Классические постановки и методы решения динамических задач механики приведены в монографиях, перечисленных в начале списка литературы. Основополагающие результаты в области колебаний нелинейных систем содержатся во втором томе справочника [1] и ряде монографий А. С. Вольмира [10], Г. Каудерера [13], А. М. Самойленко и Н. И. Ронто [14], В. Г. Веретенникова [15], М. З. Коловского [16], Т. Хаяси [17],.
И.И.Блехмана [19], В. М. Волосова и Б. И. Моргунова [27], работах других исследователей.
Развитие исследований в области колебаний существенно нелинейных систем связано с именами Холмса [56], В. И. Арнольда [54], В. С. Анищенко [53], Б. И. Крюкова [23], М. И. Рабиновича и Д. И. Трубецкова [21], Г. Хакена [22], М. Фейгенбаума [69] и др.
В работах недавнего времени существенно нелинейные колебания также нашли свое отражение. Так, в статье [60] рассмотрены нелинейные колебания в закритическом состоянии двухопорных балок с различными граничными условиями. Используя аппарат эллиптических функций Якоби, найдены собственные частоты колебаний. Вработе [61] дан обзор современных методов расчета нелинейных колебаний элементов конструкций. В статье Р. ШЬепю [62] дан анализ экспериментальных данных о роли второй гармоники в нелинейных поперечных колебаниях балок с большими прогибами. В работе [63] дан анализ бифуркаций гибкой криволинейной панели, исследован хаос в различных практических нелинейных задачах. В статье [64] уравнения движения построены по методу Галеркина, периодические решения получены методом гармонического баланса, исследованы условия перехода к хаосу при колебаниях с прощелкиванием выпученной балки. В работе А. Л. Тукмакова [66] на основе метода конечных разностей исследованы нелинейные колебания упругой панели под действием периодической нагрузки.
Ряд исследований последних лет к традиционным направлениям добавляют новые аспекты. Так в статье [57] авторы для оптимизации параметров динамического гасителя используют технологию искусственных нейронных сетей, в работе [51] нелинейная динамика рассматривается как ключ к теоретической истории. Но эти и другие подобные интересные направления выходят за рамки настоящей работы.
В цикле исследований В. П. Майбороды и его коллег [33−38] обнаружен и детально исследован эффект изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эта зависимость, часто называемая синергическим эффектом, изучена в процессе анализа колебаний линейных диссипативных систем с несколькими степенями свободы. Проявления этого эффекта принципиально невозможны в линейной системе с одной степенью свободы.
Другой важной областью проявления синергического эффекта является использование синергос-композиционных материалов и различных структур на их основе для создания разнообразных защитных конструкций от многофакторных внешних воздействий. В' число этих факторов входят как механические воздействия (вибрации, шумы, удары), так и электромагнитные излучения. При этом рассматриваются как упругие, так и вязкоупругие материалы. Цикл работ в этом направлении В. П. Майбороды и" его сотрудников [39−41] включает постановки соответствующих задач расчета электромагнитомеханических процессов в неоднородных средах, описываемых связанными уравнениями электромагнитного поля и термоупругости, разработку методов решения подобных задач. При этом для анализа переменных характеристик среды, как правило, используются асимптотические методы малого параметра и осреднения.
Приведенный обзор литературы не претендует на полный охват публикаций по направлениям, связанным с темой настоящей работы ввиду большого количества исследований и затрагивает лишь работы, наиболее близкие к теме диссертации.
Исходя из анализа исследований в области существенно нелинейных колебаний механических систем можно сделать вывод о том, что вопрос о колебаниях таких систем с учетом нескольких степеней свободы не получил должного освещения. Кроме того, представляет несомненный интерес продолжить исследование проявления эффекта изменения диссипативных характеристик динамической системы в случае существенно нелинейных колебаний. Эти факты определили выбор темы диссертации.
Актуальность темы
определяется необходимостью количественного численного анализа существенно нелинейных колебаний деформируемых элементов с учетом возможного прощелкивания, нескольких форм колебаний, бифуркаций периодических решений, перехода к хаосу.
Новизна результатов определяется постановкой и решением новых задач с учетом нескольких форм колебаний, а также новых решений в известных задачах, обнаруженных при учете существенной нелинейности.
Достоверность результатов определяется корректностью постановок задач, решением тестовых задач, сравнением получаемых результатов с известными решениями. Численные результаты проверяются повторением расчетов с большей точностью.
Научная и практическая значимость диссертации заключается в возможности расчета существенно нелинейных установившихся колебаний деформируемых элементов с учетом нескольких степеней свободы.
1.2. Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела.
Современные механизмы работают в тяжелых с точки зрения динамики режимах. Во многих случаях вибрации, удары, потеря устойчивости деформируемых элементов являются постоянными составляющими, входящими в условия работы механизма. Роль колебаний в технических приложениях разнообразна и значительна. С одной стороны, эта роль может быть вредной, приводя к ненужным и излишним динамическим нагрузкам. Ведь ускорение пропорционально квадрату частоты, соответственно возникает опасность перегрузок при высокочастотных колебаниях. Однако и при низкочастотных колебаниях могут возникать нежелательные перегрузки. При низких частотах, как правило, возрастают амплитуды колебаний, при этом могут быть достигнуты естественные технические ограничения конструкции, жесткость элементов-ограничителей амплитуды как правило значительно больше жесткости деформируемых элементов в рабочем диапазоне, при контакте с жестким элементом-ограничителем возникают высокочастотные колебания (дребезг) с большими ускорениями, и вся система уже не может рассматриваться как линейная. Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы увеличить диссипативные характеристики системы, избежать контакта с ограничителями и оставаться в рамках линейной постановки задачи.
С другой стороны, существует ряд технологических процессов, где вибрации находят полезное применение (вибрационная транспортировка, обработка металлов и т. д.). Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы диссипативные характеристики системы не снизили параметры вибрации ниже технологически необходимого уровня.
Для линейных диссипативных систем В. П. Майбородой и его учениками разработаны алгоритмы исследования диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эти методы нашли свое применение для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В случае нелинейных систем проявления эффекта изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров системы изучены недостаточно. Продолжение исследований в этом направлении — одна из целей настоящей работы. Ведь в нелинейной системе одновременно действуют несколько взаимовлияющих факторов, значительно усложняющих характер проявления механических эффектов и методы их анализа. Среди упомянутых взаимовлияющих факторов выделим следующие:
— взаимодействие различных форм колебаний, определяющее изменение диссипативных характеристик. В линейных диссипативных системах с несколькими степенями свободы этот вопрос исчерпывающе изучен в работах В. П. Майбороды и его сотрудников. В нелинейных системах, в которых нет единственности решения, существует неоднозначность амплитудно-частотной характеристики, взаимодействие различных форм колебаний может проходить значительно сложнее. В частности, в отличие от линейных диссипативных систем, эффект изменения диссипативных свойств может проявляться даже в системе с одной степенью свободы за счет взаимодействия различных видов колебаний, присущих нелинейным системам (вынужденные, параметрические, автоколебания, которые в нелинейной системе имеют ограниченную амплитуду). Кроме того, в нелинейной системе с одной степенью свободы с учетом неоднозначности решения, присутствия эффекта перескока решения с ветви на ветвь амплитудно-частотной характеристики при вынужденных колебаниях может иметь место взаимодействие различных решений и влияние этого взаимодействия на диссипативные характеристики. Еще более сложный характер может иметь проявления эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейной диссипативной системе с учетом нескольких степеней свободы. Ведь упомянутые нелинейные эффекты могут проявляться по каждой из форм колебаний, и при этом возможно их взаимное влияние. в существенно нелинейной полностью детерминированной динамический системе колебания могут иметь хаотический характер. В работе Холмса [56] приведены результаты исследования вынужденных поперечных колебаний потерявшего устойчивость стержня с учетом одной формы колебаний. При этом не рассматривается возможное влияние высших форм колебаний на динамический процесс. Одним из возможных сценариев перехода от детерминированных движений к хаотическим и обратно при изменении каких-либо параметров системы являются бифуркации удвоения периода с учетом универсальной постояннойг Фейгенбаума [69]. Эти результаты дополняются экспериментальными исследованиями Муна [72], показывающими хаотический характер существенно нелинейных вынужденных колебаний стержневой системы с перескоком. Естественно, анализ подобных эффектов в существенно нелинейных системах с учетом нескольких форм колебаний значительно сложнее, чем в системах с одной степенью свободы, но результаты такого анализа представляет несомненный интерес.
— отдельно выделим диссипацию энергии. Ведь с одной стороны коэффициенты диссипации энергии — это параметры исходной системы, которые в принципе можно варьировать. Но изменение диссипативных характеристик всей механической системы при изменении отдельных параметров является результирующим эффектом, который может быть достигнут при неизменных коэффициентах диссипации. Это получено для линейных диссипативных систем, естественно представляет интерес исследование аналогичных зависимостей для нелинейных систем. И конечно представляет интерес исследование влияния коэффициентов диссипации отдельных подсистем на общие диссипативные характеристики системы.
Особый интерес представляет анализ влияния диссипации на возможность реализации сложных полигармонических и хаотических колебаний в детерминированной существенно нелинейной механической системе.
— степень нелинейности механической системы значительно влияет на характер колебаний и, соответственно, определяет методы анализа, с помощью которых можно получать достоверные результаты. Многие механические системы при малых амплитудах внешнего воздействия (или при значительной диссипации) можно рассматривать как линейные, с ростом внешнего воздействия и амплитуды колебаний появляется влияние нелинейных эффектов, и для анализа таких режимов хорошо развит аппарат асимптотических методов. В случае значительных внешних воздействий и амплитуд результирующих колебаний механическая система приобретает свойства существенно нелинейной, системы, для анализа которой методы анализа линейных и квазилинейных систем неприменимы. Отдельно отметим механические системы с перескоком — механические системы, в которых нелинейные эффекты проявляются наиболее ярко, когда небольшому изменению параметра соответствует кардинальное изменение в системеперескок. Для статических задач это как правило потеря устойчивости системы, для динамических задач колебания систем с перескоком соответствуют существенно нелинейному динамическому режиму. Применительно к колебаниям стержней, пластин, оболочек вместо термина «перескок» часто используют термин «прощелкивание». Отметим, что колебания механических систем с прощелкиванием предваряются потерей системой статической устойчивости, бифуркацией ее статического состояния, и на этот статический эффект накладывается периодически изменяющееся во времени внешнее воздействие, приводящее к возникновению колебаний с прощелкиванием, в которых при изменении параметров системы возможны уже бифуркации динамических периодических решений.
— рассматриваемые в настоящей работе существенно нелинейные колебания механических систем не только терминологически, но и гносеологически, то есть с точки зрения теории познания, связаны с исследованиями в области самоорганизации разнообразных систем, синергетикой, теорией катастроф, однако эти далеко идущие обобщения выходят за рамки настоящей работы.
Возвращаясь к традиционным задачам, рассматриваемым в рамках механики деформируемого твердого тела, отметим^ что одним из важных приложений эффекта изменения диссипативных характеристик механических систем являются задачи виброизоляции систем с несколькими степенями свободы. Известны два основных направления виброзащиты. Первый из них заключается в присоединении к защищаемому объекту дополнительных упругих или вязкоупругих динамических подсистем, параметры которых выбираются таким образом, чтобы достичь уменьшения амплитуды колебаний защищаемого объекта. Жри этом очевидно, что число степеней свободы объединенной динамической системы увеличивается. Классическим примером такой системы является динамический гаситель колебаний [9]. Второй метод определяется использованием в качестве упругих (вязкоупругих) элементов амортизаторов. В результате образуется динамическая система виброизоляции. Расчету подобных систем посвящена обширная литература [1].
Вообще говоря, даже абсолютно твердое тело, помещенное на систему амортизаторов, имеет шесть степеней свободы и столько же резонансных частот. Колебания амортизируемого объекта являются связанными, то есть перемещения вдоль одной из осей координат вызывают перемещения и повороты относительно других осей. Известны частные случаи, когда амортизируемый объект симметричен относительно упругих и инерционных свойств, колебания на упругих амортизаторах разделяются. Этот вариант, как правило, проще для анализа.
Задача расчета собственных и вынужденных колебаний для упругих линейных колебательных систем с конечным числом степеней свободы исследована весьма подробно [1]. Во многих случаях ее возможно свести к использованию стандартных программ. Для линейных динамических систем с распределенными параметрами успешно применяются численные методы конечных элементов, ортогональной прогонки. При исследовании линейных неконсервативных систем возникают дополнительные вопросы, связанные как с моделированием механизма диссипации, так и с неконсервативностью системы. Эти проблемы применительно к задачам расчета линейных и квазилинейных систем виброизоляции детально исследованы в цикле работ [33−38].
При постановке нелинейных динамических задач механики деформируемого твердого тела широко применяется такой подход: исходная система нелинейных уравнений в частных производных сводится к системе (в первом приближении — к одному уравнению) обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом часто используется процедура Бубнова-Галеркина. Далее предполагается, что нелинейные слагаемые и слагаемые, отражающие внешние воздействия, малы по сравнению с линейными компонентами уравнений., что позволяет использовать для решения полученных квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений асимптотические или другие приближенные методы. При этом часто остается открытым вопрос количественных ограничений применимости такого подхода.
Рассмотрим поперечные вынужденные колебания однородной изотропной прямоугольной пластины размерами в плане, а х Ь, толщиной Ь. Материал пластины имеет модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона плотность р Пластина нагружена вдоль стороны, а постоянными сжимающими усилиями Р, действующими в плоскости срединной поверхности. Края пластины шарнирно оперты и могут свободно смещаться в плоскости опорного контура. Учитывается распределенная поперечная.
С" I периодически изменяющаяся во времени нагрузка ц^). Оси координат х, у направлены вдоль краев прямоугольной пластины. Пренебрегая движениями в плоскости пластины, А. С. Вольмир [10] приводит следующие уравнения движения:
DVW-W0) = L (W, Ф) + qlh-p^-t (1.2.1) У4Ф = -0.5[1(Г, Ж) -ЦЖ0, Ж0У] (1,2.2).
Э гу.
Здесь Б = ЕЙ /[12(1-|я")] - цилиндрическая жесткость, ^?(х, у,1:) — отклонение по нормали к срединной поверхности, Wo (x, y) — известное начальное отклонение от плоского состояния пластины, фл д2№ д2ф | д2Ф д2Ж д2Ф ' дх2 ду2 + ду2 дх2 дхду дхду (Ь2−3).
Поперечная периодически изменяющаяся во времени нагрузка определяется как сое 1). Начальный прогиб задается в виде.
Ж0 = /0 $т{тжIа)$т (плу IЪ). (1−2.4).
Искомый прогиб аппроксимируется выражением Ж = /(¿-)бш (т пх / а) Бт (ппу!Ъ) (1.2.5).
Используя метод Бубнова-Галеркина, А. С. Вольмир [10] приводит обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные нелинейные колебания пластинки: ®-о- (1 —гШ3 — К'-2 + «I)-^-^р' = ?(/) (1.2.6).
Ш Г0 /р РЬ2.
Здесь введены обозначения: , .
.
Ек.
16с 2 7Г2т2(1 + п2Я2 /т2)2 о ~ -2/1 ,.2ч. Я = а/Ь а2.
12Л (I- /л) тиАт\ + п2Л2! т2)2с2к2.
12Я2 (1 — р2) а 2Ь2 ' [1+(лЯ/т)2]2(1-Р*//?)'.
1.5(1-У)[1 + (пЛ/т)4].
Для идеальной пластины, у которой начальные отклонения от плоского состояния отсутствуют, имеем: откуда а=1, (3=0. Уравнение движения (1.2.6) в этом случае примет следующий вид:Отп (1 ~ 3 +) = (1.2.7).
Рассмотрим колебания по основной форме, то есть т=п=1. Пусть р=0.25, а=Ь (пластина квадратная), тогда Аг=1. Вычисляя коэффициент при кубичном слагаемом в уравнении движения, получим:
0.352.
7] =.
1 -р*/Р- (1−2-8>
Если сжимающие усилия отсутствуют (Р=0), то уравнение (1.2.7) принимает форму классического уравнения Дюффинга: §) = 9(0, (1.2.9) при этом г|=0.352. Нелинейное слагаемое будет меньше линейных при колебаниях, амплитуда которых не превышает толщину пластины. Найдем условия, при которых правая часть уравнения движения не превосходит линейных слагаемых: д^) < со.
Отсюда получаем: 2 отп.
16с2 4тг4с2к2 ж2Ек2 К 12а2620.9375.
Для амплитуды поперечной нагрузки Б имеем: 7Г6ЕН4 ЕН г<-—-«21.
48я2Ь20.9375 а2Ь2 (Ь2Л0).
Видно, что последнее неравенство для достаточно тонких пластин может быть выполнено лишь при весьма малых амплитудах внешнего воздействия, что на практике приводит к существенным ограничениям при использовании асимптотических методов для расчета конструкций. В реальных вариантах расчета уравнение движения становится существенно нелинейным, и для его решения необходимо использовать специальные методы.
Рассмотрим пример конкретной пластины. Пусть а=Ь=0.1т., Ь=0.001 т., Е=2.1×10пР. Тогда условие (1.2.10) будет выполняться при Р<44.1×103 Р. Если же размеры пластины будут а=Ь=1 т при неизменных остальных параметрах, то условие (1.2.10) выполняется при Р<4.41Р. Такие границы применимости по величине внешнего воздействия определяют необходимость использования методов расчета, свободных от подобных ограничений.
Вернемся к уравнению (1.2.7), учитывающему влияние сжимающих сил Р в плоскости пластины. Величина Р0* соответствует критической силе потери статической устойчивости плоского состояния пластины. Если сжимающие усилия Р таковы, что Р' > Р*, то получим уравнение вида (Л3 + .
При этом обнаружены сложные периодические режимы, странный аттрактор. Эти результаты использованы в качестве тестовых.
В работе [75] рассмотрены различные варианты граничных условий для задач о нелинейных колебаниях круглых и квадратных пластин. Уравнение движения имеет вид:
7(0+®7(о+"а>73(о = P (t) (1.2.12).
Приводятся таблицы, содержащие коэффициенты этого уравнения при различных вариантах граничных условий.
Для того же объекта исследования — прямоугольной пластины ставится также задача анализа параметрических колебаний [10]. При этом считается, что по сторонам пластины b приложены сжимающие усилия.
Px=Po+PtCOs (Qt). (1.2.13).
Принято, что пластина шарнирно оперта по краям, стороны, а неподвижны, в отношении сторон b принимается, что сторона х=а свободно смещается относительно второй стороны х=0 пластины, сторона х=0 фиксирована. Прогиб аппроксимируется выражением (1.2.5) при m=n=l. Уравнение параметрических колебаний имеет вид:
2П P? + P? oos (nt) ез 0.
——*-K+1S (1.2.14) кр
2/1, i 2 2.
7Г1 + ЛЛУ.
Здесь Ркр — 12Л2 (1 — //2)(1 + /¿-Л2) «кРитическое продольное усилие, соответствующее статической потере устойчивости, рх = Ро + Pt cos (Рх =~(ЬА безразмерные параметры внешнего параметрического возмущения. Из.
Н* И" ч •! уравнения (1.2.14) видно, что при Рх =Po+Pt COS (12r) > р ь.
— 1= кр меняется знак при линейном слагаемом, и появляется аналогия с колебаниями с прощелкиванием после потери статической устойчивости.
Учтем оба вида внешнего воздействия — периодическое по времени воздействие в плоскости пластины, определяющее возможность возникновения параметрических колебаний, и периодически изменяющееся по времени поперечное воздействие, направленное перпендикулярно срединной плоскости пластины, вызывающее вынужденные колебания, а также диссипацию энергии. В результате приходим к уравнению вида.
При этом одновременно могут возбуждаться два принципиально различных вида колебаний. В линейных задачах эти динамические процессы не оказывают взаимного влияния. В рамках нелинейной постановки задачи можно ожидать возможности взаимного влияния двух принципиально различных видов колебаний даже в задаче с одной степенью свободы. Исследование такого процесса представляет несомненный интерес.
Заметим, что в рамках применяемого подхода конкретный вид нелинейности не имеет существенного значения — линейные уравнения, уравнения с кубичной нелинейностью или нелинейными функциями более общего вида исследуются в рамках общего подхода. Естественным ограничением области применения рассматриваемого метода является возможность численного решения задачи Коши с заданной точностью на одном периоде искомого решения.
Отметим, что большинство результатов получено в условиях аппроксимации одной базисной функцией метода Бубнова-Галеркина. В рамках настоящей работы мы будем рассматривать существенно нелинейные колебания деформируемых элементов с несколькими степенями свободы, при этом применяемый подход позволяет изучать не только существенно р0.
1.2.15) нелинейные, но и в том числе линейные и квазилинейные динамические задачи механики деформируемого твердого тела.
100 выводы.
Исследовано проявление эффекта изменения диссипативных свойств динамической системы в случае нелинейных колебаний. Этот эффект обнаружен при сочетании вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы, а также проявления этого эффекта в весьма сложной форме получены в задачах с двумя степенями свободы. Эти результаты можно считать развитием исследований эффекта изменения диссипативных свойств механической системы для нелинейных систем.
Дана постановка задачи о существенно нелинейных колебаниях сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом нескольких форм колебаний. Получено, что при наличии диссипации при анализе вынужденных поперечных колебаний кроме основной формы можно учитывать не более одной дополнительной формы колебаний, ортогональной нагрузке.
Исследованы различные сложные режимы колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием, в которых при одних и тех же параметрах системы в процесс колебаний вовлечены одна или две формы. Исследованы бифуркации удвоения периода при колебаниях с прощелкиванием сжатоизогнутого стержня с учетом двух форм. При изучении амплитудно-частотной характеристики вынужденных колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием с учетом двух форм обнаружено, что в зоне существования нескольких различных периодических решений одно из них может соответствовать колебаниям с учетом двух форм, второе — одной.
Разработанные методики можно применять для анализа существенно нелинейных колебаний деформируемых элементов с несколькими степенями свободы.
