О кратных тригонометрических и ортогональных рядах

0. В настоящее время в теории ортогональных рядов ведутся интенсивные и плодотворные исследования. Это вызвано как чисто теоретическими интересами, так и важностью приложений в физике, вычислительной математике, теории вероятностей, теории информации. Все большее внимание уделяется и изучению кратных ортогональных рядов. Они обнаруживают ряд интересных свойств, которые не всегда наблюдаются в одномерном случае. Тематика, связанная с изучением кратных ортогональных рядов, актуальна.

Диссертация состоит из трех глав, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация теорем производится внутри параграфов: номер главы, номер параграфа, номер теоремы. Это же касается следствий, лемм, замечаний. Каждый из последующих пунктов введения относится к определенной главе настоящей работы и содержит, в частности, краткий обзор основных утверждений соответствующей главы. Определения всех тех понятий и те обозначения, которые встречаются в формулировках теорем,-содержатся в основном тексте диссертации (см. стр. 21,29,35,46,78) и во избежание повторений и перегрузки введения мы не будем приводить их здесь.

1. Оценка снизу функций Лебега (см. [9], стр. 180- [l9], стр. 4) ограниченных в совокупности орт (c)нормированных систем была впервые получена А. М. Олевским [l2] в 1966 году. В 1975 году С. В. Бочкарев [б] доказал, что для функций Лебега Lyi^ произвольной ограниченной в совокупности ортонормированной системы функций, определенных на СРД1, справедлива оценка.

В работе [ю] 1978 года Б. С. Кашину удалось существенно упростить известные до того доказательства этого результата. Им замечено, что оценка (I) есть следствие следующего числового неравенства: для любых действительных чисел Л.

П.-1 1ги.

И1А0О I й&bdquo-|.

— К к ^ к. Ууь.

Уп- 1 й, с о. fc.~i.-H.

С-О.

ЧН.

1−1.

В первом параграфе первой главы настоящей работы доказывается, в частности, справедливость следующего предложения.

Теорема 1.1.1. Для любого набора действительных чисел и любого I? (Л)00) справедливо неравенство адхДоЛ М.

УУ~ 1.

VI-! К.

С-0 ^-?>1 О.

— I г.

2) где С£>0 зависит только от?. Далее показано, что полученная для С&оценка С^ ~ ц ^ не может быть улучшена по порядку при? —^ 1 + и рассмотрено предельное неравенство с г-4.

Теорема 1.2.1 второго параграфа распространяет, в некотором смысле, неравенство (2) на случай кратных последовательностей. Из нее выводится оценка снизу для функций Лебега кратных ограниченных в совокупности ортонормированных систем. Именно, имеет место.

Теорема 1.2.2. Пусть ~ (¡-[-кратная ортонормированная система на [0,11^, ограниченная в совокупноети. Тогда при К е N справедливо неравенство ^ (-Ь) > Ж Еь^ «, а С и с' - положительные действительные числа.

2. Пусть ~ ортонормированная система Хаара на.

10,1] (см. [1], стр. 54- [9], стр. 57). Вопрос о множителях Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе исслеД°ван П. Л. Ульяновым [15].

В первом параграфе второй главы настоящей работы изучается аналогичный вопрос для кратных рядов Хаара. Именно, доказана следующая.

Теорема 2.1.1. Для того, чтобы возрастающая неотрицательная последовательность СОО^)) была множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по с1—кратной системе Хаара, необходимо и достаточно выполнение условия.

1 .

С оо • А.

Пусть АА обозначает множество всех монотонно убывающих неотрицательных последовательностей, а Д — множество всех последовательностей «Для каздой из которых найдется такое С >/1, что им! ск1 ^ е-тлл1с,(т, 0,1,.

В работе [16] П. Л. Ульянов изучал, в частности, условия абсолютной и безусловной сходимости рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из классов, А и А.

Понятие монотонности, а также аналоги классов, А и, А для кратных последовательностей можно определить по-разному. Во втором параграфе рассматриваются классы Д^Д^Д^и Д^ (см. стр. 35,46) ¿—кратных последовательностей, а вместе с ¿—кратной последовательностью (X ^ (^к)^(^ и класс Р ((Х) некоторых из ее перестановок (см. стр. 35). Для кратных рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из этих классов исследуются, в частности, условия абсолютной сходимости почти всюду. Приведем наиболее характерные из утверждений этого параграфа^.

Теорема 2.2.1. Пусть? А^ и ^(Д00).

Для того, чтобы ¿—кратный ряд, а оС.

3).

Юе сходился почти всюду на [ОД] необходимо и достаточно условие.

1 сил Л К.

ОС оо ¦

О).

Теорема 2.2.2. Пусть (ак)ке1/ € А^, <*&euro-(0,оо).

Тогда для сходимости почти всюду на [ОД] ряда (3) необходимо и достаточно, чтобы для любого ^ £(0Д) выполнялось условие.

1а/ оо.

Т е о р е м, а 2.2.3. Пусть последовательность > (А 05) * т°гда для того, чтобы ряд (3) сходился почти всюду на рц]^для любой последовательности (Дк)^^ из необходимо и достаточно существование такой последовательности? ^ «'ЧТО 0 < < I } к ^ и 00 • о п^сг^бк-а^н» ] Пс"о.

Теоремы 2.2.2−2.2.5 этого параграфа, как нам представляется, являются новыми и в случае однократных рядов .

3. Известны различные ряды сходимости кратных рядов (см. [1в], стр. 455- [в], стр. 451). Соответственно по-разному можно определять понятие безусловной сходимости п.в. кратных функциональных рядов (например, безусловная сходимость п.в. по Прингсхейму, безусловнаясходимость п.в. и др.). В § I главы Ш исследуется связь между некоторыми из таких видов безусловной сходимости. Справедлива следующая.

Теорема 3.1.1. Пусть Л=1. ({-кратный ((!>?) РЗД измеримых на ^ функций р>е.

— 8) безусловно Д-сходится почти всюду (по мере) на измеримом множестве Е^К^ в том и только в том случае, когда на Е сходится почти всюду (по мере) всякий (однократный) ряд, получающийся из него в результате нумерации членов в однократную последовательность.

Теорема 3.1.1 позволяет убедиться в справедливости для кратных рядов теоремы Орлича [20] о безусловной сходимости. Именно, имеет место.

Теорема 3.1.2. Если ¿—кратный (({>?,) ряд Р безсуловно сК-сходится (ЛМ) по мере на измеримом множестве Е с. «то р 1 2 х) < 00 Р для почти всех X? Е •.

Из приведенного утверждения, в частности, вытекает (см. следствие 3.1.1), что для безусловной сходимости почти всюду.

Л-кратного тригонометрического ряда Фурье функции ^ ^ необходимо, чтобы она принадлежала классу |Д-0 йлД^ • Достаточные для безусловной сходимости почти всюду однократных тригонометрических рядов Фурье получены П. Л. Ульяновым [14]. Теорема 3.2.2 третьего параграфа содержит один такой признак для кратных тригонометрических рядов Фурье. Приведем ее (по поводу обозначений см. стр.78−80). См. стр. 80.

Теорема 3.2.2. Если 6 Ь [?о^згЗ^ и некотоРом ?>0 для всех выполнено соотношение.

Р I и* Чсо, сод/ то (1-кратный тригонометрический ряд Фурье функции .р безусловно сходится почти всюду на С0, йл3^ по Прингсхейму.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2−4], Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту Академии наук Грузинской ССР, профессору Л. В. Жижиашвили за постоянное внимание на протяжении всего времени работы над диссертацией.

1. Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИЛ, M., 1963.

2. Бареладзе Г. П., О неравенстве Б. С. Кашина, Сообщения АН ГССР, 101, te 2, 1981, 301−303.

3. Бареладзе Г. П., Об абсолютной и безусловной сходимости кратных рядов по системе Хаара, Сообщения АН ГССР, III, № I, 1983, 21−24.

4. Бареладзе Г. П., О безусловной сходимости кратных рядов, Сообщения АН ГССР, 112, № 3, 1983, 497−499.

5. Бочкарев C.B., Логарифмический рост средних арифметических от функций Лебега ограниченных ортонормированных систем, Докл. АН СССР, 223, № I, 1975, 16−19.

6. Гецадзе Р. Д., 0 расходимости ортогональных рядов Фурье, Некоторые вопросы теории функции, Изд-во Тбилисск. гос. ун-та, Тбилиси, 1979, I2I-I69.

7. Жижиашвили Л. В., Сопряженные функции и тригонометрические ряды, Изд-во Тбилисск. гос. ун-та, Тбилиси, 1969.

8. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 2, «№р», М., 1965.

9. Качмак С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, Физмат-шз, M., 1958.

10. Кашин Б. С., Замечания об оценке функций Лебега ортонормированных систем, Матем. сб., 106 (148), № 3 (7), 1978, 380−385.

11. Никишин Е. М., Ульянов П. Л., Об абсолютной и безусловной сходимости, Успехи матем. наук, 22,? 3, 1967, 240−242.

12. Олевский A.M., Ряды Фурье непрерывных функций по полным ор-тоноршльным системам, Известия АН СССР, Сер. матем., 30, 1966, 387−432.

13. Панджакидзе Ш. П., 0 безусловной сходимости двойных ортогональных рядов, Сообщения АН ГССР, 38, te 3, 1965, 521−522.

14. Ульянов П. Л., О рядах по переставленной тригонометрической системе, Известия АН СССР, Сер. матем., 22, № 4, 1958, 515 542.

15. Ульянов П. Л., 0 множителях Вейля для безусловной сходимости, Матем. сб., 60, & I, 1963, 39−62.

16. Ульянов П. Л., 0 рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами, Известия АН СССР, Сер. матем., 1964, 28, № 4, 925 950.

17. Ульянов П. Л., 0 некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем. наук, 8, № 6, 1953, I33-I4I.

18. Челидзе В. Г., Некоторые вопросы теории двойных рядов, Изд. Уханьского ун-та (Китай), 1958.

19. Olevskii A.M., Fourier series with Respect to General orthogonal systems, Berlin, Springer-Verlag, 1975.

20. Orlicz W., Uber die Divergenz von allgemeine Orthogonalreihen, Studia Math., 4, 1933, 27−32.