О гладкости решений линейных и квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка

Рассмотрим в ограниченной области ®, лежащей в ГЬмерном (П> 2) евклидовом пространстве R точек эллиптическое уравнение.

LU=? aLK (X)UXlXK + X b’L (х)UXi + coou-o (I).

L, K-1 в предложении, что матрица ЦЩлМЦ равномерно положительно определена, т. е. г2 г г «I (2).

L.K-1 где c[ и уЗ положительные постоянные.

Хорошо известно, что если L — оператор Лапласа, а точка границы dJO области «Й регулярна по Винеру, то обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера.

LUf-0 в Auf/dZ)=f.

3) непрерывно в X, еслиf- - непрерывная граничная функция ([1]. 2]).

Как показано в [3] этот же результат справедлив и для решении дивергентных уравнений вида п д.

Д,.

4) если только матрица Цй[к (X) | удовлетворяет условию (2).

Что же касается вопроса о гладкости решений уравнения (4) в регулярных граничных точках, то в [4] впервые получена оценка модуля непрерывности решения вблизи границы и, в частности, приведено достаточное условие гельдеровости решения.

Впоследствии аналогичная оценка была получена и для решений уравнений вида (I) с разрывными коэффициентами в терминах так называемой 3 — емкости [б] .

При этом относительно младших коэффициентов уравнения предполагалось, что.

5) где «о — положительная константа.

Для уравнений вида (I) с непрерывными по Дини коэффициентами O-Lk W обсуждаемый факт был получен в терминах винеров-ской емкости в работе [б]. При этом во всех случаях скорость стремления к своему значению в регулярной граничной точке решения задачи (3) определялась скоростью расходимости ряда Винера (или ряда типа Винера) и модулем непрерывности граничной функции f. Из полученных результатов невозможно было получить большую, чем гельдеровскую^гладкость с показателем гель-дера 0 < о (< 1 .

Однако, известно, что если граничная точка устроена так, что в ее окрестности дополнение области имеет большой объем (по сравнению с шаром), то решение эллиптического уравнения в этой точке к своему граничному значению может стремиться как угодно быстро. Возможность такого случая отмечена в работе [?], для дивергентных уравнений (см. также [7']). В частности, из теоремы этой работы следует, что лучшей характеристикой исследования модуля непрерывности в граничных точках в некоторых конкретных случаях может быть не емкость дополнения окрестности граничной точки, а некоторая другая мера (в частности, мера Лебега) внутренней части окрестности исследуемой точки.

В настоящей диссертации исследуется граничная гладкость решения задачи (3) для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений недивергентного вида. При этом, как и в большинстве предшествующих работ, предполагается, что в окрестности исследуемой точки.

В первой главе рассматриваются линейные уравнения вида (I), выделяются классы областей &, в которых решение принадлехо жит множеству Н^б (Я). Показано, что для любого 5>0 на&-. дется область t) такая, что решение задачи (3) стремится к нулю при X—> Х° как, т. е. решение U (X) f вообще говоря, может обладать в х°€д2) гладкостью заданного порядка.

В § I.I доказательство проводится для уравнения Лапласа. При этом полученный результат оказывается новым даже в этом случае.

В § 1.2 этот результат переносится на уравнение вида (I) с непрерывными по Дини старшими коэффициентами. При этом методика доказательства в данном случае основана на построенных суби суперрешениях рассматриваемых уравнений с полярной особенностью порядка /х-и (см. 8]).

В § 1.3 изучаются уравнения дивергентного вида (4) с разрывными коэффициентами в терминах винеровской емкости.

В этом же параграфе установлена связь между ростом решения и геометрией неограниченных областей, на границе которых решения дивергентных уравнений обращаются в нуль. Эта теорема представляет собой новый результат даже для уравнения Лапласа.

Доказана новая теорема типа Фрагмена-Линделефа.

В § 1.4 рассматриваются уравнения вида (I) с произвольными ограниченными коэффициентами в терминах, так называемой, 3 -емкости (см. 5]).

Во второй главе рассматриваются квазилинейные уравнения.

В § 2.1 на уравнения вида переносятся результаты главы I. При этом относительно u (X, U., 7Ll) предполагается, что.

ТПи=£ aLK (х) UXlXk + b (x, и, vu)=о.

LS4.

6) 1.

I6(X, U, vu) l + /u (u)lvul2+cif/i (T)dT<

7) о где Ц — положительная постоянная.

В § 2.2 рассматривается уравнение вида.

2U=? aiK (х, и) UXiXk + 6(х., и, vU.)= 0.,.

1,К=1.

8) относительно коэффициентов которого предполагается, что выполнено условие (7) и справедливы оценки л,/Л J aiK (x, u) fL xet>, C9).

1а1к (х, и,)-аск (у, иг)1±М[/х-<�Л+1игиг1], (10) где J}/, «положительные константы.

Изучается вопрос об устранимости компактов для решений уравнения (8) в классе ограниченных функций.

В этой связи отметим работы [15],[16J, в которых аналогичный вопрос изучался для линейных уравнений вида (I).

Нами показано, что если компакт имеет нулевую винеровскую емкость, то он устраним в классе ограниченных решений уравнения (8).

Отметим, что гладкостью решений эллиптических и параболических уравнений вблизи иррегулярных граничных точек занимались Михеева [12], А. И. Ибрагимов [13], Ф. И. Мамедов [14] .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору А. А. Новрузову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1.Wiener Nn The Dirichlet Problem.-Journ.Math, Phys., Mass. 1.st.Techn, 1924, N 3, p. 127−146.

2. КЕЛДШ M.B. «О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле». УМН, 1941, № 8, с.171−292.

3. Littman W. Stampacchia G, Weinberger H.F. «Regular points for elliptic equationwith discontinuous coefficients.- Univ. of Minesota, December, 1962. (русский перевод: Сб. переводов: Математика, 1965, т.9, № 2, с.72−97).

4. МАЗЬЯ В.Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения. ДАН СССР, 1963, т.152, № 6, с.1297−1300.

5. ЛАНДИС Е.М. $ - ёмкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сб., 1968, 76, вып.2, с.186−213.

6. НОВРУЗОВ А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке. Матем. заметки, 1972, т.12, вып.1, 0.67−72.

7. НОВРУЗОВ А.А. К теории третьей краевой задачи для линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. ДАН СССР, т.261, № 2, с.278−282.

8. НОВРУЗОВ А. А. Об одном подходе к исследованию качественных свойств решений недивергентных эллиптических уравнений второго порядка. Матем.сб., 1983, т.122 (164), с.360−387.

9. Н0ВРУ30 В А.А. О суб и суперрешениях линейного эллиптического2* п. оператора с полярной особенностью порядка р. ДАН Азерб. ССР, 1970, т.26, № 10, с.21−25.

10. КРЫЛОВ Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений. Дифференц. ур-ия, 1967, т. З, № 2, с.315−326.

11. Н0ВРУ30 В А.А. О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллиптического уравнения с непрерывными коэффициентами. Вестник МГУ, сер. матем и мех., 1971, № 6, с.18−25.

12. ИВАНОВИЧ М.Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Вестник МГУ, сер.матем. и мех., 1966, № 3, с.37−47.

13. МИХЕЕВА Е.А. О поведении решения эллиптического уравнения второго порядка в окрестности нерегулярной граничной точки. Матем.сб., 1969, 80, (122):4 (12), с.503−512.

14. ИБРАГИМОВ А.И. 0 некоторых качественных свойствах решений уравнений параболического типа 2-го порядка с непрерывными коэффициентами. Дифференц. ур-ия, 1982, т.18, № 2, с.306−319.

15. МАМЕДОВ Ф.И. О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи границы. Матер. У1 Научн.конф. аспир. вузов Азербайджана, секц. техника, 1983, с.197−200.

16. ЛАВДИС Е.М. К вопросу о единственности решений 1-ой краевой задачи для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка. УМН, 1978, т.33, № 3.

17. НОВРУЗОВ А.А., МАМЕДОВ И.Т. К вопросу об устранимых множествах второй и третьей краевых задач для эллиптических уравнений. ДАН Азерб. ССР, 1980, № 8, с.3−6.

18. ЛАНДКОФ Н. С. Основы современной теории потенциала. М., Наука, 1966.

19. Н0ВРУ30 В А.А. О необходимом и достаточном условии регулярности граничных точек для квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка. ДАН СССР, т.233, 1977, № 4,с.547−550.

20. НОВРУЗОВ А.А., КУРБАНОВ А. А. Об устранимой особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1981, № 4, с.55−58.

21. Н0ВРУ30 В А.А., КУРБАНОВ А.А. О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках. ДАН Азерб. ССР, 1982, № 5, с.22−25.

22. КУРБАНОВ А.А. О гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях. Деп. ВИНИТИ, № 3763−82, 18 стр.