Существенная размерность и бирациональные инварианты алгебраических торов

Алгебраический тор — это один из базовых элементов структурной теории алгебраических групп. Если основное поле является алгебраически замкнутым, то теория алгебраических торов тривиальна. Все меняется при рассмотрении алгебраических торов над незамкнутым полем. Изучение таких торов действительно многогранно, так как приводит к постановке комбинаторных, алгеброгеометрических и арифметических задач. В данной работе мы затрагиваем лишь малую часть этой области математического знания. Более конкретно, мы ведем исследования в двух направлениях: первое из них — классическая проблема бирационгЬгьной классификации алгебраических торов, второе — проблема вычисления существенной размерности линейных алгебраических групп. Интерес к проблеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкнутым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда редуцируется к вычислению основного бирацио-нального инварианта алгебраического тора Т. Один из важных результатов В. Е. Воскресенского состоит в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рациональности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рациональным над полем определения. В недавно вышедшей монографии [У09] представлено доказательство этой давно стоявшей проблемы. Заметим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в области торической криптографии: на базе рациональных торов возможно построение криптосистем с очень хорошими параметрами. Подробный обзор этой тематики читатель может найти в работах [RSI], [RS2] и [DWJ.

Существует несколько путей исследования рациональности алгебраических торов. Один из них связан с рассмотрением максимальных торов в связных полупростых алгебраических группах. Известно [V88], что группа разложения Гдеп общего тора Тдеп (определенного над полем функций многообразия всех максимальных торов) лежит между группой Вейля и группой автоморфизмов системы корней: W{R) С Г5е7г С A®. Максимальный &—тор Т С G называется тором без аффекта, если П = Гдеп. Бирациональ-ная геометрия торов без аффекта в полупростых группах стала изучаться более четверти века назад. В пионерской работе [VK] данного направления В. Е. Воскресенский и Б. Э. Кунявский разобрали случаи максимальных торов без аффекта в присоединенных и односвязных классических группах. Их результаты получили обобщение в работе A.A. Клячко [К1], в которой он установил выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации для максимальных торов без аффекта в полупростых алгебраических группах, определенных над полем алгебраических чисел следующих типов: внутренние формы Ше-валле, односвязные группы, присоединенные группы и простые группы. Обе эти работы в основном посвящены вычислению группы Я1 (/с, PicX), которая является бирациональным инвариантом к-тора Т. Здесь X — это гладкая проективная модель тора Т. Напомним, что всякий к-тор Т с минимальным полем разложения L может быть вложен в гладкое проективное fc-многообразие X, тогда X = X k L и есть проективная модель тора Т (такая проективная модель для тора существует над любым полем). Когомологический бирацио-нальный инвариант Н1{к, PicX) имеет важное значение, так как вычисление этой группы позволяет установить выполнение принципа Хассе и слабой аппроксимации, а значит, имеет важное значение не только для бирациональной геометрии алгебраических торов, но и для их арифметических приложений. Затем исследователи сконцентрировали свое внимание на проблеме рациональности торов без аффекта в полупростых группах. К настоящему времени эта проблема полностью решена. В совместной работе А. Кортелла и Б. Э. Кунявского [СК] разобраны все торы без аффекта в простых односвязных и присоединенных группах и установлена нерациональность этих торов за исключением пяти рациональных случаев: гкС? < 2- (У — внутренняя форма присоединенной группы типа С — форма присоединенной группы типа А2г, С — форма присоединенной группы типа Д- (7 — форма односвязной группы типа С-. И наконец, полный ответ (включая промежуточные группы) получен в работе Н. Лемир, В. Л. Попова и 3. Райхштейна [ЬРЯ]. Тем не менее на данный момент почти нет информации о когомологических бираци-ональных инвариантахЯ" 1^, РшХ) для нерациональных торов без аффекта, где Г С Ь — промежуточное расширение поля к. Кроме упомянутых работ [УК] и [К1], частные результаты для торов без аффекта в исключительных группах можно найти в статьях [Р98] и [Ве1]. В данной работе в главе 2 мы вычисляем все когомологические бирациональные инварианты для тора без аффекта в полупростой исключительной группе типа ^4.

Другой подход к изучению рациональности алгебраических торов — это последовательное изучение торов размерности 1, 2, и т. д. Как известно, все алгебраические торы размерности один и два являются рациональными над полем определения [У77]. Первый пример нерационального алгебраического тора (трехмерный тор с биквадратичным полем разложения) был найден К. Шевалле. Б. Э. Кунявский же получил полную бирациональную классификацию трехмерных алгебраических торов [Кип]. Уже по поводу четырехмерных торов мало что известно: частные результаты можно найти в работе [Р98]. Настоящая работа является первым систематическим шагом в получении бирациональной классификации четырехмерных торов.

Кроме этого, диссертация посвящена изучению существенной размерности алгебраического тора. Для исследователя, независимо от области исследования понятие параметра является базовым. Более того, большой интерес вызывает любой способ уменьшения количества параметров, определяющих изучаемую систему. В середине 90-х годов прошлого века Дж. Булер и 3. Райхштейн [BR] ввели понятие существенной размерности для алгебраических групп над замкнутым полем характеристики 0: неформально говоря, существенная размерность равна минимальному количеству параметров, необходимых для описания данной алгебраической структуры. Они также установили связь вопроса существенной размерности с 13-ой проблемой Гильберта. Позже в ситуации произвольного поля понятие существенной размерности, используя функториальный подход, дал A.C. Меркурьев [BF]. Несмотря на относительно простую структуру алгебраического тора, вопрос вычисления существенной размерности этой алгебраической группы почти не был затронут математиками. Первое значительное продвижение в этом направлении было достигнуто в недавно вышедшем препринте Р. Лотшера, М. МакДо-нальда, А. Майера и 3. Райхштейна [LMR]. Настоящая же работа связана с вычислением существенной размерности алгебраических торов малой размерности и получением верхней границы существенной размерности для произвольных алгебраических торов.

Данная работа имеет две цели исследования: i. получение полного списка когомологических бирациональных инвариантов четырехмерных алгебраических торови. вычисление существенной размерности алгебраических торов малой размерности.

Основные результаты исследований отражены в работах [Krl], [Кг2] и [КгЗ].

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, списка используемой литературы, содержащего 38 наименований, и трех приложений. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, замечаний и алгоритмов и отдельная нумерация для формул. Для нумерации примеров и таблиц используются сквозные нумерации. Общий объем диссертации 102 страниц без приложений, 119 страниц с приложениями.

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам.