Математическое моделирование сложных колебаний цилиндрических оболочек и панелей с учетом температурного поля и внешних знакопеременных нагрузок

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы).

Быстрый темп нашей жизни, постоянное мелькание будней при интенсивном каждодневном обновлении информации, становится реальностью. Явления, которые еще сравнительно недавно считались экзотическими и интересовали лишь узкий круг ученых, сейчас получают развитие во многих областях повседневной жизни. Так и произошло с концепцией детерминированного хаоса. Многочисленные процессы и явления, протекающие в физических, химических, биологических, экономических и социальных неравновесных системах, анализируются сложными нелинейными системами дифференциальных уравнений. Возникают не только теоретические, но и практически важные классы задач, когда возникает необходимость управлять нелинейной-системой. Но, несмотря на огромное число публикаций, в том числе ряда монографий, строгих результатов накоплено немного, и даже терминология в области хаотических моделей еще не устоялась, а многие вопросы остаются открытыми. В промышленности широко применяются конструкции, выполненные в виде тонких однослойных и многослойных оболочек вращения. Они в процессе эксплуатации могут подвергаться воздействию силовых и тепловых нагрузок. Проблема надежной эксплуатации конструкций, работающих в условиях интенсивных тепловых и механических воздействий, с практической точки зрения является в современной технике одной из важнейших, и теоретические численные исследования возникновения хаотических колебаний в такой конструкции, также представляют определенный интерес. Обратимся к истории исследований по* данной тематике, далее также будет приведено основное содержание работы.

Интерес к исследованию температурных напряжений возник в начале нашего века. Например, еще Рэлей [106] рассматривал поле напряжений в неограниченной плите, имевшей первоначально равномерную температуру и охлажденной так, что по ее поверхностям поддерживалась постоянная температура. Влияние периодических изменений температуры для тонкостенных сосудов, имеющих одну или несколько осей симметрии, изучал Г. Эйхельберг [81]. В дальнейшем Г. Гринберг [83] исследовал напряжения, возникающие при охлаждении сферы. Для толстых плит, цилиндров и сфер ряд результатов с приложениями, существенными для бетонного строительства, получил Г. Н. Маслов [49].

Температурные напряжения относятся к основным факторам, с которыми необходимо считаться, при выборе режимов нагрева тел [50].

Исследования высокотемпературной прочности труб под внутренним давлением газовой рабочей среды впервые начаты в 1931 г. компанией «The Babcox and wilcox» под руководством Ньюэлла. Однако они были прерваны в связи со значительными трудностями в постановке опытов (разрушение печи при разрыве образца и т. п.). В 1943 г. опыты были возобновлены. Однако нагрев производился в обыкновенной печи, работающей на природном газе, что не позволяло точно контролировать температуру и деформации образцов. Поэтому проведенные опыты носили в основном прикладной характер.

Используя опыт Ньюэлла, в 1950 г. Кунстер и Блейзер разработали установку, состоящую из шести секций, помещенных в защитный кожух из толстостенной стали. Каждая секция включала образец, электрическую печь специальной конструкции, систему контроля температуры и систему давления. Установка была апробирована и дала удовлетворительные результаты.

Деформация тела неразделимо связана с изменением содержащегося в нем тепла и, следовательно, с изменением распределения температуры в теле. Изменяющеесяво времени поле деформаций вызывает изменение поля температуры, и наоборот. Внутренняя энергия тела зависит, таким образом, от деформаций и температуры. Область науки, рассматривающая эти взаимодействующие процессы, называется термоупругостью. Она начала развиваться в последнем десятилетии прошлого века, хотя уместно отметить, что сопряжение поля деформации и поля температуры постулировал еще Дюгамель [80], а обобщенное уравнение теплопроводности было дано Фойгтом [114] и Джеффрисом [87].

Исследования по термоупругости начинались с решения задач о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюгамелем [80] и Нейманом, который исходил из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю. С принципиальной точки зрения теория Дю-гамеля-Неймана для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п. Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела, а много* позже J.M. Thomson и S.R. Bishop [112] привнесли свой, вклад при изучении! нелинейных колебаний оболочек.

Ряд исследователей JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [44] и др. с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив, лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в-работах М. Био [67], PI Чедвика [71−73], Б. Боли [68, 69] и Д. Уэйнера [115] и др., где был дан обоснованный вывод основных соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные теоремы термоупругости. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую-теорию упругости и теорию теплопроводности. В рамках термоупругости рассматривается распределение температуры, вызванное-деформациями, а также дается* описание явления упругого рассеяния энергии, являющегося причиной внутреннего затухания в упругих телах.

Несмотря' на свою математическую сложность, термоупругость дает возможность более глубоко проникнуть в механизм деформационных и тепловых процессов, происходящих в. упругих телах. Она' охватывает следующие явления: перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средойтермоупругие напряжения, вызванные градиентами температурыдинамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударетермомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей деформации и температуры.

Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения, о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый-и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная Л. А. Шаповаловым [64], Каратеодори [70] и Т. А. Афанасьевой-Эренфест [7]. В этой формулировке устанавливается общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов принцип адиабатической недостижимости.

Теория термоупругости получила широкое развитие в связи с необходимостью решения многих проблем современной техники. Термодинамическое обоснование основных уравнений классической теории термоупругости и систематизация основных результатов исследований термоупругого состояния однородного тела содержатся в монографиях Я. С. Подстригача [58], В. Новацкого [54], Б. Боли, Дж. Уэйнера [9], А. Д. Коваленко [30], работах В.Ф. Киричен-ко[29], О. О. Евтушенко [23].

При современном развитии гиперзвуковых технологий возникает необходимость изучения сложных колебаний оболочечных систем при действии температурного поля и знакопеременных внешних нагрузок. Как известно, аэродинамический нагрев приводит к образованию неравномерного поля температур в конструкции летательного аппарата. С этим связано появление некоторых напряжений. Подобные температурные напряжения не всегда являются опасными для прочности конструкции, так как «рассасываются» по мере развития деформации. Но те элементы конструкции, в которых развиваются сжимающие напряжения, могут потерять устойчивость, что в ряде случаев равносильно исчерпанию несущей способности и является недопустимым.

Далее, при высоких температурах появляется ползучесть конструкционных материалов (стали, дюралюминии, титановых сплавов и .т.д.), которая в свою очередь приводит к потере устойчивости сжатых элементов. У некоторых материалов (пластмассы) ползучесть имеет место при относительно низких температурах, явление ползучести протекает во временималозаметная деформация сжатого стержня по истечению определенного периода завершается резким выпучиванием. Существование неравномерного температурного поля связано с явлением теплопроводности внутри тела и с рассеянием энергии в окружающую среду. Процесс деформации при нагружении и выпучивании теля сопровождается, кроме того, необратимыми изменениями температурного поля [16].

Проблема устойчивости оболочек при температурных воздействиях стала разрабатываться с 1957 г. Результатом температурного воздействия на оболочку является термическое выпучивание, которое в отличие от выпучивания при действии механической нагрузки имеет ряд специфических особенностей. При тепловом расширении элементов оболочки возникают температурные усилия. Сжатие элементов сопровождается выделением тепла, а при растяжении происходит поглощение тепла. В оболочке имеет место перетекание тепла от сжатых элементов к растянутым. При неравномерном нагреве из-за градиентов температур возникают дополнительные внутренние тепловые потоки. Происходит необратимый теплообмен с окружающей средой. Строгое решение задачи о температурном выпучивании возможно лишь термодинамическими методами. Но в работах [84, 64] показано, что критическое состояние упругой системы в рамках линейной теории устойчивости не зависит от природы исходного поля напряжений. В рамках технической теории оболочек допускается механическая трактовка термического выпучивания, в которой не делается различия между температурными напряжениями и напряжениями от внешних нагрузок [21].

Общее решение задачи термоупругости представляется в форме решения однородного уравнения для вектора перемещения, он содержит произвольные вектор и скаляр, а частное решение неоднородного уравнения, соответствующего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциалаперемещений, она удовлетворяет уравнению Пуассона. Первым этапом решения задачи термоупругости является определение соответствующего температурного поля методами теории теплопроводности, систематическое изложение которых можно найти в монографиях А. В. Лыкова [48], Г. Карслоу и Д. Егера [28] и др.

Важными для практики задачами термоупругости является плоская задача термоупругости, термоупругость круглых пластин и оболочек вращения и осесимметричная задача термоупругости.

Постановка плоской задачи термоупругости имеет особенности по сравнению с плоской задачей изотермической теории упругости, связанные с характером температурного поля. Плоское деформированное состояние вызывается двумерным (плоским) температурным полем. Плоское напряженное состояние в рамках пространственной теории упругости может существовать при пространственном температурном поле, удовлетворяющем определенному условию. При произвольном плоском температурном поле в тонкой пластине возникает напряженное состояние, мало отличающееся от плоского напряженного состояния. Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещенийв связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили [52], используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для много связных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями.

Теория термоупругости тонких пластин и оболочек, как и соответствующая изотермическая теория, основана на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о двумерном напряженном состоянии, аналогичном плоскому напряженному состоянию. При резко нестационарном пространственном-температурном поле закон изменения чисто тепловой деформации по толщине тонкой пластины или оболочки существенно отличается от линейного, поэтому гипотеза о неизменяемости нормального элемента в общем случае не соответствует линейному закону изменения тепловых напряжений по толщине. Применение обобщенных чисто тепловых деформаций позволяет свести задачу термоупругости для тонкостенной конструкции при объемном температурном поле к двумерной задаче изотермической теории пластин и оболочек [30].

На основе современного состояния теории круглых пластин малого прогиба можно изучить особенности термоупругого деформирования пластин, обусловленного пространственным температурным полем, влияние теплового растяжения1 пластины на ее тепловой изгиб, исследовать тепловые напряжения в пластинах переменной толщины, в неоднородных пластинах при изменении упругих свойств материала по радиусу и толщине и др.

При разработке теории тепловых напряжений в тонких оболочках используются результаты изотермической теории оболочек, содержащиеся в известных монографиях A. JI. Гольденвейзера [18], А. И. Лурье [46, 47], В. В. Новожилова [55] и др. Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. При решении задачи о тепловых напряжениях в коротком цилиндре исследуются тела вращения, для которых невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи: метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье [46] и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач.

На основе термодинамики необратимых процессов начали развиваться исследования динамических задач термоупругости с учетом и без учета связанности полей деформации и температуры: Г. Дересевич [75, 76], Р. Чедвик и И. Снедцон [71] разработали теорию плоских гармонических термоупругих волн, В. Новацкий [100−102] исследовал задачи о термоупругих сферических и цилиндрических волнах и развил общие представления о решении связанных задач термоупругости, Ф. Локкет [96], Д. Уиндл [72] изучили распространение термоупругих волн Релея, Я. С. Подстригач и Р. Н. Швец [57] изучили влияние теплопроводности и теплоотдачи на распространение волн напряжений в пластинах и оболочках и т. п. При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала. В качестве основных граничных связанных задач термоупругости следует отметить двумерные задачи о распространении плоских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продольных термоупругих волн в длинном цилиндре. В статье Ding Haojiang [77] дано общее решение задач сопряженной термоупругости, в качестве примера решена задача о деформации полупространства, на границе которого задано только температурное поле гармоническое по времени, как функция радиуса. Г. Я. Попов [59] получил точные решения для несвязанной задачи термоупругости для конечного кругового полого цилиндра с вырезом вдоль образующей, в данной работе температурное поле считается уже известным.

Теория нелинейных колебаний пластин и оболочек — эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Теоретическими исследованиями Б. Боли и А. Барбера [68], X. Крауса [93] и др. установлена возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий. Импульсные нагрузки являются определяющими при расчете технологических операций высокоскоростной обработки металлов, взрывных камер, термоядерных установок, запроектных режимов работы атомных реакторов и других аппаратов новой техники [20]. В работе О.О. Евтушенко-[23] найдены температурное поле и термические напряжения, инициируемые в полупространстве отдельным импульсом лазерного излученияполученные результаты численными методами соответствуют данным для лазера, работающего в режиме непрерывной генерации.

Первый обзор по проблеме исследования цилиндрических оболочек был сделан D.A. Evensen в 1974 [82]. В дальнейшем появились обзорные работы М. Sathyamorthy и К.A. Pandalai [108, 109], W. Leissa [94], M. Amabili [66]-и других. В этих работах изучались системы с одной, максимум тремя степенями свободы, что явно недостаточно при изучении сложных с учетом геометрической нелинейности колебаний. Учет геометрической нелинейности в теории колебаний дает возможность выявить новые явления, которые совершенно не могут быть открыты на основе линейной теории. Основы геометрически нелинейной теории были заложены работой Маргерра [97]. Позднее Т. Карман и Г. Цзян [89] на основе уравнений Маргерра установили, что в закритической стадии нагрузка с ростом деформации падает, что противоречило известным фактам, полученным в решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где нагрузка с ростом деформации непрерывно возрастала [21].

В 1934 г. Доннелл [79] обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях. Он еще в 1933 г. решил задачу об устойчивости-тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя JI. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. JI. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла-Муштари. Работы JL Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории были замечены специалистами [22].

Начиная с конца 50-х гг. прошлого столетия проблема динамической устойчивости тонкостенных оболочек вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались в монографиях.

A.С. Вольмира [13, 14], в докладах и обзорных статьях В. В. Болотина [10],.

B.И. Феодосьева [60], В. Л. Агамирова [1], Ю. Г. Коноплева [31]. По проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару в работе К. А. Пандалаи [105] приведен список публикаций.

Задача устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке рассматривается в работе В. А. Баженова [8], предложенная методика позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закри-тическое поведение оболочек в процессах термосиловых нагружений. Решение задач по определению показателей температурного напряженно-деформированного состояния в оболочках произвольного очертания, выполненных из функционально градуированного материала, под действием термического нагружения, рассматривается в работах Ю.П. Артюхина1 [6], Takezono Shigeo [111].

Проводимые исследования в области нелинейной динамики пластин и оболочек показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возбуждаться различные режимы колебаний: регулярные (гармонические, субгармонические, квазипериодические) и нерегулярные (хаотические). И процесс колебаний, в свою очередь, может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, к которым относятся возникновение сложных резонансовсрыв колебательного режима, приводящий систему к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам и другим явлениям, например, появлению потери устойчивости по симметричной и несимметричным формам. Возможность возникновения хаоса при изменении параметров воздействия, сценарии перехода систем из упорядоченного движения в хаотическое, интересует ученых уже не одно десятилетие. Здесь приведены некоторые работы по данной тематике.

В основе исследования динамического поведения вязкоупругой цилиндрической оболочки под действием осевого давления в статье Cheng Chang-jun [74] лежат гипотезы Кармана-Доннелла, изучаются динамические характеристики цилиндра (гиперхаос, хаос, странные аттракторы, предельные циклы). На примере динамической устойчивости оболочек с геометрическими несовершенствами в работе Е. А. Гоцуляк [19] демонстрируется состояние системы в момент потери устойчивости при динамическом нагружении и переход от док-ритического к закритическому состояниюавтор отмечает, что колебания при этом имеют хаотический характер. При диссипативном разогреве вязкоу пру го-го цилиндра при установившемся движении произвольной нагрузки по его поверхности В. Г. Карнаухов [27] исследует влияние толщины цилиндра и области нагружения на температурное поле.

Интересное приложение теории нелинейных колебаний получило в статье Zeng Jing [117]. Здесь конструкция вагона вместе с двухосными тележками рассматривается как механическая система, состоящая из многих твердых тел с упругими связями и обладающая девятьюстепенями свободы. Рассчитаны точки бифуркации Хопфа, предельные циклы колебаний, показатели квазипериодического и хаотического движения исследуемой динамической системы с построением фазового портрета колебаний и картины Пуанкаре. Определена скорость движения вагона, при которой возникают его хаотические колебания.

Но вопросам нелинейной: динамики пластин и оболочек, находящихсяпод действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, изучению сценариев перехода таких систем в состояние хаоса в известной нам литературе не уделялось должного вниманияДанное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В. А. Крысько.

Целью работы является построение1 математических моделейсложных колебаний механических систем в виде гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелейна прямоугольном: плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, а также создание эффективных математических методов и алгоритмов решения таких задач.

Для достижения этой цели* необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели для сложных нелинейных колебанийгибких цилиндрических оболочек, а также цилиндрических' панелей напрямоугольном плане, находящихся в температурном поле, при действии распределенной или локальной знакопеременной поперечной нагрузки и продольных периодических нагрузок.

2. Разработать эффективный алгоритм численной реализации колебательных режимов для качественного исследования сложных колебаний указанных обол очечных систем.

3. Провести проверку достоверности получаемых результатов и апробацию предложенного алгоритма для конкретных задач.

4. Изучить влияние температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок на сложные колебания оболочечных систем взависимости от управляющих параметров (амплитуды* возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.).

Диссертациясостоит из введения, четырех глав, заключения, спискаиспользуемой литературы. Ниже приведена краткая характеристика по главам.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.

1. Построены* математические модели с учетом геометрической нелинейности дляг цилиндрической оболочки и для цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящиеся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля. Они позволили исследовать задачи статики и динамики, определить характерные режимы колебаний оболочечных систем при совместном действии силовых нагрузою и теплового поля, выявить зоны хаотических колебаний и определить управляющие параметры для перехода. системы в гармонические.

2. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля.

3. Выявлен характерный сценарий перехода колебаний оболочек, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля, из гармонических в хаотические — модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Изучение сценариев перехода системы в хаос позволяет регулировать её поведение, преобразуя хаотическое поведение в регулярное с помощью целенаправленных дополнительных воздействий.

4. Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров (q0,d)p) для цилиндрической оболочки, цилиндрической панели, на прямоугольном плане с рассмотренными краевыми условиями. Это дает возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров:

5. При совместном действии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля впервые исследовановлияние коэффициента линейного трения4 на характер колебаний оболочечных систем. Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению^зон хаотических колебаний.

6. Исследовано влияние совместного действия температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, распределенной по полосе с центральным углом <р0. Построены графики зависимости критических нагрузок от центрального угла в цилиндрических оболочках. Определены статические и динамические критические нагрузки, исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки.

7.Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) при исследовании сложных колебаний цилиндрических панелей и пластинок при совместном действии температурного поля и силовых нагрузок.

8. Определено влияние параметра интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку в цилиндрических панелях и сферических оболочках на прямоугольном плане.

9. Построены карты динамических режимов в разных приближениях при п = 1 и п = 25. Показано, что результаты, полученные в первом приближении существенно отличаются от результатов, полученных в высших приближениях.

Многие западные исследователи рассматривают решения задач нелинейной динамики в первом приближении, но проведенные численные эксперименты убеждают нас, что такой подход приводит к существенным качественным отличиям, поэтому необходимо решать такие задачи в высших приближениях.