Сходимостные алгебраические системы и их пополнения

Предельный переход играет важную роль в анализе. Поэтому представляет большой интерес изучение абстрактных сходимостных пространств. Среди сходимостных пространств особо выделяются так называемые абстрактные секвенциальные сходимостные пространства, т. е., грубо говоря, пространства, где указаны сходящиеся последовательности и их пределы. Их особенности в том, что: а) многие объекты анализа по сути есть секвенциальные сходимостные пространстваб) они являются наиболее простейшими оходимостными пространствамив) секвенциально-сходимостный язык прост, понятен, а для численной реализации многих математических результатов секвенциальный язык просто неооходим.

Понятие абстрактного секвенциального сходимостного пространства восходит к М. Фреие /28/. Идеи М. Фреше дальше были развиты в работах П. С. Александрова и П.'С.Урысона /I/, П. С. Урысонэ /26/.

Если говорить о теории абстрактных (не обязательно секвенциальных) сходимостных пространств, то нужно отметить, что существуют два очень близких способа введения сходимостного пространства. При первом способе дается сходимость напрэвленностей (сетей). Этот способ возник в работе Мура и Смита /17/. При втором способе дается сходимость при помощи фильтров, определение которого восходит к А.Картану.

Существуют много работ посвященных сходимостным пространствам, определенных тем или иным способом, например Кук и Фишер /15/, Кент /16/, Фишер /27/, шоке /40/" Тейлор /25/, Фрёлихер А. и Бухер в. /29/, G&k&t S./ь/, G’dkia 5., G 'Mez W, Kweis G,.

7/ и другие.

Своё дальнейшее развитие теория секвенциальных сходимостных — пространств получила в работах Кисинского /II/, Каминского /9,10/, — Гёца /5/, Новака /18,19/, Дадли /8/, фрика /30,31/, Чересиза В. М. /38,39/, Сарымсакова Т. А. и Хаджиева Дж.Х. и Худайбердыева В. Н. /33/, Худайбердыева В. Н. /35,36/ и др. Отметим также недавнюю работу Ричардсона /22/, в которой изложены некоторые применения теории секвенциальных сходимостных пространств к задачам теории вероятностей.

Вопросы, изучаемые в настоящей диссертации, в основном связаны со секвенциальными сходимостными пространствами.

В диссертации рассматриваются следующие вопросы:

1) описание элементов полугруппы симметрий некоторых сходимостей;

2) Конечномерные сходимостные векторные пространства над сходимостными телами, а также некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств;

3) Компактные сходимостные монотетические полугруппы;

4) Продолжение частично определенной операции, заданной в некоторой универсальной алгебре.

Каждый метод суммирования рассходящихся рядов может быть рассмотрен как секвенциальная сходимость. В работе описаны элементы полугруппы симметрий для некоторых классов таких сходимостей (в частности для сходимости по Чезаро).

В каждом векторном пространстве над секвенциальным сходимост-ным телом можно определить естественную векторную структуру сходимости. Выделен естественный класс секвенциальных сходимостных тел, включающих в себя все полные нормированные тела. Найдено необходимое и достаточное условие совпадения произвольной секвенциальной векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над такими сходимостными телами, с естественной векторной структурой сходимости этого векторного пространства. Доказана единственность векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над локально секвенциально компактным сходимост- ! ным телом. Изучены некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств.

Классификация компактных монотетических топологических полугрупп была получена Хьюиттом Э. /37/. В настоящей работе этот результат распространен на компактные монотетические сходимостные (по Муру-Смиту) полугруппы. В отличие от топологического случая мы не требуем выполнения теоремы о повторном пределе /12/. Получена также классификация монотетических секвенциально компактных.

Рассмотрено многообразие универсальных алгебр с частично определенной операцией (не обязательно конечноместной). Найдены^ естественные условия, при которых возможно предолжение этой операции. Определены понятия первого и абсолютного продолжений. При найденных условиях доказаны существование и единственность первого и абсолютного продолжений. Указаны применения этих результатов к конкретным многообразиям универсальных алгебр с частично определенными операциями. В частности, доказана (квази)пополнимость сходимостных векторных пространств.

Результаты работы имеют теоретический характер.

По результатам выполненных исследований опубликованы 7 статей /41−47/.

Диссертация изложена на 3 страницах машинописного текста! Она состоит из введения и семи параграфов.

1. Александров П. С., Урысон П. С., UW Condition MCeSSdLltи sufhsame pout аи am cPasse (l)5oit те cCasse (D). C. R. Paus, ill (1923), i {1*4−13.1−6.

2. Антосик П., Минусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенныхфункций. Секвенциальный подход. М., «Мир», 1976 г.

3. Арнаутов В. И., Водинчар М. М., Михалев А. В.

Введение

в теориютопологических колец и модулей. Кишинев, Штиин-це- 1981 г.

4. Бурбаки Н., Топологические векторные пространства. М., «Мир», 1953 г. 5. гец (Goetz А. On notion of mi? oimtu ?ог «is расе з of Fiecket. Cod toy, — Math. }19?Я>

5. Келли Дж.А., Общая топология. М., «Наука», 1981 г.

6. Куратовский К. Топология. т. П, М., «Мир», 1966 г.

7. Кон П. Универсальная алгебра. М., «Мир», 1968 г.

8. Понтрягин Л. С-, Непрерывные группы. М., «Наука», 1978 г.

9. Рудин У. Функциональный анализ. М., «Мир1Г,' 1975.

10. Rickautaott Gazy, D., Applications convezpence spaces. ВЖ Ausnad Math. Soc. SLi Nl (то),.

11. Сарымсаков Т. А., Хаджиев Дж.: o^ -структуры, метризованныенад полуполями. ДАН УзССР, te 5, 1972, 3−4.

12. Фишер (Flschet H. R).Limesraume. Math: Ann. i57, Я.69−305 (1959).

13. Фреше (Fiecfiet M.). Suz (j/xefyues points docCaPcuP Foncuomrf (These). Rend. Pafarmo, 1906,23, p. 1−94.

14. Фрёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. М., «Мир», 1970.

15. Фрик (File R. l On a рwfflm o-PJ.Nov&k. TopicsТоро&ду. hmsiezdm-Londen, 13^, 517−519.31 .-II— — Or wnua^ence spaces and (fionps.Math. Sfomce (CSSR), 323−330.

16. Хаджиев Дж.Х., L^((JJj) пространства. Я Всесоюзная топологическая конференция. Тезисы, Тбилиси, 1972 г.

17. Хаджиев Дж.Х., Худайбердыев В. Н., Об одном обобщениипространств Фреше. Международная топологическая конференция, Москва, 25−29 июнятезисы докладов и сообщений.

18. Хэрди Г., Расходящиеся ряды. М., «ИЛ», 1951.

19. Худайбердые В. Н., Некоторые вопросы функционального анализав пространствах со сходимостью. Канд.дисс., Ташкент 1979.

20. Пространства сходимости. Ташкент, «Узбекистану1982 г. 37. хьюитт эЛ^игмЫшс^Сотраи тоно-tke-eic smujioccptJXuce MatLJ., V.

21. Чересиз В. М., Непрерывные представления групп со сходимостью. ДАН СССР, 1973, 213, № 3, 542−543.

22. О равностепенной непрерывности представленийгрупп. СМЖ, 1978, TXIX, № 6, I38I-I385.

23. Шоке (CkoCj^m GX Comeiaences. AnnVniV.

24. Бекбаев У. Д., Полугруппа симметрий сходимости Нерлунда. Сборник научных трудов ТашГУ. Математический анализ и теория вероятностей. № 689,стр.13−15, 1982 г. 44.-групп. ДАН УзССР, № 9, стр.4−5, 1982 г,.

25. Продолжение частично определенных операций. ДАН УзССР, № 5, стр. 6−9, 1984 г. 45.