Применение математических методов для интегрирования нелинейных уравнений теории гравитации и анализ их решений

С помощью математического моделирования [1] изучают разнообразные явления природы и приближенно описывают их на языке математических уравнений. Однако при разработке математической модели изучаемых явлений невозможно учесть все физические факторы процесса, поэтому приходится выделять главные и отбрасывать второстепенные. Затем, разработав аналитический или численный метод решения полученных уравнений, составляют программы и, проводя вычислительный эксперимент [2], изучают явление в целом. Для этого используются компьютеры, которые достигли производительности больших вычислительных машин.

Необходимо отметить, что при выборе главных факторов приходится учитывать зависимость этих факторов от изучаемого процесса. Поэтому разработка математической модели требует от исследователя высочайшей квалификации, поскольку для решения многих практических и уникальных проблем приходится разрабатывать новые модели и методы исследования.

Современные математические модели, описывающие гравитационные явления в природе, являются одними из самых сложных, так как они используют системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и полевой переменной в этих уравнениях является вещественный тензор второго ранга в четырехмерном псевдоримановом пространстве. Поэтому интегрирование уравнений гравитации и анализ их решений представляют собой с математической точки зрения очень трудные задачи, общих методов решения которых в настоящее время не существует. В результате этого для решения каждого типа задач оказывается необходимым разрабатывать частные математические методы, с помощью которых иногда удается провести интегрирование уравнений и их анализ.

Следует отметить, что применение численных методов решения уравнений гравитации и проведение вычислительного эксперимента [3] в области гравитации ограничено случаями слабых полей и медленных движений источников, создающих эти поля. Основной причиной этого является большое число слагаемых в неупрощенных уравнениях теории гравитационного поля. Как показано в нашей работе [4], в общем случае, когда отличны от нуля все десять компонент метрического тензора и этот тензор зависит от времени и всех трех пространственных координат, каждое из десяти уравнений теории Эйнштейна в координатном базисе содержит более десяти тысяч слагаемых. Вполне понятно, что не только решать эти уравнения, но даже просто выписать их не в символическом виде, а в явном виде (относительно компонент метрического тензора), без использования системы аналитических вычислений на компьютере не имеет смысла. А так как для анализа гравитационных явлений обычно требуется знание метрического тензора в очень большой пространственно-временной области, то применение вычислительного эксперимента для изучения релятивистских гравитационных явлений в настоящее время не получило широкого распространения, несмотря на резко возросшую мощь вычислительной техники.

Именно поэтому одной из актуальнейших задач в области теории гравитации в настоящее время является совершенствование уже существующих и разработка новых математических методов для исследования математических моделей теории гравитации.

В настоящей диссертации использованы некоторые новые математические методы, для решения конкретных задач теории гравитации и математического моделирования процессов, происходящих в гравитационных полях. Построены новые математические модели процессов, происходящих в гравитационных полях. Разработан новый математический метод для интегрирования нелинейных уравнений теории гравитации и анализа их решения.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней рассматриваются различные математические модели теории гравитации и обсуждаются точные решения систем нелинейных дифференциальных уравнений гравитационного поля, которые используются в дальнейших главах.

Во второй главе диссертации проведен математический анализ пространства — времени, создаваемого сферически симметричным безмассовым скалярным полем. Гравитационные свойства такого источника ранее не исследовались и впервые это было сделано в наших работах [5−8]. В этом случае нелинейные уравнения геодезических допускают аналитическое решение и позволяют найти законы движения и уравнения траекторий для массивных и безмассовых частиц.

В § 5 нами проинтегрированы уравнения геодезических для безмассовых частиц и проанализированы законы их радиального и нерадиального движений. На основе этого нами впервые обнаружено существование в теории Эйнштейна сил гравитационного отталкивания, которые возникают при нерадиальном движении безмассовых частиц (фотонов, нейтрино) в гравитационном поле, создаваемом скалярным полем.

В § 6 нами проинтегрированы системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение массивных частиц в гравитационном поле безмассового скалярного источника, и найдены их законы движения и уравнения траекторий. Показано, что на нерадиаль-но движущиеся массивные частицы в этом гравитационном поле также действуют силы гравитационного отталкивания. Кроме того впервые обнаружено, что на покоящиеся частицы это гравитационное поле вообще не оказывает никакого действия и они остаются в покое. Отмечено, что ещё одним точным решением уравнений Эйнштейна, обладающим таким свойством, является метрика Брдички [9].

В § 7 проведены анализ и выбор системы уравнений, которые описывают распространение электромагнитных лучей в гравитационном поле сферически симметричного источника. На основе этих уравнений в § 8 разработаны алгоритмы для численных расчетов искажений, вносимых гравитационным полем скалярного источника в угловые координаты звёзд при астрометрических измерениях. Проведенные по этому алгоритму численные вычисления позволили нам [8] получить величину угловых искажений 6(р в зависимости от параметров задачи и тем самым выработать способ исключения этих искажений из данных астрометрических измерений.

В § 9 на основе проведенного нами анализа [10, 11] перечислены основные наблюдательные проявления предсказываемых эффектов в гравитационном поле сферически симметричного источника и сформулированы рекомендации по их поиску в астрофизических условиях.

В третьей главе диссертации проведен анализ геодезических в гравитационном поле массивной скалярной звезды. В § 10 нами [11] решена система нелинейных уравнений геодезических для безмассовой частицы, движущейся в гравитационном поле звезды, имеющей массу и скалярный заряд, и найдены уравнения ее траектории в квадратурах.

В § 11 аналогичная задача нами решена для массивной частицы. На основе полученных решений в § 12 проведен анализ и найдено условие д2 < 3при выполнении которого у безмассовых частиц возможны круговые орбиты в гравитационном поле массивной скалярной звезды.

В § 13 построена математическая модель искривления лучей света в гравитационном поле массивной скалярной звезды, в § 14 нами разработан алгоритм и проведены численные расчеты гравитационного искривления световых лучей, проходящих мимо этой звезды [11].

В четвертой главе анализируются гравитационные эффекты в пространствах специального вида.

В § 15 метод Боголюбова — Митропольского применяется для построения асимптотического решения уравнений геодезических в пространстве Вайдья. Полученные нами по этому методу приближенные уравнения траектории частиц в гравитационном поле излучающих звезд очень удобны для проведения численных вычислений.

В § 16 для поиска не приближенного, а точного решения этой задачи в случае радиального движения частиц нами был применен [12] параметрический метод, впервые разработанный в работе [13].

В последнем § 17 проведено применение тензорных соотношений, доказанных в работах И. П. Денисовой [14], к расчету взаимодействия гравитационного поля с электромагнитной волной в кольцевом лазере. На основе полученных результатов нами [15] предложен эксперимент по проверке принципа эквивалентности Эйнштейна для фотонов с относительной точностью до Ю-21, что на семь порядков превышает точность планирующихся в США космических экспериментов по проверке принципа эквивалентности в рамках программы Gravity-Probe-B [16].

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации докладывались на.

XV Международной конференции по Общей теории относительности и теории гравитации, Декабрь 16−21, 1997, (Pune, Индия),.

IX научной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной восьмидесятилетию академика РАН Александра Андреевича Самарского, Москва, МГУ, 22−25 февраля 1999 года,.

X Российской гравитационной конференции «Теоретические и экспериментальные проблемы Общей теории относительности и гравитации», Секция «Релятивистская астрофизика и космология», Владимир, 20−27 июня 1999 года,.

Боголюбовской конференции по проблемам математической и теоретической физики, (Москва — Дубна — Киев), 27 сентября — 6 октября 1999 года и опубликованы в работах [5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту.

1. Решена задача о движении массивных и безмассовых частиц в пространстве со скалярным полем. Впервые обнаружено, что на не-радиально движущиеся частицы в этом пространстве действуют силы гравитационного отталкивания. Кроме того, впервые обнаружено, что на покоящиеся частицы это гравитационное поле вообще не оказывает никакого действия и они остаются в покое.

2. Построена математическая модель рассеивающей гравитационной линзы и на основе вычислительного эксперимента впервые получена зависимость от прицельного расстояния для угловых искажений лучей света в гравитационном поле скалярного источника.

3. Решены задачи о движении массивных и безмассовых частиц в гравитационном поле массивной скалярной звезды, найдены и проанализированы условия отсутствия у фотонов круговых орбит.

4. Построена математическая модель распространения лучей света в гравитационном поле массивной скалярной звезды и на основе вычислительного эксперимента впервые получена и проанализирована зависимость угла отклонения от прицельного расстояния и соотношения между массой звезды и ее скалярным зарядом.

5. Развит метод Боголюбова-Митропольского для исследования движения частиц в пространстве Вайдья и на основе этого метода построены приближенные решения нелинейных уравнений, описывающие нерадиальное движение массивных частиц в гравитационном поле излучающей звезды.

6. На основе параметрического метода найдено решение нелинейных уравнений, описывающих радиальное движение массивных и безмассовых частиц в пространстве Вайдья.

7. На основе методов тензорной алгебры проведен расчет взаимодействия гравитационного поля с электромагнитной волной в кольцевом лазере и получена оценка точности измерений в эксперименте по проверке принципа эквивалентности Эйнштейна для фотонов.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Денисовой Ирине Павловне за предоставление интересной темы и полезные советы, а также всему коллективу кафедры прикладной математики за ценные замечания при обсуждении полученных результатов, способствовавшие успешной работе над диссертацией.