Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса

Абелева (2+1)-мерная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Она задается гиперболическим функционалом действия, определенным на парах (А, Ф), где, а — электромагнитный калибровочный вектор-потенциал, а Ф — комплексное скалярное поле Хиггса на плоскости С. Функционал действия имеет стандартный вид интеграла по времени от разности кинетической энергии (зависящей от производных компонент, А и Ф по времени) и потенциальной энергии (зависящей только от положения в конфигурационном, пространстве). Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.

Как известно, при температурах, близких к абсолютному нулю, некоторые металлы и сплавы начинают вести себя как сверхпроводники (см. 6]). Иначе говоря, электрический ток течет по ним без сопротивления. (Первым такое явление наблюдал Камерлиш>Оинес в 1911 г.) В дальнейшем было обнаружено, что при возникновении сверхпроводимости внешнее магнитное поле «выталкивается» из сверхпроводника. Этот эффект, называемый эффектом Мейсснера-Оксенфельда в честь обнаруживших его в 1933 г. физиков, — один из главных практических критериев сверхпроводимости.

Если увеличивать внешнее магнитное поле, то при некотором критическом значении произойдет «пробой» сверхпроводника и магнитное поле проникнет в его толщу. Этот процесс может происходить по двум различным сценариям, в соответствии с чем все сверхпроводники делятся на два разных класса. В сверхпроводниках I рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие металлы) пробой происходит скачком и одновременно по всей толще сверхпроводника. В сверхпроводниках II рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие сплавы) этот процесс происходит постепенно, небольшими дискретными скачками. Как только внешнее магнитное поле превысит первое критическое значение, внутри сверхпроводника появляются трубчатые зоны смешанной проводимости — трубки тока, направленные вдоль внешнего магнитного поля. В центре этих трубок вдоль так называемых абрикосовских струн (или абрикосовских нитей) имеется нормальная проводимость, внутри трубок она является смешанной, а вне их сохраняется сверхпроводимость. Абрикосовскис нити называют еще вихревыми, поскольку по поверхности трубок (вокруг их осей) текут незатухающие вихревые токи. С увеличением внешнего магнитного поля число трубок увеличивается и после второго критического значения сверхпроводник превращается в нормальный проводник.

На основе теории фазовых переходов Гинзбург и Ландау построили в 1950 г. феноменологическую теорию сверхпроводимости [4]. Энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, в этой теории равна а|Ф|2 + (0.1).

J I 87 Г 4т.

Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электро—* магнитный вектор-потенциал, В = rot, А — магнитная индукция, ей га — соответственно заряд и масса электрона, h — постоянная Планка, с — скорость света, о<0и6>0 — константы, характеризующие материал сверхпроводника.

Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели, описываемой лагранжианом (0.1) в предположении, что величины, А и Ф не зависят от одной из координат (например, от х3). Перемасштабируя координаты и величины Ф и А, можно избавиться от физических констант и свести выражение (0.1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (0.2). Входящий в него параметр Л4 при такой замене оказывается равным где х — параметр1 Гинзбурга-Ландау. Значения ж < ≅ (или, А < 1) отвел/2 1 чают сверхпроводникам первого рода, а >с > (или, А > 1) — второго. у2.

Как уже говорилось, во втором случае возникают трубки тока, открытые А. А. Абрикосовым в [1] (см. также [2]). Критический случай, А = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному случаю между сверхпроводниками первого и второго рода.

Теория Гинзбурга-Ландау не объясняла физического смысла параметра порядка Ф. Это удалось сделать благодаря построению микроскопической теории сверхпроводимости в 1957 г. Бардиным, Купером и Шриффером [10] и независимо в 1958 г. Н. Н. Боголюбовым [3]. В этой теории феномен сверхпроводимости возникает благодаря образованию куперовских пар — квазичастиц, каждая из которых представляет собой связанное состояние двух электронов. Параметр порядка Ф интерпретируется при этом как нормированная конденсатная волновая функция куперовских пар. Л. П. Горьков в 1959 г. показал (см. [5]), каким образом теория Гинзбурга-Ландау выводится из теории Бардина-Купера-Шриффера.

Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает в некоторых моделях квантовой теории поля (см., например, [17]) и в космологических теориях (см., например, [12]). Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно упомянуть использование решений статической модели Таубсом (см. [27]) при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.

Двумерная статическая модель Хиггса.

Двумерная абелева модель Хиггса задается следующим функционалом энергии:

У (А, Ф) = 11 + + ^(|Ф|2 — I)2) йхйу, (0.2) к2 где, А = —гАд, х — ъАъйу — калибровочный потенциал с гладкими веществен-нозначными коэффициентами А, А2 на К2, Ф = Фх + гФг — поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначной функцией на плоскости В&-2, Л > 0 -константа. Через := дА<1 — <92Ах обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (Лх, Л2). Здесь и далее д := дх, <92 := ду.

Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:

А I—У, А = А — %<1х, Ф 1—> Ф = е{хФ, где х — гладкая вещественнозначная функция на М2.

Интегрируя по частям, мы можем переписать функционал действия V в виде Богомольного:

У = \+ Т (^2Ф2 — А2Фх))2+ к2 ((<92Фх + А2Ф2) ± (дгФ2 — ЛхФх))2 + ± ^(|Ф|2 — 1))2}сМ/±

Р12<�Ь (1у + У (|Ф|2 — 1) Чхйу. (0.3).

К2 К2.

Далее мы рассматриваем лишь критический случай Л = 1 (см. [11]), наиболее интересный с математической точки зрения. В этом случае правая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных слагаемых и 1 члена — ]' Р12с1х (1у. При некоторых дополнительных условиях па поведение ^ к2 компонент поля (А, Ф) в бесконечности можно показать, что последний член является топологическим инвариантом поля (А, Ф).

Более подробно, допустим, что функция Ф не имеет нулей вне круга достаточно большого радиуса До. Тогда степень N отображения Ф/|Ф|: —> окружности 5д радиуса II > Щ не зависит от выбора Я и называется вихревым числом поля (А, Ф).

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. е ь^ж2)-,.

2. |Ф| -> 1 при г := у/х2 + у2 -«• сю:

3. |^ЛФ| ^ С/г1+7 для некоторого 7 > 0.

Тогда вихревое число N можно вычислить, пользуясь формулой (см. [11]) I = N. ж2.

Очевидно, что оно инвариантно относительно калибровочных преобразований.

Фиксируем вихревое число n ^ 0. Тогда из формулы Богомольного следует, что У (А, Ф) ^ 7гЛГ и минимальное значение V (равное 7 г ТУ) достигается на решениях системы уравнений.

151Ф1 + А1Ф2 = д2Ф2 -А2Ф1, а2Ф1 + Л2Ф2 = -Э1Ф2 + А&Х, (0.4) называемых вихревыми. Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований.

Введем на плоскости (ж, у) комплексную координату г = х + гу и обозначим, как обычно, д := дг :=)-(дх — гд2) и д := дЕ := ^{дх + 1д2).

Полагая Л ~{А — ^2), можно записать первые два уравнения из системы л.

0.4) в более компактном виде дФ = гЛФ. (0.5).

Для полноты заметим, что в случае N < 0 минимальное значение V, равное 7г|ЛГ|, достигается на решениях похожей системы уравнений, называемых антивихревъши. Замена Л{г) ~ —Л (—г), Ф (г) — Ф (—г) сопоставляет решению (Л, Ф) вихревых уравнений решение (А, Ф) антивихревых уравнений и обратно. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся случаем N ^ 0.

В работе [11] доказана следующая теорема существования и единственности решений вихревых уравнений.

Теорема (Таубс). Пусть N ^ 0. Пусть • • •, ~ произвольные не обязательно различные) точки на комплексной плоскости. Тогда существует (гладкое) решение (^1,^2, Ф) вихревых уравнений такое, что нули Ф совпадают с точками ,., и ф (М) ~ - ^-Г' в окрестности каждой из точек Ху Здесь п^ — кратность в наборе ., Ядг}, с7- — ненулевая константа. Для этого решения |Ф| экспоненциально стремится к 1 при г —> оо, а |(91 — гА^Ф) и 1(^2 — «А2)Ф| экспоненциально убывают. Более точно,.

1аФ < С (1 — |Ф|) для некоторого С > 0 и для любого 7 > 0 существует С (7) > 0 такое, что.

1 — |ф| < с (7)<�г (1-^2!

Вихревое число этого решения равно N. Решение с указанными свойствами единственно с точностью до калибровочной эквивалентности. ?

Решение, существование которого устанавливается этой теоремой, называется N-вихревым.

Пространство модулей Лг-вихрс.вых решений, обозначаемое через тИдг, по определению является множеством классов калибровочной эквивалентности ЛГ-вихревых решений. По теореме Таубса это пространство можно отождествить с ЛГ-й симметрической степенью б^С, т. е. с множеством неупорядоченных наборов из N комплексных чисел (совпадающих с нулями Ф). Множество ЭмС можно, в свою очередь, отождествить с пространством С^, сопоставляя каждому набору ., полином р (г) с нулями Zl,., и старшим коэффициентом 1: р{г) = гн) = + вгг" -1 + • • • 4- + Зм.

Числа ?1,., могут служить координатами на пространстве модулей Л4N. Введем, кроме того, вещественные координаты д/1, /х = 1,2,., полагая д2−7-1 = Яе Sj и д2−7 — 1 т Sj для у = 1,., А7″ .

Существование и единственность (с точностью до калибровочной инвариантности) Л^-вихревых решений были доказаны Таубсом [26] в 1980 г. В [11] доказано также, что все критические точки (А1,А2,Ф) функционала (0.2) при Л = 1, задаваемые гладкими функциями и такие, что У (Ах, А2, Ф) < оо, исчерпываются N-вихревыми и Ы-антивихревыми решениями. Таким образом, для Л = 1 все решения статической модели с конечной энергией описаны. В частности, не может существовать решения типа «вихрь-антивихрь», т. е. решения, которое в окрестности одного из своих нулей устроено как вихрь (Ф ~ С (2 — 2оУ), а в окрестности другого — как антивихрь.

Следует отметить, что при Л ф 1 о решениях статической модели известно гораздо меньше. Предполагается, что статических решений типа И-вихрей с нулями в различных точках в этих случаях не существует, поскольку покоящиеся вихри притягиваются при Л < 1 и отталкиваются при Л > 1, однако последнее утверждение не получило пока строгого обоснования. Доказано (см. [18]), что при всех Л > 0 функционал V имеет критические точки, аналогичные Лг-вихревым решениям, все нули которых совпадают. Эти критические точки имеют вид.

Динамическая задача. Адиабатический принцип.

Динамическая (2−11)-мерная модель Хиггса задается функционалом действия.

Здесь.

1. Ф (£, х, у) — гладкая комплексиозпачная функция;

2. компоненты связности Ау (^, х, у) — гладкие вещественнозначные функции, з~ 0,1,2;

3. DjФ : — с^Ф — гА, Ф — ковариантная производная, у = 0,1,2;

4. Fjk := дjAk — дькомпоненты формы кривизны, = 0,1, 2, .у ф к, с д0 = ди д = дХ) д2 = ду.

5. А > 0 — константа (параметр модели).

Функционал действия можно представить в стандартной форме —х2па (г)/г, А2 = х1па (г)/г,, Ф = е1пв-щггде г =.

Ч К2.

АФ|2 + р2Ф|2 +¹²² + - I)2) У^у. (0.6) где потенциальная энергия^{задается} формулой (0.2), а кинетическая энергия Т равна.

Г = ^ / (1^оФ|2 +^о21 + Шу. к2.

• Этот функционал инвариантен относительно динамических калибровочных преобразований вида + Ф = е1хФ, где х-, у) ~~ гладкая вещественнозначная функция.

Выбором калибровки можно добиться выполнения условия Ао = 0 (так называемая временная калибровка). В этом случае.

Тем самым, функционал Т определяет метрику на пространстве ЛАы, которая называется кинетической. Дейтсвительно, пусть фо? А^дт, а V — касательный вектор к М. м в точке (¿-о. Рассмотрим произвольную гладкую кривую на М-х (т.е.: (—5,6) —> .Млг) с касательным вектором V при 1 = 0 (т.е. 0) = (5о, 0(0) = у) — Ей можно сопоставить гладкую кривую из представителей классов т. е. кривую из статических решений (А1 (?), Лг (^), Ф (£)), так, чтобы производные с^-Аь <�Э*Ф в точке? = 0 были квадратично интегрируемы. Тогда можно положить.

1М12 = (РМЬ + РгА^Ь + ||^2|||а)и.

Остается проверить, что определенная таким образом метрика не зависит от выбора гладкой кривой <3(?).

Точному описанию кинетической метрики посвящена первая глава диссертации. Основной результат, который в ней доказывается — это следующая теорема.

Теорема 1. Построенная указанным образом кинетическая метрика корректно определена и является римановой метрикой на пространстве люду-лей Л4мЭта метрика является гладкой в симметрических координатах ?1,.

Уравнения Эйлера-Лагранжа для действия ¿->(Д Ф) имеют вид:

1ш (Ф Д) Ф), ЬпГФРхФ),.

0.7).

1ш (ФР2Ф),.

Они инвариантны относительно динамических калибровочных преобразований.

Задача состоит в том, чтобы описать пространство модулей решений приведенных уравнений, называемых для краткости динамическими. В случае вихревых решений, являющихся статическими решениями указанных уравнений, такое описание дается теоремой Таубса. Однако рассчитывать столь же явное описание пространства модулей в общем случае не приходится.

Тем не менее, в случае, А = 1 можно попытаться получить приближенное описание динамических решений, следуя идее Мэнтона (см. [14]), высказанной им для сходной задачи о динамике магнитных монополей (возникающей в нсабелевой (З-К)-мсрной модели Хиггса с калибровочной группой 3112). Рубак ([19]) впервые применил эту идею для изучения динамических решений (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса. Указанная идея, которую можно называть адиабатическим принципом, состоит в том, чтобы рассматривать геодезические на пространстве модулей статических решений Л^дг относительно кинетической метрики в качестве приближения к динамическим решениям уравнений (0.7), описывающим траектории системы из N медленно движущихся вихрей. Несмотря на то, что идея Мэнтона основана на эвристических соображениях, она вызвала к жизни целый ряд работ, посвященных додхАх + д0д2А2 — ААо = д20Ах — дАх + дхд2А2 — дхдоАо = д§ А2 — дА2 + д2дА — д2д0А0 =.

И2 — - £>|)Ф = описанию геодезических на пространствах статических решений. Вторая глава настоящей работы посвящена обоснованию адиабатического принципа.

Первая попытка обоснования адиабатического принципа была предпринята в статье [23] для близкой модели Хиггса с масштабным параметром, А ф 1. Несмотря на то, что при внимательном чтении этой статьи в ней обнаружились некоторые пробелы, она оказалась для нас весьма полезной и в целом мы следуем предложенному в ней подходу. (Среди других работ, пося-щенных обоснованию адиабатического принципа, отметим статьи [24]) и [25], относящиеся к динамике магнитных моиополей и вихрей на сфере.).

Главное отличие обоснования, приведенного в диссертации, от обоснования, приведенного в [23], состоит в новом доказательстве центрального результата — теоремы о существовании решения на достаточно длинном промежутке времени.

Точный результат, доказанный во второй главе, coctopit в следующем.

Теорема 2. Пусть Q = Q® есть параметризация отрезка произвольной геодезической Q: [0-ть] —> A4n иа пространстве модулей .Мдг относительно кинетической метрики с выбранным на ней натуральным параметром т.

Тогда найдутся:

• полоо/сительные числа т ^ ть, ?q, М;

• заданная па отрезке [0, то] гладкая кривая (a?i®, а2(т), ф (т)) в пространстве статических N-вихревых решений, калибровочный класс которой [ai®, скгС7″), ф (т)] при каоюдом фиксированном т? [0, ть] совпадает с классоль Q (t)? A4n? обладающие следующими свойствами.

Для любого? ? (0- ео) существует решение (Aq (i), А (i), A^it), Ф£(i)) уравнений Эйлера-Лагранэ/са (0.7) — заданное на отрезке t? [OjTi/e], отклопение которого от кривой (ск^ей), 0(е£)) имеет порядок е2. Более точно, указанное решение допускает представление.

А (&х, у) =011 (е^х, у) + ?2а1(г, х, у),.

0.8).

Х1 у) = я, у) + е Х1У)>

Ф£(£, ж, у) = ф (гР, х, у) + х, г/), в котором остаточные члены ад, а|. <£>е — равномерно ограничены по е, точнее, для всех? € [0- тх/ег] выполняется оценка тах{|К (*)||3,|К"11з, ||а|й||3> ММИз, МООИз} < М, где || • ||з обозначает норму в пространстве.

Соболева Я3(К2). Найденные решения обладают следующими свойствами:

• функции являются гладкими и ограниченными на множестве [0- п] х К2;

• функция а1 принадлежит классу ^([Оп/г], Я3(И?2)), а функции а|, а|, принадлео! сат классу.

С ([0- п/е], Я3(Е2)) ПС1 ([0- п/е], Я2(Е2)) ПС2([0- п/е], Я1 (К2)) • (0−9).

Итак, геодезические кинетической метрики действительно приближенно описывают медленное движение вихрей. К сожалению, вычислить эту метрику в явном виде не удается даже в случае N = 2. Однако удается установить ряд ее свойств. Например, показано, что кинетическая метрика инвариантна относительно сдвигов плоскости, поворотов и комплексного сопряжения (это доказано в теореме 7 в главе 3). Более того, Сэмолс (см. [20]) показал, что имеется изометричное разложение.

Мы = М°м х С, 14 где Л4°м — подмногообразие N-вихревых конфигураций с центром масс в ну^— ле, т. е. множество точек для которых ?1 = 0. В этой же статье доказано что кинетическая метрика является кэлеровой. Авторы статьи [7] вычислил: иг кинетическую метрику в случае N = 2.

Довольно большое число работ посвящено изучению частных случаев ди-— намики.вихрей. Например, широко изучалась задача о взаимодействии двузх^ движущихся вихрей. В статьях [21], [15], [16], [22], [20] приводятся результать>ц численного моделирования динамики двух вихрей. В уже упоминавшихся ра.— ботах [7], [19], а также в статье [8] изучалась задача о лобовом столкновепиит I двух вихрей. При этом авторы первых двух из этих работ использовали геоде— зическое приближение, а авторы последней строили решения дипамическю<^ уравнений при всех значениях, А > 0, пользуясь теоремой Коши-Ковалевской — В этих работах было показано, что после лобового столкновения траекториЕзг вихрей поворачиваются на угол 7г/2, т. е. происходит рассеяние вихрей подзе^ прямым углом. В [23] отмечается, что, используя адиабатический принцип этот результат можно вывести из свойства гладкости кинетической метрикгиг: в симметрических координатах.

В третьей главе диссертации рассмотрено обобщение этой задачи: иссле— дуется поведение системы N вихрей при симметричном лобовом столкио— вении, т. е. при одновременном столкновении под равными углами. (Точны^г формулировки приведены в начале главы 3.) При N = 2 получается случайг лобового столкновения двух вихрей.

Оказывается, при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/]Г. Случай рассеяния N вихрей при симметрично!^ столкновении был описан на «физическом» уровне строгости в статьях [13][ и [9]. (Следует заметить, что авторы последней из упомянутых работ, как: и авторы [8], строили решения динамических уравнений при всех значения:^ А > 0 с помощью теоремы Коши-Ковалевской.).

В диссертации этот результат получается на основе адиабатического принципа. С помощью свойств инвариантности метрики относительно сдвигов, поворотов и комплексного сопряжения доказывается основной результат о рассеянии вихрей: при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/-/У Точная формулировка результата такова.

Теорема 3. На пространстве модулей Л4м с кинетической метрикой имеется геодезическая, которую моснсно параметризовать в симметрических координатах следу? ощим образом:

5х = • • • = = 0, =, где А (5) — гладкая всщественнозначная убывающая функция, принимающая все значения от —оо до +оо, и А (0) — 0.

В разделе 3.1 объясняется, почему эта геодезическая описывает рассеяние на угол 7г/ЛГ.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [28], [29], [30]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. А. А. Абрикосов. 1Влияние размеров на критическое поле сверхпроводников второй группы, ДАН СССР 86 (1952), № 3, с. 489.

2. А. А. Абрикосов. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы, ЖЭТФ, 32 (1957), вып.6, сс.1442−1452.

3. Н. Н. Боголюбов. О новом методе в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 34 (1958), вып.1, сс.58−65.4| В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау. К теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 20 (1950), вып.12, сс.1064−1082.

4. Л. П. Горьков. Микроскопический вывод уравнений Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 36 (1959), вып.6, сс.1918;1923.

5. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978.

6. K. Arthur, J. Burzlaff. Existence theorems for tt/n vortex scattering. Lett. Math. Phys. 36 (1996), № 3, 311−318- hcp-th/9 503 010.

7. J. Bardeen, L.N.Cooper, and J.R.Schrieffer. Microscopic Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108 (1957), pp. 1175−1204.

8. A. Jaffe, C. Taubes. Vortices and Monopoles. Boston: Birkhauser, 1980.

9. T.W.B. Kibble. Topology of cosmic domains and strings, Journal of Physics A: Mathematical and General 9 (1976), № 8. pp. 1387−1398.

10. R. MacKenzie. Remarks on gauge vortex scattering. Phys. Lett. B 352 (1995), 96−98- liep-th/9 503 044.

11. N. S. Manton. A remark on the scattering of BPS monopoles. Phys. Lett. B 110 (1982), 54−56.

12. K.J.M. Moriarty, E. Myers, and C. Rebbi. Dynamical interactions of cosmic strings and flux vortices, Phys. Lett. B 207 (1988), pp.411−418.

13. E. Myers, C. Rebbi, and R. Strilka. Study of the interaction and scattering of vortices in the Abelian Higgs (or Ginzburg-Landau) model, Phys. Rev. B 45 (1989), 1355−1364.

14. H. B. Nielsen and P. Olesen. Vortex-line models for dual strings, Nucl. Phys. B 61 (1973), pp. 45−61.

15. B.J. Plohr. The behavior at infinity of isotropic vortices and monopoles, Journal of Math. Phys. 22 (1981), pp. 2184−2190.

16. P. J. Ruback. Vortex string motion in the Abelian Higgs model. Nucl. Phys. B 296 (1988), 669−678.

17. T. M. Samols. Vortex scattering. Comm. Math. Phys. 145 (1992), 149 179.

18. E.P.S.Shellard. Cosmic string interactions, Nucl. Phys. В 283 (1987), pp. 624−656.

19. E.P.S.Shellard, P.J.Ruback. Vortex Scattering in Two Dimensions, Phys. Lett. В 209, № 2−3, pp.262−270.

20. D. Stuart. Dynamics of Abelian Higgs vortices in the near Bogomolny regime. Comm. Math. Phys. 159 (1994), 51−91.

21. D. Stuart. The Geodesic Approximation for the Yang-Mills-Higgs Equations, Comm. Math. Phys. 166 (1994) 149−190.

22. D.M.A. Stuart. Periodic solutions of the Abelian Higgs m, odel and rigid rotation of vortices, Geom. and Funct. Anal. 9 (1999), 568−595.

23. C.H. Taubes. Arbitrary N-vortex solutions to the first-order Ginzburg-Landau equations, Comm. Math. Phys 72 (1980), №.3, pp. 277−292.

24. C.H. Taubes. Gr=$> SW: From pseudo-holomorphic curves to SeibergWitten solutions, J. Diff. Geom. 51 (1999), pp. 203−334.

25. P.B. Пальвелев. Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса, Теоретическая и математическая физика, 156 (2008), № 1, сс.77−91.

26. R.V.Palvelev. Scattering of vortices in the Abelian Higgs model, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 10 (2007), pp. 7381.

27. P.B. Пальвелев. Обоснование адиабатического принципа в абелевой модели Хиггса, Труды Московского математического общества, 72 (2011), вып. 2, сс. 281−314.