Основные функции логики

Основы логики

Логические величины

Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. — логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И.

В математической логике используются знаки & Конъюнкция — двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В — операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ.

В математической логике используются знаки Дизъюнкция — двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот — неверно, что…).

В математической логике используются знаки Отрицание — одноместная (унарная) операция, записывается в виде, А или .

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0.

Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности.

Таблица истинности

Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция — отрицание (она выполняется раньше других), затем идет — конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).

Логические схемы

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции.

В этой таблице использованы следующие обозначения:

1 — истина, 0 — ложь, и, или, не — логические операции.

Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения.

Решение: Схема — Вычисление:

Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения.

Решение: Дана схема ;

Составим формулу — (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1,

затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1.

Логическая информация и основы логики

Высказывания Высказывание (суждение) — предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

это повествовательное Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний

«Лед — твердое состояние воды «. Ответ: истинное высказывание

«Треугольник — это геометрическая фигура». Ответ: истинное высказывание

«Париж — столица Китая» Ответ: ложное высказывание Пример 2. Определить тип высказывания (общее, частное, единичное)

«Все рыбы умеют плавать». Ответ: общее высказывание

«Некоторые медведи — бурые». Ответ: частное высказывание.

«Буква, А — гласная». Ответ: единичное высказывание.

Логика. Импликация и эквивалентность

Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции:

· Отрицание (НЕ, !,),

· Дизъюнкция (логическое сложение, или, V, ||)

· Коньюнкция (логическое умножение, И, &,)

Однако на практике часто используют еще две логические связки.

Импликация служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если …, то … или когда …, тогда …

Импликация — двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней — следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком =>.

Операция A => B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией не A или B.

Пример1

Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы.

Обозначим через, А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A => B.

Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи — фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда … или если и только если … Для ее обозначения используется символ<-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы.

Логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A => B) и (B => A).

Пример2

Дано сложное высказывание: «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан». Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим

А — «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен» ,

В — «Экзамен сдан» .

Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде

A <-> B.

Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности

Старшинство логических операций

· отрицание (Самая старшая операцияона выполняется раньше других)

· конъюнкция (и),

· дизъюнкция (или).

Кроме того, на порядок операций влияют скобки.

Например: (А и В) или (не, А и В) или (не, А и не В)

Логика. Формулы преобразований логических выражений

При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям. Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.

Пример

Упростим логическую формулу не ((A или B) => не (B или C)).

не ((A или B) => не (B или C)) = (избавляемся от => по формуле 5)

не (не (A или B) или не (B или C)) = (формула3)

не (не (A или B)) и не (не (B или C)) = (формула2)

(A или B) и (B или C) = { дистрибутивность операции ИЛИ — вынесли В за скобки}

B или A и C.

Задачи

№ 1 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

№ 2 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

№ 3 Какие из приведенных высказываний являются общими? (поставьте крестик) я Не все книги содержат полезную информацию я Кошка является домашним животным я Все солдаты храбрые я Ни один внимательный человек не совершит оплошность я Некоторые ученики двоечники я Все ананасы приятны на вкус я Мой кот страшный забияка я Любой неразумный человек ходит на руках;

№ 4 Какие из приведенных высказывании являются частными? (поставьте крестик) я Некоторые мои друзья собирают марки, я Все лекарства неприятны на вкус, я Некоторые лекарства приятны на вкус. 4- А — первая буква в алфавите.

я Некоторые медведи — бурые.

я Тигр — хищное животное.

я У некоторых змей нет ядовитых зубов.

я Многие растения обладают целебными свойствами.

я Все металлы проводят тепло,

№ 5 Определите истинность высказывания.

№ 6 Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки <�И", «ИЛИ»:

Задание1. Расставьте порядок логических операций в формулах

(А или В) и (не, А и В) А или В и не, А Задание2. Пусть, А — «эта ночь звездная», а В — «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке

Задание3 Составьте таблицу истинности для формулы — не, А и не В Подсказка: Алгоритм построения таблицы истинности

1) Подсчитать количество переменных в логическом выражении — n

2) Определить число строк в таблице m = 2 n

3) Подсчитать количество логических операций в формуле.

4) Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

5) Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

6) Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n — 1.

7) Заполнить таблицу истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

логический константа операция высказывание Задание4. В табличном процессоре MS Excel создайте макрос, который генерирует таблицу истинности из задания3

Подсказка: Запись макроса запускается из меню Сервис/Макрос/Начать запись.

Откроется панель, в которой можно задать имя макроса (в имени макроса первым символом должна быть буква, не допускается использование пробелов) и определить клавишу запуска макроса (необязательно). Затем нажать ОК.

С этого момента все ваши действия будут записывать в виде команд Visual Basic, пока вы не нажмете на кнопку остановить запись на панели Для того, чтобы запустить выполнения макроса надо выбрать меню Сервис/Макрос/Макросы. Выбрать в открывшемся окне нужный макрос и нажать на кнопку — Выполнить.

Задание5. Постройте логическое выражение для схемы. _____________

Задание 6

На компьютере решить задачи из задачника по логике (файл задачник_логика.)

Задание 6

Используя связку Если…, то…, измените высказывание

Задание 7

Запишите в виде логической формулы высказывания:

Задание8.

Определите истинность формулы

(А и В) => B

Задание 9. Упростите формулы, постройте логическую схему и определите истинность

1) (C или B) => B)

2) (C или B) <-> B.