Основные функции логики
Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме. Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи — фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда … или если и только если … Для… Читать ещё >
Основные функции логики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Основы логики
Логические величины
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.
Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).
Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. — логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И.
В математической логике используются знаки & Конъюнкция — двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В — операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ.
В математической логике используются знаки Дизъюнкция — двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.
Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот — неверно, что…).
В математической логике используются знаки Отрицание — одноместная (унарная) операция, записывается в виде, А или .
Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0.
Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности.
Таблица истинности
А | В | не А | А и В (*) | А или В (+) | |
Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция — отрицание (она выполняется раньше других), затем идет — конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).
Логические схемы
Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции.
В этой таблице использованы следующие обозначения:
1 — истина, 0 — ложь, и, или, не — логические операции.
Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения.
Решение: Схема — Вычисление:
Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения.
Решение: Дана схема ;
Составим формулу — (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1,
затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1.
Логическая информация и основы логики
Высказывания Высказывание (суждение) — предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.
это повествовательное Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т. п. Во всех других случаях высказывание является единичным.
Пример 1. Определить значения истинности для следующих высказываний
«Лед — твердое состояние воды «. Ответ: истинное высказывание
«Треугольник — это геометрическая фигура». Ответ: истинное высказывание
«Париж — столица Китая» Ответ: ложное высказывание Пример 2. Определить тип высказывания (общее, частное, единичное)
«Все рыбы умеют плавать». Ответ: общее высказывание
«Некоторые медведи — бурые». Ответ: частное высказывание.
«Буква, А — гласная». Ответ: единичное высказывание.
Логика. Импликация и эквивалентность
Известно, что любая логическая формула может быть выражена через три ранее рассмотренные логические операции:
· Отрицание (НЕ, !,),
· Дизъюнкция (логическое сложение, или, V, ||)
· Коньюнкция (логическое умножение, И, &,)
Однако на практике часто используют еще две логические связки.
Импликация служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если …, то … или когда …, тогда …
Импликация — двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней — следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком =>.
Операция A => B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией не A или B.
Пример1
Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы.
Обозначим через, А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A => B.
Эквивалентность. Ее аналог в разговорной речи — фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда … или если и только если … Для ее обозначения используется символ<-> или просто =. Мы будем использовать для обозначения эквивалентности обе эти формы.
Логическая формула A <-> B эквивалентна формуле (A => B) и (B => A).
Пример2
Дано сложное высказывание: «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан». Нужно преобразовать высказывание к логической формуле. Обозначим
А — «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен» ,
В — «Экзамен сдан» .
Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде
A <-> B.
Приведем таблицу истинности, задающую операции импликации и эквивалентности
А | В | A => B | A <-> B | |
Старшинство логических операций
· отрицание (Самая старшая операцияона выполняется раньше других)
· конъюнкция (и),
· дизъюнкция (или).
Кроме того, на порядок операций влияют скобки.
Например: (А и В) или (не, А и В) или (не, А и не В)
Логика. Формулы преобразований логических выражений
При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.
Законы коммутативности | А и В = B и A | |
A или B = B или A | ||
Законы ассоциативности | A и (B и C) = (A и B) и C | |
A или (B или C) = (A или B) или C | ||
Законы дистрибутивности | A и (B или C) = (A и B) или (A и C) | |
A или (B и C) = (A или B) и (A или C) | ||
Свойства операций И, ИЛИ | A и 1 = A; A и 1 = 1 | |
A или 0 = A; A или 1 = 1 | ||
Свойства отрицания | A и неA = 0; A или неA = 1 | |
Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям. Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.
Формула с импликацией и эквивалентностью | Формулы только с и, или, не | ||
не (не A) | A | ||
не (A и B) | неA или неB | ||
не (A или B) | неA и неB | ||
не (A => B). | A и неB | ||
A => B | неA или B | ||
A <-> B | (A и B) или (неA и неB) | ||
A <-> B | (неA или B) и (A или неB) | ||
Пример
Упростим логическую формулу не ((A или B) => не (B или C)).
не ((A или B) => не (B или C)) = (избавляемся от => по формуле 5)
не (не (A или B) или не (B или C)) = (формула3)
не (не (A или B)) и не (не (B или C)) = (формула2)
(A или B) и (B или C) = { дистрибутивность операции ИЛИ — вынесли В за скобки}
B или A и C.
Задачи
№ 1 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
№ | Высказывание | Тип высказывания Общие, Частные Единич. | Истинность | |
1. | Число 6 — четное. | О Ч Е | Истина Ложь | |
2. | Посмотрите на доску. | О Ч Е | Истина Ложь | |
3. | Все роботы являются машинами. | О Ч Е | Истина Ложь | |
4. | У каждой лошади есть хвост. | О Ч Е | Истина Ложь | |
5. | Внимание! | О Ч Е | Истина Ложь | |
6. | Кто отсутствует? | О Ч Е | Истина Ложь | |
7. | Есть кошки, которые дружат с собаками. | О Ч Е | Истина Ложь | |
8. | Не все то золото, что блестит. | О Ч Е | Истина Ложь | |
9. | X2 > О | О Ч Е | Истина Ложь | |
10. | Некоторые люди являются художниками | О Ч Е | Истина Ложь | |
11. | Выразите 1 час 15 минут в минутах. | О Ч Е | Истина Ложь | |
12. | Всякий моряк умеет плавать | О Ч Е | Истина Ложь | |
№ 2 Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
№ | Высказывание | Высказывание? | Истинность | |
1. | Наполеон был французским императором | Да Нет | Истина Ложь | |
2. | Чему равно расстояние от Земли до Марса? | Да Нет | Истина Ложь | |
3. | Внимание! Посмотрите направо. | Да Нет | Истина Ложь | |
4. | Электрон — элементарная частица, | Да Нет | Истина Ложь | |
5. | Не нарушайте правил дорожного движения! | Да Нет | Истина Ложь | |
6. | Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы. | Да Нет | Истина Ложь | |
№ 3 Какие из приведенных высказываний являются общими? (поставьте крестик) я Не все книги содержат полезную информацию я Кошка является домашним животным я Все солдаты храбрые я Ни один внимательный человек не совершит оплошность я Некоторые ученики двоечники я Все ананасы приятны на вкус я Мой кот страшный забияка я Любой неразумный человек ходит на руках;
№ 4 Какие из приведенных высказывании являются частными? (поставьте крестик) я Некоторые мои друзья собирают марки, я Все лекарства неприятны на вкус, я Некоторые лекарства приятны на вкус. 4- А — первая буква в алфавите.
я Некоторые медведи — бурые.
я Тигр — хищное животное.
я У некоторых змей нет ядовитых зубов.
я Многие растения обладают целебными свойствами.
я Все металлы проводят тепло,
№ 5 Определите истинность высказывания.
№ | Высказывание | Истинность | |
1. | Все ребята умеют плавать. | Истина Ложь | |
2. | Киев — столица Украины. | Истина Ложь | |
3. | Некоторые кошки не любят рыбу. | Истина Ложь | |
4. | Человек все может. | Истина Ложь | |
5. | Невозможно создать вечный двигатель. | Истина Ложь | |
6. | Каждый человек — художник; | Истина Ложь | |
№ 6 Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки <�И", «ИЛИ»:
№ | Простые высказывания | Сложное высказывание | |
1. | Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу, | Все ученики изучают математику и литературу. | |
2. | Марина старше Светы. Оля старше Светы. | ||
3. | Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык. | ||
4. | В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники. | ||
5. | Слова в этом предложении начинаются на букву Ч; Слова в этом предложении начинаются на букву А | ||
6. | Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко. | ||
7. | Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого* | ||
Задание1. Расставьте порядок логических операций в формулах
(А или В) и (не, А и В) А или В и не, А Задание2. Пусть, А — «эта ночь звездная», а В — «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке
Формула | Высказывание | |
А и В | ||
А и не В | ||
не, А и не В | ||
Задание3 Составьте таблицу истинности для формулы — не, А и не В Подсказка: Алгоритм построения таблицы истинности
1) Подсчитать количество переменных в логическом выражении — n
2) Определить число строк в таблице m = 2 n
3) Подсчитать количество логических операций в формуле.
4) Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5) Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.
6) Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n — 1.
7) Заполнить таблицу истинности по столбикам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
логический константа операция высказывание Задание4. В табличном процессоре MS Excel создайте макрос, который генерирует таблицу истинности из задания3
Подсказка: Запись макроса запускается из меню Сервис/Макрос/Начать запись.
Откроется панель, в которой можно задать имя макроса (в имени макроса первым символом должна быть буква, не допускается использование пробелов) и определить клавишу запуска макроса (необязательно). Затем нажать ОК.
С этого момента все ваши действия будут записывать в виде команд Visual Basic, пока вы не нажмете на кнопку остановить запись на панели Для того, чтобы запустить выполнения макроса надо выбрать меню Сервис/Макрос/Макросы. Выбрать в открывшемся окне нужный макрос и нажать на кнопку — Выполнить.
Задание5. Постройте логическое выражение для схемы. _____________
Задание 6
На компьютере решить задачи из задачника по логике (файл задачник_логика.)
Задание 6
Используя связку Если…, то…, измените высказывание
Высказывание | Если …, то… | ||
Кончил дело — гуляй смело | |||
Знакомая дорога — самая короткая | |||
В високосном году 366 дней | |||
Задание 7
Запишите в виде логической формулы высказывания:
Высказывание | Обозначения | формула | ||
Если Иванов здоров и богат, то он здоров | А ; В ; | |||
Если число делится на 4, то оно делится на 2. | А ; В; | |||
Число является простым, если оно делится на 1 и на себя | А ; В ; С ; | |||
Задание8.
Определите истинность формулы
(А и В) => B
Задание 9. Упростите формулы, постройте логическую схему и определите истинность
1) (C или B) => B)
2) (C или B) <-> B.