Обработка экспериментальных данных методами математической статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение Высшего и профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пищевых производств»

Зачётная работа по теме

«Обработка экспериментальных данных методами математической статистики»

Вариант №

Работу выполнил:

студент группы 10-ТПМ-14

Работу проверил:

Галушкина Ю.И.

Москва 2012

Обработать эти данные методом математической статистики

Задача 1. Обработка одномерной выборки признака Х методами математического статистического анализа

1. n =; x_нм =; x_нб =; h_x =

Вариационный ряд

2. Число интервалов

Тогда длина интервала =

Статистический ряд

3. Оценки числовых характеристик.

x? = У_i ?x_i p_i^* = 66,170

M_o=64 +5

M_e =

S² = У (?x_i - x?_i)²p_i^* = 53,9911

S=== 7,3479

V= 100% =100%=11,1046%

A===-0,0448

E=3=3= -0,6317

Поправки Шеппарда

S² = У (?x_i - x?_i)²p_i^* - 53,9911−2,0833=51,9078

S_x=7,2047

V=100% = 10,8882%

A==-0,0475

E=3=-0,4727

Выводы: 1. x?, M_o, M_e — принадлежат одному интервалу;

2. Интервал (x? — 3S; x? +3S)? () содержит выборку;

3. А= длинная часть лежит от центра;

4. Е=, распределение имеет в окрестности центра более вершину.

Для сравнения гистограммы и кривой нормального распределения заполним следующую таблицу:

Здесь нормированные середины:

, =

На графике представлена гистограмма статистического ряда, а также подобная теоретическая кривая нормального распределения. Можно видеть, что теоретическая кривая отличается от эмпирического распределения

4. Выдвигаем гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, где за неизвестные параметры распределения б и у принимаются соответственно их числовые оценки x? = и S=, и проверим эту гипотезу с помощью критерия Колмогорова-Смирнова (К-С) и критерия Пирсона, с уровнем значимости б=0,1; 0,05.

Проверка гипотезы с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.

Функция K(л)=1- б=1−0,1=0,9???л₁=1,23;

K(л)=1- б=1−0,05=0,95???л₂=1,36;

D_кр= ???D_кр==0,1587

D_кр= ???D_кр==0,1754

Таблица для расчёта D_эм

D_эм=0,1219

Вывод т. е. D_эм D_кр, следовательно, выдвинутая гипотеза о нормальном распределении с уровнем значимости б=0,1 и с уровнем значимости б=0,05.

Проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона

ч²_кр=7,8 при б=0,1; ч²_кр=9,5 при б=0,05; k=7−2-1=4

Таблица для расчёта ч²_эм

p₁ = P(49<x <54) = Ф ()-Ф ()=Ф (-1,65)-Ф (-2,34)=0,0495−0,0096=0,0399

p₂ = P(54<x <59) = Ф ()-Ф ()=Ф (-0,98)-Ф (-1,65)=0,1635−0,0465=0,177

p₃ = P(59<x <64) = Ф ()-Ф ()=Ф (-0,3)-Ф (-0,98)=0,3821−0,1635=0,2186

p₄ = P(64<x <69) = Ф ()-Ф ()=Ф (0,39)-Ф (-0,3)=0,6517−0,3821=0,2696

p₅ = P(69<x <74) = Ф ()-Ф ()=Ф (1,07)-Ф (0,39)=0,8577−0,6517=0,206

p₆ = P(74<x <79) = Ф ()-Ф ()=Ф (1,75)-Ф (1,07)=0,9599−0,8577=0,1022

p₇ = P(79<x <84) = Ф ()-Ф ()=Ф (2,43)-Ф (1,75)=0,9927−0,9599=0,0328

ч²_эм=1,1367

Вывод. т. е. ч²_эм ч²_кр, и при б=0,1, и при б=0,05 выдвигаемая гипотеза с уровнем значимости б=0,1 и с уровнем значимости б=0,05.

5. Считая, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построим доверительные интервалы, накрывающее неизвестное математическое ожидание с доверительными вероятностями 0,9; 0,95; 0,99. Строим доверительные интервалы

для =66,17; S=7,3479;=7,746

0,9;

0,95;

0,99

С увеличением доверительно вероятности последовательно 0,9; 0,95; 0,99 ширина доверительного интервала увеличивается соответственно

Задача 2. Обработка одномерной выборки признака Y методами статистического анализа

1. n =; y_нм =; y_нб =; h_y=.

Вариационный ряд

2. Число интервалов l_y=l_x-1=, увеличим размах варьирования, отодвинув y_нб до. статистический пирсон регрессия корреляция Тогда длина интервала

Статистический ряд

???y= У_i ?y_i p_i^* =89,00

S_y² = У (?y_i - ???y_i)²p_i^* =72,600

S_y==8,5206

Задача 3. Обработка двумерной выборки (X,Y) методами корреляционного и регрессионного анализов

1. Корреляционное поле

По расположению точек на корреляционном поле можно сделать вывод о наличии положительной корреляционной зависимости.

3. Корреляционная таблица

По заполненным клеточкам корреляционной таблицы, делаем вывод о наличии положительной зависимости между случайными величинами X и Y.

3. Вычисление выборочного коэффициента корреляции.

x?=66,17 S_x=7,3479

???y= 89,00 S_y= 8,5206

Для вычисления выборочного корреляционного момента K_xy используем формулу У У (?x_i- ?x)(?y_j -?y_j)m_ij и заполним следующую расчётную таблицу:

K_xy= =

r_xy===

По шкале Чеддока делаем вывод: корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y

4. Проверка гипотезы значимости

Выдвигаем гипотезу о независимости случайных величин и проверим эту гипотезу с помощью критерия Пирсона, выбрав уровень значимости б=0,1;

К= (l_y-1) (l_x-1) = =

ч²_кр=

Таблица для расчета ч²_эм

ч²_эм=

Так как ч²_эм ч²_кр, то гипотеза о независимости случайных величин с заданным уровнем значимости б=0,1.

Регрессионный анализ

1. Фиксируем ?x_i и найдем соответствующие средние арифметические

?y_j=

Построим диаграмму рассеивания, нанося на плоскость XY точки с координатами (?x_i ; ???y_i)

Фиксируем ?y_j и найдем соответствующие средние арифметические

?x_i=.

Построим диаграмму рассеивания, нанося на плоскость XY точки с координатами (???x_j ; ?y_j)

2. Составим линейную эмпирическую регрессию:

y(x)=a₀+a₁x;

x(y)=b₀+b₁y.

Коэффициенты регрессии a₀; a₁ и b₀; b₁оценим с помощью метода наименьших квадратов.

y(x)=a₀+a₁x

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

??a₀=; a₁=

y(x)= +x

x(y)=b₀+b₁y

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

??b₀ =; b₁ =

x(y)= +y

По графику линий регрессий x(y) и y(x) делаем вывод о наличии положительной корреляционной зависимости.

3. Проверим адекватность линейной регрессии

y(x)= +x

Для этого составим с помощью метода наименьших квадратов полулогарифмическую модель эмпирической регрессии:

y(x)=a₀+a₁lg x.

Нормальная система метода наименьших квадратов

Расчётная таблица

??a₀ =; a₁ =

y(x)= +lgx

Составим таблицу

Делаем выводы

Наиболее адекватная модель эмпирической регрессии

y(x)= +lgx

4. Найдем выборочные корреляционные отношения

?x =; ()²; n =

=

???y =; S_y² = ()² =; n =

==

r²_xy=()² =;

— =

— =

Разность свидетельствует о линейной регрессии.

Разность свидетельствует о линейной регрессии.