Качественное исследование слабых решений m-гессиановских уравнений

В 80-е годы прошлого века в работах Н. М. Ивочкиной [3], Л. Каффарелли, Л. Ниренберга, Д. Спрука [10], Н. В. Крылова [7], Л. Эванса [13] были заложены основы современной теории полностью нелинейных уравнений второго порядка в частных производных: Р[ихх^их) = /. В таких уравнениях присутствует нелинейная зависимость от первых и вторых производных решения, и, если при этом главная часть уравнения зависит только от вторых производных, они называются гессиановскими. В отличие от линейных эти уравнения не сохраняют тип (эллиптичность, параболичность, гиперболичность) на функциях из пространства С2. Поэтому вопрос о разрешимости гессиановских уравнений ставят на более узком множестве допустимых С2 -гладких функций. Именно, в конусе положительной монотонности функции Р (3, р) относительно матрицы 5. Основной чертой публикаций вышеназванных авторов является стремление охватить как можно более общий класс функций Л7 в рассматриваемых уравнениях. Последнее приводит к большому набору дополнительных условий, которые отодвигают на второй план основную специфику этой теории и истинную новизну методов исследования. Имеет смысл конкретизировать исследование на одном из типичных представителей гессиановских уравнений для получения результатов, близких к предельным. Мы рассматриваем задачу Дирихле для т-гессиановского уравнения и при ее изучении сочетаем подходы разных авторов. Положим и 6 С2(Г2), с 1 < т ^ п. Уравнение вида тихх — /, где Ьгтихх — это сумма главных миноров порядка т матрицы ихх, называется т-гессиановским. В частности, при т — 1 перед нами уравнение Пуассона, при т = пуравнение Монжа — Ампера. Интерес к т-гессиановским уравнениям родился из попыток распространить теорию уравнений Монжа — Ампера на родственные классы.

В настоящее время актуальным является изучение слабых решений задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Мы понимаем под слабыми аппроксимативные решения, введенные Н. Трудингером[19] в 1997 году. Последние являются альтернативой вязкостным решениям (см. например, [11], [12], [15], [16]). Однако вязкостный подход гарантирует единственность решения только при условии непрерывности /. Представляется важным ослабить требования на правую часть уравнения. Теория аппроксимативных решений позволяет рассматривать / из лебеговых и соболевских пространств. Изучение таких решений берет начало в упомянутой работе Н. Трудингера, где было доказано существование аппроксимативного решения т-гессиановского уравнения из пространства Са (Г2'), Г2' (е Г2, при условии / € Вопрос о поведении аппроксимативного решения в замкнутой области до сих пор оставался открытым — настоящая диссертация в значительной мере посвящена его исследованию.

Цель работы.

1. Представить полное доказательство существования классического решения первой краевой задачи для невырождающихся т-гессиановских уравнений методом непрерывности при минимальных требованиях на правую часть уравнения.

2. Построить теорию аппроксимативных решений задачи Дирихле для т-гессиановских уравнений, выделить зависимость качества аппроксимативного решения от регулярности правой части уравнения. В частности, доказать гельдеровость в замкнутой области аппроксимативного решения задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения с правой частью из Ьр, р ^ п.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются 'новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Доказана разрешимость в пространстве С1+а (?Т) задачи Дирихле для невырождающегося (/ > 0) т-гессиановского уравнения с правой частью из С1~2+а (й) и для области ^ со строго (т — 1)-выпуклой границей.

2. Проведен анализ глобального поведения аппроксимативного решения задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Показано, что аппроксимативное решение у принадлежат пространству Са (!Г2), Ырф) или ух € Ырф), если правая часть уравнения принадлежит соответствующим лебеговым или соболевским пространствам и допускает вырождение (/ ^ 0).

Методы исследования.

Математический аппарат состоит, во-первых, в адаптации известных подходов из области линейных уравнений к рассматриваемой задаче. Во-вторых, представлены новые методические наблюдения в теории полностью нелинейных уравнений, не имеющие аналогов ни в теории линейных, ни в теории квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Используется оригинальный прием для построения глобальных оценок. Отличительной особенностью диссертации является систематическое использование принципа максимума Александрова.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике. В частности, для изучения уравнений кривизны или для построения теории слабых решений эволюционных уравнений.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации обсуждались на заседаниях научного семинара им. В. И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН (2009;2010), в рамках работы Российской Школы-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (2009, Москва, РУДН), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В. А. Садовничего (2009, Москва, МГУ), и на международной конференции «Nonlinear partial differential equations — 2010» в г. Днепропетровске. Работа поддержана РФФИ-грантом № 09−01−729.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце текста.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 13 параграфов, указателя обозначении и списка литературы из 26 наименований. Во всем тексте диссертации, кроме введения, нумерация.

1. Александров, А. Д. Задача Дирихле для уравнения 1. ei||zy|| = <р // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. — 1958. -Вып. 1. — С. 5−24.

2. Ивочкина, H. М. Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с оператором типа Монж-Ампера // Мат. сборник. 1980. — Т. 112(156), № 2(6). — С. 193−206.

3. Ивочкина, H. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера // Мат. сборник. 1983. — Т. 122(164), № 2(10). — С. 265−275.

4. Ивочкина, H. М. Решение задачи Дирихле для некоторых уравнений типа Монж-Ампера // Мат. сборник. 1985. — Т.128(170), № 3(11). — С. 403−415.

5. Ивочкина, H. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка га // Алгебра и анализ. 1990. — Т. 2, Вып. 3. — С. 192−217.

6. Ивочкина, H. М. Оценка постоянной Гельдера вторых производных решения га-гессиановского уравнения // Проблемы математического анализа. 2010. — Вып. 50. — 65−77.

7. Крылов, Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. — 376 с.

8. Ладыженская, О. А., Уральцева, H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. — 576 с.

9. Ладыженская, О. А., Уральцева, H. Н. Оценки на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида // Препринты ЛОМИ P-I-85. Л., 1985.

10. Caffarelly, L., Nirenberg, L., Spruck, J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math. 1985. — Vol. 155. — P.261−301.

11. Crandall, M. G. Quadratic forms, semidifferentials and viscosity solutions of fully nonlinear elliptic equations // Ann. I. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 1989. — Vol. 6. — P. 419−435.

12. Crandall, M. G., Ishii, M. G., Lions, P.-L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bui. Amer. Math. Soc. 1992. — Vol. 27 — P. 1−67.

13. Evans, L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations // Comm. Pure and Appl.Math. 1982. — Vol. 35, № 3. — P. 333−363.

14. Garding, L. An inequality for hyperbolic polynomials //J. Math.Mech.- 1959. Vol. 8. — P. 957−965.

15. Jensen, R. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1988. Vol. 101. — P. 1−27.

16. Ishii H. On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDE’s // Comm. Pure Appl. Math. 1989. Vol. 42 P. 14−45.

17. Ivochkina, N. M., Trudinger, N., Wang, X.-J. The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations // Comm. Partial Differ. Equations. -2004. Vol. 29. — P. 219−235.

18. Lin, M., Trudinger, N. S. On some inequalities for elementary symmetric functions // Bull. Austr. Math. Soc. 1994. — Vol. 50. — P. 317−326.

19. Trudinger, N. S. Weak solutions of Hessian equations // Comm. Partial Differential Equation. 1997. — Vol. 22. P. 1251−1261.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

20. Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В, Лемма о возрастании для аппроксимативных решений задачи Дирихле для т-гессиаповских уравнений // Проблемы математического анализа. 2008. — Вып. 38. — С. 37−45.

21. Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для m-гессиановских уравнений / / Проблемы математического анализа. 2009. — Вып. 40. — С. 69−76.

22. Филимоненкова, Н. В. Теорема типа Фрагмена-Линделефа для т-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа.2009. Вып. 39. — С. 147−155.

23. Филимоненкова, Н. В. Анализ поведения слабого решения т-гессиановского уравнения в замкнутой области // Проблемы мат.анализа. 2010. — Вып. 45. — С. 103−119.

24. Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для слабых решений m-гессиановских уравнений в замкнутой области // Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия.2010. № 3. — С. 70−79.

25. Filimonenkova N. V. The analysis of the smoothness of approximate solution of m-Hessian equation. Abstracts of the International Conference «Nonlinear partial differential equations», 6−11 September 2010, Dnipropetrovsk, Ukraine. P. 23−24.