В работе исследуются итерационные схемы аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. Пусть F: Х —> Х2 — нелинейный оператор, Xi, X2 — вещественные или комплексные гильбертовы или банаховы пространства. Рассмотрим уравнение.
F (x) = 0, же Хъ (1).
Считаем, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение х*. Предполагается, что оператор F является дифференцируемым по Фреше в окрестности точки ж*, а его производная F'(x) в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица. Важнейшей качественной характеристикой уравнения (1), определяющей выбор методов численной аппроксимации ж*, является регулярность данного уравнения. На протяжении работы регулярность задачи (1) и соответствующего оператора F понимается в смысле следующего определения (см., например, [16]).
Определение 1. Уравнение (1) (оператор F) называется регулярным в окрестности решения х*, если для всех точек х из этой окрестности оператор F'(x): Х —У Хч имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Х2. В противном случае уравнение (1) (оператор F) называется нерегулярным.
Типичным примером нерегулярного оператора является оператор F, производная которого F'(x) вполне непрерывна для всех х из некоторой окрестности точки х*.
К теоретическому и численному анализу нерегулярных операторных уравнений в последние десятилетия проявляется растущий интерес специалистов различных направлений. Он объясняется тем, что к такого рода уравнениям сводится широкий спектр обратных задач математической физики и неустойчивых задач классического анализа [74],[62],[27], [22],[70],[72],[87],[89],[90],[94],[96].
Входные данные при решении прикладных обратных задач обычно бывают осложнены погрешностями 'измерений. В этих условиях нерегулярность уравнения (1) приводит к некорректности данного уравнения в смысле Адамара. Как следствие, традиционные численные методы оказываются малопригодными для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (1). В теории некорректных задач разработан общий способ преодоления подобных трудностей. Он сводится к применению методов регуляризации, которые позволяют по данному приближенному оператору F задачи (1) и уровню погрешности аппроксимации § эффективно строить приближения к решению х* уравнения (1), сходящиеся к х* при J —> 0. Методам регуляризации посвящена обширная литература (см., например, [74],[28],[13] и цитированные там источники). Большинство существующих схем аппроксимации решений нерегулярных уравнений с точными и приближенными данными имеет следующий общий вид. Пусть F — класс операторов F: Х —> Х2, в который входят как точный оператор задачи (1), так и допускаемые к рассмотрению его приближения F. Фиксируется параметрическое семейство отображений: F —>- Х такое, что lim3ia (F) = ж*, где.
F — точный оператор задачи (1). Последнее соотношение означает, что элемент ха = З^а (-Р) можно рассматривать как приближенное решение уравнения (1), сколь угодно близкое к истинному решению х* при достаточно малом значении параметра регуляризации a G (0,с*о]- Предположим, что задан приближенный оператор F, и величина S > 0 измеряет уровень погрешности аппроксимации. Пусть удалось согласовать выбор параметра регуляризации с уровнем погрешности, а = ог (<5) так, чтобы было НтскШ = О и для элементов х6а — 3ia (?)(F) имела место сходимость lima-^" = х*. Тогда.
6—>о ^ ' приближенное решение х6а^ уравнения (1), полученное в условии неточных данных, обладает устойчивостью к малым вариациям этих данных.
Основной объект изучения в данной работе — аппроксимационные свойства итерационных методов решения нерегулярных уравнений вида (1). Мы будем рассматривать уравнения (1), в которых оператор F известен без погрешности, хотя изучаемые методы в рамках представленной выше схемы могут быть преобразованы в соответствующие регуляризующие процедуры для задачи (1) с приближенно заданным F. Значительная часть исследуемых аппроксимирующих конструкций введена в работах [7],[9],[11], там же положено начало их изучению. В настоящее время наиболее полно изучены схемы аппроксимации решений нерегулярных линейных операторных уравнений.
Ах = /, же! (2) в гильбертовом пространстве X, т. е. уравнений (1) с аффинным оператором F (x) = Ах — /, где, А? L (X)J G X. Обозначим через X*(A, f) множество решений уравнения (2). Предположим, что /? R (A), так что X*(A, f) 0. Известно, что множество X*(A, f) является замкнутым аффинным подпространством в X. Будем считать, что, А — неотрицательный самосопряженный оператор, не являющийся, вообще говоря, непрерывно обратимым. Например, оператор, А может быть вполне непрерывным. Зафиксируем произвольно элемент поставим задачу аппроксимации точки? Х*(А, /), ближайшей к? среди элементов множества Х*(А, /). Для построения приближений к xt используется параметрическое семейство элементов ха = {Е- 0(Л, a) A)f + ©-(Д a) f, а Е (0, а0]- (3).
Здесь Е — единичный оператор, функция Q (A, а) от оператора, А при каждом значении параметра, а Е (О, с*о] понимается в смысле исчисления самосопряженных операторов [71]. Отметим, что схема (3) применима и для аппроксимации решения уравнения (2) с оператором, А Е L (X), действующим в банаховом пространстве X, В этом случае функция ©-(А, а) оператора, А понимается в смысле исчисления Рисса-Данфорда [25].
Если оператор, А Е L (X 1,^2), где Xi, X2 — в общем случае различные гильбертовы пространства, то от уравнения (2) можно перейти к симметри-зованному уравнению А*Ах — А* f с неотрицательным самосопряженным оператором А*А Е L (Xi, Xi). В этих условиях представляет интерес элемент х* = х^, реализующий min ||ж — ?||2, где.
Х*{А, /) — Arg min \Ах — f ||2 = {х Е: А*Ах = А*/}. xeXi.
Определяемый таким образом элемент х| называется £-псевдорешением уравнения (2). Если множество решений уравнения (2) непусто, то это множество совпадает с Х*{А, /), а £-псевдорешение является ближайшим к? элементом множества решений. Рассматривается следующий класс методов аппроксимации £-псевдорешения уравнения (2): ха = (Е — Q (A*A, а) А*А)? + Э (А*А, a) A*f, а Е (0, а0]. (4).
В общие схемы (3) и (4) при соответствующем выборе порождающих функций © = ©-(А, а:) вкладывается большинство наиболее распространенных в вычислительной практике методов аппроксимации решений и псевдорешений нерегулярных линейных операторных уравнений: методы М. М. Лаврентьева и А. Н. Тихонова и их итерированные варианты, метод установления и др. В виде (3) и (4) записываются также многие популярные итерационные методы решения (2).
На основе схем (3), (4) и процедуры линеаризации эффективно строятся итерационные методы аппроксимации решений нелинейных уравнений вида (1) [16]. В регулярном случае переход от уравнения (1) к линеаризованному уравнению.
F (xn) + F'(xn)(x-xn) = 0, х Е Х (5) приводит к классическому методу Ньютона-Канторовича xn+i = xnF,(xn)~1F (xn), n Е N0.
Если вместо (5) использовать симметризованное уравнение.
F*(xn)F (zn) + F'*(xn)F'(xn){x ~ хп) = 0, а: е Хи (6) то получаем известный метод Гаусса-Ньютона хп+1 = хп ~ (F'*(xn)F'(xn))~l F’xn)F{xn), п G N0.
Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона широко используются при решении различных классов регулярных операторных уравнений. В нерегулярной ситуации операторы F'(xn), F'*{xn)F'{xn) не являются в общем случае непрерывно обратимыми, поэтому указанные методы, вообще говоря, нереализуемы. Если же к линеаризованному уравнению (5) применить схему (3) с, а — ап и полученный элемент хап выбрать в качестве новой итерационной точки, то приходим к итеративно регуляризованному варианту метода Ньютона-Канторовича xn+i =? — e (F'(*n), aJ0F (a-«) «F'(xn)(xn — ?)). (7).
Здесь {o!n}(an > 0) — априори задаваемая последовательность параметров регуляризации. Применение схемы (3) к уравнению (6) аналогично приводит к итеративно регуляризованному варианту метода Гаусса-Ньютона.
X"+1 = i — 0(F" (x")F'(xn), an) F" (xn)(F (xn) — F'(x")(:" - Q), х0 e Хъ.
8).
Подчеркнем, что регуляризованные итерации (7) и (8) пригодны для аппроксимации решений уравнений вида (1), операторы которых не удовлетворяют условию регулярности.
Наряду с общими схемами (3), (4), в работе подробно исследуются методы решения нерегулярных линейных уравнений частного вида. Эти уравнения связаны с некорректной задачей Коши для абстрактного операторного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве [60],[29],[31]. Именно, рассматривается проблема аппроксимации решения задачи = t G (0,Т], (9).
0) = (10) где, А: D (A) С X —> X — замкнутый неограниченный оператор с областью определения D (A), плотной в банаховом пространстве X] щ 6 D (A). Корректность задачи Коши (9), (10) зависит от расположения спектра оператора А. Обозначим.
К (<�р) = {А е С{0}: | arg А| < ф) U {0}, tp G [0,тг].
Будем говорить, что оператор, А удовлетворяет условию секториалыюсти с углом сро Е [0,7г), если а (А) с К (сро), УА е СК (<�р0). (11).
Если оператор, А в уравнении (9) является секториальным с углом <Ро? [0- тг/2), то задача Коши (9), (10) некорректна и сводится к аппроксимации значения неограниченного оператора ехр (^4),? ? (0, Т] на элементе щ. Если же секториальным с углом 0? [0,7г/2) является оператор (—А), то уравнение (9) является абстрактным параболическим [60, с.93], а задача (9),(10) оказывается корректной. Ее решение имеет вид и (1) = и ({]щ, где ?/(?),? Е [0, Т] — сильно непрерывная полугруппа линейных ограниченных операторов с генератором (—А). В этом случае некорректной оказывается задача с обратным направлением времени, в которой по известному значению и (Т) необходимо восстановить начальный элемент гго = ^(0). При помощи замены т = Т —? эта задача сводится к некорректной задаче Коши вида (9), (10). Положив для задачи с обратным направлением времени и (Т) = /, щ = х, В = и (Т), получим линейное нерегулярное уравнение Вх = /, т. е. уравнение вида (2). Для аппроксимации решения этого уравнения применимы, в частности, методы из класса (3).
Альтернативный аппарат аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10) доставляет введенный в [8] класс итерационных процессов конечно-разностного типа к к У] = А* (ЗиАип+1/, 0 ^ п ^ N — к, At = п ./—п V / щ =. .. = ик1 = Щ.
Здесь И, к? М, а Е Ж (и = 0, к) — параметры, выбор которых определяет конкретную разностную схему.
Опишем вкратце аппарат, применяемый в работе при исследовании аппроксимативных свойств схем (3),(4),(7),(8) и (12). Во-первых, систематически используются определения и факты, относящиеся к исчислениям различных классов операторов в гильбертовых и банаховых пространствах. Пусть оператор, А Е где X — гильбертово пространство, является самосопряженным и его спектр расположен на отрезке [га, М] вещественной оси. Тогда имеет место спектральное разложение (см., например, [71]).
М +оо.
А= ! ЫЕ = J ЫЕХ. т-0 —оо.
Здесь, А ^ (—оо, +оо) — семейство спектральных проекторов оператора А. Семейство {-Ел} является непрерывным справа, т. е. \Ец — Е|| —> О при ?1 —Л + 0- кроме того, ЕЕц = Е при Л ^ /иЕ = О (нулевой оператор) при Л < т 1{{Ах, х): ||ж|| = 1}- Е = Е при Л ^ \А\. В случае, когда Л — собственное значение оператора А, оператор Е — Ео является ортопроектором на собственное подпространство, соответствующее этому Л. Если функция ср: Ж —> С измерима, конечна и почти всюду определена относительно спектрального семейства {Е} (т.е. относительно всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями, А —>- ЦЕ’джЦ2, х Е X), то определен оператор <�р (А): И ((р (А)) СХ-^Х, м р (А) = I 1р ()<1Ех, Б^А)) = х е X: ^ ^ 1р (Х)2<1\Ехх\2 < • т-0.
13).
При этом £)(</?(А)) = X и м м ц>{А)х= I ч?()(1Ех, ЫА) х\2= I р ()Ч\Ехх\2, хеО (<�р (А)). ш—0 — ш-0.
14).
Если уга1вир |<^(А)| < оо, где существенная верхняя грань берется Ш по совокупности всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями, А —ЦЕ'джЦ2, х Е X, то выражения (13) определяют оператор <�р (А) Е Ь (Х) с нормой &trade-1зир |<�р (А)| < 8иР vW- (15) л} Хеа (А).
В случае вещественнозначной функции (р этот оператор, как и оператор А, является самосопряженным. Аналогично определяются функции от неограниченного самосопряженного оператора, А: 0{А) С X X, О (А) = X. Например, если функция <р непрерывна и ограничена на спектре сг{А), то оо ср (А)х= ! <�р ()с1Ех, хеВ (А), (16) оо где {Е} — семейство спектральных проекторов оператора А. Выражение (16) определяет линейный оператор </э (А), который является самосопряженным, если функция </? вещественнозначна.
Пусть теперь X — банахово пространство. Предположим сначала, что оператор, А Е £(Х), функция </? аналитична в окрестности спектра сг (А) оператора А, а проходимый в положительном направлении контур Г лежит в указанной окрестности и охватывает множество сг (А). Тогда оператор <�р (А) Е Ь (Х) может быть определен формулой / (17) г.
Интеграл в (17) понимается в смысле Бохнера [25]. Если X — гильбертово пространство и, А = А*, то представления (13) и (17) определяют один и тот же оператор. Формула (17) служит основой и для определения функции от неограниченного оператора, А с плотной в X областью определенияО (А). Если функция (р аналитична в окрестности (возможно, неограниченного) множества сг (А), а контур Г, также возможно неограниченный, окружает сг (А), то формула (17) определяет оператор ф{А) Е Ь (Х) для достаточно широкого класса функций (р. Для оператора А, удовлетворяющего условию секториальности (11), в этот класс входят, например, все аналитические функции </?, для которых существует в > 0 такая, что АЯ оо.
При исследовании скорости сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве оказывается полезной техника интерполяции банаховых пространств. Мы используем вещественный метод интерполяции с помощью К" -функционала [20], [77]. Пусть Хо и Х — банаховы пространства, непрерывно вложенные в линейное топологическое пространство X. Обычным образом вводится банахово пространство Хо + Х: Х = {х: х? X, х = хо + х^? Ху, з = 0,1}, \х\Хо+Хг= ^ (|Ми0 + 1Ык).
Для произвольного t ^ 0 и элемента х Е Хо + Х обозначим х=хо+х1,хо?ло, х1 ЕЛ.
Пусть г Е (0,1) и д Е [1,оо]. Интерполяционное банахово пространство (Хо, Х{)Тд определяется как множество элементов х Е Хо + Хх с конечным значением нормы IMI^,^)^, где.
С /оо 1/<1.
9 €[1,00),.
1И1(ЗДк9 = < Vo, ч J sup t TK (t, x): q = оо. t€(0,oo).
Интерполяционные пространства (X, D (Am)), m G N используются при оценке областей определения дробных степеней оператора А.
Наконец, при исследовании класса конечно-разностных методов (12) привлекаются факты теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов (см., например, [31],[60]).
Целью работы является установление необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости итерационных процедур вида (3),(4),(7),(8) и (12) для аппроксимации решений соответствующих классов нерегулярных операторных уравнений. Удобно считать, что итерационный переход в рассматриваемых процедурах связан с последовательным вычислением приближений хап и пошаговым изменением параметра, а = ап —у О, где п 6 N — номер итерации. В качестве ап может выступать, например, параметр регуляризации из (7), (8), либо величина шага Аt из (12).
Определение 2. Будем говорить, что сходимость элементов хап, аппроксимирующих решение х*, квалифицирована по параметру ап, если с некоторой функцией d: (0, +оо)" —> [0, +оо), lim ¿-¿-(а) = 0, имеет место а—fO оценка.
— ®*|| = 0{d (an)), ап 0. (18).
Выбор конкретной функции d фиксирует тот или иной порядок аппроксимации решения х* приближениями хап. В работе используются следующие три типа оценок скорости сходимости, охватывающие широкий диапазон асимптотик \хап — -" 0(п —у со): степенные оценки с d (a) = ар, р > О, логарифмические с d (a) = (—Inа)~р, р > 0 и экспоненциальные оценки с d (a) = е~гоГР{г:р > 0).
Актуальность данного исследования мотивируется следующими соображениями. В случае регулярных уравнений (1) и (2) для методов типа (3), (4) оценка скорости сходимости может быть установлена без привлечения дополнительной качественной информации о решении. Так, в случае уравнения (2) для метода А. Н. Тихонова погрешность аппроксимации имеет порядок О (а), итерационные методы при любом начальном приближении сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона решения уравнения (1) в случае регулярности этого уравнения локально сходятся с квадратичной скоростью. В нерегулярной ситуации положение качественно иное. Известно [13, гл. 1, § 3], что в этом случае сходимость приближений к решениям (1) и (2), построенных по какой-либо устойчивой схеме, если и имеет место, то может быть сколь угодно медленной. Тем самым, установление квалифицированных оценок скорости сходимости приближений возможно лишь при наложении на искомое решение х*, либо на начальную невязку х* —? тех или иных дополнительных условий. В классическом анализе это обстоятельство отчетливо проявляется при исследовании скорости сходимости в норме частичных сумм ряда Фурье к порождающей этот ряд функции. Хорошо известно, что в общем случае указанная сходимость может быть сколь угодно медленной. Однако, при наличии априорной информации о повышенной гладкости раскладываемой в ряд функции (например, об ее принадлежности классу Сили И^"), скорость сходимости частичных сумм Фурье оценивается степенной функцией количества слагаемых частичной суммы, при этом показатель степени в оценке зависит от т.
Аналогичная ситуация имеет место для изучаемых в работе методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений. Именно, достаточные условия степенной оценки скорости сходимости, а — р > 0, а е (0, а0] (19) для приближений (3) к решению х* = х^ уравнения (2) в гильбертовом пространстве имеют вид истокообразного представления начальной невязки.
X* -? ? Я (Ар) (20) с тем же, что и в (19), показателем р. Кроме того [16],[89], условие (20), достаточное для выполнения (19), весьма близко к необходимому условию в том смысле, что оценка (19) влечет истокообразное представление начальной невязки х*-?вВ (А") Уде (0,р). (21).
Сказанное означает, что качество аппроксимации решения нерегулярного уравнения (2) элементами (3), находится в тесной связи с истокообразной представимостью начальной невязки. Возможность такого представления определяет более или менее высокую «гладкость» искомого решения. Утверждения о достаточности соотношения (20) и о необходимости (21) для выполнения оценки скорости сходимости (19) имеют прообразом прямые и обратные теоремы конструктивной теории функций. У истоков этой теории лежат классические теоремы Джексона и Бернштейна о качестве аппроксимации в связи с гладкостью приближаемых функций ([26],[75]). В случае, когда приближаемый объект есть числовая функция, а аппаратом аппроксимации являются алгебраические или тригонометрические полиномы, теоремы Джексона и Бернштейна являются соответственно прямой и обратной теоремами теории приближений. В настоящей работе роль погрешности приближения играет величина невязки ||жа — ж*||, а условие истокообразной представимости соответствует условию принадлежности приближаемой функции тому или иному классу гладкости. Как показано в § 2.7, в случае дифференциального оператора, А в задаче (9)—(10) подходящая истокопредставимость элемента означает определенную степень его гладкости в классической шкале пространств Соболева-Бесова. Таким образом, утверждения настоящей работы являются обобщениями прямых и обратных теорем теории приближений в применении к процедурам (3), (4), (7), (8) и (12), рассматриваемым как средства построения аппроксимаций элементов банахова пространства X, определенных уравнениями (1) и (2).
Скажем несколько слов о предыстории представленного в работе исследования. Отправной точкой можно считать приведенные выше утверждения о связи оценки (19) с условиями (20) и (21). В работах [11],[17] эти утверждения были распространены на итерационные схемы (8). Именно, в [17] установлена связь между степенной оценкой скорости сходимости хп-х*\4:С2с?, р^ ½, пеМо (22) и условием истокообразной представимости начальной невязки х*-?е (2з).
Было показано, что оценка (22) обеспечивается условием (23), а для выполнения этой оценки необходимо соотношение я* -? е в,(((г'(хГР'(х*)У) Уя е (о, Р). (24).
Кроме степенной сходимости, определяемой функцией й{а) = ар (см. (18)), исследовался случай более медленной — логарифмической сходимости с ¿-¿-(а) = (—1па-)-р, р > 0. В [93] установлено, что условие ж*д ((-1пА)-р), > 0 (25) достаточно для выполнения логарифмической оценки ха-х*\^С3(-1па)-р. (26).
В свою очередь, оценка (26) влечет истокообразное представление.
— еед ((-1пА)-«) Ще (о, Р). (27).
Исследование необходимых и достаточных условий более быстрой экспоненциальной скорости сходимости методов (3) и (8) в гильбертовом пространстве впервые проведено в главе 1 данной работы.
Другое направление обобщения первоначальных результатов о связи степенной скорости сходимости процедур аппроксимации решений нерегулярных уравнений и степенной истокопредставимости решений — распространение этих результатов на случай нерегулярных уравнений в банаховом пространстве. Начало этим исследованиям положено в работах [9],[10],[47],[48], где установлена достаточность условия (20) и необходимость условия (21) для выполнения оценки (19), если приближения ха к решению х* линейного уравнения (2) в банаховом пространстве X, строятся с помощью одного из методов (3). Однако, в случае итерационных методов вида (3) необходимость условия (21) для выполнения оценки (19) не была там установлена. Этот пробел устранен в § 2.2 настоящей диссертации. Сходная ситуация имела место для схемы (7) аппроксимации решений нелинейных уравнений (1) в банаховом пространстве. В [83] показано, что условие.
Р> 1 (28) влечет выполнение степенной оценки (22) для одного класса итерационных методов, в том числе и для методов, рассматриваемых в работе. В § 2.3 данной работы доказана необходимость условия д ((П<07) Vge (0,р) (29) для выполнения оценки (22). Последнее условие близко к достаточному условию (28).
Вопрос об условиях, необходимых и достаточных для выполнения логарифмической оценки скорости сходимости методов вида (3) в банаховом пространстве, ранее изучен не был. В главе 2 настоящей работы исследование этого случая проведено для класса нерегулярных уравнений, порожденных некорректной задачей Коши (9), (10). Полученные здесь результаты аналогичны утверждениям из [93], установленным для уравнений (2) в гильбертовом пространстве. В § 2.5 показано, что условие х*-{ЕЯ (А-р), р> 0 (30) достаточно для выполнения оценки (26) в банаховом пространстве. В свою очередь, необходимым условием выполнения этой оценки является представление.
Уд е (0, р), (31) близкое к (30). Этот факт установлен в § 2.6.
Конечно-разностные схемы аппроксимации решений задачи Коши для абстрактных операторных дифференциальных уравнений на протяжении последних двадцати лет были предметом многочисленных исследований. Эти исследования направлены на установление свойства аппроксимации, получение оценок скорости сходимости в корректном случае. В некорректном случае исследовались регуляризационные свойства конечно-разностных схем [3], [4], [5], [68], [69], [6]. Многие из изучавшихся схем получены обобщением на бесконечномерный случай классических методов решения конечномерных дифференциальных уравнений и их систем. Рассматриваемые нами схемы (12) получены формальным применением к бесконечномерной задаче (9), (10) известной процедуры (см., например, [19]) конструирования конечно — разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [8] установлены условия сходимости приближений, построенных по схеме (12), к решению некорректной задачи Коши (9), (10), но отсутствует оценка погрешности аппроксимации. В главе 3 данной работы приведены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости приближений (12) к решению некорректной задачи Коши.
Выделим теперь основные результаты диссертации. Во-первых, получены необходимые и достаточные условия выполнения логарифмических оценок погрешности итерационных аппроксимаций решений нерегулярных линейных операторных уравнений. Во-вторых, найдены необходимые условия выполнения степенных оценок погрешности итерационных аппроксимаций в случае нерегулярных линейныхи нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают утверждения, известные ранее для уравнений в гильбертовом пространстве. Близость полученных необходимых условий к достаточным указывает на неулучшаемость рассматриваемых оценок в существенном. В-третьих, установлены необходимые и достаточные условия степенной сходимости конечно-разностных аппроксимаций (12) для решения. задачи Коши (9), (10) в банаховом пространстве. Наконец, впервые получены необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальных оценок погрешности итерационных аппроксимаций для решений нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Тем самым, теория сходимости итерационных аппроксимаций в гильбертовом пространстве пополнена прямыми и обратными теоремами, которые относятся к ранее не изучавшемуся классу оценок скорости сходимости.
Завершая введение, опишем кратко содержание работы по главам. В главе 1 исследуется скорость сходимости итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. В § 1.1 представлено описание исследуемых методов и приведен обзор известных результатов, касающихся необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости аппроксимаций, порождаемых этими методами. В § 1.2 устанавливаются необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций (3) с экспоненциальной скоростью. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной сходимости итераций (8) получены в § 1.3. Обсуждение результатов главы 1 и сравнение их с результатами других авторов содержится в § 1.4.
Глава 2 посвящена прямым и обратным теоремам для итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. В § 2.1 описаны рассматриваемые методы и приведен обзор прямых и обратных теорем, установленных для этих методов ранее. В § 2.2 доказывается обратная теорема для степенной сходимости группы итерационных методов вида (3). Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов. (7) в случае нерегулярного нелинейного уравнения (1) установлены в § 2.3. Важный подкласс нерегулярных уравнений вида (2) порождается некорректными задачами Коши (9), (10). В § 2.4 приводятся необходимые для рассмотрения этих задач вспомогательные сведения из теории полугрупп линейных операторов. Прямая и обратная теоремы для итерационных методов вида (3) в применении к нерегулярной задаче Коши доказаны соответственно в § 2.5 и § 2.6. В § 2.7 предыдущие результаты конкретизируются в случае, когда некорректная задача Коши порождена параболическим уравнением, пространственная часть которого является эллиптическим дифференциальным оператором высокого порядка. Показано, что условия истокопредставимости, являющиеся необходимыми и достаточными для сходимости исследуемых методов с логарифмической скоростью, сводятся к вложению искомого элемента в подходящий класс Соболева-Бесова. В §§ 2.6, 2:7 также приведены используемые сведения из теории интерполяции банаховых пространств. Результаты главы 2 и близкие к ним работы других авторов обсуждаются в § 2.8.
В главе 3 исследуются конечно-разностные методы аппроксимации решения некорректной задачи Коши. В § 3.1 описывается рассматриваемый класс методов и устанавливаются общие свойства методов этого класса. В § 3.2 и § 3.3 доказываются, соответственно, прямая и обратная теоремы для конечно-разностных методов вида (12), предназначенных для аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10). Обсуждение результатов главы проводится в § 3.4.
В заключении перечислены основные результаты работы. Эти результаты опубликованы в [45], [52], [53], [54], [38], [18], [43], [55].
В работе принята следующая система нумерации формул и утверждений. Запись к.1.ш означает номер формулы или утверждения (теоремы, леммы, условия), имеющего номер ш в параграфе к Лпри этом к — номер соответствующей главы, введение — это глава номер 0. Нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная.
В работе используются стандартные обозначения:
М, 1 и С — множества натуральных, действительных и комплексных чисел- = N и {0}.
Пх, П2 (при целых щ, пг) — множество ЪГ [щ, П2] (то есть множество целых чисел от п до П2 включительно). Запись п = пг, П2 означает, что целочисленная переменная п пробегает множество щ, П2х, у) н ~~ скалярное произведение элементов х и у гильбертова пространства Я;
Е — единичный оператор банахова пространства XЬ (Х 1^X2) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства Хх в банахово пространство Х2, Ь (Х) = Ь (Х, Х);
0(А), Я (А) и Кег (А) — область определения, образ и нулевое подпространство оператора А;
М — замыкание множества М. С X в топологии нормы банахова пространства X;
А* — сопряженный оператор для линейного оператора, А Е Ь (Х 1,^2), где Х, Х2 — гильбертовы пространства;
А ^ О означает неотрицательность оператора, А: О (А) с!-У1в-гильбертовом пространстве X: (Ах, х) ^ 0 Мх Е Е (А)] су {А) и р (А) — спектр и резольвентное множество оператора, А € Ь (Х) Й (А, А) = (АЕ — А)-1, А 6 р{А) — резольвента оператора, А Е Ь{Х) Р'{х) — производная Фреше оператора Р в точке ж- 0, ц (х) = {у Е X: \х — у|| ^ Д} — шар в банаховом пространстве X с центром х и радиусом Я.
К{ч>) = {А Е С{0}: |агёА| < и {0}- Б (г) — {С Е С: |С| < г}, К{11,1р) = 5(Я)П #(</?).
1 Скорость сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.
В этой главе приводятся известные факты и доказываются некоторые новые утверждения, касающиеся скорости сходимости итерационных аппроксимаций решений нерегулярных уравнений в гильбертовом пространстве. Глава предваряет рассмотрение основного для нас случая — скорости сходимости аппроксимаций в банаховом пространстве.
Заключение
.
Перечислим основные результаты диссертационной работы.
1) Даны необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.
2) Установлены необходимые условия выполнения степенной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве, близкие к ранее известным достаточным условиям такой сходимости.
3) Получены достаточные и близкие к ним необходимые условия выполнения логарифмической оценки скорости сходимости для класса итерационных методов решения некорректной линейной задачи Копта в банаховом пространстве.
4) Установлены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости для класса конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной линейной задачи Коши в банаховом пространстве.
Автор благодарит научного руководителя профессора М. Ю. Кокурина за постановку задачи и внимание к работе.
