Рис.
6. Числа, … расходятся в случае: два варианта Каждая следующая итерация будет в этом случае расположена дальше от корня x*, чем предыдущая,. При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую y=x «снизу вверх» или «сверху вниз» (см. рис.), последовательность {} монотонно удаляется от корня x* или же итерации удаляются от x*, оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.
Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие, ни условие, то итерации, …могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид x=2x*-x.
Рис.
7. Пример зацикливания итераций Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции. Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.
Теорема 1. Если функция имеет производную в некоторой окрестности корня x* уравнения x=, причём при, то последовательность итераций, полученных при i=1,2,3…, начиная с x0 из Е, сходится к корню x*.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами где — длина окрестности, а точностьго приближения — оценкой
Доказательство. Пусть x0 из Е. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками x0 и x*, получаем
где c0 лежит между x0 и x*. Значит,
то есть
(напомним, что и). Повторяя рассуждения для точек, …вместо x0, получаем:
Так как
последовательность стремится к 0 при. Значит, при .
Неравенство
очевидно, поскольку из того, что x0 и x* лежат в окрестности Е длины, следует, что
.
Поскольку
мы имеем
так как
и
Определение 1. Доказанные оценки показывают, что скорость сходимости итераций к корню не меньше, чем у геометрической прогрессии со знаменателем, где — величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше >0, тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график y= пересекает прямую y=x, имея горизонтальную касательную, то есть при (и, разумеется, при выборе начального приближения достаточно близко к корню x*, так чтобы на отрезке между и x* производная мало отличалась от 0).
Рис.
8. Быстрая сходимость итераций при горизонтальной касательной к графику Выше мы отмечали, что привести уравнение f (x)=0 к виду x= можно, выбирая в виде, где — произвольная функция. При различных способах выбора получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции f или, а также их производных.
Блок схема решения:
Дано:
1) f (x)C''[a, b]
2)f (a)*f (b)<0
3)f'(x) знакопостоянна
4)ε, f (x)=0
Уравнение f (x)=0 заменяется уравнением вида x=φ(x)
φ(x)=x-f (x)*C
Покаxn+1-xn-<�ε, φ' >0
Cтроим последователь Выбираем Находим значение функции
x2= φ(x1), x3= φ(x2)
xn+1= φ(xn
Точка ε, для которой выполняется ε=f (ε), называется неподвижной точкой метода итераций. Очевидно, что эта точка является корнем уравнения f (x)=0.
φ(ε) ε -f (x)* ε
0 f (ε)*C
f (ε) 0
Достаточное условие: для того, чтобы метод итераций сходился достаточно чтобы:
1) φ(x) — Функция является непрерывной и дифференцируемой на [a, b].
2) φ(x) значения — является необходимым условием
3) -φ(x)-<1 для всех Константа С в формуле подбирается таким образом, чтобы функция
φ(x) удовлетворяла условиям сходимости метода итераций.
Заключение
В работе были рассмотрены методы численного решения такие как метод отделения корней, метод половинного деления, метод итераций.
Большая часть процессов физического, химического свойства описывается различными уравнениями, решение которых не всегда тривиально. Для вычисления корней уравнения используют численные методы решения уравнений.
В первой части был рассмотрен метод отделения корней. То есть метод нахождения отрезка, на котором отделен корень.
Во второй части был рассмотрен метод половинного деления, который состоит в последовательном делении отрезка, на котором существует единственный корень уравнения, до достижения требуемой точности.
В третьей части метод итераций. Наиболее сложный метод, но при этом дающий более точный результат.
Все методы достаточно актуальны. Выбор применения того или иного метода вычислений зависит от начальных данных, вида уравнений, описывающих рассматриваемый процесс.
Н.С.Бахвалов. — Численные методы. — Издательство Наука.
— М. — 1975 г.
— 378с.
Д.Мак-Кракен, У.Дорн. — Численные методы и программирование на Фортране .- Издательство «Мир». — М. — 1977 г.-305с.
О.М.Сарычева. — Численные методы в экономике. Конспект лекций. — Новосибирский государственный технический университет. — Новосибирск. — 1995 г.- 412с.
