О сложности функций многозначной логики, принимающих два значения

Данная диссертация относится к теории синтеза и сложности управляющих систем — одному из основных разделов дискретной математики и математической кибернетики. В ней рассматривается задача о сложности реализации функций многозначной логики формулами над конечными системами.

Задача синтеза и сложности управляющих систем [69, 30, 34, 103] в общем случае формулируется следующим образом. Дан набор G базисных элементов некоторого типа (например, функциональные элементы или формулы), каждому из которых приписано некоторое положительное число — вес элемента. С помощью этих элементов по заданным правилам строятся более сложные объекты — схемы. Каждой схеме S ставится в соответствие некоторая функция / и число L (S), равное сумме весов всех входящих в нее элементовпри этом говорят, что функция / реализуется схемой S со сложностью L (S). Сложностью функции / называется величина Laif) = minI/(«S), где минимум берется по всем схемам S над G, реализующим функцию /. Для каждой функции / требуется найти минимальную схему.

Формулы и схемы из функциональных элементов (называемые далее схемами), реализующие дискретные функции, являются одними из основных модельных классов управляющих систем. Множество Р^ всех функций /с-значной логики, к ^ 2, является важным примером класса дискретных функций, представляющим большой интерес как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Одной из наиболее изученных классификаций функций /с-значной логики являются классы функций, замкнутые относительно операции суперпозиции (см., например, [68, 71, 8, 35]). В связи с этим возникает задача о реализации функций fc-значной логики из замкнутых классов формулами (или схемами) над конечными системами. В этой задаче можно выделить два направления исследований: синтез схем и формул в полных базисах и синтез схем и формул в неполных базисах..

Приведем сначала некоторые результаты, полученные в этих направлениях для функций алгебры логики. В задаче о сложности реализации булевых функций основополагающие результаты были получены О. Б. Лупановым, предложившим асимптотически оптимальные методы синтеза для ряда классов управляющих систем [25−34]..

В частности, для произвольного полного конечного базиса С булевых функций он показал [26, 27] справедливость следующих соотношений1: где (Р2(п)) и Ь®(Р2(п)) — функции Шеннона при реализации функций схемами и формулами соответственно, а р — константа2, однозначно определяемая по базису С. Оценки высокой степени точности для функций Шеннона при реализации булевых функций формулами и схемами в полных базисах получены в работах С. А. Ложкина.

Задача о поведении функций Шеннона для множества всех булевых функций тесно связана с задачей о поведении функций Шеннона, соответствующих замкнутым классам булевых функций при реализации функций схемами и формулами в полных конечных базисах. Полное описание множества всех замкнутых классов булевых функций получено Э. Л. Постом [98, 99] (см. также [85, 72, 59, 102, 91, 38, 39, 92, 65]). Он показал, что это множество счетно, причем каждый замкнутый класс имеет конечный базис. В ряде работ [67, 70, 50, 48, 40,14,15, 82] изучалась задача о сложности реализации монотонных булевых функций (множество всех таких функций обозначается через М). Асимптотически точные формулы для функций Шеннона при реализации функций из класса М схемами в произвольных полных конечных базисах приведены в работах [52] и [97] (эти формулы получены на основе методов кодирования монотонных функций из работ [83] и [84] соответственно). При реализации функций схемами для каждого замкнутого класса булевых функций, не содержащегося в множестве3 Ь и К и О, и любого полного конечного базиса А. Б. Угольниковым [55, 60] получена асимптотически точная формула для соответствующей функции Шеннона. При реализации функций формулами для всех замкнутых классов булевых функций, не содержащихся в множестве4 5 и I/ и К и ?), и для любого конечного полного базиса асимптотически точные формулы для соответствующих функций Шеннона получены А. Е. Андреевым [1, 2, 4]..

Следует отметить, что упомянутые выше методы синтеза схем и формул существенным образом используют полноту базисов. Поэтому задача о синтезе схем и формул в неполных базисах требует разработки других методов синтеза. Отметим некоторые результаты, полученные в задаче о сложности реализации булевых функций из замкнутых классов схемами и формулами в неполных базисах. При реализации функций схемами для замкнутых классов функций, сохраняющих константы, и любых конечных систем, порождающих эти классы, асимптотически точные формулы для соответствующих функций Шеннона были получены Э. И. Нечиноруком [41, 42]..

13десь и далее всякий раз, когда речь идет об асимптотических оценках, подразумевается, чго эти оценки имеют место при п оо..

Константа р называется минимальным приведенным весом элементов базиса..

3Через Ь, К и Б обозначаются множества всех линейных функций, конъюнкций и дизъюнкций соответственно..

4Через $ обозначается множество всех самодвойственных функций. п.

19, 20, 22, 23]..

Для ряда замкнутых классов функций алгебры логики аналогичные утверждения доказаны в работах [53, 54, 56, 3]. При реализации функций формулами для некоторых замкнутых классов («близких» к множеству Рг) и любых конечных систем, порождающих эти классы, асимптотически точные формулы для соответствующих функций Шеннона получены в работах [53, 54]. В работах [57, 58, 105] показано, что для любого замкнутого класса В и любой конечной системы, порождающей класс В, сложность реализации формулами каждой функции из В имеет не более чем экспоненциальный порядок роста от числа переменных (см. также [37]). Верхние оценки сложности реализации функций из некоторых замкнутых классов схемами и формулами в неполных базисах приведены в работах [43, 49, 2, 47, 56, 63]..

Таким образом, в задаче о сложности реализации булевых функций схемами и формулами в конечных базисах с положительными весами всех входящих в них элементов получен ряд существенных результатов. Получение аналогичных результатов для функций многозначной логики наталкивается на значительные трудности. Это связано с принципиальными отличиями многозначных логик от двухзначной. Одним из основных отличий является континуальность множества всех замкнутых классов функций Ахзначной логики при к ^ 3 (см. [74]). В связи с этим важным направлением исследований является изучение свойств отдельных семейств замкнутых классов. Среди таких семейств одно из центральных мест занимает семейство всех нредполных классов5, изучению свойств которого посвящено значительное число публикаций (см., например, [66, 17, 18, 68, 36, 93, 94, 95, 96, 10, 11, 5]). Полное описание множества всех предполных классов при всех к > 3 получено И. Розенбергом [100, 101] (см. также [16, 73, 6, 92]). К числу наиболее изученных семейств замкнутых классов функций кзначной логики относится также семейство всех замкнутых классов функций из Рщ — множества всех функций А:-значной логики, принимающих значения только из множества {0,1,., I — 1}, А- > I ^ 2. Некоторые свойства этих классов изучены в работах Г. Буроша [75, 76] и других авторов [86, 87, 77, 88, 78, 92]. Свойства замкнутых классов функций из множества Рк<2, к ^ 3, изучались в работах [77, 88, 81, 78, 89, 92]. В работах Д. Лау [90, 92] и Н. Грюнвальда [79−81] изучены некоторые свойства замкнутых классов функций из множества Р²- В этих работах рассматривается отображение (называемое проекцией) функций из множества Р^о в множество Р2. На основе этого отображения для каждого множества Р С Р3 2 определяется множество ргР = ирг/, где prf — проекция функции /, а объединение берется по всем функциям / € Р. В результате каждому замкнутому классу В булевых функций сопоставляется семейство 9?(7?) всех замкнутых классов Р функций из Р^, таких, что ргР = В. Для каждого замкнутого класса В булевых функций найдена мощность множества У1(В) и приведено описание этого множества’для тех случаев, когда мощность 91(Я) конечна или счетна..

Отметим некоторые результаты, полученные в задаче о сложности реализации функций многозначной логики. В. А. Орлов [44, 45] ввел понятие оптимального полного базиса6 функций Аьзначной логики, к ^ 3. и для каждого такого базиса предложил.

53амкнутый класс Р С Рк называется предполным в Рк, к > 2, если Р / Рк и для любой функции / € Рь Р множество Р и {/} порождает Рк..

6Конечный полный в Рк базис является оптимальным, если асимптотическое поведение соответствующей функции Шеннона определяется минимальным приведенным весом элементов базиса. асимптотически наилучший метод синтеза схем из функциональных элементов. Он показал также [44−46], что почти любой конечный полный в Рк базис является оптимальным, причем доля базисов, не являющихся оптимальными, убывает трижды экспоненциально с ростом максимального числа входов элементов базиса и более чем 1 дважды экспоненциально с ростом к. При реализации функций схемами для любого полного конечного базиса асимптотически точная оценка соответствующей функции Шеннона анонсирована в работе ?24]. При реализации функций формулами для некоторых полных в Рк (к ^ 3) базисов асимптотически точные формулы для соответствующих функций Шеннона получены в работах Е. Ю. Захаровой [12], С. Б. Гашкова [9] и других авторов (см. [13, 21, 46]). Примеры последовательностей функций из и Р5, сложность которых в классе формул над некоторой конечной неполной системой имеет сверхэкспоненциальный порядок роста от числа переменных, приведены в работах [64, 61, 57, 105]. Первые экспоненциальные нижние оценки для сложности реализации функций &—значной логики (к ^ 3) схемами из функциональных элементов в неполных базисах получены Г. А. Ткачевым [51]..

В настоящей работе рассматривается задача о сложности реализации функций из (множества всех функций трехзначной логики, принимающих значения из множества {0,1}) формулами над конечными системами. Для ряда конечных систем получены верхние и нижние оценки сложности реализации функций из замкнутых классов, порожденных этими системами..

Дадим необходимые определения7..

Пусть Ек = {0,1,., к — 1}, к ^ 2. Обозначим через множество всех наборов • 5 = (а>1, ., ап), таких, что аг, ., ап € Ек, п ^ 1. Множество всех функций /с-значной логики обозначим через Р^, а множество всех функций из Рк, принимающих значения только из множества Е2, — через Р^.

В данной диссертации будем придерживаться обозначений для замкнутых классов булевых функций из работ [65, 59], а именно:? — множество всех самодвойственных функцийТг — множество всех функций, сохраняющих константу г, г = 0,1- М — множество всех монотонных функцийЬ — множество всех линейных функцийОт — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 0171 >, т = 2,3, ., оо- 1 т — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 1 т >, т = 2,3, ., ооК — множество всех конъюнкцийИ — множество всех дизъюнкцийII — множество всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменнойС — множество всех функций, не имеющих существенных переменных..

Положим и = Ь П Тг, М- = м п Ти Кг = К П Тг, А = О П Ти иг = и Г) Тг, Сг = С Г) Ти г = 0,1-.

7о1 ^ТъПТ^Мт = М0Г) Мг, Ь01 = Ь0ПЬиК0^ = К0ПКи Дп = ДЛ?>ъ?/01 =^оГШь 501 = 5 П Тог, ЭМ = 5 П М, БЬ = 5 П Ь, 5С/ = 5 П и, Ми = М П ?/-.

О&trade- = Т0 Л От, 1[п = Тг Г) 1 т, то = 2,., ооМОт = М П От, МГ = М п 1 т, МО£ = м П О'0п, МГ[п = М П /Г, т = 2,., оо..

7 См. также главу 1..

Определим семейства Л^, N2,-/Vз замкнутых классов булевых функций следующим образом. Положим.

N1 = {Р2, Т0, ТиТ01, М, М0, Ми Мои 5оь От, МОт, 1 т, М1т, М1?, 2^т< оо}, = ¿-о, ?1, ?, 01}, Л/з = {0°°, МО00, М1°°, 02°,/Г, К, Ко, Къ Кох, А Д, Г>1, Йог, и, 110, £/х, ¿-/оь МЕ7, 5С/, С, С0, С,}..

Из результатов Э. Л. Поста следует, что /V] и АТ2 и А'.ч — это множество всех замкнутых классов булевых функций..

Пусть /(х,., хп) е Рз, 2- Проекцией функции /(ж15., жп) называется такая булева функция (рг/)(.т 1,.,.г&bdquo-), значение которой на произвольном наборе, а Е2 определяется равенством (рг/)(с?) — /(а). Таким образом, каждой функции / е /3,2 поставлена в соответствие функция рг/ е Р2. В дальнейшем для упрощения записи функцию (рг/)(х1, ., хп) будем обозначать через рг/(хх,., хп). Проекцией ргР множества функций Р С Р3 2 называется множество У {рг/}, где объединение берется по всем функциям / 6 Р..

Для каждого замкнутого класса булевых функций В определим множество функций рг~1 В = {/ е Рз, 21 рг/ е в}..

Легко видеть, что множество рг~хВ является замкнутым классом функций из /3,2-Замкнутый класс рг~1 В называется максимальным классом (соответствующим классу В С Р2). Таким образом, каждому замкнутому классу В булевых функций соответствует максимальный класс рг~1 В С Р32. Очевидно, что класс рг~1 В содержит каждый замкнутый класс Н из Рл>2, такой, что ргН = В. Для каждого замкнутого класса булевых функций В определим множество замкнутых классов.

ЩВ) = {А с Р3,2 | А = [А], ргА = В}..

Показано (см. [92]), что максимальный класс рг~хВ имеет конечную порождающую систему в тех и только тех случаях, когда В? {С, Со, С}. Показано также, что если В е N1, то семейство УХ (В) конечно, если В € N2, то 91(Б) счетно, если В е N3, то 91(5) имеет мощность континуума..

Функция / из Рз, 2 называется псевдолинейной, если рг/ Е Ь. Описание множества всех замкнутых классов псевдолинейных функций см., например, в книге [92]. Будем обозначать замкнутые классы, проекция которых совпадает с множеством Ь всех линейных булевых функций, через ?, С2, %2,оП£, Я2дП?, £2,г, где г = 1,2,., оо. Известно, что все перечисленные классы, за исключением класса ?2,00, являются конечно-порожденными (см. [92])..

Пусть Ф — конечная система функций из Рк, к ^ 2, [Ф] — замыкание системы Ф относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной. Пусть /(ж1- ., хп) е [Ф], Ф — формула над Ф, реализующая функцию /, а^С [Ф]. Через.

1/(Ф) обозначим число символов переменных, входящих в формулу Ф (сложность формулы Ф), через £ф (/) — сложность реализации функции / 6 Р над системой Ф, а через — функцию Шеннона по сложности для множества Р. ЧерезО (Ф) будем обозначать глубину формулы Ф, через £>ф (/) — глубину реализации функции / € Р над системой Ф, а через — функцию Шеннона по глубине для множества Р..

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В диссертации используется следующая нумерация теорем и лемм. Теоремы нумеруются тройкой чисел, в которой первое число обозначает номер главы, второе число — номер параграфа внутри главы, третье число — номер теоремы внутри параграфа. Аналогичным образом нумеруется леммы. Во введении принята отдельная нумерация теорем, при этом в скобках указываются номера соответствующих теорем внутри основного текста диссертации..

1. Андреев А. Е. Метод бесповторной редукции синтеза самокорректирующихся схем // Доклады АН СССР. Т. 283, № 2. 1985. С. 265−269..

2. Андреев А. Е. О сложности монотонных функций // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 1985. № 4. С. 83−87..

3. Андреев А. Е. О синтезе схем из функциональных элементов в полных монотонных базисах // Математические вопросы кибернетики, 1988. № 1. С. 114−139..

4. Андреев А. Е. О синтезе функциональных сетей. Докт. диссертация. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 1985..

5. Байрамов P.A. Об одной серии предполных классов в ¿—значной логике // Кибернетика. 1967. Т. 1. С. 7−9..

6. Буевич В. А. Вариант доказательства критерия полноты для функций /с-значной логики // Дискретная математика. Т. 8, вып. 4. М.: Наука, 1996. С. 11−36..

7. Васильев Ю. Л., Глаголев В. В. Метрические свойства дизъюнктивных нормальных форм. В кн. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. Раздел 3. М.: Наука, 1974..

8. Гаврилов Г. П., Сапоженко A.A. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004..

9. Гашков С. Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 1990. № 2. С. 88−92..

10. Захарова Е. Ю. Об одном достаточном условии полноты и Рк /'/' Проблемы кибернетики. 1966. Вып. 16. С. 239−244..

11. Захарова Е. Ю. Критерий полноты системы функций из Рк // Проблемы кибернетики. 1967. Вып. 18. С. 5−10..

12. Захарова Е. Ю. Реализация функций из? формулами // Матем. заметки. 1972. Т.11, № 1. С. 99−108..

13. Захарова Е. Ю., Яблонский С. В. Некоторые свойства невырожденных суперпозиций в Pk // Матем. заметки. 1972. Т. 12, № 1. С. 3−12..

14. Коробков В. К. Оценка числа монотонных функций алгебры логики и сложности алгоритма отыскания разрешающего множества для произвольной монотонной функции алгебры логики // Докл. АН СССР. 1963. Т. 150, № 4..

15. Коробков В. К. О монотонных функциях алгебры логики // Проблемы кибернетики. 1965. Вып. 13. С. 5−28..

16. Кудрявцев В, Б. Функциональные системы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982..

17. Кузнецов A.B. О проблемах тождества и функциональной полноты для алгебраических систем // Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 145−146..

18. Кузнецов A.B. Алгебра логики и ее обобщения // Математика в СССР за 40 лет (1917;1957). 1959. Т. 1. С. 102−115..

19. Лоэюкин С. А. Новые, более точные оценки функций Шеннона для сложности управляющих систем // Дискретный анализ и исследование операций. 1995. Т. 2, № 3. С. 77−78..

20. Ложкин С. А. О синтезе некоторых типов схем на основе сдвиговых разбиений, порожденных универсальными матрицами // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. М.: Изд-во МГУ, 1996. № 1. С. 62−69..

21. Ложкин С. А. О сложности реализации функций /означной логики формулами и квазиформулами // Материалы XI Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (г. Ульяновск, 10−14 июня 1996 г.). М.: РГГУ, 1996. С. 125−127..

22. Лоэюкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. С. 190−214..

23. Ложкин С. А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем. Докт. диссертация. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 1997..

24. Лупанов О. Б. О синтезе контактных схем // ДАН СССР. 1958. Т. 119. № 1. С. 2326..

25. Лупанов О. Б. Об одном методе синтеза схем // Известия вузов, Радиофизика I. 1958. С. 120−140..

26. Лупанов О. Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. 1960. Вып. 3. С. 61−80..

27. Лупанов О. Б. Об одном классе схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. 1961. Вып. 7. С. 60−114..

28. Лупанов О. Б. О принципе локального кодирования и реализации функций из некоторых классов схемами из функциональных элементов // ДАН СССР. 1961. Т. 140. № 2. С. 322−325..

29. Лупанов О. Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10. С. 63−97..

30. Лупанов О. Б. О сложности реализации функций алгебры логики релейно-контактными схемами // Проблемы кибернетики. 1964. Вып. 11. С. 25−48..

31. Лупанов О. Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем-принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. 1965. Выи. 14. С. 31−110..

32. Лупанов О. Б. О синтезе схем из пороговых элементов / / Проблемы кибернетики. 1973. Вып. 26. С. 109−140..

33. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984..

34. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу «Введение в математическую логику» / Отв. ред. A.B. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-матем. ф-те МГУ им. М. В. Ломоносова, 2007..

35. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов в многозначных логиках // Проблемы кибернетики. 1960. Вып. 3. С. 49−60..

36. Марченков С. С. О равномерном ¿-¿—разложении булевых функций // Дискретная математика. 1990. Т. 2, вып. 3. С. 29−41..

37. Марченков С. С., Угольников А. Б. Замкнутые классы булевых функций. М., Инст. Прикл. Матем. им. М. В. Келдыша, 1990..

38. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000..

39. Нечипорук Э. И. О вентильных схемах // Международный симпозиум по теории релейных устройств и конечных автоматов. Тез. док. М., 1962. С. 42−43..

40. Нечипорук Э. И. О синтезе логических сетей в неполных и вырожденных базисах // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155. № 2. С. 299−301..

41. Нечипорук Э. И. О синтезе логических сетей в неполных и вырожденных базисах // Проблемы киберенетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965. С. 111−160..

42. Нечипорук Э. И. О реализации дизъюнкции и конъюнкции в некоторых монотонных базисах // Проблемы киберенетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. С. 291−293..

43. Орлов В. А. Реализация функций из Рк схемами в произвольном базисе из функциональных элементов // Докл. РАН. 1998. Т. 359, № 3. С. 308−309..

44. Орлов В. А. Об оптимальности почти всех базисов из Рк // Докл. РАН. 1998. Т. 363, № 5. С. 602−603..

45. Орлов В. А. Об особенностях асимптотического поведения сложности реализации /с-значных и автоматных функций схемами в произвольном конечном базисе. Докт. диссертация. М.: РГГУ, 1999..

46. Редъкин Н. П. О реализации монотонных функций контактными схемами // Проблемы кибернетики. Вып. 35. М.: Наука, 1979. С. 87−110..

47. Резник В. И. О реализации монотонных функций схемами из функциональных элементов // Докл. АН СССР, 1979. Т. 139, № 3. С. 566−569..

48. Рохлина М. М. О схемах, повышающих надежность // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1970. Вып. 23. С. 295−301..

49. Субоч Н. Н. Реализация монотонных функций алгебры логики контактными 7Г-схемами // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1966. Вып. 17. С. 247−254..

50. Ткачев Г. А. О сложности реализации одной последовательности функций к-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1977. № 1. С. 45−57..

51. Угольников А. Б. О реализации монотонных функций схемами из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1976. Вып. 31. С. 167−185..

52. Угольников А. Б. Синтез схем и формул в неполных базисах. ДАН СССР, 1979. Т. 249, № 1. С. 60−62..

53. Угольников А. Б. Синтез схем и формул в неполных базисах. Препринт ИПМ АН СССР. М. 1980. № 112..

54. Угольников А. Б. О реализации функций из замкнутых классов схемами из функциональных элементов в полном базисе // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271. № 1. С. 49−51..

55. Угольников А. Б. О реализации булевых функций из некоторых замкнутых классов схемами из функциональных элементов в неполных базисах // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 1985. № 3. С. 87−89..

56. Угольников А. Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Доклады АН СССР. 1988. Т. 298. № 6. С. 1341−1344..

57. Угольников А. Б. О глубине формул в неполных базисах // Математические вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. С. 242−245..

58. Угольников А. Б. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Сер. Матем. 1988. № 7. С. 79−88..

59. Угольников А. Б. О реализации функций из замкнутых классов схемами из функциональных элементов // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1988. Вып. 1. С. 89−113..

60. Угольников А. Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций многозначной логики // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1989. № 2. С. 174−176..

61. Угольников А. Б. Глубина формул в некоторых классах fc-значной логики // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 1991. № 4. С. 44−47..

62. Угольников А. Б. О сложности схем в неполных базисах // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 1997. № 2. С. 5861..

63. Угольников А. Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций 4-значной логики // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ, 2004. № 3. С. 52−55..

64. Угольников А. Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008..

65. Яблонский С. В. О функциональной полноте в трехзначном исчислении // Доклады АН СССР. 1954. Т. 95, №, 6. С. 1152−1156..

66. Яблонский С. В. О классах функций алгебры логики, допускающих простую схемную реализацию // УМН, т. 12, вып. 6. 1957. С. 189−196..

67. Яблонский С. В. Функциональные построения в /с-значной логике // Труды матем. ин-та АН СССР им. Стеклова. 1958. 51. С. 5−142..

68. Яблонский C.B. Основные понятия кибернетики // Проблемы кибернетики. 1959. Вып. 2. С. 7−38..

69. Яблонский С. В. Об алгоритмических трудностях синтеза минимальных контактных схем // Проблемы кибернетики. 1959. Вып. 2. С. 75−121..

70. Яблонский C.B.

Введение

в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008..

71. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966..

72. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Набебин A.A. Предполные классы в многозначных логиках. М.: Изд-во МЭИ, 1997..

73. Янов Ю. И., Мучник A.A. О существовании /г-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР. 1959. 127. № 1. С. 44−46..

74. Burosch G. Uber die Ordnung der prevollstandigen Klassen in Algebren von Pradikaten. Preprint, WPU Rostock. 1973..

75. Burosch G. Uber Algebren von Pradikaten. Preprint Univ. Rostock. 1974..

76. BuroshG., Dassow ./., Harnau W., Lau D. Uber Algebren von Pradikaten. Preprint, WPU Rostock. 1979..

77. Burosh G., Dassow J., Harnau W., Lau D. On subalgebras of an algebra of predicates // J. Inf. Process Cybern. 1985. EIK 21, ½. P. 9−22..

78. Grunwald N. Bestimmung samtlischer abgeschlossenen Mengen aus 2, deren Projektion F8n ist // Rostock. Math. Kolloq. 1983. 23. P.5−26..

79. Grunwald N. Beschreibung aller abgeschlossenen Mengen aus P3i2, deren Projektion Fg ist, mit Hilfe von Relationen // 1983. Rostock. Math. Kolloq'. 23. P. 27−34..

80. Grunwald N. Strukturaussagen uber den Verband der abgeschlossenen Mengen von Pk, 2, insbesondere von P3>2. Dissertation A, Universitat Rostock, 1984..

81. Kleitman D., Markowsky G. On Dedekind’s problem: the number of monotone Boolean functions, II // Trans. AMS. 1975. 213. P. 373−390..

82. Kuntzman J. Algebra de Boole. Paris: Dunod. 1965..

83. Lau D. Pravollstandige Klassen von Pk>г. // Elektron. Informationsverarb. Kybernet. EIK, 11. 1975. P. 10−12, 624−626..

84. Lau D. Kongruenzen auf gewissen Teilklassen von Pkti // Rostock. Math. Kolloq. 1977. 3. P. 37−43..

85. Lau D. Funktionenalgebren uber endlichen Mengen. Dissertation B, Universitat Rostock. 1984..

86. Lau D. Uber abgeschlossene Teilmengen von Pk2 // J. Inf. Process. Cybern. 1988. EIK 24, 10. P. 495−513..

87. Lau D. Uber abgeschlossene Teilmengen von Pii2 // J. Inf. Process. Cybern. 1988. EIK 24, 11/12. P. 561−572..

88. Lau D. On closed subsets of Boolean functions (A new proof for Post’s theorem) // J. Inform. Process Cybern. EIK 27, 3. 1991. P. 167−178..

89. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer-Verlag, Berlin, 2006..

90. Lo Czu Kai. Precompleteness of a set and rings of linear functions // Acta Sei. Natur. Univ. Jilinensis. 1963. 2..

91. Lo Czu Kai. On the precompleteness of the classes of functions preserving a partition // Acta Sei. Natur. Univ. Jilinensis. 1963. 2..

92. Lo Czu Kai, Lju Sjui Hua. Precomplete classes defined by binary relations in many-valued logics // Acta Sei. Natur. Univ. Jilinensis. 1963. 4..

93. Lo Czu Kai. Precomplete classes defined by normal /с-ary relations in /c-valued logics // Acta Sei. Natur. Univ. Jilinensis. 1964. 3..

94. Pippenger N.J. The complexity of monotone Boolean functions // Math. Systems Theory. 1978. Vol.11. P. 289−316..

95. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Ainer. J. Math. 1921. 43, № 3. P. 163−185..

96. Post E. L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies. 1941. № 5. Princeton Univ. Press..

97. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusieurs variables sur un ensemble fini. Comptes Rendus, de l’Academ. Paris. 260. 1965. P. 3817−3819..

98. Rosenberg I. G. Uber die funktionale Vollstandigkeit in den mehrwertigen Logiken // Rozpr. CSAV Rada Mat. Priv. Ved., Praha. 1970. 80. P. 3−93..

99. Reschke M., Denecke K. Ein neuer Beweis fur die Ergebnisse von E. L. Post uber abgeschlossene Klassen Boolescher Funktionen // J. Inform. Process Cybern. EIK 25, 7. 1989. P. 361−380..

100. Savage J. E. The complexity of computing. New York: Robert E. Kreiger Publishing Company, 1987 (русский перевод: Джон Э.Сэвидж. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.)..

101. Shannon С. Е. The synthesis of two-terminal switching circuits. Bell Syst. Techn. Journ. 1949. 28. № 1. P. 59−98 (русский перевод: Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963.)..

102. Дагаев Д. А. Глубина и сложность реализации формулами функций из некоторых классов трехзначной логики // Тезисы докладов XV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Казань, 2−7 июня 2008 г.) Казань: Отечество, 2008. С. 24..