Актуальность проблемы. В данной работе рассматривается некоторый подход к описанию термодинамических систем, поведение которых можно описать двумерными моделями Изинга на решётке. Обычно такие системы ассоциируются с магнетиками. Термин «термодинамическая система» [13], [1] - означает систему, состоящую из большого числа частиц N, в которой отсутствуют стационарные потоки и все макроскопические параметры постоянны во времени, и предполагается, что при вычислении величин, характеризующих систему, N должно быть устремлено к бесконечности. В этом случае говорят о величинах в термодинамическом пределе или термодинамических величинах. При этом наиболее интересной является проблема описания так называемых фазовых переходов [4], [25], [23], которые связывают с неаналитичностью термодинамических величин как функций макроскопических параметров, характеризующих систему и её отношение к окружающим телам, например, температуры Т и внешнего магнитного поля Н .
В начале двадцатого века появилось несколько моделей для исследования фазовых переходов в магнетиках. Первую конкретную модель взаимодействующих магнитных моментов предложил В. Ленц. В этой модели считается, что магнитные моменты — это классические одномерные «стрелки», которые могут иметь только две ориентации, а также предполагается, что магнитные моменты локализованы в углах регулярной решётки и что их взаимодействие носит парный характер. Важной физической величиной, которая определяется моделью системы, состоящей из N частиц, является так называемая статистическая сумма канонического ансамбля) [18], [29].
Zn{T) = ех*3.
B.l) где Е (х) энергия состояния модели, а суммирование производится по всем состояниям х ¦ Функция Е состоит из двух частей: где Ео включает вклад межмолекулярных сил виутри магнетики, а Е (х) — вклад от взаимодействия с внешним магнитным полем Н.
Из физических соображений предполагается, что существует предел (термодинамический предел) величину F называют свободной энергией на один узел решетки. Говорят, что модель решена, если F{T) найдена.
В.Ленд предложил рассмотреть магнитную цепочку с таким типом взаимодействия своему студенту Изингу в начале двадцатых годов [31], тому удалось решить эту одномерную модель и сейчас все такого рода модели носят его имя.
Долгое время эти модели рассматривались как некоторый объект для математических упражнений. Положение начало менятся после того, как Онсагер [29], [6] решил двумерную модель Изинга без магнитного поля. Стимулированные этим решением теоретические исследования решеточных моделей доставили важную информацию о фазовых переходах, а представления и понятия, возникшие при решении решеточных моделей, стали плодотворно использоваться в других областях физики [26], [20], [7], [10], [45], [33]. Важнейшими такими понятиями являются гипотеза универсальности и гипотеза подобия [47], [38].
Гипотеза универсальности возникла при анализе поведения решения в окрестности так называемой критической точки. До решения Онсаге-ра представления о фазовых переходах в магнетиках базировались на.
Е (х) = Е0(х) + Е1(х).
F (T) = -кТ lim —InZN{T) lim — iV-i-oo A'.
B.2) теории Вейсса (теория «молекулярного поля») [23], в частности, эта теодн 77″ рия предсказывала следующую зависимость намагниченности М = нулевом поле от температуры Т в критической точке Тс.
2 Те — Т.
М'.
Тс и разрыв непрерывности удельной теплоемкости С (Т) при Т = н=о.
Тс ¦ Онсагер сумел показать, что удельная теплоемкость в точке Т — Тс обладает логарифмической расходимостью. Поскольку этот результат находится в резком противоречии с предсказанием теории молекулярного поля, стало ясно, что существующая классификация фазовых переходов Эренфеста [18], [1] до известной степени неверна.
Поведение некоторой функции (р (г) ,.
Т — Тс.
ТС ' в окрестности критической точки принято описывать пределом (если он существует) [2−5], [23].
А=ИтМ, с •->-сю т е этот предел называют критическим показателем, связанным с функцией (р, для кратности пишут <р{£) = .
Предполагают [23], [6], и это предположение подтверждается экспериментальными данными, что критические показатели являются числами, которые зависят только от размерности системы и симметрии гамильтониана — это означает, что модель Изинга в некоторой окрестности критической точки является хорошим приближением реалистичных моделей той же симметрии. Это предположение и является содержанием гипотезы универсальности, хотя сама по себе она может форм^улироваться в разных формах [6], [47], [46]. Для того, чтобы сформулировать эту гипотезу, понадобилось более двух десятков лет, но сейчас уже найдены и решены модели [б], у которых критические показатели изменяются непрерывно как функции параметров гамильтониана, что противоречит гипотезе универсальности, однако, полагают, что подобные нарушения возможны лишь в специальных случаях. Замечательно то, что будучи результатом теории решёточных моделей гипотеза универсальности стала использоваться в теории поля [37], [41], [35].
Другой гипотезой, которая широко используется как в теории решеточных моделей так и в других областях физики, является гипотеза подобия (скейлинг, масштабная инвариантность) [5], [11], [42], [27], [40], [43], [44], [32]. В гипотезе подобия утверждается, что некоторые термодинамические величины (так называемые термодинамические потенциалы) являются однородными функциями своих аргументов следующего вида р (ах, ьу) = <�р (х, у).
Считается [23], что гипотеза подобия представляет собой специфическое предположение, совершенно лишенное физического смысла. Интересно заметить, что еще в начале сороковых годов А. Н. Колмогоров [14], [15] использован гипотезу подобия в теории турбулентности.
Приведенные примеры показывают, что точные решения решеточных моделей, которые сами по себе могут представлять по видимости довольно грубое приближение реальности, оказывают существенное влияние на развитие физических представлений.
Термин «точные решения'1 принадлежит Р. Бэкстеру [6]. он не совпадает с термином «строгие решения», поскольку в процессе получения точных решений допускается принятие недоказываемых правдоподобных допущений. В то же время это есть решение изначально хорошо определённых конкретных моделей, этим они отличаются от теорий, построенных на основании так называемого «физического смысла», лучшим примером которых, возможно, является теория фазовых переходов второго рода Л. Ландау [18].
Анализ свойств точных решений решёточных моделей помогает представить полную картину поведения более реалистичных и более богатых свойствами физических моделей, вводя новые понятия и стимулируя исследования в новых направлениях. Ясно, что в этом смысле уже решение двумерной модели Изинга с полем было бы большим шагом вперед.
Один из самых авторитетных исследователей в этой области Р. Бэкс-тер полагает, что это можно было бы сделать методом, аналогичным тому, каким Онсагер решил модель без поля, однако в настоящей работе исследуется другой подход.
Целью работы является построение и изучение алгебраических структур, позволяющих аналитически и численно исследовать многопараметрические модели посредством разработанного в диссертации метода, специально приспособленного для выявления свойств этих моделей, связанных с перестройкой суммирования в статистической сумме.
Состояние проблемы. В некотором смысле рассматриваемый подход является развитием идей давней работы Крамерса и Ванье [6], однако. прежде чем описывать этот подход, остановимся на некоторых важных понятиях, которые введем на примере одномерной модели Изинга.
Определим числовую функциюдг = Z1^^(E) от некоторой матрицы с неотрицательными элементами е-(Е" ЕЛ (В.З) у Ь 21 -С/2 2) по формуле N = (В.4).
X п= 1 где г. г = 1——, Л", бинарные переменные, принимающие значения.
1,2, а суммирование производится по всевозможным наборам = (1,. у). В соответствии с (В.1), величина ZN (E) является статистической суммой некоторой модели (одномерной модели Изинга [7]).
Примем краевое условие в виде Хъ (В.5) тогда, расписывая подробно (В.4).
2 2 2.
ZN = ^ S ' ' • X] EXlX2E2X2 ¦ ¦ ¦ ESXl^: I 1 N = 1 обнаружим, что по правилам умножения матриц, это не что иное как след Nой степени матрицы Е то есть.
ZN = Trace EN. (В.6).
В случаях, когда статистическую сумму можно записать в виде (В.6), матрицу Е называют трансфер-матрицей (матрицей переноса) [23], [6]. Эта конструкция часто применяется в современных исследованиях [34], [39]. В дальнейшем, имея в виду формулы вида (В.6). мы будем говорить, что статистическая сумма допускает трансфер-матричное представление.
Вычислим теперь величину = l™ (В.7).
Л —ьоо /V.
Если матрица Е диагональна.
Е = и Л! > Л2, этот предел легко вычисляется = 1пАь (В.8) а поскольку след инвариантен относительно преобразования подобия, формула (В.7) имеет место также и в общем случае, где под А1 следует понимать максимальное собственное значение матрицы Е (В.З). В этом и состоит смысл трансфер-матричного представления для физических моделей — вычисление свободной энергии сводится к вычислению максимального собственного значения трансфер-матрицы и нахождению его термодинамического предела, хотя, конечно, в общем случае это далеко не так легко сделать, как и в приведенном простом примере. Ниже нас будут интересовать только алгебраические свойства статистических сумм и трансфер-матриц, поэтому функцию / в формуле (В.6) также будем называть свободной энергией, при этом связь с физическими термодинамическими величинами устанавливается посредством соответствующей спецификации параметров модели и применении формулы (В.1).
Вернемся теперь к работе Крамерса и Ванье [6], в которой им удалось определить критическую температуру двумерной модели Изинга без поля за три года до того как Онсагер получил точное решение. Их метод можно представить в следующем простом виде. Выпишем статистическую сумму изотропной модели Изинга без поля: лш.
Z, M =? Е{Хпт, Хп т+Ь п+1 т), (В.9).
X ?г=1,т=1 где Е (хпт, Хп т+1, Лп+1 т) = ехр[Л'.пт (х"т+1 + «+1 ,»)], а пт — бинарные переменные, принимающие значение +1,-1. Путем перестройки суммирования в (В.9) Крамере и Ванье получили для свободной энергии равенство.
ПК) = /(1С) + <�Р (К), где К и К* связаны уравнением бЬ 2А'* ¦ эЬ 2А'= 1, (В. 10) а у (К) — некоторая аналитическая функция.
Если предположить, что имеется только одна критическая точка Кс • то она должна соответствовать равенству К* = К, но тогда из формулы (В.10) сразу же получаем бЪ2Кс = 1.
Температура Т определяется формулой где Кв — постоянная Больцмана, ахвеличина, характеризующая меж м о л скул я р нос вза и модействие.
Эту идею (путем перестройки суммирования получать сведения о поведении термодинамических величин) удалось с успехом использовать в некоторых других моделях, но в целом, ясно, что структура модели должна быть очень специальной для того, чтобы можно было получить формулу, аналогичную (В.10).
Рассмотрение многопараметрических плоских моделей и использование степенного представления трансфер-матриц соответствующих статистических сумм выявляет здесь новые возможности, как в плане аналитического анализа, так и численного исследования на ЭВМ.
Особое место в диссертации занимает численные исследования на ЭВМ. Метод степенных представлений доставляет, как показывают результаты диссертации, удобный и эффективный аппарат для проведения вычислений параметров моделей и проверки гипотез, естественно возникающих в ходе исследования этих моделей.
Методика исследований. Статистические суммы рассматриваемых многопараметрических моделей допускают трансфер-матричное представление и это. в свою очередь, позволяет рассматривать термодинамические свойства этих моделей на языке индексированных матриц и, соответственно, операторов, действующих в пространствах, являющихся тензорными произведениями N экземпляров двумерных пространств [9], [16], [12].
Подобного рода аппарат уже с успехом использовался при решении некоторых проблем в статистической физике, теории твердого тела и теории поля [36], [30], [22]. Особое место занимает степенное представление трансфер-матриц. Как правило, в решеточных моделях используются краевые циклические условия типа (В.5), именно эти условия и позволяют получить трансфер-матричное представление вида (В.6). Но, с другой стороны, согласно физическим представлениям, термодииамические функции не зависят от краевых условий. Это обстоятельство было использовано Крамерсом и Ванье в приведенной выше работе. Дело в том, что при перестройке суммирования, произведенной ими, получившаяся статистическая сумма для модели с конечным числом узлов решетки отличается от исходной как раз краевыми условиями. Формула (В. 10), однако, верна в силу принятого допущения о поведении термодинамических пределов. В данной работе такого рода допущения будут использованы для построения так называемой возмущенной трансфер-матрицы (трансфер-оператора), которую можно представить в виде степени другой матрицы (оператора) более простой структуры. Эту последнюю матрицу (оператор) естественно было бы называть корневой трансфер-матрицей (корневым трансфер-оператором).
Введение
корневых трансфер-операторов значительно упрощает анализ нужных свойств моделей, поскольку эти операторы имеют простую структуру вида к Л • где Рдг оператор перестановки индексов, матрица которого в соответствующем базисе состоит из нулей и единиц, а г-2.г-А. индексированная матрица размерности 2А х 2А, причем при вычислении термодинамических пределов Л: —" оо, а К остается фиксированным конечным числом. Бз^дем рассматривать матрицы г-2^ с произвольными вещественными элементами, так что они не связаны с какой-то конкретной физической моделью, но, с другой стороны, большинство моделей, рассмотренных, например, в монографии Р. Бэкстера [6], получаются при соответствующем выборе параметров матрицы II321. Весьма полезным свойством является ограниченность корневого трансфер-оператора для всех N, это допускает вычисление по схеме теории возмущений, которые в этом случае сравнительно просты. Наконец, трансфер-матричное представление статистической суммы неоднозначно, то есть для данной модели можно построить трансфер-матрицы, отличающиеся друг от друга перестановкой элементов матрицы ¡-к и значениями индексов ?']. ik ¦ Организуя подходящим образом процедуру сравнения, это различие можно выразить, например, формулами вида lim (p*B2]PNC2lPN.
N—юо /V-«-оо Д^ здесь (риф собственные векторы операторов A2Pn и A2YPpj от~ вечающие максимальным собственным значениям, символ Т означает транспонирование, Аa, n ~ максимальное собственное значение оператора A2lPN. Матрицы В2i, С'21 — произвольные матрицы 4×4. а Ацматрица с произвольными положительными элементами.
Комбинируя преобразования подобия, формулы следующие из перестройки суммирования статистической суммы и формулы, получающиеся применением теории возмущений, .можно получать дифференциальные уравнения для максимального собственного значения корневого трансфер-оператора двумерной модели Изинга с полем.
Содержание работы. Работа состоит из введения и четырёх глав. В первой главе детально исследуется 16-параметрическая модель, которая, частности, при должном выборе параметров описывает поведение анизотропной двумерной модели Изинга с полем (трёхпараметрическая модель). Строго доказано, что указанная модель допускает трансфер-матричное представление. Изучена структура трансфер-матрицы, получено её тензорное и операторное представление. В завершении главы приведен главный её результат: степенное представление возмущённого трансфер-оператора, который соответствует модели с изменёнными в одной точке краевыми условиями. Как об этом было сказано ранее, такое возмущение не влияет на термодинамический предел (свободную энергию, приходяющуся в среднем на один узел решётки).
Вторая глава посвящена выводу асимптотических формул, отвечающих перестройке суммирования статистической суммы. Здесь получена формула для средних от двух трансфер-операторов, которая является источником получения уравнений, связывающих различные величины, возникающие при вычислениях в трёхпараметрической модели Изинга.
В третьей главе продолжено изучение следствий из перестройки суммирования в статистических суммах и преобразований трансфер-матриц. Получены новые формулы для средних от произведений нескольких трансфер-операторов. В заключительном разделе главы выведено два уравнения, связывающие производные максимального собственного значения трансфер-оператора трёхпараметрической модели Изинга. Эти формулы важны не только сами по себе, они также проясняют смысл всех понятий и преобразований, сделанных в предыдущих главах.
Вообще говоря, для двумерной модели Изинга с полем, которую можно описать корневым трансфер-оператором вида 17−2Рм. можно получить некоторую систему линейных дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений вида где О — трехпараметрическое многообразие, соответствующее анизоо тронной модели Изинга с полем, а — частные производные максимального собственного значения оператора 1721 Рх по параметрам матрицы 17−21 при N 00 • Можно также получить аналогичные уравнения второго и больших порядков. Возникает вопрос: можно ли получить такую систему уравнений, чтобы путем исключения ортогональных к многообразию О частных производных получить в каком либо порядке замкнутое дифференциальное уравнение в частных производных для свободной энергии двумерной модели Изинга с полем. На сегодня на этот вопрос определённого ответа еще нет. Вместе с тем, при работе над этой задачей накоплены результаты, которые представляют самостоятельный интерес.
Основным содержанием четвёртой главы является численное моделирование. При этом использовались методы представленные в известных.
16 курсах [28], [8]. [2]. [17], [21], [3]. Соответствующие вычислительные эксперименты обсуждаются в последнем четвёртом разделе, а первые три раздела носят подготовительный характер.
Основные результаты главы сосредоточены в четвёртом разделе, где последовательно проведены вычислительные эксперименты по.
1) тестированию используемого итерационного степенного метода нахождения максимального собственного значения на решении Онсагера двухпараметрической модели Изинга без поля (таблицы 4.1−4.5),.
2) тестированию модели с транспонированной матрицей параметров (таблицы 4.6−4.10),.
3) определению кривой критических точек по максимуму количества итераций основного методаразработанный метод позволяет вычислить свободную энергию приблизительно за то же самое машинное время двумерной модели Изинга с полем, что здесь использовано для вычисления картины разрушения кривой критических точек при включении поля (таблица 4.11),.
4) численной проверке выдвинутой в четвёртом пункте структурной гипотезы (таблицы 4.12−4.13), кроме того в этом пункте эта гипотеза использована для получения дифференциальных соотношений, которому удовлетворяет максимальное собственное значение трёхпараметричес-кой модели Изинга с полем.
Все вычисления проведены на персональном компьютере Pentium ММХ-166. Из их результатов следует справедливость всех выдвинутых положений. Разработанный численный метод оказался достаточно быстродействующим и точным, он может быть легко перенесён на другие более мощные ЭВМ с использованием любых языков программирования.
