков-профессионалов, деятельность которых по существу представляла собой творческий процесс.

Согласно методу разделения переменных Фурье, искомая функция нескольких переменных и граничные условия раскладывается в бесконечные ряды на поверхности области краевой задачи. Коэффициенты ряда Фурье для искомой функции находятся из условия равенства соответствующих слагаемых двух рядов. Таким образом, решение краевой задачи получается в виде бесконечного ряда. Данное решение является точным аналитическим решением краевой задачи. Однако, метод Фурье (в своей оригинальной формулировке) применим лишь для линейных краевых задач (поскольку решение ищется в виде суммы) и для областей канонической формы.

Дальнейшее развитие метода Фурье связано с его применением к телам более сложных конфигураций за счет введения криволинейных систем координат. Здесь следует упомянуть основополагающие работы П. А. Шифа [165], П. Ф. Папковича [98,99], А. И. Лурье [82, 83], В. К. Прокопова [103,104], В. Т. Гринченко [45], Ю. Н. Подильчука [105] и др.

Другое развитие метода Фурье — применение его к более сложным дифференциальным уравнениям за счет представления их общих решений через гармонические и бигармонические функции. Такие представления были предложены В. Кельвином и П. Г. Тайтом [164], М.Дж.Буссинеском [162], Б. Г. Галеркиным [22], П. Ф. Папковичем [98,99], Г. Нейбером [94], В. И. Блохом [10, И], Ю. А. Крутковым [73], К.В.Соляник-Красса [121,122], М. Г. Слободянским [118,119], В. М. Деевым [49,50] и др.

Следующая идея — это идея использования известных решений в простых областях для получения решений в областях более сложных конфигураций. Реализация этой идеи происходила в двух направлениях. Первое — это преобразование координат, не нарушающее форму дифференциального уравнения краевой задачи. Такое ненарушение обеспечивается выполнением условий Коши-Римана, что реализуется, например, конформными отображениями, развитыми и примененными в работах Г. В. Колосова [65], Н. И. Мусхелишвили [91,92], М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [77], Г. Н. Савина [115], Д. И. Шермана [139], С. Г. Михлина [88,90], А. В. Угодчикова, Л. И. Волковыского [19, 130], Е. А. Колчановой [66, 67] и др. Второе направление связано с расширением заданной расчетной области, аналитическим продолжением решения за границу, возмущением формы границы, погружением заданной области в область более простой геометрической формы. Подобные идеи прослеживаются в работах Н. И. Безухова и О. В. Лужина [7], Б. Г. Коренева [68], А. Н. Гузя и Ю. Н. Немиша [46], И. Н. Шардакова, И. Н. Трояновского, И. Н. Труфанова, В. П. Матвеенко [137, 138], Л. Н. Ясницкого [147] и др.

По своей физической сути к этим методам близок метод источников, встречающийся в работах С. П. Тимошенко [127], Р. Миндлина и Д. Чена [87], примененный Х. А. Рахматулиным [106], Х. Валиджановым [17], и всесторонне исследованный А. А. Роговым [108−110]. Согласно этому методу заданное тело рассматривается как часть бесконечного пространства, в точках которого за пределами заданного тела помещаются точечные источники (сосредоточенные силы), интенсивность которых подбирается из условия выполнения граничных условий задачи. Следует заметить, что идея применения фундаментальных решений (описывающих воздействия источников) для нахождения решения краевых задач встречается в классических работах по теории потенциала Ф. Фредгольма, Д. Гильберта, Ж. Пуанкаре, Н. И. Мусхелишвили, Ф. Трикоми и др. С этой точки зрения метод источников можно считать одним из методов теории потенциала. Приближение источников к границам заданного тела приводит к сингулярности разрешающих интегральных уравнений. Методы решения краевых задач, основанные на решении сингулярных интегральных уравнений, развиваются в работах Н. Д. Купрадзе [76], М. А. Алексидзе [1,2], П. И. Перлина, В. З. Партона [100,101] и др. Впоследствии за этой группой методов закрепился термин — методы граничных элементов, которые в настоящее время интенсивно развиваются и применяются саутгемптонской школой механиков, возглавляемой К. Бреббия [16,161, 164].

Приближенные аналитические методы решения краевых можно разделить на три группы: методы типа Треффца, Ритца и Рейснера [24, 52,129]. Данные методы имеют много общего. Согласно этим методам искомое решение представляется в виде суперпозиции набора базисных функций, коэффициенты при которых ищутся из некоторого условия. В методах типа Треффца каждая из базисных функций удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения граничным условиям. Для методов типа Ритца, наоборот, базисные функции должны тождественно удовлетворять краевым условиям, а не дифференциальному уравнению. В методе Рейснера на базисные функции не накладывается никаких ограничений и для отыскания коэффициентов формируется функционал Рейснера.

Все эти методы в общем случае являются приближенными, и точность решения зависит от выбора базисных функций (то есть от таланта и опыта исследователя, применяющего данный метод). В некоторых случаях удается подобрать такие базисные функции, что дифференциальное уравнение и граничные условия будут удовлетворены тождественно, тогда данные методы приводят к точному решению краевой задачи. При дальнейшем анализе этих методов решения краевых задач, исследователи пришли к выводу, что все они являются частными случаями метода взвешенных невязок (MBH) [9,16] и отличаются лишь выбором системы базисных функций. Сложность выбора таких функций для решения конкретной задачи с приемлемой точностью является основным недостатком этих аналитических методов. Правила выбора не являются формализуемыми, что не дает возможности применять методы широкому кругу исследователей.

С точки зрения оценки точности полученных результатов метод Треффца имеет преимущество, поскольку приводит к аналитическому решению, которое тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи. Поэтому он допускает простую и надежную оценку точности решения краевой задачи по невязкам удовлетворения граничным условиям [36,147].

Второй этап развития методов решения краевых задач связан с появлением в начале 1950;х гг. XX века электронно-вычислительных машин. На свет появилась новая область математики, называемая дискретной. Оказалось, что процесс интегрирования дифференциальных уравнений можно свести к множеству элементарных арифметических операций и выполнение этих операций поручить компьютеру. На смену классическим аналитическим методам пришли численные алгоритмы. Появление персональных компьютеров (ПК) обусловило широкое распространение универсальных пакетов прикладных программ, оснащенных удобными сервисными средствами. Таким образом, математическое компьютерное моделирование стало общедоступным.

Наибольшее распространение в области решения краевых задач получили так называемые сеточные численные методы. Их общей чертой является то, что задача нахождения искомой функции из некоторого функционального пространства, определенной в непрерывной области изменения аргумента, заменяется задачей отыскания сеточной функции из другого пространства, определенной на дискретном множестве значений аргумента. Уравнения краевой задачи также заменяются их дискретными аналогами в функциональном пространстве сеточной функции. Такая замена позволяет свести исходную задачу с бесконечным числом степеней свободы к задаче с конечным числом неизвестных. Последняя, обычно, дает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), относительно неизвестных значений сеточной функции. Отличаются сеточные методы выбором вида сеточных функций и способами построения разрешающих сеточных уравнений. Данные различия обуславливают область применения, преимущества и недостатки соответствующего метода.

Первым сеточным методом решения краевых задач, получившим широкое распространение, является метод конечных разностей (МКР) [114,116,126,128]. В данном методе область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным множеством узлов, а искомая функция — сеточной функцией. Краевая задача обычно рассматривается в дифференциальной постановке. Дифференциальный оператор заменяется конечно-разностным аналогом. Вид конечно-разностного оператора зависит от выбора аппроксимации производных их разностными аналогами. Краевые условия также заменяются их разностными аналогами, в итоге имеем систему алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. МКР получил широкое распространение в решении краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов (стационарных и нестационарных задач теплопроводности, задач о колебаниях и т. д.). Для различных задач разработаны разные схемы, обладающие своими преимуществами. В общем случае их можно разделить на явные и неявные. Неявные схемы почти всегда являются безусловно устойчивыми, но приводят к алгебраическим системам высоких порядков. Явные схемы, обычно, условно устойчивы, что требует решения нестационарной задачи с малым шагом по времени. Несмотря на достаточную универсальность, МКР имеет ряд недостатков [116, 128]. Например, ¦ схемы МКР достаточно сложно реализуемы для трехмерных задач. Для областей сложной конфигурации обычно требуется неравномерная сетка со сгущениями, которая также усложняет реализацию разностной схемы. Для задач с неоднородными свойствами для обеспечения устойчивости необходимо применять специальные разностные схемы.

Еще одним численным методом является метод граничных элементов (МГЭ) [9,16, 161, 163]. Он основывается на использовании фундаментальных решений, то есть решений дифференциальных уравнений задачи для единичного точечного источника в бесконечном (или полубесконечном) пространстве. Для краевой задачи выводятся граничные интегральные уравнения (ГИУ), связывающие значения искомой функции внутри области с заданными значениями функции и/или ее производных на границе.

Существуют различные способы получения ГИУ. Обычно прибегают к использованию какого-либо вариационного принципа. Идея использования интегральных уравнений в аналитической форме была предложена еще до появления МГЭ Фредгольмом и развита Купрадзе [1, 2, 76, 100, 101]. Однако получаемые ГИУ могут быть решены в аналитической форме только в редких случаях, для областей простой формы. Идея МГЭ, как численного метода, заключается в дискретном представлении ГИУ, что приводит в итоге к системе линейных уравнений относительно неизвестных значений в конечном множестве узлов границы. С этой точки зрения МГЭ тоже является сеточным методом. МГЭ (как и все сеточные методы) может рассматриваться как частный случай МВН [9, 16], когда в качестве аппроксимирующих функций используются фундаментальные решения. Это дает следующее преимущество: полученное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению внутри области (хотя и не удовлетворяет на границе). Характерным для МГЭ является уменьшение размерности задачи на единицу т.к. в процессе формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений рассматривается только граница. Также МГЭ эффективен для задач с бесконечными областями, т.к. условия на бесконечности могут быть удовлетворены «естественным образом». Здесь следует отметить ограничение на класс задач, где эти преимущества сохраняются. Это линейные задачи с однородными по области свойствами материала. Для областей с неоднородными свойствами и нелинейных задач получить фундаментальное решение не удается, в этом случае используют решение соответствующее однородным свойствам и линейной задаче соответственно. Однако, дифференциальное уравнение уже не удовлетворяется тождественно. К тому же требуется дискретизация не только границы, но и самой области. При наличии высоких нелинейностей применение метода теряет свои преимущества.

Пожалуй, самым широко используемым сеточным методом является метод конечных элементов (МКЭ) [23,58,97,113,136]. Метод основан на разбиении исходной области на множество ячеек (конечных элементов). В каждом элементе вводится аппроксимирующая функция, выраженная через значения искомой функции в узлах элемента с помощью функций формы. Обычно в качестве последних выступают полиномы. На основе какого-либо общего закона (обычно в виде вариационного принципа) формируется разрешающая СЛАУ относительно значений функции в узлах конечноэлементной сетки. Разбиение области на конечные элементы позволяет эффективно применять метод для задач с высокой нелинейностью и неоднородностью свойств, поскольку можно рассматривать материал однородным в пределах каждого элемента. К недостаткам метода можно отнести высокую размерность разрешающих СЛАУ (по сравнению, например, с МГЭ). Обусловленность разрешающих систем для МКЭ ухудшается с увеличением числа конечных элементов (уменьшением размера элемента), что может привести к большой погрешности в решении при малых погрешностях исходных данных.

Некоторые исследователи в настоящее время говорят о наступлении нового периода в развитии методов решения краевых задач. Третий период связывают с очередной компьютерной революцией, обусловленной успехами в сфере искусственного интеллекта. Интеллектуализация компьютеров позволяет надеяться, что аналитические методы решения краевых задач вновь займут достойную позицию в данной области математического компьютерного моделирования.

Как видно из приведенного краткого обзора методов решения краевых задач, к настоящему времени разработан значительный математический аппарат, позволяющий в настоящее время решать широкий круг проблем. Однако, не существует одного универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех ситуациях. Каждый метод имеет свою область применения, в которой он является более эффективным. Поэтому разработка новых методов и усовершенствование существующих остается актуальной задачей.

В настоящее время одним из наиболее важных критериев эффективности методов решения краевых задач, определяющих их практическую ценность, является возможность точной оценки погрешности получаемых решений. В работе рассматривается один из аналитических методов решения краевых задач — метод фиктивных канонических областей (ФКО). Метод ФКО является, по сути, развитием метода Треффца. Он позволяет надежно оценивать точность полученных решений, и в то же время решать краевые задачи для областей сложной формы.

Метод ФКО был предложен в 1973 году Л. Н. Ясницким [147] как геометрическая интерпретация решения задач методом Треффца. Дело в том, что метод Треффца (предложенный в 1926 г. [129]), несмотря на отмеченное уникальное свойство, долгое время оставался не пригодным для широкого практического применения. Нерешенной была проблема подбора базисных функций, удовлетворяющих решаемым дифференциальным уравнениям и обеспечивающих сходимость метода. Только в редких случаях путем увеличения числа функций удавалось уменьшить до приемлемых значений погрешность удовлетворения краевым условиям и получить более-менее приемлемые решения краевых задач. Успех применения метода Треффца зависел от опыта и интуиции математика, а порой и просто от везения. Геометрическая интерпретация Л. Н. Ясницкого [147] позволила разобраться в проблемах сходимости и корректности, построить методику выбора базисных функций, впоследствии названную методом ФКО. В работе [147] помимо геометрической интерпретации была дана первая формулировка теоремы сходимости (продолжимости) и ее первое доказательство в случае плоских краевых задач для уравнений Лапласа и Ламе. Здесь же предложен способ оценки погрешности на основе принципа максимума.

В 1973 г. методика выбора базисных функций к методу Треффца вместе с компьютерными программами были переданы сотруднику Института механики сплошных сред УрО РАН В. А. Елтышеву. В его руках метод ФКО получил дальнейшее развитие и эффективное применение для расчета напряженно-деформированного состояния круговых цилиндров, скрепленных с оболочками [13−15]. В 1985 г. А. Ю. Большаковым и В. А. Елтышевым [14] была сформулирована и доказана теорема о сходимости метода ФКО в случае, если фиктивная и заданная области топологически эквивалентны. Однако основным критерием выбора фиктивных канонических областей оставалась теорема продолжимости [147], исчерпывающее доказательство которой для общего объемного случая было выполнено в 1988 г. С. Я. Гусманом [47].

Однако, не смотря на имеющиеся теоретические и практические результаты и преимущества, метод ФКО не является широко распространенным. Причиной этого, по мнению автора диссертации, является недостаточная теоретическая развитость метода ФКО и отсутствие его хорошей программной реализации. Целью настоящей работы является развитие метода ФКО, создание реализующей его компьютерной программы и ее применение для решения практических задач, а именно:

— разработка новых алгоритмов, позволяющих повысить точность решений, получаемых методом ФКО;

— расширение возможностей и применение метода ФКО для решения новых классов краевых задач — задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности;

— создание библиотеки ФКО для плоских и осесимметричных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости;

— разработка программы, реализующей метод ФКО, с использованием современных технологий в области программирования, в том числе, элементов искусственного интеллекта;

— решение практических задач методом ФКО.

Заключение

.

В диссертационной работе выполнен краткий исторический обзор развития методов решения краевых задач, из которого следует:

1. Существует множество методов решения краевых задач, которые имеют свои преимущества и недостатки, обуславливающие область применения каждого из них.

2. Универсального метода, оптимального во всех случаях не существует.

3. Разработка новых методов и усовершенствование существующих остается актуальной задачей.

4. По мнению автора диссертации, одним из главных критериев выбора метода решения в настоящее время является надежность получаемых результатов.

5. Метод ФКО, с этой точки зрения, является перспективным, поскольку позволяет сравнительно легко выполнять надежные оценки точности решений, и в то же время решать задачи с достаточно сложной геометрией.

Метод ФКО распространен на решение новых классов краевых задач — задач термоупругости, нестационарных задач теплопроводности, контактных задач:

1. Для решения задач термоупругости автором получены частные решения уравнений термоупругости, соответствующие общим решениям задач теплопроводности. Для плоских задач (ПНС и ПДС) получены частные решения в декартовой и цилиндрической системах координат, для осесимметричных — в цилиндрической и сферической системах. Все эти решения также заложены в программу, реализован алгоритм решения задач термоупругости на основе решений задач теплопроводности.

2. Для решения нестационарных плоских задач теплопроводности автором получены общие решения соответствующих дифференциальных уравнений в декартовой и цилиндрической системах координат. Показана возможность решения методом ФКО нестационарных задач с изменяющимися границами. Эта возможность также реализована в программе REGIONS и продемонстрирована на примере решения модельной задачи.

3. Показана возможность решения методом ФКО контактных задач теории упругости. Разработан итерационный контактный алгоритм, предназначенный для метода ФКО. Особенностью алгоритма является то, что на каждой итерации необходимо формировать матрицу разрешающих уравнений, отвечающую только за условия на контактной границе, что позволяет существенно экономить время вычислений. Приведен пример решения контактной задачи.

Для повышения универсальности и точности метода ФКО предложены и реализованы новые алгоритмы и методы:

1. Алгоритм оптимизации расположения ФКО выполняет размещение выбранных фиктивных областей таким образом, чтобы невязка граничных условий (значение функционала) была минимальной.

2. Для исключения из решения ненужных слагаемых, наличие которых может давать дополнительную погрешность, предложен алгоритм, который основан на анализе значений граничных функционалов при поочередном исключении слагаемых из полученного решения. Как показывает пример, это позволяет существенно повысить точность решения при одинаковом числе слагаемых.

3. Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов для МНК, обеспечивает равномерное распределение невязок граничных условий по границе области. Часто это бывает необходимо сделать при наличии различных видов граничных условий, например, когда в задаче теории упругости заданы условия в перемещениях и напряжениях. Реализована возможность оптимизации, как по максимальным значениям невязок, так и по среднеинтегральным. Работа алгоритма продемонстрирована на примере.

4. В задачах с разрывными граничными условиями почти всегда возникают проблемы вблизи точек разрыва. Автором предложен метод игнорирования sокрестности, который позволяет существенно улучшить качество решения в таких точках, не снижая точность на остальных участках границы. Проведен ряд расчетов для определения оптимальных значений еокрестности в плоских задачах теплопроводности.

Идеи алгоритмов исключения слагаемых и оптимизации весовых коэффициентов заимствованы из сферы искусственного интеллекта. Применение всех алгоритмов и метода игнорирования еокрестности позволяет существенно повысить точность решений, получаемых методом ФКО.

Все предложенные в диссертации алгоритмы реализованы в программе REGIONS, предназначенной для решения краевых задач методом ФКО. Программа REGIONS применена для решения ряда практических задач:

1. Расчет НДС инструмента (плашки) для изготовления детали «шпонка» ;

2. Задача определения рациональной формы отверстия в ободе диска газотурбинного двигателя;

3. Задача моделирования процесса получения искусственно-керамических покрытий и определения рациональной формы электрода;

4. Задача верификации конечноэлементного расчета.

Кроме того, программа REGIONS применяется в учебном процессе в вузах г. Перми.