Резонансное и нерезонансное рассеяние звука вихрем Ранкина

Рассеяние звука изолированным вихрем является предметом интенсивных исследований на протяжении более 50 лет. Причины такого высокого интереса к данной проблеме заключаются в том, что эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные. Когда турбулентность может быть представлена в виде распределения локализованных вихрей с определенными статистическими свойствами (подход Крейчнана-Татарского [1,2]), звуковое поле, рассеянное таким течением, будет являться суперпозицией рассеянных звуковых полей от каждого вихря. Поэтому описание элементарного события — рассеяния звука отдельным вихрем — в рамках данного подхода является необходимым для предсказания взаимодействия звука с турбулентным течением в целом. Кроме того, имеются убедительные экспериментальные свидетельства (см., например, [3−6]) того, что турбулентные течения" содержат структуры с интенсивной, концентрированной завихренностью, которые при облучении звуковой волной ведут себя как линейные рассеиватели [7]. Корректное моделирование взаимодействия звука с таким течением требует описания взаимодействия-звука с локализованными концентрированными вихрями. Кроме того, исследование взаимодействия звука с отдельным локализованным вихрем представляет самостоятельный интерес для целого ряда проблем, например, таких как рассеяние фононов вихрем в квантовой электродинамике [8, 9] или обнаружение и определение размеров вихревых следов за большими транспортными самолетами [10]. Эта задача также может служить одной из эталонных проблем (benchmark problems) в вычислительной аэроакустике [11].

С экспериментальной точки зрения, рассеяние звуковых волн представляет собой бесконтактный (невозмущающий) способ исследования структуры потока. Разумеется, методы, позволяющие проводить пространственные измерения характеристик течения без возмущения потока крайне важны для решения* задач аэрои гидродинамики. Такой оптический метод как LDV (лазер-допплеровская анемометрия, Laser Doppler Velocimetry) дает только локальные характеристики потока, a PIV (Particle Image Velocimetry) неудобен для крупномасштабных экспериментов. Кроме того, такие оптические методы измерений требуют введения в поток отражающих частиц и не дают информации о фазе волн. С другой стороны, фазовый, сдвиг звуковой волны, вызванный течением, в котором эта волна распространялась, может быть измерен и проанализирован.

Этот метод анализа структуры течения по сдвигу фазы звуковой волны был впервые предложен в работах [12, 13], и теперь широко используется в акустике океана [14, 15]. Развитие экспериментальной техники [16−20] привело к появлению возможности измерять пространственные и динамические характеристики" изолированных вихрей. Когда размер вихря много больше, длины звуковой волны, фазовый сдвиг интерпретируется в рамках геометрической, акустики и дает прямое измерение циркуляции вихря, его размера и положения. Теоретический-анализ рассеяния звука вихрем в данном коротковолновом приближении был предложен в работах [21−25].

Однако в реальных турбулентных потоках присутствуют вихревые^ структуры самых разных масштабов, так чтокоротковолновое приближение в общем случае не справедливоэто необходимо учитывать при проведении акустической диагностики турбулентных течений. Был осуществлен ряд подобных экспериментальных попыток исследовать турбулентные потоки с помощью акустики [26−28]- авторы этих работ сделали вывод о перспективности метода акустической диагностики для исследования турбулентных течений и отметили необходимость уточнения существующих моделей взаимодействия звуковой волны с неоднородным полем скоростей и давлений.

С этой целью в работе [29] было проведено экспериментальное исследование, посвященное верификации полученных численных и теоретических результатов по рассеянию звука отдельным вихреммежду теоретическими расчетами и экспериментальными данными работы [29] наблюдалось заметное расхождение. Возможная причина этого расхождения будет предложена ниже, в Главе 3.

Помимо непосредственной экспериментальной проверки результатов для амплитуды рассеянного звукового поля вихрем, как это было сделано в работе [29], ряд исследователей [30−32] воспользовались математической эквивалентностью уравнений, решаемых в данной акустической задаче, и уравнений для поверхностных волн в мелкой воде, для экспериментальной проверки теории. Таким образом, эксперименты по рассеянию* поверхностных волн на вихре дают возможность сделать выводы об искомом решении в рассматриваемой акустической задаче. Интересно также отметить математическую аналогию с квантовомеханической задачей об эффекте Ааронова — Бома [33−34], где. рассматривается рассеяние электронов непроницаемым цилиндром, содержащим внутри магнитное поле.

Простейшей теоретической моделью, описывающей взаимодействие звука с локализованным вихрем, является длинноволновое рассеяние звука на двумерном цилиндрическом вихре — т.н. вихре Ранкина (Рис.1). С другой: стороны, эта теоретическая модель является достаточно реалистичной, так что можно ожидать, что рассмотрение даннойзадачи позволит выявить основные свойства исследуемого явления. Однако, несмотря на длительную историю проблемы, полученные решения дают неоднозначный ответ на вопрос о длинноволновом рассеянии звука вихрем Ранкина, так что до настоящего момента полное понимание этой базовой проблемы отсутствовало.

Ввиду указанной выше важности проблемы взаимодействия звука с вихрями, устранение имеющейся неоднозначности в решениях данной задачи, анализ причин неоднозначности и установление границ применимости существующих подходов, а также получение нового решения, обобщающего имеющиеся и снимающего существующие противоречия, представляется вполне актуальным.

Действительно, на настоящий момент в литературе имеются различные ответы, как для резонансного, так и нерезонансного рассеяния. В задаче о нерезонансном рассеянии большинствоавторов [8, 10, 35−44] рассматривали рассеяние на вихре Ранкина плоской звуковой волны. Выбор данной постановки определялся, в основном, аналогией с другими акустическими и квантово-механическими задачами рассеянияоднако, как будет показано ниже, использование постановки с плоской волной для двумерной задачи о рассеянии звука вихрем Ранкина приводит к математической неопределенности задачи и ряду других проблем. Обширную литературу, где авторы пытаются разрешить эти трудности, можно условно разделить на два типа:

1) работы, где используется разложение на парциальные моды и) работы, где используется уравнение Лайтхилла Несколько в стороне от остальных подходов к решению задачи стоят работы [40,43], где используется уравнение Блохинцева — Хоу [45−46], представляющего собой обобщение уравнения Блохинцева [47] на случай, когда звуковые возмущения распространяются в среде, где присутствуют' завихренность и градиенты энтропии. Однако, так как математические трудности в работах [40,43], аналогичнытем, что возникают при использовании уравнения Лайтхилла, эти работы будут условно отне^Б к типу (и).

Многими авторами ([8, 10,35−37]), исследовавшими нерезонансное рассеяние звука вихрем, было получено решение, неограниченно возраставшее на малых углах рассеяния (т.е. в направлении падения плоской волны) — в дальнейшем были получены другие решения [38−40], не имеющие особенности в этом направлении. На основании анализа полученных решений, ряд авторов [35, 48−55] выразили сомнение относительно математической и физической корректности формулировки задачи с плоской волной в качестве падающего поля. Для разрешения этих сомнений представляет интерес рассмотрение задачи о рассеянии звука вихрем Ранкина в физически и математически корректной постановке — например, рассеяние звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря, — и сравнение полученных результатов для обеих постановок (это будет выполнено ниже в Главе 3).

С точки зрения исследования пространственной структуры потока особенный интерес представляет собой резонансное рассеяние звука вихрем [37, 56]. Вихрь Ранкина является колебательной системой с квазидискретными уровнями энергии [57], и усиление рассеянного звука вихрем, когда частота падающего звукового поля совпадает с одной из собственных частот вихря Ранкина, может дать информацию о завихренности и положении содержащихся в жидкости вихрях. Естественно, что чем более эффективен механизм" резонансного рассеяния, тем легче получить эту информацию и тем более она надежна. Однако при рассмотрении резонансного рассеяния также были получены различные результаты. Из общих соображений в работе [37] было показано, что акустический резонанс является очень эффективным механизмом: в частности, амплитуда рассеянного поля" достигает величины амплитуды падающего поля. Однако имеется и другое решение, полученное в работе [56] на основе метода сращивания асимптотических разложений, которое свидетельствует о сравнительной неэффективности резонансного рассеяния: амплитуда рассеянного поля, хотя и увеличивается по сравнению с нерезонансным случаем, тем не менее остается значительно меньше амплитуды падающего звукового поля. До настоящего момента расхождение в выводах этих работ не было устраненоустранение этого противоречия является одной из целей данной работы.

Цели и задачи исследования.

1) Анализ существующих постановок в приближении плоской звуковой волны и их неполноты. Рассмотрение задачи в новых постановках (плоская волна вокруг вихря на конечном расстоянии от вихря, удаленный точечный источник и др.). Изучение роли рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

2) Построение решения в слабосжимаемом приближении задачи о длинноволновом нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Анализ и сравнение полученного решения с решениями других авторов.

3) Вычисление собственной частоты сжимаемого вихря Ранкина для эллиптической моды. Построение и анализ решения в слабосжимаемом приближении задачи* о длинноволновом резонансном рассеянии звука. Исследование вопроса, может ли резонансная амплитуда достигать величины амплитуды падающего звукового поля:

Научная новизна. В данной диссертации впервые:

1) Поставлена и решена1 задача о рассеянии вихрем Ранкина звука от плоской волны, заданной вокруг вихря на большом, но^конечном расстоянии от его оси.

2) Предложена адаптация метода Берри к этой задаче, для чего введена в рассмотрение область I на удаленном расстоянии’от вихря, в которой-удается" просуммировать бесконечные ряды, определяющие решение, и дать анализ предыдущих постановок задачи. Дан ответ на вопрос о роли рефракции звука на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

3) Используя развитый подход, решена задача о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенном на большом, но конечном расстоянии от вихря. Полученное решение позволяет классифицировать все имеющиеся решения и установить границы их применимости.

4) Продемонстрирована эквивалентность формулировки с плоской волной и формулировки с точечным источником для решения задачи о резонансном рассеянии. Показано, что амплитуда резонансного рассеянии действительно может достигать амплитуды падающего поля.

5) Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической, п = 2) моды.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

— Основные проблемы в задаче о нерезонансном рассеянии звука связаны с правильным учетом рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости. Проведенный анализ влияния рефракции позволил получить корректное решение задачи о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Проведено сравнение полученного решения с решениями предыдущих авторов.

— Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической) моды. Показана эквивалентность для исследования^резонансного рассеяния традиционной постановки с плоской волной и постановки с точечным, источником на большом, но конечном расстоянии от вихря. Получено решение задачи о резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина и устранено противоречие в имеющихся результатах.

Личный вклад автора заключался в проведении основных расчетов по задаче с плоской волной на конечном расстоянии* и по задаче об удаленном точечном источнике, установлении связи существующих постановок с задачей о точечном источнике в области I, вычислении собственных частот сжимаемого вихря Ранкина и исправлении имеющегося в литературе ошибочного выражения для собственной частоты, участии в анализе предыдущих постановок задачи, включая резонансное рассеяние. Научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Ф. Копьеву принадлежат постановки задач о точечном источнике и о плоской волне, заданной на конечном расстоянии от центра вихря, введение в рассмотрение области I, в которой удается просуммировать ряд и адаптация метода Берри к этой области, анализ предыдущих постановок задачи.

Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в работах [50−55] и были представлены на следующих конференциях: 47, 48, 49, 50-ая Научные Конференции МФТИ (Москва, 2004, 2005, 2006, 2007 гг) — Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2006) — 13 AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Рим, Италия, 2007) — Научная Конференция «Авиационная акустика».

Звенигород, 2007) — 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Ванкувер, Канада, 2008) — International conference «Acoustics'08 Paris» (Париж, Франция, 2008) — 7th ONERA — TsAGI seminar (Жуковский, 2008) — XX сессия Российского Акустического Общества (Москва, 2008). Результаты работы обсуждались на семинаре проф. С. А. Рыбака, АКИН (2007).

Объём и структура диссертации. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография) содержит 93 наименования работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Выводы к Главе 4.

1) Определена собственная частота вихря Ранкина для п- 2 с учетом сжимаемости (98) с точностью до членов порядка О^М4). Исправлена ошибка в выражении для этой частоты в работе [57].

2) Впервые показано, что в отличие от нерезонансного рассеяния, рассмотренного в Главе 3, вычисление амплитуды рассеянного поля при резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина требует знания падающего поля только в главном по числу Маха приближении. Таким образом продемонстрирована математическая корректность постановки, которая использовалась предыдущими авторами и заключалась в рассмотрении рассеяния вихрем плоской звуковой волны.

3) Впервые продемонстрировано, что расхождение в ответах, полученных в работах [37] и [56], является кажущимся. Показано, что в согласии с выводами работы [37] амплитуда рассеянного звукового поля при резонансном рассеянии действительно может достигать порядка единицы (т.е. порядка амплитуды падающего поля). Также показано, что в соответствии с выводами работы [56] при совпадении частоты падающего поля с собственной частотой вихря Ранкина (90) амплитуда рассеянного поля для п- 2 имеет порядок.

0[Мг У Таким образом устранено существовавшее противоречие результатов работ [37] и [56].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1) Указаны математически некорректные процедуры, использованные предыдущими авторами при решении задачи в традиционной постановке с плоской волной. Показана математическая неопределенность задачи в данной постановкеэта неопределенность приводит к необходимости делать дополнительные предположения о структуре падающего поля. Так как рефракция звукового падающего поля на медленно спадающем поле средней скорости существенно модифицирует структуру звукового падающего поля, то дополнительные априорные предположения о виде падающего поля являются неоднозначными. Сделан вывод о необходимости использовать другую постановку задачи, где отсутствует необходимость делать дополнительные предположения о структуре падающего звукового поля.

2) Впервые рассмотрена постановка с плоской волной на большом, но конечном расстоянии от вихря. Получено аналитическое выражение в области I (см. Рис. 5) для амплитуды падающего поля с учетом рефракции на медленно спадающем поле средней скорости. Решение не содержит разрывов или сингулярностей ни при каких углах наблюдения. Показано, что рефракция может приводить к появлению в падающем поле уходящих (квази-)плоских и цилиндрических волн, имеющих тот же порядок, что и рассеянное поле. Сделан вывод, что данная постановка, хотя и является математически корректной и физически определенной, приводит к очень сложному выражению для амплитуды падающего поля. Показано, что любое представление падающего поля в виде решения уравнения (15) или суперпозиции таких решений для разных п является математически корректной постановкой задачи.

3) Рассмотрена одна из таких математически корректных постановок: постановка Берри. Сделан вывод о неочевидности исходной физической ситуации, которой соответствует данная постановка. Указано на различие в граничных условиях для квантово-механической задачи, рассмотренной в [34], и задачи о рассеянии звука вихрем. В существующей на настоящий момент литературе аналитического выражения для амплитуды падающего (и рассеянного) поля для задачи о рассеянии звука вихрем (или эквивалентной ей задачи о рассеянии вихрем поверхностных гидродинамических волн для мелкой воды) в математически корректной формулировке получено не было. Сделан вывод о предпочтительности решения задачи в формулировке, которая является не только математически корректной, но и соответствует хорошо определенной физической ситуации.

4) Впервые рассмотрена задача о рассеянии вихрем звукового поля от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Предложенная постановка является математически корректной и соответствует хорошо определенной физической ситуации. Получено аналитическое выражение для амплитуды падающего поля в области I (см. Рис. 9). Решение не содержит разрывов или сингулярностей ни при каких углах наблюденияоно значительно проще решения для постановки с плоской волной на большом, но конечном расстоянии от вихря. Сделан вывод о предпочтительности решения задачи с использованием постановки с точечным источником.

5) Получена амплитуда собственно рассеянного поля при нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Рассеяние звука вихрем имеет дипольную направленность и описывается выражением (79). Этот вывод находится в согласии с выводом ряда других авторов, в частности [40].

6) Впервые показано, что для проведения корректной процедуры сращивания решений во внешней дальней и внешней ближней области знание только главного члена разложения решения по числу Маха является недостаточным. Таким образом, постановка с плоской волной, использовавшаяся рядом других авторов, не позволяет однозначно определить рассеянное поле, поскольку существует бесконечно много выражений, задающих падающее поле, которые в главном приближении совпадают с падающей плоской волной.

7) Проведено сравнение результатов предыдущих авторов. Указано на качественное сходство решения (86) и результатов предыдущих авторов. Приведено объяснение возникновения в ответах ряда предыдущих авторов сингулярности. Предложена причина расхождения результатов эксперимента и вычислительного расчета по рассеянию вихрем цилиндрической волны в работе [29] с аналитическим выражением (88).

8) Определена собственная частота вихря Ранкина для п = 2 с учетом сжимаемости (98) с точностью до членов порядка Исправлена ошибка в выражении для этой частоты, полученном в работе [57].

9) Впервые показано, что в отличие от нерезонансного рассеяния, рассмотренного в Главе 3, вычисление амплитуды рассеянного поля при резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина требует знания падающего поля только в главном по числу Маха приближении. Таким образом продемонстрирована математическая корректность постановки, которая использовалась предыдущими авторами и заключалась в рассмотрении рассеяния вихрем плоской звуковой волны.

10) Впервые продемонстрировано, что расхождение в ответах, полученных в работах [37] и [56], является кажущимся. Показано, что в согласии с выводами работы [37] амплитуда рассеянного звукового поля при резонансном рассеянии действительно может достигать порядка единицы (т.е. порядка амплитуды падающего поля). Показано, что в соответствии с выводами работы [56] при совпадении частоты падающего поля с собственной частотой вихря Ранкина.

90) амплитуда рассеянного поля для п = 2 имеет порядок Таким образом устранено существовавшее противоречие результатов работ [37] и [56].