Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример № 1. Исследовать функции arcsin (1/x) и arccos (1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin (1/x)

Д (f): | 1/x |? 1 ,

| x |? 1 ,

(-?; -1 ] U [ 1; + ?)

Функция нечетная

(f (x) убывает на пр. [0;1], f (y) убывает на пр. [0;р/2])

Заметим, что функция y=arccosec (x) определяется из условий cosec (y)=x и y є [-р/2; р/2], но из условия cosec (y)=x следует sin (y)=1/x, откуда

y=arcsin (1/x). Итак, arccos (1/x)=arcsec (x)

Д (f): (-?; -1 ] U [ 1; + ?)

Пример № 2. Исследовать функцию y=arccos (x²).

Решение:

Д (f): [-1;1]

Четная

f (x) убывает на пр. [0;1]

f (x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример № 3. Исследовать функцию y=arccos²(x).

Решение: Пусть z = arccos (x), тогда y = z²

f (z) убывает на пр. [-1;1] от р до 0.

f (y) убывает на пр. [-1;1] от р² до 0.

Пример № 4. Исследовать функцию y=arctg (1/(x²-1))

Решение:

Д (f): (-?; -1) U (-1; 1) U (1; +?)

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0; 1) и (1; +?)

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1])

tg (arctg (x)) = x, ctg (arcctg (x)) = x

(справедливо при любых x)

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin (arcsin (x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

Т.к. cos²x + sin²x = 1 и ц = arcsin (x)

Перед радикалом следует взять знак «+», т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой), на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

Из тождества следует:

Имеем

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример № 1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу, имеем:

Пример № 2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример № 3. Пользуясь …

Пример № 4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример № 5. Положив в формулах

и

получим:

Пример № 6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

Перед радикалами взят знак «+», т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода — соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

Соотношения второго рода — соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай № 1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга б, заключенная в интервале (-р/2; р/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinб и заключена, так же как и б, в интервале (-р/2; р/2), следовательно Аналогично можно дугу б представить в виде арктангенса:

А если бы дуга б была заключена в интервале (0; р), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение через арктангенс.

Пусть, тогда

Дуга, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-р/2; р/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-р/2; р/2).

Следовательно,

(1)

(в интервале (-1: 1)

Выражение через арксинус.

Т.к., то (2)

в интервале

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

(3)

Случай № 2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку отр/2 до 0, либо промежутку от р/2 до р и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть, если, то. Дуга имеет косинус, равный, а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень, т. е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно:

если, (4)

если

График функции

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

если

если

Аналогично установим, что при имеем:

если же, то

Таким образом:

если (5)

если

Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

при имеем:

Если же х<0, то Итак,

если (6)

если

Выражение арккосинуса через арктангенс. Если, то

При имеем:

Итак,

если (7)

если

Выражение арктангенса через арккотангенс.

если х>0 (8)

если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

.

Выражение арксинуса через арккотангенс.

если (9)

если

Выражение арккотангенса через арксинус.

если 0(10)

если х<0

Выражение арккотангенса через арктангенс.

если x>0 (11)

если x<0

Примеры:

Пример № 1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0, если x>0

— р, если x<0

На чертеже изображен график данной функции Пример № 2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений, второе — для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к., то получаем

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример № 3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

если

если

получим:

y = 0, если

если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y — есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

и

Областью определения функции служит интервал, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=р/6 имеем:

но при х=5р/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2р, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-р/2; 3р/2] величиной 2р.

Если значение х принадлежит сегменту [-р/2; р/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [р/2; 3р/2], то в этом случае дуга р-х принадлежит сегменту [-р/2; р/2]; и, так как

то имеем y=р-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=р-х. Если значение х принадлежит сегменту [3р/2; 5р/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2р Если значение х принадлежит сегменту [-3р/2; -р/2], то

y=-р-х Если значение х принадлежит сегменту [-5р/2; -3р/2], то

y=х+2р Вообще, если, то

y=х-2рk

и если, то

y=(р-х)+2рk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2р. Если значение Х принадлежит сегменту [0; р], то y = x. Если х принадлежит сегменту [р; 2р], то дуга 2р-х принадлежит сегменту [0; р] и, поэтому:

Следовательно, на сегменте [р; 2р] имеем y = 2р — x

Если х принадлежит сегменту [2р; 3р], то y = x — 2р Если х принадлежит сегменту [3р; 4р], то y = 4р — x

Вообще, если, то y = x — 2рk

Если же, то y = -x + рk

Графиком функции является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (…) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример № 1. Преобразовать в арксинус сумму Решение: эта сумма является суммой двух дуг б и в, где

;

В данном случае (т.к., а следовательно,), а также, поэтому .

Вычислив синус дуги г, получим:

Т.к. сумма г заключена на сегменте [-р/2; р/2], то Пример № 2. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда Пример № 3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга г оканчивается во второй четверти, т.к., а. Вычисляем

В рассматриваемом примере, так как дуги г и заключены в различных интервалах,

а

В данном случае

Пример № 4. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги г и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть б и в — две дуги, заключенные в промежутке от 0 до р/2 (первая четверть):

и

Сумма б + в заключена в верхней полуокружности, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т. е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

Разность б — в заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; р/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

Преобразуем в арккосинус, где и

Имеем:

Откуда Аналогично

где 0 < x < 1, 0 < y < 1

где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

Выразить сумму через арксинус По определению арксинуса

и ,

откуда Для дуги г возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при и, имеем:

и ,

откуда При x > 0, y > 0 для дуги г имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б) В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив, получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т. е. или Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов —x и -y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т. е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги г и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса), следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y < 0, и

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на —x получим:

или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем Возможны следующие два случая.

Случай 1: если, то Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;р] и что в этом промежутке косинус убывает, получим и следовательно,, откуда

Случай 2:. Если, то

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если, а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1, в случае 2, следовательно,

(3)

4. Аналогично

(4)

пример:

5.

; xy < 1

; x > 1, xy > 1 (5)

; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

; xy > -1

; x > 0, xy < -1 (6)

; x < 0, xy < -1

7.

;

; (7)

;

8.

; (8)

;

9.

;

; x > 1 (9)

; x < -1

10. (10)

(11)

если (12)

если