Затухание волн в полуограниченных телах и локализация колебаний

В настоящее время существуют разнообразные акустические устройства, широко использующие слоистые упругие элементы пластинчатой структуры. Методы расчета таких элементов зачастую опираются на прикладные теории слоистых пластин. Однако такие теории оказываются мало пригодны в случае высокочастотных колебаний, когда длина волны становится соизмерима с толщиной пластины. Такие ситуации возникают, если частота внешнего воздействия на элемент равна или больше первой критической частоты (частоты запирания) неограниченной полосы.

В диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области, созданию алгоритма такого подбора. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И. И. Воровичем [8]), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема, тесно связанная с первой, — возможность создания узконаправленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие слоистые элементы. Главное внимание в обеих проблемах уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки. В случае реализации таких возможностей можно использовать модель неограниченной пластины, даже если материал пластины является достаточно добротным.

Большой вклад в развитие математической теории гармонических волн в полуограниченных телах внес И. И. Ворович [6, 7, 8] благодаря тонким исследованиям свойств дисперсионных множеств и связанных с этими свойствами таких проблем, как условия существования решений с конечной энергией, единственность решения и принципы его выбора.

Важным циклом работ аналитического направления для изучения волновой картины в слоистых средах являются работы [24, 25, 26] по применению матричной технологии в теории слоистых сред: каждый слой характеризуется своей матрицей, определяемой параметрами слоя. Для определения характеристик волны, прошедшей несколько слоев, соответствующие матрицы следует перемножить. В терминах произведения матриц характеризуется также и дисперсионное уравнение.

Несмотря на то, что проблеме распространения волн в неоднородных телах посвящено большое количество работ [1, 2, 3, 4, 17, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], вопросу поведения волновых полей в окрестности критических частот посвящено сравнительно небольшое число исследований. Одним из первых таких исследований, где задача математически изучалась достаточно полно, была работа [8]. Для твердых волноводов типа цилиндра математическая сторона вопроса детально была исследована в [13].

Проблема затухания нормальных волн в однородной полосе на основе метода комплексных модулей упругости (комплексных скоростей РН и PS-волн) подробно исследована в [5, 22], однако из поля зрения авторов этих работ выпал особый случай — затухание волн в окрестности критических частот. Этот случай для однородного слоя детально изучен в [10], а для слоя, лежащего на поверхности идеальной акустической среды — в работе [20]. В [19] рассмотрена задача об определении амплитудно-частотной характеристики упругой полосы, лежащей на поверхности жидкости на критических частотах при воздействии на внешнюю лицевую поверхность пластины сосредоточенной, периодически меняющейся нагрузки.

В диссертационной работе обосновываются и защищаются следующие новые выводы:

— методы определения коэффициента затухания в поперечно-неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями;

— реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах;

— построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний;

— реализация алгоритма для трехслойной пластины;

— исследование затухания нормальных волн в двухслойной полосе, лежащей на поверхности акустической среды;

— исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.

Актуальность поставленных и исследованных задач вытекает из недостаточного уровня их исследования и практической значимости для создания устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие стенки.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе на основе трехмерных уравнений теории упругости рассматривается задача о гармонических колебаниях поперечно неоднородной пластины, физико-механические свойства которой описываются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Строится общее представление решения уравнения стационарных колебаний.

Во второй главе задача при однородных граничных условиях на лицевых поверхностях пластины сведена к двум спектральным задачам с парой спектральных параметров, роль которых выполняет круговая частота и волновое число. Особое внимание уделяется критическим частотам, при которых в спектре волновых чисел существуют кратные собственные значения.

Дается их классификация и получены дифференциальные уравнения, описывающие распределение критических мод в области, занятой пластиной.

В третьей главе рассматриваются колебания трехслойной пластины симметричного строения, при этом исследуется затухание нормальных волн на критических частотах методом, основанном на введении комплексных упругих характеристик. Решается задача локализации колебаний на критической частоте путем подбора распределения амплитуды внешней нагрузки.

В четвертой главе рассматривается задача о распространении и затухании волн в упругой двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости, на критических частотах. Решается проблема локализации колебаний таким образом, чтобы подвить распространение звуковой энергии вдоль пластины. Методом стационарной фазы изучаются возможности формирования диаграмм направленности звукового давления в акустической среде. Построенная теория иллюстрируется серией расчетов для систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [27,28,29,30].

Работы [27, 29, 30] выполнены совместно с научным руководителем Ю. А. Устиновым. Ему принадлежит общая постановка задачи и рекомендации по выбору метода исследования.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 01−01−454, 04−01−69 и программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» НШ-2113.2003.1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Суммируя результаты проведенных исследований, можно заключить, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Для поперечно-неоднородных пластин разработаны численные и аналитические методы определения коэффициентов затухания нормальных волн на критических частотах.

2. На основе разработанных методов исследовано затухание нормальных волн в трехслойной полосе симметричного строения.

3. Для трехслойной полосы разработан алгоритм подбора распределения амплитуды внешней нагрузки, приложенной к одной из лицевых сторон, позволяющий локализовать колебания полосы в окрестности приложения нагрузки.

4. Разработаны аналитические и численные методы определения коэффициента затухания нормальных волн для поперечно-неоднородной полосы, лежащей на поверхности акустической среды.

5. Для двухслойной пластины, лежащей на поверхности воды, проведена серия расчетов, позволившая проверить эффективность полученных формул для коэффициента затухания.

6. Путем построения характеристик направленности исследовано влияние характера распределения давления на поведение давления в дальнем поле на различных частотах. Установлены некоторые закономерности влияния параметров задачи на структуру акустического поля. Построенная теория и разработанные на ее основе численные и аналитические методы могут быть использованы при проектировании устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие слоистые стенки.