Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных

Актуальность темы

В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производной и нелинейной правой частью. Предполагается, что матрица при производных постоянна. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых 2кпериодических решений рассматриваемых систем.

Решение данной проблемы имеет важное значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей. Системы дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных моделируют многие процессы в физике, химии, биологии, статистике и других науках [2, 15, 25, 37−38, 46−49, 57]. Системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных возникают при анализе линейных электрических цепей [8, 50], служат моделями в теории автоматического регулированияпоставщиком таких систем является также метод слабой аппроксимации [70] и метод сферических гармоник [39, 56].

Изучению ненулевых периодических решений посвящено много работ, но даже в случае неособенной матрицы при производных не существует общего подхода к решению поставленной задачи. В частности недостаточно исследована проблема ненулевых периодических решений автономных систем, когда матрица линейного приближения критическая или требуется знать свойства нелинейной части. В случае же сингулярных систем (систем с особенной матрицей при производных) даже существование решений в смысле классического определения остается под вопросом. Поэтому задача поиска условий существования ненулевых решений автономных систем, зависящих от параметра, с матрицей при производных является достаточно важной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем, имеющих матрицу при производных и нелинейную правую часть, зависящую от параметра.

Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида:

Sx + Qx + f (x,-l)=0, (0.1) где 5 и g ¦ (тхт) матрицы, матрица S может быть как особенной так и неособенной, xeRm, Я е Rp — параметр, (x5/t)eRm+p, вектор-функция f (x. Я) непрерывна по х и по Я, и для любого Я е Rp /(О, Я)= 0. Пусть функция /(х, Л) допускает представление /(х, Л)= С (х, Л)+ D (x, Л), где С (х, Л) — полином степени s > 1 относительно переменных х, Л,.

C (tx, a) = fC (x, Я), (0.2).

Cfo, я) — с (х2, л} < /оСг^Цл-,-х21 (?(х^лщх^л^а), (0.3) а функция D (x, Я) представима в виде конечной суммы полиномов степени выше, чем s по (х, Л),.

0.4) v,. Д>-. Л1 ^(crjv,-x, l dCv^K-^JM (°-5>

В данной работе ставится задача поиска условий существования ненулевых litпериодических решений системы (0.1) в гильбертовом пространстве, когда данное решение представимо в виде ряда Фурье.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных получили большое освещение. К примеру проблемы существования периодических решений и их бифуркаций рассматривали Е. Хопф [77], А. Пуанкаре [45],.

A. М. Ляпунов [30], В. В. Немыцкий, В. В. Степанов [40], H.A. Бобылев [45], М. А. Красносельский [21−23], И. Г. Малкин [31−33], Ю. В. Малышев и.

B.П. Захаров [34−36], М. Т. Терехин [58−59] и другие авторы [1, 6−7, 11−12, 14, 28−29, 42−43, 62−63, 76, 78].

Вопросы существования ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных получили гораздо меньшее освещение, поэтому остановимся подробнее на литературе, посвященной сингулярным системам дифференциальных уравнений.

Большинство авторов [8−10, 13, 17, 24, 41, 65, 71−75, 80] рассматривали так называемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения, то есть уравнения вида Ах + Вх = /. При этом используют как точные, так и приближенные методы.

Все точные методы решения дифференциально-алгебраического уравнения основаны на его разбиении на систему уравнений, одно из которых является обыкновенным дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. В ряде работ [8, 24, 74, 75, 80] рассматриваются однородные сингулярные уравнения Ах = Вх. При этом на матрицы, А и В накладываются различные условия.

Так в работе С. Г. Крейна и В. Б. Осипова [24] рассматривается только тот случай, когда матрица В не вырожденна, а матрица, А вырож-денна. При этих условиях авторы находят множество решений данного уравнения и доказывают теорему о существовании положительно определенной квадратичной формы, невозрастающей на всех решениях уравнения Ах-Вх, которая используется ими в дальнейшем при исследовании систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени.

В работах [74] и [75] рассмотрен так же случай, когда й&А = 0 и с^В = 0. При этом исходная система может приводиться как к системе дифференциальных, так и алгебраических линейных уравнений.

Один из точных методов основан на приведении произвольного пучка матриц к каноническому виду. Ф. Р. Гантмахер [13] с помощью строго эквивалентных преобразований приводит пучок матриц ЛА +В к канонической квазидиагональной форме. При этом исходное уравнение распадается на несколько независимых подсистем, каждая из которых решается отдельно, причем может оказаться и несовместной. Проведенный Гантмахером Ф. Р. анализ показывает, что для совместности исходной системы Ах + Вх = / в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит линейно как произвольные постоянные, так и произвольные функции. Характер условий совместности и характер решений определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка ЯА + В, так как от них зависит каноническая форма этой системы. В отличие от данной работы в статье [41] для решения уравнения Ах + Вх- / осуществляются не строго эквивалентные преобразования матричного пучка ЯА + В, а преобразования с помощью унимодулярных матриц [26. С. 371]. При этом решение исходного уравнения значительно облегчается так как блоки, содержащие бесконечные элементарные делители пучка ЛА + В, будут иметь единичный размер.

Несколько другой метод решения сингулярных уравнений был использован В. Ф. Чистяковым. В статье [65] автор изучает линейные системы с вырожденной или прямоугольной матрицей при производной искомой вектор-функции. Для получения решения используется метод исключения неизвестных, который основан на преобразовании исходной системы Ах = Вх + /, где, А и В — (m х и)-матрицы к виду х = Вх + f. При этом полученные решения непрерывно дифференцируемы. Чистяковым доказаны условия совместности изучаемой системы: если 1) т<�п, 2) /(i)eC*, 3) существует X такое, что rang (AX — В)= m, то система Ах = Вх + / совместна. Полученное решение в общем случае содержит произвольные постоянные и функции.

В работе [75] для поиска решений сингулярной системы дифференциальных уравнений Ах = Вх + f авторы использовали матрицу Дразина и разбивали основное пространство, где искались решения, на два подпространства, инвариантные относительно оператора А. При этом предполагалось, что матрицы, А и Вперестановочные. На вектор-функцию / накладывалось условие существования indA -1 раз дифференцируемой части, лежащей в подпространстве, содержащем ker⁴. Однако полученное решение не обязательно было дифференцируемым.

Наиболее полно дифференциально-алгебраические уравнения исследованы в монографиях Ю. Е. Бояринцева [9−10]. В них автор исследует системы вида A (t)x = B (t)x + fit). При этом матрицы A (t) и B (t) могут оказаться прямоугольными, а на решения накладываются дополнитель ные условия j (da (sJ)C (s')>c (s) = а, где, а — заданный вектор, C (s) — задана ная матрица с непрерывными на [а,? элементами, a (s) — заданная матрица, элементы которой — вещественные на [а,? функции с ограниченной полной вариацией. С помощью обратных матриц Дразина Бояринцев доказывает теоремы о существовании решений исходного уравнения, исследует вопросы управляемости и наблюдаемости подобных систем.

Во всех предыдущих работах рассматривались сингулярные системы дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах. В статье [51] Сидоров H.A. рассматривает произвольное банахово пространство и производит разбиение этого пространства на бесконечномерные части. В статье [19] С. П. Зубова изучает зависимость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений от параметра.

В работах В. П. Скрипника [52−55] исследуются системы вида (а (^)х) + F (t, jc)= 0. В работах [53−55] существование решений подобных уравнений доказывалось при помощи построения семейства невырожденных систем, которое сходится к вырожденной системе. В статье [52] существование решений системы (A (t)x) + F (t, х)= 0 доказывается непосредственно. При этом решение х предполагается условно абсолютно непрерывным или условно дифференцируемым, то есть оно не является дифференцируемым, но дифференцируемой является вектор-функция A (t)x. Доказательства проводятся при условии, что A (t) имеет особую структуру, абсолютно непрерывна и имеет ограниченную производную.

Несколько статей посвящено численному решению сингулярных систем. В работе [64] Бояринцев Ю. Е. рассматривает линейную систему вида = B (f)?c + fit), которую решает приближенно с помощью разностных методов. При этом предполагается, что все матрицы и векторы достаточно гладкие, и существует единственное тоже достаточно гладкое решение исходной задачи. Автор использует обобщенные обратные матрицы, в том числе матрицы Дразина, и на функцию f (t) накладывает условие существования производных до к-1 порядка включительно, где indA (t)<к = const. Основное внимание уделяется системам, где к<2.

В статье [16] В. А. Данилов рассматривает трудности, возникающие при численном интегрировании систем вида Mx (t)=.

В нескольких статьях рассматриваются нелинейные сингулярные системы. В работах [66−67] В. Ф. Чистяков сформулировал и доказал локальную теорему существования и единственности для решений нелинейной задачи Ах = f (t, x) в случае, когда каноническое представление матричной пары (А, /ж') не содержит нильпотентных блоков степени выше единицы. При этом на систему накладывалось условие совместности rang (A)= rang (A, /). Так же установлена сходимость модифицированного метода Ньютона, если в равномерной метрике приближение выбрано достаточно близко к решению.

Н.В. Зубов [18] доказал теорему существования и единственности решения системы вида Ax~F (t, x), где F (t, х) — вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция. При этом решение получается как предел специально организованных последовательных приближений.

В работе Логинова Б. В. и Русак Ю. Б. [27] для решения уравнения Ау = Ву + /(у, х) используется понятие обобщенной жордановой структуры, с помощью которого определен проектор на корневое подпространство и доказана асимптотическая устойчивость тривиального решения.

В нескольких работах [68−69, 79] рассматриваются периодические решения сингулярных систем дифференциальных уравнений. Так в работе [68] Ю. Д. Шлапак рассматривал линейные системы вида =, где «-мерные матрицы и имеют производные всех порядков для любого I и являются периодическими по? периода 1. Он исследовал задачу приведения данной системы с помощью периодической невырожденной замены переменных к системе Р0у = Аь ([)у, где Р0 — постоянная матрица. Затем полученное уравнение разбивается на систему двух уравнений, одно из которых алгебраическое, а второе — дифференциальное, разрешенное относительно производных. При этом вопрос о периодических решениях сингулярной системы сводится к вопросу о периодических решениях системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. В статье [79] для системы Ах + Вх = /(?, х) доказано условие существования и единственности сопериодического решения. При этом предполагалось, что для некоторого Л существует (ЛА + ву1 и использовалась перестановочность матриц (Ы + ВУА и (ЛА + вув.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого 2к~ периодического решения системы (0.1) сводится к поиску решения в виде ряда Фурье, разбиению основного пространства на два подпространства и отысканию некоторого тригонометрического многочлена и параметра, которые определяются через ненулевые решения нелинейного векторного уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения некоторых форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена нахождению необходимого и достаточных условий существования ненулевых периодических решений уравнения (0.1) при условиях (0.2) — (0.6). Решения х ищутся в гильбертовом пространстве Ь2 в виде рядов Фурье.

00 х = а0 +^апсоШ + Ьп$т.п1. (0.7) п;

Путем разбиения пространства на прямую сумму двух подпространств получены условия существования ненулевых периодических решений исходной системы.

В § 1.1 на множестве всех тригонометрических рядов М рассмотрены свойства оператора В, определяемого равенством Вх = 8х + £)х. В теореме 1.1 доказано условие существования во множестве М оператора В'1, обратного оператору В. В теореме 1.2 дано необходимое и достаточное условие существования собственных векторов, соответствующих нулевому собственному значению оператора В. Далее дано определение решения системы дифференциальных уравнений с матрицей при производных в пространстве Ь2. В отличие от классического определения решения системы дифференциальных уравнений (см. например [3, 44]), в данном определении решение не дифференцируемо, а только интегрируемо с квадратом.

В § 1.2 и § 1.3 находятся поверхности точек, подозрительных на решение данной системы при различных свойствах ее линейной части. При этом основное пространство Ь2 разбивается на два подпространства, одно из которых содержит конечную часть ряда (0.7), а другое — бесконечную. Разбиение пространства Ь2 производится в зависимости от свойств оператора В. При этом уравнение (0.1) заменяется эквивалентной ему системой. В отличие от работы [22], где рассматривается аналогичное операторное уравнение, параметр X е Лр. В отличие от [10, 17, 65, 67, 72] рассматриваются системы с нелинейной правой частью. В отличие от [75], в данной работе не ставится условие коммутативности матриц 5 и Для доказательства достаточных признаков существования ненулевых периодических решений уравнения (0.1) предварительно рассматриваются некоторые свойства пространств 1Х и /2.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [44, 62], по функциональному анализу — из [20, 22, 61], по линейной алгебре [26], по рядам Фурье — из [60].

Во второй главе рассматривается нелинейное векторное уравнение с параметром.

С (а, Л)+£>(«, Л) = 0, (0.8) удовлетворяющее условиям (0.2) — (0.6). С помощью разложения формы С, ^ -ого порядка, в степенной ряд в окрестности точки, в которой данная форма обращается в нуль, получена классификация нелинейных уравнений и найдены условия существования их ненулевых решений.

В § 2.1 рассматривается случай неособенной матрицы при первой производной. Теорема 2.1 дает необходимое условие существования ненулевого решения уравнения (0.8). В теореме 2.2 доказано достаточное условие существования ненулевого решения уравнения (0.8) в случае неособенной матрицы при первой производной.

В § 2.2 рассматривается случай нулевой матрицы при первой производной. Достаточное условие существования ненулевого решения уравнения (0.8) доказывается в теореме 2.3.

В § 2.3 рассматривается случай особенной матрицы при первой производной. При этом вводится замена переменных, позволяющая свести данный случай к рассмотренному в § 2.2.

В третьей главе исследуется нелинейное векторное уравнение с параметром, доказаны теоремы существования ненулевых 2-г-периодических решений дифференциальных уравнений с матрицей при производных и решается вопрос об их непрерывности по ?.

В § 3.1 доказываются необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений векторного уравнения в случае, когда оно преобразуется в однородное относительно вектора а, то есть в уравнение вида Г (йг, Л) а = 0. В теореме 3.1, 3.3 и 3.4 доказаны необходимые и достаточные условия существования ненулевого решения, а этого уравнения при произвольном параметре Л и разных предположениях относительно вида а. В теореме 3.2 — необходимое условие, а в теореме 3.5 — достаточное.

В § 3.2 доказана теорема 3.6 о существовании ненулевых решений уравнения (0.8), когда оно может быть записано в виде Т (а, Х) Л + 0(сс, Л)=0.

В § 3.3 доказаны достаточные условия существования ненулевых 2-г — периодических решений дифференциальных уравнений с матрицей при производных при разных условиях, наложенных на форму С (х, Л), В отличие от [53] существование решения доказывается без аппроксимации матрицы при производных обратимыми матрицами. По сравнению с [18] рассматриваются только ненулевые периодические решения системы (0.1). В теореме 3.9 доказано условие существования в некоторой окрестности нуля области, не содержащей ни одного 2к — периодического решения уравнения (0.10). Получен вид ненулевого периодического решения дифференциальных уравнений с параметром и в теореме 3.10 доказана непрерывность этого решения по t. Приведены примеры существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, с матрицей при производных. Рассмотрена система дифференциальных уравнений вида х = f (x, Я), для которой получено достаточное условие существования 2л: — периодического решения.

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Третьей Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Саранске, в IV Крымской Международной математической школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» в г. Алушта, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе рассматривалась система дифференциальных уравнений вида 8х + ()х + / (х, Л)= О, где 5 и О — (тх/н) матрицы, х е И" ', Л е Кр, (хД)еГ+р, функция /(х, Л) непрерывна по х и по Л, /(О, А)=0 и /(х, Л)=С (х, Л)+П (х, Л), где С (х, Л) — однородная форма 5-го порядка по (х, Л).

Для данной системы было дано определение решения и доказаны достаточные условия существования ненулевых 2жпериодических решений, представленных в виде рядов Фурье.

В качестве дополнительного результата были доказаны некоторые свойства пространств 1Х и /2, а так же найдены необходимое и достаточные условия существования ненулевых решений нелинейного векторного уравнения вида С (а, Л)+ Э (рс, Л)= 0, где С (а, Л) — однородная форма 5 -го порядка по (а, Л).