Численные методы решения операторных уравнений в условиях неопределенности

При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [73], т. е. существования решения, его единственности и устойчивости. Следствием этого является непригодность для их исследования традиционных численных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории некорректно поставленных задач.

Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В. К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических школах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками. В развитии теории некорректно поставленных задач серьезный научный вклад был сделан в работах следующих математиков: В. Я. Арсенина, A. J1. Агеева, А.Б. Бакушинс-кого, A. J1. Бухгейма, Г. М. Вайникко, Ф. П. Васильева, В. В. Васина, В. А. Винокурова, Ю. Л. Гапоненко, А. В. Гончарского, В.Б. Глас-ко, A.M. Денисова, В. И. Дмитриева, П. Н. Заикина, В. В. Иванова, А. С. Ильинского, А. С. Леонова, О. А. Лисковца, В. А. Морозова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. П. Тананы, A.M. Федотова, А. В. Чечкина, А. Г. Яголы и других математиков.

К настоящему времени накоплен значительный теоретический и практический материал, который частично отражен в известных монографиях М. М. Лаврентьева [32], А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина [67], В. К. Иванова, В. В. Васина и В. П. Тананы [27], В. А. Морозова [42], М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова и С. П. Шишатского [34], О. А. Лисковца [37], В. П. Тананы [51], А. Б. Бакушинского и.

A.В. Гончарского [5], A.M. Федотова [69], А. Н. Тихонова, А. С. Леонова, А. Г. Яголы [68], В. В. Васина и А. Л. Агеева [12] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления.

I. Теория регуляризуемости. В ней решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего алгоритма. Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В. А. Винокурова [14−16], Л. Д. Менихеса [41] и других математиков.

II. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность — второе фундаментальное направление.

При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных оценок погрешности методов, а также построения оптимальных или близких к ним методов для решения данного класса задач.

Это направление, возникшее в работах В. К. Иванова [26],.

B.Н. Страхова [50], нашло свое развитие в работах многих математиков, см [27, 37, 51, 12, 53]. В рамках этих исследований было замечено, что при численном решении конкретных задач, оптимальные методы не всегда дают желаемый результат.

Причины этого кроются в неоправданной сложности оптимального метода или недостаточном учете исходной информации задачи.

Кроме того, неудачная аппроксимация задачи может существенно снизить реальную точность метода. Эта проблематика связана с третьим основным направлением.

III. Построение специальных численных методов решения некорректных задач.

Отправной точкой этого направления являются работы А. Н. Тихонова [61], В. К. Иванова [22] и М. М. Лаврентьева [32]. В основу этого направления было положено численное решение конкретных задач математической физики. Особо здесь следует отметить класс задач, в которых искомое решение имеет сложную структуру, а также задач на определение «тонкой структуры» решения, играющих важную роль в физике твердого тела, см. [36, 29, 30]. К этому направлению примыкают исследования настоящей работы. В ней решаются два основных вопроса. Первый из них связан с обоснованием достаточно широкого класса методов, конечномерной и конеч-норазностной аппроксимации, второй — с выбором параметра регуляризации, позволяющим выявлять «тонкую структуру» решения.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач и ее использование при построении численных методов.

Первая глава посвящена обобщению метода L-регуляризации на достаточно широкий класс нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

Первые работы в этом направлении принадлежали А. Н. Тихонову [61], в них был предложен метод регуляризации n-го порядка для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Затем В. А. Морозовым и Н. Н. Кирсановой в [44] метод регуляризации n-го порядка был обобщен на класс линейных неограниченных операторов, удовлетворяющих условию дополнительности. Это обобщение было названо //-регуляризацией и в дальнейших исследованиях широко использовалось в работах многих авторов, см. [37, 41,51].

В настоящей работе сделана попытка обобщить этот метод и идею L-регуляризации на класс нелинейных операторов. Для этого понятие дополнительности было заменено более общим понятием Х-полузамкнутости сверху оператора А, которое позволило перенести известные в линейном случае результаты на достаточно широкий класс нелинейных задач.

Одна из таких задач приведена в первой главе. Кроме того в разделе 1.3 подробно исследуются вопросы устойчивости L-регуля-ризованных решений.

Вторая глава посвящена обоснованию сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений в классе линейных операторов.

Впервые необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций были опубликованы В. П. Тананой и А. Р. Данилиным в [54]. В этой статье был рассмотрен класс линейных ограниченных операторов, a L — тождественный оператор. В настоящей работе операторы, А и L, вообще говоря, неограниче-ны. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении операторов, А и L, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты.

Достигнутая в этой главе общность позволила перейти к обоснованию сходимости конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации п-го порядка. Решению этого вопроса посвящена следующая глава.

Третья глава посвящена исследованию метода конечноразност-ной аппроксимации регуляризованных решений. Основным здесь является тот факт, что метод регуляризации рассмотрен в общем виде, т. е. n-го порядка. Исследуемая конечноразностная аппроксимация, заимствована из работы А. Н. Тихонова [60].

Здесь доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций к регуляризованному решению и это является одним из основных результатов главы.

В следующих параграфах формулируется принцип минимальных невязок [55]. Затем доказывается, что остальные принципы такие, как невязки и квазирешений являются частным случаем принципа минимальных невязок. В заключении предлагается еще один способ выбора параметра регуляризации на основе принципа минимальных невязок, успешно используемый при определении «тонкой структуры» решений в задачах физики твердого тела [51, 30, 28].

В главе 4 результаты предыдущих глав использованы для определения «тонкой структуры» энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям.