Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов

Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Тригонометрической суммой называется конечная сумма 5 вида.

5 = (1) п где Г (х, х2, ., хг) — вещественная функция от г переменных и суммирование ведется по целым точкам (х, х2, ¦ ¦ ¦, хг) некоторой области Г2 п — мерного пространства, г2 = —1. Тригонометрическими суммами называют и более общие суммы й" вида ^(хих2,хг)е (Р (х1,х2, • ¦ •, Хг)) и где С (х1, Х2, ¦ ¦ ¦, хг) — некоторая комплекснозначная функция переменных Х >) ¦ ¦ ¦ > Хг ¦

Основной проблемой при изучении сумм 3 является проблема установления верхней границы модуля 5. Обозначим через Т количество целых точек области Г). Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |5| имеем тривиальную оценку.

51 < Т, причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции. •, хг) имеют одну и ту же дробную часть. Однако для весьма широких классов функцийР (жх, Х2, ¦ ¦ ¦, хг) и совокупностей О оказывается возможным установить для I"!?! верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида где Д — с возрастанием числа целых точек области П и возможным одновременным изменением вида функции Р{х, Х2, ¦ ¦ ¦, хг) стремится к нулю. Этот множитель Д, отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса) и Гаусс полностью решил проблему поведения |5|- он дал следующие точные выражения для |5|:

5| < ТА, а, д) = 1 у/д, если д = 1(гао?Й) — 0, если д = 2(тпосМ) — если д = 0(тос14).

Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы х= Ч / где ж) = апхп +. + ахх, п > 1, (ап,., аь д) = 1.

В случае простого д-р, р — простое число, Морделл [1] дал для этой суммы оценку.

5| < пр1^", которую А. Вейль [2], следуя одной идее Хассе [3], заменил следующей:

5| < пу/р,.

Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном п) с возрастанием р, вообще говоря, неулучшаема — можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше, чем у/р.

Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного д дал Хуа [4, 5, 6, 7]. Он установил неравенство.

5| < с (тг)д1-" .

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием д оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В. Н. Чубариков [8] в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида х.

S = = (3) т— 1 где f (x) — аптп +.. + ат, и ап,., а. — любые вещественные числа.

Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль [9], задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г. Вейля.

Оценка суммы S, получаемая с помощью метода Г. Вейля, может быть дана следующей теоремой: Пусть a Ot ап = - + —, (a, q) = 1, 0 < q < хп, 1 < t < д. q Г.

Тогда при некотором с (п, е), превосходящем единицу, будем иметь неравенство.

— + - + (4) х q хп J е — сколь угодно малая постоянная.

Существенным недостатком этой оценки является быстрая потеря ее точности с возрастанием п. Действительно, правая часть неравенства (4) значитель.

1 1 но превосходит степень х 2″ 31, показатель которой с возрастанием п весьма быстро приближается к единице, поскольку 2-п, весьма быстро приближается к нулю.

Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.

Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена /(?), =ап?п +. + а11,.

Решение ее было получено в виде: Пусть х 0 эе.

О!п = - + -о-, (а, д) = 1, 0 < я < хп} 1 < ае < д, Я Г и пусть х и V — любые числа с условием 0 < д < и < 1. Тогда, представляя число /^(гс, >и, и) чисел ряда 1,., х с условием ?1 < {/(?)) < и в виде.

F (ж, и) — (и — /л)х + и), для числа А (/л, и) будем иметь неравенство вида 21-п.

— + - +) ' (5) X ц хп).

Величина Г (х, ц, и) применением леммы И. М. Виноградова [10] «о стаканчиках» сводится к суммам Г. Вейля 5. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена /(?) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создания метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г. Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке. Положим.

D (x) = sup.

0<�м<�г/<1 p-v) X.

Величина D (x) называется отклонением первых [ж] членов последовательности {/(?)}. Последовательность {/(?)} называется равномерно распределенной по модулю, равному единице, если lim D (x) = 0. ж—>00.

Отсюда из (5) следует, что последовательность {/(t)} является равномерно распределенной по модулю, равному единице, если.

Л (^, г/)| = о (х).

Другой проблемой, решению которой помогла оценка (4), является проблема Варинга, обобщающая теорему Лагранжа о представимости натуральных чисел суммою четырех квадратов целых чисел. Варинг [11] в 1770 г. высказал утверждение, что при каждом целом п > 1 существует такое г = г (п), что всякое целое положительное число N может быть представлено в виде.

N = х&trade- + + ¦¦• + х % (6) с целыми неотрицательными х,., хг. Это утверждение получило название «проблема Варинга». Оно было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд [12] в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Существенную роль в их методе играли оценки суммы S, полученные по методу Г. Вейля. Разработанный Харди и Литтлвудом метод позволил рассматривать проблему Варинга в гораздо более полной и совершенной постановке, чем только как проблему существования представлений числа N в виде.

6). В частности, Харди и Литтлвуд рассмотрели функцию G (ri), представляющую собою наименьшее значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого Nq, представляются в виде (6). Для этой функции они вывели неравенства п < G (n) < n2n~1h. lim h = 1.

N^oo.

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при г > (п — 2)2n1 + 5 для числа I (N) представлений числа N в виде (6) нашли асимптотическую формулу вида.

I{N) = (T (l + l/n)YN, 1(7 + ^-l-cin.r)) (7).

Г (r/n) где анекоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число с (п.г) и ci (n, г) > 0.

В дальнейшем схема доказательства Харди и Литтлвуда была заменена близкой по идее, но более простой схемой И. М. Виноградова. Основу этой схемы составляет равенство.

I 1, если т — 0- e (am)da = < о I 0, если 771 — целое и т Ф 0.

Пользуясь этим равенством, число I (N) можно представить так: 1 р

I (N) = J Sr{a)e{-aN)da, S{a) = e (axn), P = N" о X=1.

Таким образом, и здесь мы имеем дело с тригонометрической суммой Г. Вейля.

В 1934 г. И. М. Виноградов[13] - [23] нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G (n) Харди и Литтлвуда (см. 12]):

G{n) < n (61nn + 10).

Эта граница растет с возрастанием п как величина порядка nlnn и, ввиду известного неравенства G (n) > п, уже не может быть заменена границей существенно более низкого порядка. В дальнейшем эта оценка несколько раз уточнялась И. М. Виноградовым и последний результат выглядит так:

G (n) < n (2 In? г + 4 In In? г + 2 In In In n + 13).

Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила «теорема о среднем И. М. Виноградова». Тригонометрическая сумма Г. Вейля S, р

S = S{an, .,"!) = ^Ге27″ '-^, Дх) = апхп +. + ац,.

Х=1 как функция аргументов ап,., а является периодической по каждому аргументу с одним и тем же периодом, равным 1. Интеграл J.

1 1.

J = Jb= Jb{P) = j. j о 0 является средним значением 26-й степени модуля суммы S. Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины J. В теории чисел применяются два варианта верхней границы интеграла Л: «общая верхняя граница» и «упрощенная верхняя граница''. Если п > 2 и Ь > Ьо,.

60 = [п2(21ПП + 1П1пп + 4)], упрощенная верхняя граница дается неравенством вида.

Нетрудно видеть, что здесь число 6о в смысле порядка роста с возрастанием п уже нельзя заменить существенно лучшим. Нетрудно далее показать, что сама указанная граница в смысле порядка роста с возрастанием Р является точной верхней границей.

В то время как упрощенная верхняя граница применяется в случаях, когда при неограниченном возрастании Р число п остается неизменным, общая верхняя граница может применяться и в случаях, когда при неограниченном возрастании Р может, хотя и медленно, расти и п.

Пусть п > 2 и при целом положительном I число Ъ1 определено равенством Ъ[ = п1. Тогда при Ъ > 6/ эта общая граница дается неравенством т / 11п1/г. 3″ («+1)' г-.о/] П2+П, д2+п/1 1у.

3 < (п1) (2п) 2 РгЬ 2 + 2 I1 п) .

Особенностью этой границы является наличие целого положительного I, которое можно выбирать произвольно, руководствуясь условиями решаемой проблемы, учитывая, что увеличение числа I, уточняя множитель, зависящий от Р, одновременно с этим увеличивает нижнюю границу 6/ числа 6, а также множитель, зависящий только от п.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г. Вейля по методу И. М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю. В. Линником [24] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т. е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А. А. Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [25]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J (N^, n. k) при малых значениях к (см. работы [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г. И. Архиповым [34] в начале 70-х годов прошлого века. Г. И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975 г. Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [35], [36] дали обобщение результатов Г. И. Архипова на кратный случай. В 1976 г. В. Н. Чубариков [37, 38, 39] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г. И. Архипов, А. А. Карацуба и В. Н. Чубариков [40, 41] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вей ля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм» [42]. В середине 80-х годов прошлого века В. Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [43, 44].

Первая глава диссертации посвящена изучению поведении тригонометрических сумм Г. Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов.

Английский математик Р. Вон [45], изучая суммы Г. Вейля вида.

Т (а. х) = Y" е (атп), а = - + A, q < т. (a, q) = 1, |А| < —, ' a qr тп<�х воспользовавшись оценкой k=l q ' принадлежащей Хуа JIo-кену, методом Ван дер Корпута [46, 47] доказал: X.

Т (а, х) = ^^ J е (Atn) dt + O (q" +? (1 + жп|А|)з), (8) о.

S (a, q) = SQ{a, q) = ?e (—j. k=i ^ q '.

При условии, что, а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем д, то есть при выполнении условия 2nqxn~1 14 он также доказал: 1.

T (aj х) = ^М) Г е (ЛГ) dt + O, (9) J о.

Поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида.

Т (а, х, у)= ^ e (amn), а = - + А, (а, g) = 1, g < г, |Л| < (10) х—у<�т<�х ^ ^ при п = 2,3,4 соответственно были исследованы в работах [48, 49, 50, 51]. Эти оценки были приложены соответственно при решении следующих аддитивных задач с почти равными слагаемыми:

• тернарная проблема Эстермана: N = р + р2 + т2 [52, 53, 54];

• кубическая задача Эстермана: N = р + р2 + m3 [55];

• проблема Варинга для кубов: N = х + х +. + [56];

• проблема Варинга для четвертых степеней: N — х + х +. + х7[Ы].

Основними результатами первой главы являются теоремы 1.1 и 1.2. В теореме 1.1 найдены оценки коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида (10), если величина пхп~х очень близка к целому числу.

Теорема 1.1. Пусть т > 2п (п — 1) хп~2у, {пЛхп2} < А > 0 или {пхп~1} > 1 — А < 0- тогда имеет место соотношение.

Т (а, х, у) = у) + О (q^) .

Если старший коэффициент, а очень «близок» к рациональному числу a/g, то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины пхп~1 к целому числу, а для суммы Т (Х]х, у) выполняется условие леммы 1.4, с помощью которого тригонометрическая сумма заменяется интегралом. Поэтому для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля Т (а-, х, у) вида (10), у которых старший коэффициент, а очень «близок» к рациональному числу а/д имеет место.

Следствие 1.1.1. Пусть т > 2п (п — 1) хп~2у, |А| < 2щхп-1 > тог^а имеет место соотношение.

Т (а, х, у) = -5(а, 9)7(Ау) + 0(д*+е), ч.

0,5.

1{]х, у)= I е (л (х-| + Л.

— 0,5.

Это следствие является обобщением оценки (9), принадлежащей Р. Вону [45].

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута, и основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы вида х.

М) = I е{Ми, Ъ))(1и, 1 < Ь < д — 1, х-у.

П7 /.

Ь) — Аип — (пЛхп1 — {пЛа-п~1})и—-ки. хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции Ь), не очень близка к нулю.

В теореме 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида (10), в случае если величина пхп~1 не очень близка к целому числу, найдена прямая зависимость ее оценки от величины Л, X — а — а/д — растояние между числом, а и приближающим ее рациональным числом а/д.

Теорема 1.2. Пусть т > 2п (п — 1) хп 2у, {пхп > А > 0 или {пхп~1} < 1 — А < 0, имеет место оценка.

Т (а, х, у)| <С In q + min (yq~7i, X~Ixl~Iq~7i).

Доказательство теоремы 1.2 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов, оценки Хуа JIo-гена для полных рациональных тригонометрических сумм и леммы (1.7) о комбинаторном неравенстве вида га-1 и/ = ^(-l^C^^-y >0, п > 3, За: > (п — 3) у. к=2.

Из теоремы 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля Т (ах, у), у которых старший коэффициент, а не очень близок к рациональному числу a/q, получим следующее утверждение.

Следствие 1.2.1. Пусть т > 2п (п-l)xn~-2y, ra (n11)ga.n1 < |А| < тогда имеет место оценка.

Т (а. х, у) <С g1-™ In q + min (yq~™,) .

Следствие 1.2.1 также является обобщением теоремы Р. Вона [45] относительно оценок коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в случае, если старший коэффициент, а не очень близок к рациональному числу a/q.

Вторая глава диссертации посвящена изучению распределения дробных частей многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Пусть, а — вещественное число, х > хо > 1, у < 0.0001х, 0 < а < 1. Вводим следующие обозначения и понятия:

• Ра (х, у, а) — обозначает количество членов последовательности {атп} таких, что х — у < т < х и {атп} < а.

• Ра{х, у, ?1, и) — обозначает количество членов последовательности {атп} таких, что х — у < т < х и ¡-л < {атп} < и, причем 0 < (л < и < 1, то есть.

Fa (a-. у, (л, и) = Ра (х, у, и) — Ра (х, у, д) — величина.

Р (х, у,/л: у) у) = эир

— - и) У называется отклонением членов последовательности {атп} при х — у < т < х.

• последовательность {атп} таких, что х — у < т < х и ц < {атп} < и называется равномерно распределенной по модулю единица, если при у оо выполняется соотношение.

Б (х.у) = о{ 1).

В теореме 2.1 задача об исследовании поведения функции Р (х, у, а) сведется к оценке коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида.

Т (а/гх, у) = е{актп). х—у<�т<�х.

Другими словами задача о распределении дробных частей многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов, сведется к оценке коротких тригонометрических сумм Т (аН-х, у).

Теорема 2.1. Пусть M > 1п3жтогда справедлива следующая асимптотическая формула.

Fa{x, у, а) = ay + О ((j-z + max |T (ahx, y) J In2 x) .

M 1<|/г|<�М1пх / /.

Из теоремы 2.1 для функции Ра (х, у, получаем следующее утверждение:

Следствие 2.1.1. Пусть М > 1п3а: — тогда справедлива следующая асимптотическая формула х, у, д, I/) = {и — 1л) у + О [(ф + ^тах^ Т (акх, у)^ 1п2 х) .

Из теоремы 2.1 также для функции И (х, у) — отклонение членов последовательности {ат71} при х — у < т < х, находим:

Следствие 2.1.2. Пусть М > 1п3хтогда справедлива следующая оценка.

D (x, y) С (Y7+ max.

T (ah] x, у) У.

In2 ж.

Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику Г. Вейль. Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, в теории функций, классической механике. Мы вводим критерии Г. Вейля о равномерном распределении дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Из следствия 2.1.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {атп}, при условии что аргумент га принимает значения из короткого интервала (х — у, х].

Следствие 2.2.3. Последовательность {ат71} таких, что х — у < m < х и {атп} < а является равномерно распределенной по модулю единица, если при у —у оо справедлива оценка.

T (ah] х. у) = о ^¡-^г^ •.

Воспользовавшись леммой Гурвица при иррациональной а, докажем теорему об асимптотической формуле для количества дробных частей членов последовательности {ara2} таких, что х — у < га < х и {ara2} < а.

Теорема 2.2. Пусть, а — иррациональное число, 0 < а < 1, тогда для Fa (x, y. a) — количество членов последовательности {ат2} таких, что х — у < m < х и {ara2} < а, справедлива следующая асимптотическая формула.

Fa{x, у, а)=ау + 0 (у^+£ 1п2 х) .

Из теоремы 2.2 для функции Fa (x, y,/j, v) получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.1. Пусть a — иррациональное число, тогда справедлива следующая асимптотическая формула.

Fa{x, у, и) = {уц)у + О (У+£ 1п2 ж).

Из следствия 2.2.1 для отклонения.

—Ы — > У членов последовательности {ат2} при х — у < т < х, получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.2. Пусть, а ~ иррациональное число, тогда справедлива следующая оценка.

0(х, у) <С у~*+еп2х.

Из следствия 2.2.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {ат2} при условии, что аргумент т принимает значения из короткого интервала (х — у, х].

Следствие 2.2.3. Пусть, а — иррациональное число, тогда последовательность {ат2} таких, что х — у < т < х и {атп} < а при у > 1п5ху —> оо является равномерно распределенной по модулю единица.

И (х, у)= вир

0<М<!/<1.

1. MORDEL L.J. On a sum analogous ta о Gauss’s sum.Quart.J.Math. 3(1932), 161−167.

2. WEYL A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

3. HASSE H. Abstract, e Begrunting der komplexen Multiplication und Riemannsche Vermutung in Funktionenkorpern, Abh.math.Sem.Univ.Hamburg, 10 (1934), 325−348.

4. Ни A L. K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I, Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.

5. Хуа Л О-ГЕН Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир, 1964, -190с.

6. Hua L.K. On exponential sums. Sei.Res., 1−4. 4]. L.K. Hua, On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), 301−312.

7. Хуа ЛО-ГЕН. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИ АН СССР, 1947, т.22, с.1−179.

8. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. заметки, 1976, т.20, № 1, с.61−68.

9. Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, № 2, с.337−341.

10. Виноградов И. М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, т.31, № 3−4, с.490−507.

11. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G (n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, т.23, № 5, с.637−642.

12. И. м. виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, № 2, с.109−130.21. виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

13. ВИНОГРАДОВ И. М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

14. Виноградов И. М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981 г., 176с.

15. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, т.34, № 7, с. 201 203.

16. Карацуба A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, № 1, с.28−38.

17. КАРАЦУБА A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. матем., 1973, т.36, № 6, с. 1203−1227.27. архипов Г. И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Мат. заметки, 1978, т.23, № 6, с.785−788.

18. Коробов Н.М.О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1979, т. 245, М, с. 14−17.

19. Архипов г. и., чубариков в.Н. о кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, т.222, № 5, с.1017−1019.

20. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1976, т.40, с.209−220.

21. Архипов Г. И., Карацуба A.A., чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, т.252, № 6, с. 12 891 291.

22. Архипов Г. И., Карацуба A.A., чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1980, т.44, с.723−781.

23. VAN der Korput J.G., Uber Weyische Summen, Mathematica В, 1936;1937, 1−30.

24. VAN der Korput J.G., Verscharfung der Abschatzungen beim Teilerproblem, Math. Ann., 87 (1922), 39−65.

25. Paxmohob 3.x., шокамолова Дж.а.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд. физ-мат., хим., геол. и техн. наук, 2009, т. 135, № 2(135), с. 7−18.

26. Paxmohob З.Х., Мирзоабдугафуров К. И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г. Вейля // ДАН РТ, 2008, т.51, № 1, с.5−15.

27. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501−516.

28. РАХМОНОВ 3.X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат. заметки, 2003, т.74, Вып. 4, с.564−572.

29. Р. ВОН Метод Харди-Литтлвуда,-Перев.с.анг. М. Мир, 1985, -184с.

30. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М., Дрофа, 2004.

31. КАРАЦУБА А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.