Моделирование распространения электромагнитного излучения в системах, содержащих дифракционные оптические элементы, методом разностного решения уравнений Максвелла

Диссертация посвящена разработке разностных схем решения системы уравнений Максвелла в трехмерных и двумерных декартовых координатах для исследования прохождения электромагнитной волны через дифракционные микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающие дифракционные микроструктуры, а также реализации параллельных вычислений для решения разностных уравнений.

Актуальность темы

.

В последние годы особый интерес в оптике вызывают задачи, в которых необходимо учитывать поляризацию электромагнитной волны, френелевское отражение и распределение интенсивности, как в самом оптическом элементе, так и в его выходной плоскости. Это связано с появлением интегральных оптических схем, антиотражающих решеток, дифракционных микролинз для ввода излучения в оптическое волокно. Методы геометрической и скалярной оптики не позволяют исследовать прохождение излучения через данные системы. Так, геометрическое приближение не позволяет в полном объеме учитывать дифракцию на дифракционной микролинзе, что делает лучевой подход ограани-ченным для исследования микролинз. В рамках скалярного приближения известна работа Н. JI. Казанского [28], в которых рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. F. Wyrowski для этих целей использовал приближение Френеля [102]. Однако для исследования короткофокусных микролинз, используемых для ввода излучения в волокно, необходимо рассчитывать распределение интенсивности на расстоянии нескольких длин волн от микролинзы. Такую задачу рассмотрели M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait решая уравнение Гельмгольца методом конечных элементов [87]. Однако при этом не исследовалось прохождение излучения через рефракционную линзу и не оценивалось распределение интенсивности внутри предложенных дифракционных микролинз. Подход, предложенный в [87] не позволяет исследовать оптический элемент в волноводе. Поэтому 5 актуально исследование прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы, заключенные в волновод.

При изготовлении дифракционных микролинз для мощных лазеров применяют материалы, обладающие высокой устойчивостью к термическому разрушению. Наиболее прочным материалом является алмаз, однако он обладает высоким показателем преломления, что обусловливает отражение большой доли энергии от границы раздела алмаз-воздух. Для снижения доли отраженной энергии алмазные оптические элементы просветляют, формируя на поверхности антиотражающий субволновый рельеф. Принципы работы антиотражаю-щих поверхностей глубоко исследовались в работах D.H. Raguin и G.M. Morris [92−96]. Методика расчета бинарного антиотражающего рельефа, согласно с теорией эффективных сред, представлена в работе М.Е. Motamedi, W.H. Southwell и W.J. Gunning [89]. Однако аналогия с теорией тонких пленок не является очевидной и требует проверки. Поэтому актуален поиск оптимальной формы рельефа антиотражающей поверхности с помощью численного решения уравнений Максвелла.

Решение уравнений Максвелла для задач оптики требует применения численных методов. Известен аналитический подход, рассматривающий прохождение электромагнитной волны через дифракционные решетки, однако для общего случая аналитические методы отсутствуют.

В оптике широко применялись разностные схемы. Так A. Renaut составил неявную разностную схему для решения волнового уравнения [98], а Т. Fla записал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шредингера [83]. S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri представили явную разностную схему для уравнений Максвелла [82], которая не является устойчивой. При решении задачи построения разностных схем для уравнений Максвелла вполне очевиден отказ от явных схем. Даже будучи устойчивыми, они, как правило, налагают жесткие ограничения на шаги сетки, что делает неявные схемы более предпочтительными. 6.

В классических работах Самарского A.A. и Марчука Г. И. представлен большой выбор неявных разностных схем [44,45,59−62], однако для уравнений Максвелла схемы не приведены, поэтому их разработка является актуальной.

Разностное решение задач оптики требует существенных временных затрат. Следовательно, актуальна разработка алгоритмов, реализующих параллельные вычисления. Особенности организации параллельных вычислений для решения уравнений математической физики изложены И. Н Молчановым [49]. Н. Н Миренковым [47] представлен алгоритм распараллеливания продольно-поперечных прогонок, а Б. А. Головин [27] описал методику расчета характеристик параллельных вычислительных процессов. Однако перечисленные авторы не исследовали проблемы построения алгоритмов распараллеливания для решения разностных уравнений явно-неявных схем и повышения эффективности алгоритмов распараллеливания продольно-поперечных прогонок за счет асин-хронизации и использования как правой, так и левой прогонок.

Краткий анализ методов построения разностных схем для задач оптики, исследований оптических элементов и организации параллельных вычислений для решения сеточных уравнений.

A. Renaut в работе [98] предложил неявную разностную схему для волнового уравнения, записанного в двумерной декартовой системе координат. Схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени, требуя задания начального условия на двух временных слоях сетки. Однако невозможно развить предложенный в [98] подход для изучения волновых процессов в трехмерном случае. Решая волновое уравнение можно изучить поведение электромагнитной волны только одного типа (Н или Е). Те же ограничения верны для работы [87], в которой M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait решают уравнение Гельмгольца методом конечных элементов. Т. Fla [83] использовал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шре-дингера, которое учитывает нелинейные эффекты при прохождении излучения 7 через оптические элементы, но верно только для параксиального случая, а значит не может применяться для исследования микролинз. S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri [82] представили явную разностную схему для уравнений Максвелла, записанную на равномерной сетке. Показано, что схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени и выписаны условия устойчивости для одномерного, двумерного и трехмерного случаев. Однако в ходе вычислительных экспериментов не обнаружены параметры сетки, при которых приведенная схема являлась бы устойчивой.

В работе М. А. Голуба, H.JI. Казанского, В. А. Сойфера [28] подробно рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. Получена зависимость эффективности дифракционных микролинз от числа уровней квантования фазовой функции, представлены величины отклонений фокусов дифракционных микролинз от геометрического фокуса. M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait [87] исследовали распределение интенсивности света при прохождении излучения через дифракционные микролинзы в непосредственной близи от линзы. Однако системного изучения влияния числа уровней квантования микролинз на эффективность и смещение фокуса не проводилось. Также в [87] не представлена интенсивность поля внутри дифракционных микролинз.

Теория эффективных сред применялась для определения антиотражающей способности субволнового рельефа с конца прошлого века. Тогда была сформулирована теория эффективных сред первого порядка [92]. В середине нынешнего века С. М. Рытов представил теорию эффективных сред второго порядка [99]. Для разнообразных приложений теория эффективных сред развивается в работах D.H. Raguin и G.M. Morris [92−96].

Для реализации параллельных вычислений с целью сокращения времени решения разностных уравнений, в работах Вальковского В. А. [8,9], Миренкова H.H. [8, 47] и Молчанова И. Н. [49] представлены разнообразные алгоритмы распараллеливания. Приводятся алгоритмы для явных и неявных схем, обсуж8 даются вопросы разделения памяти между процессами. Однако отсутствуют алгоритмы распараллеливания для явно-неявных схем, а приведенные алгоритмы реализации прогонки могут быть улучшены.

Целью работы является разработка разностных схем для системы уравнений Максвелла и алгоритмов распараллеливания решения разностных уравнений для анализа прохождения электромагнитной волны через микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающую бинарную поверхность.

Для достижения указанной цели определены основные задачи диссертации:

1. Построение корректных и сходящихся разностных схем для решения системы уравнений Максвелла.

2. Изучение влияния числа уровней квантования дифракционной микролинзы на положение ее фокуса и эффективность.

3. Определение параметров бинарной субволновой структуры на алмазных пленках, обеспечивающей наименьшие потери на отражение инфракрасного (ИК) излучения.

4. Реализация параллельных вычислений с целью сокращения времени вычислительного эксперимента.

Структура и краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и двух Приложений. В первой Главе предложены явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой системе координат, проводится исследование этих схем.

ВЫВОДЫ.

1. Расчет с помощью решения уравнений Максвелла позволяет определить положение фокусов микролинз и их эффективность.

2. При уменьшении числа уровней квантования рельефа дифракционных микролинз с высокой числовой апертурой фокус микролинз смещается вправо.

3. При замене рефракционной микролинзы на дифракционную, толщина которой кратна четверти длины волны, эффективность дифракционной микролинзы может превысить единицу.

3 РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ, ОТРАЖЕННОЙ ОТ АНТИОТРАЖАЮЩЕЙ.

БИНАРНОЙ СТРУКТУРЫ.

3.1. Применение разностного решения уравнений Максвелла для расчета отраженной энергии.

При использовании сред с большим показателем преломления заметное влияние на энергетическую эффективность оптического элемента начинает оказывать высокое отражение от границы среда — воздух. Например, от границы германий (ве) — воздух для длины волны 10,6. мкм отразится 36% энергии [38].

Традиционно [4,41,16,76] эта проблема решается с помощью наложения на границу тонкой пленки с показателем преломления пШт — «.

3.1) и толщинои 11 =.

3.2) где пи п8: — соответственно показатели преломления среды из которой падает излучение, и среды, на которую падает излучение.

Однако на практике может не существовать пленки с подходящим показателем преломления. Также к недостаткам тонкопленочных покрытий следует отнести колебания толщины пленки при изменении температуры, что отрицательно сказывается на ее антиотражающих свойствах.

Для дифракционных оптических элементов свойственен довольно сложный рельеф поверхности, изобилующий резкими перепадами высоты, на который нанести пленочное покрытие бывает трудно, а порой и невозможно.

Другой подход к уменьшению отраженной энергии — формирование субволнового профиля на границе двух сред, уменьшающего отражение [99]. Для простоты в данной работе будет рассмотрен бинарный профиль, представленный в [89] (рис. 3.1).

96 Л.

Рис. 3.1.

Период бинарной антиотражающей структуры.

На рис. 3.1 период структуры обозначен Л, ширина выступа Ь, высота берется равной Ь. Ограничимся рассмотрением случая, когда на структуру падает Н волна и вектор электрического поля направлен вдоль штрихов рельефа.

В диссертации ставилась задача найти отраженную энергию от бинарной структуры при различных значениях заполнения я=Ь/Л для Л,=10,6 мкм. ¦ *.

18, 90 ] на границе раздела среда — воздух. Показатель преломления среды (поликристаллической алмазной пленки) составляет п5=2,4. [23*]. Актуальность задачи обусловлена возможностью применения поликристаллической алмазной пленки для изготовления дифракционных элементов, способных выдержать излучение СОг лазеров мощностью 10−20 кВт [11]. Традиционные материалы РЖ оптики, такие как селенид цинка или хлорид калия таких мощностей не выдерживают. $ $ $.

Поставим вычислительный эксперимент [25, 26, 91 ], в котором волна Н01 будет падать на бинарный антиотражающий рельеф с Л.

10,6 10,6 а = —из.

3,4 ' 4Д4.

3.2). Для постановки эксперимента использовалась схема 2 (1.81)-(1.83) со еле дующими параметрами дискретизации: Ь.

7=—, Ь=—, N. — = 2000. При 2 100 у 100 Ь2 этом погрешность х<0,01. В отличии от экспериментов предыдущей главы для хорошего описания волны длиной 10,6 мкм достаточно использования более.

97 грубых шагов дискретизации. Размеры исследуемой области составляли Ьу=50 мкм, Ь2=330 мкм.

Искалась усредненная по двадцати длинам волн прошедшей волны велитЦ чина 11Е^ последиэлектрика^У^ в воздухе после диэлектрика с антиотражающим о о бинарным рельефом и рассчитывалось значение доли отраженной энергии тЦ Е х после диэлектрика^У^ р = —-(3.3).

1 0 0 ТЬ /^х без диэлектрика ^У^^.

0 0 тЦ где / без диэлектрика¹ «усредненный по двадцати длинам волн квадрат о о напряженности электрического поля в воздухе при отсутствии диэлектрика.

Из таблицы 3.1 видно, что менее всего энергии отражается от бинарного рельефа с заполнением q= 0,25, тогда доля отраженной энергии р=1,2471%.

На рис. 3.2 представлен усредненный модуль амплитуды падающей и отраженной волн в эксперименте с q=0,25. Из рис. 3.2 видно, что на рельефе бинарной антиотражающей структуры возникают волны Н высоких порядков, которые порождены скачками профиля антиотражающей структуры.

99 ширина волновода (мкм) Рис. 3.2.

Усредненный модуль амплитуды падающей и отраженной волн.

3.2. Применение теории эффективных сред для расчета отраженной энергии.

К традиционному способу расчета энергии, отраженной от антиотра-жающих структур, относится метод, основанный на использовании теории эффективных сред [92].

Теория эффективных сред ставит в соответствие бинарному профилю тонкую диэлектрическую пленку с проницаемостью вЭфф. (рис. 3.3).

100 ж1&trade-*" .

— -" «Л.

— о :?т.

Рис. 3.3.

Сопоставление бинарному профилю диэлектрической пленки.

В теории эффективных сред нулевого порядка [93,97] ?Эфф=б (0). При ориентации вектора электрического поля вдоль штрихов рельефа е (0Че5+(1-Я)^. (3.4).

В теории эффективных сред второго порядка [94] вЭфф=е (2). При ориентации вектора электрического поля вдоль штрихов рельефа.

8(2)=?(0)(1 + Ав), (3.5).

К2 2 Л 2 (а-1)2 АБ = —q?{l-q).

1 + я1сх -1.

3.6) где, а = п0.

П:

При нормальном падении антиотражающий эффект должен наблюдаться при [88] X Л тах (п-, п5).

3.7).

При изготовлении антиотражающих профилей период профиля находят так [96] X А.

3.8).

Расчет отраженной энергии происходит по известной формуле из теории тонких пленок [14]: где У1 и лу2 — энергия, отразившаяся на границах 1 и 2, найденная по формуле Френеля [14], р — энергия, отразившаяся от тонкопленочного покрытия, 8 — набег фазы в тонкопленочном слое толщиной с! при нормальном падении.

В таблице 3.2 представлена зависимость доли отраженной энергии, рассчитанной по формулам (3.4)-(3.10) теории эффективных сред, от значений параметра q.

Однако теория эффективных сред не является точной и ее погрешность заранее неизвестна, поэтому необходимо применить разностное решение уравнений Максвелла для проверки границ применимости теории эффективных сред (рис. 3.3).

Можно утверждать, что при представленных параметрах среды данные, полученные с помощью теории эффективных сред второго порядка и разностным решением уравнений Максвелла, совпадают с точностью постановки вычислительного эксперимента, а данные, полученные с помощью теории эффективных сред нулевого порядка, сильно отличаются от данных, полученных разностным решением уравнений Максвелла при 0,85>д>0,25. Следовательно, в рассматриваемом случае теория эффективных сред нулевого порядка не может быть использована для изучения антиотражающего эффекта бинарной структуры с д>0,25.

Р = ехр (21б).

3.9).

1 + ехр (21б).

ЗЛО).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации предложены разностные схемы для решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовых системах координат, проведены исследования прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы и антиотражающую субволновую дифракционную структуру, реализованы параллельные вычисления для нахождения решения разностных уравнений.

Получены следующие основные результаты:

1. Предложена явно-неявная разностная схема численного решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной декартовой системе координат, доказаны корректность и сходимость схемы.

2. Разработаны явно-неявные и неявные разностные схемы для численного решения систем уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат, доказана их корректность и сходимость. Показано, что явно-неявные схемы для уравнений Максвелла обладают большей точностью, чем неявные.

3. На основе разработанных разностных схем проведено моделирование прохождения электромагнитного излучения через рефракционную и дифракционные микролинзы и субволновые антиотражающие структуры. Моделирование позволило обнаружить эффект смещения фокусов дифракционных микролинз относительно фокуса рефракционной микролинзы, зависящее от числа уровней квантования. Методом вычислительного эксперимента найдены параметры субволновой структуры, обеспечивающей наименьшее отражение ИК излучения от алмазной пленки.

4. Предложены алгоритмы распараллеливания задач исследования распространения электромагнитной волны с помощью решения явно-неявных разностных уравнений, обеспечивающие высокую эффективность, ускорение и снижающие время вычислений.