Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом

Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, возникающих при изучении прикладных задач. Изучаются установившиеся решения бифурцирующие из состояния равновесия при изменении параметров уравнения. В качестве основного метода исследования используется метод интегральных (инвариантных) многоообразий, позволяющий сводить изучение поведения установившихся решений исходного уравнения (системы уравнений) с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии. Поведение решений на критическом инвариантном многообразии может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть построена в нормализованном виде и носит название нормальной формы исходного дифференциального уравнения. Установившиеся решения нормальной формы во многом определяют установившиеся решения исходного уравнения с начальными условиями из некоторой фиксированной окрестности изучаемого состояния равновесия.

Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре [1] при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал А. М. Ляпунов [2] при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д. В. Аносов [3], В. А. Плисс [4], S. Sternberg [5], A. Kelley [6], Ю. Н. Бибиков [7−10], Дж. Хейл [11].

Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана [12], Ю.А. Мит-ропольского и О. Б. Лыковой [13], а также А. М. Самойленко [14] во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.

Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полученных ранее результатов на динамические системы с бесконечномерным фазовым пространством (банаховым, гильбертовым). Это было связано с запросами качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, вызванные необходимостью исследования устойчивости стационарных решений, обобщением бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим значительный интерес представляло построение теории инвариантных многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах. Этому посвящены работы А. Н. Куликова [15−17], M. Hirch, C. Pugh [18]. Систематизированное изложение данных вопросов можно найти в монографиях Дж. Марсдена, М. Мак-Кракена [19], Д. Хенри [20], Б. Хэссарда, Н. Казаринова, И. Вэна [21]. Там же можно найти многочисленные приложения указанной теории.

Метод построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий на критическом инвариантном многообразии (нормальной формы) для уравнений с запаздывающим аргументом был впервые предложен Ю. С. Колесовым [22]. Построение ведется в амплитудной форме (полярных координатах). В работе Е. П. Кубышкина [23] предложен более удобный способ построения нормальных форм уравнений с запаздывающим аргументом. Этот метод также использовался в работе С. Д. Глызина, Е. П. Кубышкина [24]. С различных позиций в квазилинейной постановке колебательные решения уравнений с запаздывающим аргументом изучались в работах А. Д. Мышкиса [25−27], С. Н. Шиманова [28], В. П. Рубаника [29], В. Н. Фодчука [30]. В диссертации сформулированные подходы применяются для изучения поведения колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Остановимся коротко на структуре диссертации.

В первой главе работы исследуется математическая модель Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью. Она представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида.

E = k (1 + ia)(N — 1) E + yexp (-i0o)E (t — т), (0.1).

NV= -Y||(NJ + |E |2N). (0.2).

Здесь E (t) = Ex (t) + iEy (t), i = л/—1 — комплексная переменная, описывающая электромагнитное поле, N (t) — плотность носителей зарядов, J — ток накачки, k — коэффициент затухания колебаний, 1/7ц — время спонтанной эмиссии, а — коэффициент, характеризующий лазер, 7 — процент отраженного излучения, ф0 — фазовый сдвиг излучения, т — величина запаздывания, равная времени, которое необходимо излучению, чтобы достичь зеркала и вернуться обратно.

Изучаются автоколебательные решения системы уравнений (0.1)-(0.2), бифурци-рующие из состояния равновесия.

Е (?) = 0, N (?) = а (0.3) при изменении параметров системы уравнений.

Характеристическое уравнение линеаризованной на (0.3) системы уравнений имеет вид.

Л — А (1 + га) — 7ехр (-Лт — гфо) = 0, А = к (а — 1). (0.4).

Расположение корней характеристического уравнения исследуются методом Т>-разбиений [31]. Потеря устойчивости состояния равновесия (0.3) может происходить с прохождением одного (га1), либо двух (га1, го2, < |о" 21) корней характеристического уравнения (0.3) через мнимую ось комплексной плоскости. При этом оказывается, что резонансного соотношения |а2|/|а1| = 1 реализовано быть не может.

Изучается характер колебательных решений системы уравнений (0.1)-(0.2), бифур-цирующих из (0.3) в случае потери устойчивости, связанной с прохождением двух корней характеристического уравнения (0.4) через мнимую ось комплексной плоскости. В этом случае поведение решений системы уравнений (0.1)-(0.2) в окрестности состояния равновесия (0.3) определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

1 = (г<71 + еЛ^)^ + (с?ц12 + (?12|г2|2)<�г:1 +. = ^(¿-ь г2, г2- е), (0.5).

2 = (гст2 + еЛ¹))г2 + (^211¹¹² + (122№)г2 +. = г2{гъ г2, г2- е), (0.6) коэффициенты которой эффективно вычисляются, е — малый параметр.

В диссертации выполнен анализ поведения решений системы уравнений (0.5)-(0.6), установлена взаимосвязь между решениями уравнений (0.5)-(0.6) и системы уравнений (0.1)-(0.2), построены асимптотические (по е) формулы для периодических и инвариантных торов системы уравнений (0.1)-(0.2).

Во второй главе рассматривается задача параметрического возбуждения хаотических колебаний в дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим аргументом следующего вида.

X + AX + x + [B + G (x, X, x (t — h (t)), X (t — h (t))] ?b (t — h (t)) = 0, (0.7) где h (t) = h + a • sin (wt) — A, B, h, a, w — положительные параметры (h > a), G (xi, X2, X3, X4) = giXi + g2X2 + g3X3 + g4X4 + gllX^ + gl2XiX2 +. достаточно гладкая нелинейная функция.

Уравнения вида (0.7) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными элементами и запаздывающей обратной связью.

Изучается возможность возбуждения за счет периодического изменения запаздывания сложных, в том числе хаотических колебаний. При этом предполагается, что при a = 0 нулевое решение уравнения (0.7) асимптотически устойчиво.

Положим a = 0 и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (0.7).

P (Л) = Л2 + АЛ +1 + B exp (-Ah) = 0. (0.8).

Анализ расположения корней (0.8) проводится методом D-разбиений, из которого следует, что при определенных значениях параметров уравнение может иметь корни ±ioj, (oj > 0, j = 1, 2). При этом остальные корни имеют отрицательные вещественные части. При этом оказывается, что при, А = А0 = Уб/б, в = в0 = Уб/з, h = h0 = 47гл/2/3 уравнение (0.8) имеет корни ±z<7i = ±-г/2/2, ±г<�т2 = ±-г/2, т. е. имеет место внутренний резонанс 1:2. Указанный случай рассматривается во второй главе.

Положим, А = А0 + еА1, B = B0 + eB1, h = h0 + eh1, и a = ea1, и выберем w = o1 + o2 + e#, ($ - расстройка резонанса).

Таким образом рассматривается случай комбинационного параметрического резонанса в нелинейной постановке при наличии внутреннего резонанса 1: 2.

Уравнение (0.7) имеет в окрестности нуля фазового пространства C (—h (t, e), 0) ф C (—h (t, e), 0) четырехмерное 2n/w периодическое локальное асимптотически устойчивое гладкое интегральное многообразие поведение решений на котором определяет поведение решений уравнения (0.7) из некоторого фиксированного шара с центром в нуле фазового пространства. Поведение решений на интегральном многообразии определяется поведением решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

1 = (i01 + Л1е + dn|z112 + d12 |Z2 12) z1 + 61Z1Z2 + ec1² exp (ir) +. = Zl (u}t, z г2, г2- е), (т = и-£), (0.9).

-?2 = (?02 + А^е + 12 +²² |12)+ 62?2 + ехр (гт) +. = г2(и, г1, г2,г1,г2-,?), = е = 1,2). (0.10).

В (0.9)-(0.10) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий порядок малости. В явном виде приведены лишь &bdquo-главные" слагаемые разложений.

Комплексные коэффициенты системы эффективно вычисляются. Рассмотрим линейную часть уравнений (0.9)-(0.10). Обозначим А] = т| + ¿-а] и выберем А1, В1,^1 таким образом, чтобы т] < 0 = 1, 2). Как следует из результатов работы [32] в этом случае в плоскости параметров (ш, е) существует область параметрического (комбинационного) резонанса определяемая неравенством е^(1)(а1) + о (е) < а1 + а2 — ш < е^(2)(а1) + о (е), (0.11) где б (1)Ы = [(^2 — т1) 1 т (с1с2) + (т1 + т^л/в] 1(2тт) + а — а12, ¿-(2)Ы = [(г, 1 — т1) 1 т (с1с2) — (т! + г, 1) у/в] /(2тЫ) + ^ «а.

В = 1т2(с1 С2) + Ие^) — 4(т1 т1)2.

В условиях (0.11) исследуется поведение решений системы уравнений (0.9)-(0.10). Положим в (0.9)-(0.10) = е½р^- ехр (гт), р^- > 0, = 1, 2),? ^ е-4 считая при этом д ^ = е½дз, (] = 1,., 4), и выделим главную часть уравнений &bdquo-медленных" переменных р1, р2, в1 = — Т1 — т2, в2 = 2т1 — т2. Сделаем это для конкретных значений параметров: дЗ = 22, 0- дЗ = 23, 0- дЗ = 55, 0- д4 = 6, 0- д33 = —1, 8. Остальные = 0, к = 1,., 4). Нормируем р., — ^ р., — (т^/а^)½, (а^- > 0). Выбрав теперь А1, В1, таким образом, чтобы т1 = т2 = 1, = а1, получим систему уравнений р1 = (—1 — Р2 + а12р2) р1 + С1 С0 В ((c)1 + 71) р2 + 61 С08(—©-2 + &-)Р1 Р2, (0.12) р2 = (— 1 + а21 Р2 — Р2) Р2 + С2 С0 В ((c)1 + 72) Р1 + 62 С0 В ((c)2 + в2) р1, (0.13) 1 = ?1 — 611Р2 + 612Р2 — С1 в1п ((c)1 + 71) Р2/Р1 — — С2 Б1п ((c)1 + 72) р1/р2 — 61 в1п (—(c)2 + в1) Р2 — 62 вт (©-2 + в) р1 /Р2, (0.14) 2 = ?2 + 621Р2 + 622 Р2 + 2С1 Б1п ((c)1 + 71) Р2 /Р1 —.

— С2 sin (6i + Y2) pi/p2 + 2bi sin ((c)2 + ei) P2 — 62 sin ((c)2 + ^2)P?/P2, (0.15) в которой a12 = -5.69- a21 = -0.705- 61 = 8.17- 62 = 4.39- c1 = a1 ¦ 0.3- c2 = a1 ¦ 0.014- bii = 0.138- 612 = 0.527- 621 = 0.454- 622 = 0.367- 71 = -0.222- 72 = 0.322.

Параметры и — характеризуют, соответственно, расстройку параметрического возбуждения и расстройку внутреннего резонанса. Это свободные параметры. Таким образом система зависит от трех параметров — $ 1, и а1.

Приведем некоторые результаты численного исследования системы (0.12)-(0.15). Система численно анализировалась с использованием программы Tracer [33]. В рассматриваемом случае область параметрического резонанса в плоскости ($ 1, а1) симметрична относительно оси а1. Она определяется функциями 7(1) (а1) и 7(2)(а1), приведенными в (0,11). Положим 61 = 62 = 0, т. е. исключим влияние внутреннего резонанса. Уравнения (0.12)-(0.13) в этом случае не зависят от (c)2. При малых а1 и любых решения (0.12)-(0.13) стремятся к единственному состоянию равновесия pi = р2 = 0, (c)1 = ©-о. При увеличении а1 и переходе границы области параметрического резонанса от указанного состояния равновесия ответвляется асимптотически устойчивое состояние равновесия вида p10 > 0, p20 > 0, (c)0. Дальнейшее увеличение а1 приводит к увеличению p10, p20. Отметим, что этому состоянию равновесия в уравнении (0.7) отвечает асимптотически устойчивый инвариантный тор.

Пусть теперь 61,62 выбраны согласно (0.12)-(0.15). При а1,^1 принадлежащих области устойчивости и произвольном $ 2 все решения (0.12)-(0.15) по pi и p2 стремятся к нулю. При пересечении границы неустойчивости от нулевого решения ответвляется устойчивый цикл, размеры которого увеличиваются с ростом а1. При а1,$ 1 принадлежащих области параметрического резонанса возможно сложное поведение траекторий. Так, при а1 = 37.571, = 5.0 существует хаотический аттрактор. Значения его ляпу-новских показателей равны А1 ~ 0.02- Л2 = 0- A3 ~ -0.01- Л4 ~ -10.14, а ляпуновская размерность dL ~ 3.00.

Отметим, что в п. 2.5 диссертации рассмотрено приложение указанных результатов к исследованию работы одного генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью.

В третьей главе рассматривается математическая модель идеального распределенного ротора постоянного сечения длины /, вращайщийся с постоянной угловой скоростью П, концы которого опираются на подшипники. Предполагается, что одна из опор ротора испытывает периодическое воздействие (вибрацию). Материал ротора считается наследственно вязкоупругим и подчиненным следующей реологической модели вязко-упругого тела [34]: a (t) = E f (є(і)) — R (t)f (e (t + t))dT где o (t), e (t) соответственно напряжение и относительная деформация, E — модуль Юнга, R (t) — функция релаксации, f (е) = е + f3e3 + f5е5 + • ••, (fj > 0) нелинейная функция деформации. Относительно функции R (t) (—то < т < 0) предполагается выполнение следующих условий: 0.

1 R (T)dT < 1, d2.

R{r) > 0, > °>

R (T) < Mo exp (7ot), (Mq, Yo > 0), T ^ -то.

0.16).

Математической моделью рассматриваемой механической системы является сле-16 дующая краевая задача д2и dt2 а ди dt 2 ди д2. dt ds2 д2и ds2.

22 д и ds2.

— R (t)exp (-iQT)b d2u (s, t + t) ds2 d2u (s, t + r) ds2 dT = 0,.

0.17) du Ts d2u 2 d2u — I Д (т)ехр (-гПт)6 ds2 0, s=0 d2 u (s, t + t) ds2 v1 exp (i^t + ?71), d2u (s, t + r) ds2 dT ds d2u ds2 d2u ds2.

— R (t)exp (-iQT)b d2u (s, t + t) ds2.

92w (s, i + r) ds2.

0.18) s=1 dT.

V2 exp (i^t + ?72),.

0.19) s=1 (0.20) где tt (s, t) = t) + iuy (s, t), l = л/—T, 0 < Pl, P2 ^ 1, 0 < 7l, 72 < 27 Г, UJ Є R.

Краевая задача приведена в безразмерных переменных s = z/l, u = u'/l, t = t'/to, Q = Q’to, to = m½l2(EIo)-½ o x x o 2×2 b o 2 2 x функции a (Z), b (Z) являются аналитическими в окрестности точки (= 0 и имеют вид а (() = ao + aiZ + ., b (() = 1 + Ьг (+ .

Здесь u'(z, t') = u’x (z, t') + iu’y (z, t') смещения средней линии ротора в направлении осей OXи OY соответственноось OZ системы координат OXYZ, связанной с инер-циальным пространством, направлена вдоль средней оси недеформированного ротораt' - времяm — погонная масса ротораaj = l4—2jm1—j (EI0)j—1aj, bj = (I0l2j)-1Ijf2j+1- Ij = J x2^j+l1 dx1 = f y^j+l1 dy1 моменты инерции поперечного сечения ротора относительно одной из осей соответствующих порядковфункция a'(() = a'0 + a1Z + • • • (aj > 0) характеризует внешнее нелинейное трениеVj, Yj (j = 1, 2) и ш характеризуют амплитуду, фазу и частоту внешних изгибающего момента и периодической силы.

Изучается возможность и условия возникновения в краевой задаче (0.17)-(0.20) хаотических колебаний (странных аттракторов).

Уравнение (0.17) является уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Следуя [23] дается определение фазового пространства для краевой задачи (0.17)-(0.20), пространства начальных условий и понятие решения.

Положим сначала v1 = v2 = 0 и исследуем устойчивость нулевого решения краевой задачи (0.17)-(0.20). Показано, что устойчивость нулевого решения (0.17)-(0.20) определяется характером расположения корней последовательности характеристических уравнений o ln (A) = Л2 + aoA + шП (1 — J R® exp ((A — %U)r)dr) = 0, (0.21) те n = 1, 2,., шп = вП, где вп — положительный корень уравнения chвп ¦ cos вп + 1 = 0. При этом потеря устойчивости уравнения (0.21) происходит по соответствующей функции en (s) = wn (s)/\wn (s)\b2, Wn (s) = (shвп + sinвп)(сМвп") — cos^s)) — (chвп + cos вп)^(вп$) — sinfens)).

Расположение корней удобно исследовать методом D-разбиений. Положив Л = га и выделив вещественную и мнимую части, имеем.

— а2 + -Rc (aQ)) = 0, a0 = «а где те т. е.

RC (а) = i R (-r)cos (ar)dr, RS (а) = / R (-r) sin (ar)dr, (0.22) составляющие нормированного комплексного модуля упругости материала Е*(а) = (1 — Яс (а) + гЯя (а)), который определяется экспериментально.

Отметим, что согласно условию (0.16) при, а > 0, 0 < Яс (а), Я^(а) < 1, Яс (а), Яз (а) ^ 0 при, а ^ то. Потеря устойчивости решений может происходить по одному или по двум собственным функциям еп (з). В последнем случае каждая функция еп (з) имеет собственную частоту колебаний. Такой случай в дальнейшем и рассматривается.

Пусть теперь = 0. Точку пересечения кривых, исходящих из Оп0 и Оп+10 обозначим (ап, Оп), а соответствующие им значения, а через ап и ап+1. Будем изучать поведение решений начально-краевой задачи (0.17)-(0.20) при изменении параметров в окрестности указанных точек. Введем для этого параметр 0 < е ^ 1 и положим, а = ап + ап1е, О = Оп + Оп1е, ^ = ^0е½, (] = 1, 2), ш = ш0 + её = 2ап — ап+1 + е¹. (0.23).

Изучим характер установившихся колебательных решений краевой задачи (0.17)-(0.20) возникающих в окрестности нулевого решения при потере его устойчивости в предположениях (0.23). Краевая задача (0.17)-(0.20) имеет в окрестности нуля фазового пространства четырехмерное 2п/ш-периодическое локальное устойчивое гладкое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяет поведение решений начально-краевой задачи (0.17)-(0.20). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поведение траекторий краевой задачи (0.17)-(0.20) на интегральном многообразии будет иметь вид.

1 = (гап + е1п + ¿-п12 + ?12г22)г1 + ?½щА{г1г2 ехр (г^) + ., (0.24).

-?2 = (¿-ап+1 + е1п+1 + ^21¹|2 + ^221²¹²)^2 + е½УоА2−2 ехр (—1шЬ) + ., (0.25) коэффициенты которой эффективно вычисляются через параметры краевой задачи (0.17)-(0.20).

В диссертации в качестве примера рассмотрено ядро вида а (т)-а.

Д (г) = р, ], ехр (-г) (0<а<1) 1(1 — а) где Г (1—а) — гамма функция Эйлера, (модифицированное ядро Абеля [34]). В результате будем иметь, а —г-т^- сов ((1 — а) аг^(а)),.

1 + сг2) 2 а —-т^г 8 т ((1 — а) аг^(а)).

1 + а2) —.

Положим, а = 0.84. Соответствующие значения параметра, а равны а1 = 2.888 и а2 = 21.424.

Выберем = 1.2, an1 = 1.2, a1 = 0.1, 61 = 0.21. Считая v10 = v20 = v0, вычислим коэффициенты системы (0.24)-(0.25). В (0.24)-(0.25) положим Zj = e1^-exp (iTj), (p^ > 0, j = 1, 2), t ^ e-1t и выделим главную часть уравнений &bdquo-медленных" переменных p1, p2, 0 =^t — 2 т! + т2. Пронормировав теперь p1 ^ 0.05 * p1, p2 ^ 0.02 * p2 получим следующую систему дифференциальных уравнений: p1 = (3.94 — p1 — 1.25p2)p1 + 1.8v0p1p2 cos (0 — 0.46), p2 = (4.7 — 1.41p1 — p2) p2 + 0.003v0p2 cos (—0 + 0.55), 0 = S + 2.28p2 + 1.93p2 — 3.6v0p2 sin (0 — 0.46) + 0.003v0p1/p2 sin (-0 + 0.55), зависящую от двух параметров v0 и S.

Система численно анализировалась при разных значениях параметров y0 и S с использованием программы Tracer [33]. Система может иметь как устойчивые состояния равновесия, периодические решения, так и хаотические колебания. Так, при S = 2.1, изменяя v0 имеем следующую динамику. При v0 = 2.8 имеем устойчивое состояние равновесия с координатами p10 = 1.624, p20 = 0.991, 00 = 8.329. Затем из состояния равновесия при v0 = 3.25 происходит рождение цикла и далее при v0 = 4.73, v0 = 4.961, v0 = 4.997 происходит серия бифуркаций удвоения периода. В результате чего при v0 = 5.05 образуется хаотический аттрактор. Его ляпуновские показатели равны А1 ~ 0.38- А2 = 0- А3 ~ -7.195, а ляпуновская размерность dL ~ 2.053. При этом переменная 0 неограниченно возрастает при t ^ то.

В четвертой главе на примере одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом изучается поведение решений нелинейной динамической системы в случае двухчастотного параметрического резонанса.

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом x (t) + x (t) + k/ (x (t — h (t, e))) = 0, (0.26) где k > 0 некоторый параметр, / (x) = x + /2×2 + /3×3 + ., |x| < x0 гладкая функция, h (t, e) = h (1 + ea1 cos (w1t + в1) + ea2 cos (w2t + в2)) — величина запаздывания аргумента, в которой h,, aj > 0- 0 < в < 2n, j = 1, 2- 0 < e ^ 1.

Изучается возможность и условия возникновения в уравнении (0.26) сложных, в том числе хаотических, колебательных решений, принадлежащих некоторой фиксированной окрестности нулевого решения уравнения (0.26) и обусловленных двухчастот-ным изменением запаздывания малой амплитуды.

Положим в (0.26) а^ = 0 = 1, 2) и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (0.26).

Л + 1 + к ехр (—АЛ,) = 0. (0.27).

Выберем к = ко таким образом, чтобы уравнение (0.27) имело корни Л = ±-гст0 (сто > 0), а остальные корни уравнения (0.27) при этом имеют отрицательные вещественные части. Положим к = к0 + и обозначим Л (е), Л (е), (Л (е) = гст0 + еЛ1 + .) соответствующие корни уравнения (0.26). Считаем, что к1 < 0. При этом И, е Л1 < 0.

Пусть теперь а^ = 0 = 1, 2). Положим ш^- = 2ст0 + (8j ~ 1,^' = 1, 2). Таким образом рассматривается случай двухчастотного параметрического резонанса.

В сформулированных предположениях уравнение (0.26) имеет в окрестности нуля фазового пространства С (-Л (?, е), 0) локальное экспоненциально устойчивое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяется поведением решений некоторой двумерной нелинейной периодической системы (нормальная форма уравнения (0.26)).

Приведем вид и численные результаты системы для конкретного значения параметров. Положим в (0.26) в = в2 = 0, Л = 3п/4, /2 = 0.1, /3 = -1, V =1, к1 = -1. При этом ко = у/2, Со = 1. В результате с учетом некоторых нормировок нормальная форма уравнения (0.26) примет вид х = (-1 + 1.6826а1 + 1.6826а2 еов (-?))ж+ (-0.1906 + 1.6826а2 й1п (^))у + (х2 + у2)(-х + 7.343у), у = (1.6826а2 й1п (^) + 0.1906)х+ + (-1 — 1.6826а1 — 1.6826а2 еов (*))у + (х2 + у2)(-у — 7.343х).

Положим сначала параметр а2 = 0 и будем изменять параметр а1 от нуля в сторону возрастания. Это соответствует периодическому воздействию на систему. При а1 = 0.6069 нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, из которого рождаются два ненулевых устойчивых состояния равновесия. Зафиксируем теперь а1 = 0.8488 и будем изменять а2. Из этих ненулевых состояний равновесия одновременно бифур-цируют при а2 = 4.244 • 10−3 два устойчивых цикла. Состояния равновесия при этом теряют устойчивость. Дальнейшее увеличение параметра а2 приводит к увеличению амплитуды колебаний периодических решений.

При а2 = 1.1972 оба цикла теряют одновременно устойчивость, и неустойчивое многообразие первого цикла пересекается с устойчивым многообразием второго, и, наоборот, неустойчивое многообразие второго цикла пересекается с устойчивым многообразием первого. Это приводит к образованию странного аттрактора (хаотического режима). Для этого случая с помощью программы Tracer [33] были вычислены ляпу-новские показатели и ляпуновская размерностьAi ~ 0.1932, 2 «-2.6211, dL ~ 1.073.

Дальнейшее увеличение параметр а2 приводит к исчезновению хаотического аттрактора и образованию периодического решения. Если теперь уменьшать а2, то отмеченный выше странный аттрактор возникает из периодического решения через серию бифуркаций удвоения периода.

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) Вторая Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2005;

2) Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20), Ярославль, 2007;

3) Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Воронеж, 2008;

4) Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Воронеж, 2012;

5) Международная научная конференция, посвященная 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского гос. университета им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2012.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [35−47]: 5 статей и 8 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Заключение

.

В работе исследованы условия возникновения периодических и двухчастотных решений системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ланга-Кобаяши, предложенной в качестве математической модели полупроводникового лазера. Построены асимптотические формулы указанных колебательных решений. Выявлены условия возникновения хаотических колебаний в нелинейном уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, являющимся математической моделью генератора электромагнитных колебаний с элементом запаздывания в цепи обратной связи.

Исследована математическая модель динамики распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает периодическое воздействие. Выявлены условия возникновения колебательных решений, в том числе и хаотических. Исследовано влияние двухчастотного параметрического воздействия на нелинейную динамическую систему, в случае основного параметрического резонанса. Выявлены условия генерации хаотичесих колебаний.

Наконец, для каждой из рассматриваемых в диссертации математических моделей построены асимптотические формулы полученных колебательных решений.