Восстановление дробных степеней оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру и неравенства колмогоровского типа

1. Работа посвящена вопросам оптимального восстановления дробных степеней оператора Лапласа функций на К** по информации о преобразовании Фурье самой фуикции, известном точно или приближенно (в той или иной метрике) па некотором подмножестве М^, а также тесно связанным с этим вопросам существования точных неравенств для дробных степеней оператора Лапласа, являющихся аналогами неравенств колмогоровского типа для производных.

Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда требуется восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой информации (которая обычно не точна и не полна) о других его характеристиках. Например, необходимо восстановить функцию в точке, или интеграл от нее, или саму функцию целиком (в той или иной метрике) по информации о ее значениях в других точках, о ее преобразовании Фурье, коэффициентах Тейлора и т. п. Существует множество подходов к решению подобных задач. Здесь мы следуем подходу, который предполагает наличие априорной информации об объекте, характеристики которого требуется восстановить. Это позволяет поставить задачу о нахождении наилучшего метода восстановления данной характеристики среди вообще всех возможных методов восстановления. Такой взгляд на задачи восстановления идеологически восходит к работам А. Н. Колмогорова [1] 30-годов прошлого века о нахождении наилучших средств приближения для классов функций. Математическая теория, где изучаются задачи восстановления на основе указанного подхода, активно развивается в последние десятилетия.

Предшественником тематики, связанной с оптимальным восстановлением функционалов, можно считать задачу Колмогорова-Никольского о наилучших квадратурах (см. [2]). Ее простейшая постановка такова. Пусть Щ — некоторое подмножество (класс) непрерывных функций па отрезке [а, 6] и пусть фиксированы точки, а — хх <. < хп < Ь. Для каждой функции /(¦)? V*/ мы хотим вычислить интеграл /(х) с1х, используя для этого приближенную формулу Рг!(хг)> гДе Коэффициенты рг, 1 < I < П, следует выбрать так, чтобы эта формула осуществляла наилучшее приближение интеграла сразу для всех функций из Ш. Точная постановка задачи состоит в том, чтобы найти величину.

ГЬ хг ш£ зир

Р1, —, Рп Д)£И/ ж) <1х г=1 где нижняя грань берется по всем наборам., рп), и тот па-бор, на котором эта нижняя грань достигается. Этот набор и будет задавать искомую квадратурную формулу.

На данную задачу можно посмотреть несколько иначе. Функции из У известны неточно, а именно, о каждой функции /(•) е IV известен вектор (/(х),.,/(хп)) — набор ее значений в точках Х,.., хп. Мы берем произвольную линейную функцию I: К" —>•.

Ку) = 51Г=1 РгУг (У = (Уъ ¦ • •, 2/тг)), и ее значение на векторе (/(жх),., /(хп)), т. е. величину Рг/{хг)> принимаем за оценку интеграла /аЬ/(ж) (¿-г сразу для всех функций /(•) е IV. Погрешность такой оценки определяется величиной вир Л) еи/.

Ь п х) йх г=1.

Нас, естественно, интересует та линейная функция, на которой эта погрешность минимальна. Такую функцию можно назвать оптимальным методом восстановлением интеграла на данном классе функций.

Отсюда один шаг до общей постановки. Пусть X — линейное пространство, — непустое подмножество (класс) элементов в X и 1 г, г = 0,1,., п, — линейные функционалы на X. Элементы из Ж известны неточно, а именно, о каждом х Е известны числа 1 г (х), г = 1,., п (значения линейных функционалов 1 г, г = 1,. ., п, на элементе х). По этой информации мы хотим восстановить значения линейного функционала 1о на классе и по возможности наилучшим образом. Под этим понимается следующее. Любая функция т: М&trade- —> К объявляется методом восстановления (значений 10 на по данной информации) и погрешность такого метода определяется величиной е (10,Ш, 1и ., 1п, т) = вир 110(х) — т (1 г (х),., 1п{х)).

Это «наихудшее», что можно получить, используя данный способ восстановления.

Нас интересует величина.

ЕЦо^,^,., 1п) = п^ е (/0,И., 1п, т), т КП->К которая называется погрешностью оптимального восстановления и те методы, на которых эта нижняя грань достигается. Такие методы называем оптимальными методами восстановления.

Задача Колмогорова-Никольского является частным случаем общей постановки Действительно, в качестве X можно взять пространство непрерывных функций на [а, Ь], ¿-о — линейный функционал на X, сопоставляющий функции ее интеграл по отрезку [а, Ь], 1 г — линейный функционал на X, сопоставляющий функции ее значение в точке хг, 1 < г < п, а в качестве методов восстановления рассматриваются только линейные методы.

Приведенная общая постановка задачи оптимального восстановления функционала принадлежит С. А. Смоляку [3]. Он доказал в этой общей ситуации, что если множество М/ центрально симметрично — то среди оптимальных методов есть линейный. В дальнейшем тематика, связанная с оптимальным восстановлением, развивалась и обобщалась в разных направлениях. Большое внимание уделялось задачам оптимального восстановления, в которых информация об элементах ЪУ задана неточно (например, в общей постановке числа 1 г (х), г — 1,., п, известны приближенно) и, вообще говоря, бесконечномерна (например, информация об х € У/ задается не конечным набором чисел, а элементом бесконечномерного пространства). Для таких задач выяснялись условия существования линейного оптимального метода (см., например, [4], [5] и [6]). Окончательный результат — необходимые и достаточные 5 условия существования линейного оптимального метода восстановления для достаточно общей постановки задачи оптимального восстановления линейного функционала — получен в работе [7]. Кроме того, было решено множество конкретных задач, где находились методы оптимального восстановления. Представление об этом этапе развития дайной тематики отражено в следующих обзорах [8], [9], [10] и монографии [11]. Следует отметить, что подход к решению задач оптимального восстановления линейных функционалов по неточным исходным данным с позиций теории экстремума впервые был предпринят в работе [12].

В указанных обзорах ставилась и задача оптимального восстановления значений линейного оператора на классе элементов по неточной и неполной информации о самих элементах. Общая постановка этой задачи такова. Пусть X — линейное пространство и W — непустое подмножество (класс) в X. Пусть, далее, У — нормированное пространство, /: X У — линейный оператор и 5 > 0. Элементы из W известны приближенно, а именно, о каждом элементе х е W нам известен (нам показывают) элемент у € У такой, что || 1х — у||у < S (если 6 = 0, то известен элемент /ж). По этой информации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) значения на классе W линейного оператора Л X —> Z, где Z — другое нормированное пространство.

Любое отображение т: У —> Z объявляется методом восстановления (значений, А па W по данной информации). Его погрешность определяем по формуле ez (A, W, Y, S, m) = sup \Кх — m (y)\z. x€W, yev ||/ж-у||у <<5.

— Если-(5 — 0, то это-выражепие, очевидно,-переписывается такez (A, W, У, 0, т) = sup ||Аж — m{Ix)\z. хб w.

Величину.

EZ{A, W, У, 5) = mfez (A, Wy У, S, m) m 6 где нижняя грань берется по всем методам т: У —> 2) называем погрешностью оптимального восстановления, а методы, на которых достигается нижняя грань — оптимальными методами восстановления.

Первые результаты, касающиеся оптимального восстановления линейных операторов, были получены в работе [13]. В дальнейшем эта тематика активно развивалась в работах [14]—[20].

2. В данной работе решается задача об оптимальном восстановлении дробной степени оператора Лапласа функции в различных метриках па соболевских классах функций по следующей информации: преобразование Фурье самой функции известно либо точно, либо приближенно (в той или иной метрике) па некотором выпуклом подмножестве М0' (с? — натуральное число). Приведем точные определения.

Оператор Лапласа, А на М6' для функции /(•), имеющей вторые частные производные, определяется, как известно, следующим образом.

Преобразование Фурье лапласиана Д/(-) достаточно гладкой и быстро убывающей функции /(•) на имеет вид (^РД/)(£) = ~Для всех? = (£1——)£ег) е Это позволяет определить дробную степень оператора Лапласа.

Пусть, а > 0. Если функция /(•) € Ь2(Ш'1) такова, что функция </?:? —> |£|а (^/)(0 также принадлежит Ь2(ШН), то через (—Д)а/2/(-) обозначаем функцию, преобразование Фурье которой есть </?(•). Понятно, что при, а — 2 это обычный лапласиан и что.

— д)°/(0 = /(¦)¦

Соболевским пространством УУ^(Мсг) называется совокупность таких функций /(•) е Ь2(Ша), что функция? ^ (1 + |2)572(.Р/)(0 также принадлежит Ь2{Ш.а) (>У2°(ЕЙ) = Ь2(№ 11)).

Пусть а>0и1<�р<�оо. Положим.

И^ум') = {/(¦) е У^К") |^Я (-) е ьР (м")} и.

2аР (ка) = {/(¦) е У^к") 1 ||(-Д)а/2||^(н') < !}•.

IV,.

При этом ясно, что W?2(Rd) = W" (Md) (и, соответственно, W?2(Rd) = ВДЕ’О).

Пусть, далее, 0 < (3 < а, I < q < оо, А — непустое подмножество Rd и S > 0. Мы ставим задачу об оптимальном восстановлении функции (—Д)/3/2/(-) в метрике Lq (Rd) на классе W2°p (Md) по следующей информации: о каждой функции /(•)? Wf (Md) известна функция у (-)? LP (A) такая, что ||(F/)(-) — у (-)||МА) < 5 (если <5 = 0, то функция (Ff)(-)a — сужение (Ff)(-) па А— известна точно).

В соответствии с приведенной выше общей постановкой здесь X = W2ap (Kd), W = W2°p (Rd), Y = LP (A), оператор I: X —>¦ Y действует по правилу (//)(•) = (Ff)(-)A, Z = Lq (Rd) и оператор k-.X^tZ таков, что (Л/)(-) = (-Д)" /2/(0.

Как и в общей ситуации, любой метод (отображение) т: LP (A) —> Lq (Rd) объявляется методом восстановления и его погрешность определяется по формуле1 eq ((-A)VWZp (Rd), Lp (A), 5, rn) = sup ||(-Д)/3/2/(-) — rn (g{-)){-)\LqiRd]. f (-)ew"p (Ud), д{-)еьр (А) \(Ff)(-)-9()\LpiA).

Если S — 0, то это выражение, очевидно, переписывается так е,((-Д)^2, W2ap (Rd), Lp (A), 0, m) = sup ||(-Д)/3/2/(-) — m ((F/)(-)U)(-)lk (R-). /(•)evK2″ p (к-*).

Нас интересует погрешность оптимального восстановления, т. е. величина.

Eq ({-Ay/2,W2°p{Rd), Lp (A), 5) = inf е,((-Д)^2, W2°p (Rd)} LP (A), 6, m), m где нижняя грань берется по всем методам т: LP (A) —> L9(Rd), и оптимальные методы восстановления, т. е. те методы, на которых нижняя грань достигается..

В диссертации погрешность оптимального восстановления и оптимальные методы находятся для случаев, когда q = 2, ар = 2 и оо.

Ниже, для сокращения записи, мы пишем индекс q вместо Lq{Rd). 8 и когда д = р — оо. Для всех этих случаев, в качестве следствия, выписываются точные неравенства для дробных степеней оператора Лапласа, являющиеся аналогами неравенств колмогоровского типа для производных..

3. Перейдем к формулировкам основных результатов диссертации. В главе 1 рассматривается случай д = р = 2, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике ½по информации о преобразовании Фурье функции, известном точно или приближенно в метрике Ь2 на некотором множестве А..

Перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения. Пусть 0</3<аи (5>0. Обозначим г — г (а, ?, o, d) = а -'(a-o> (S2 jj (27г)с.

Пусть, далее, А — подмножество M. d такое, что 0 G intA. Положим га — sup{ г > 0 | В (О, г) С А}, где В (х, г) — замкнутый шар в с центром в точке х радиуса г > 0. Ясно, что 0 < гд < оо, если, А — собственное подмножество и га — +оо, если, А = Rd. Обозначим Го = тт (гд, г) и положим.

Л, = Ai (a, ?, Го) = (?-^rl?, Л2 = 2(a,?.r0) = r-2^. а, а J.

Обозначим еще (£, х) = где? = и ж = хь. ., xd). теорема 1.1. Пусть Q Q, A — выпуклое подмножество Rd и int, А ф 0. Тогда.

1) если 0 ^ int А, то.

E2((-&)?'2,W'*(M.d), L2(A)}o) = +оо-.

2) если, А — собственное подмножество, 0? int, А и 8 — 0, то.

Оптимальным методом восстановления является линейный оператор т: ?2 (Л) —" Ь2(Ш.'1), действующий по правилу (-а)^(-), где (Г (р)(-) = (^/)(-)|в (о, гл), или, равносильно, для п. в. х е.

3) если ОбйА ц<5>0, то, а — ?3 {5 а, а а-2 г2/ +.

2л)* А г2}а~ву.

52 а-в.

2о га < г,.

ГА > Г..

I (2тг.

Для каждой функции а (-) Е Д^М**) такой, что а (£) = О, если? ^ 5(0, Го) и а (0.

Аг + Л2К12а для п. в.? Е В (0, г0), оптимальным методом является линейный оператор та: Ь2(А) —> Ь2{действующий по правилу $(•))(¦) = ?>(')> где (ЗД (-) = а (-)з (0 5(0,г0) и (ЗД (-) = 0 вне В (0,г0), или, равносильно, для п. в. х Е К^ таШ)(х) =[ аШОе'^Ч. (2тг)Й У|С|<�Г0.

В качестве следствия п. 3) теоремы укажем серию оптимальных методов, имеющих явное описание. следствие. В условиях п. 3) теоремы для каждого г такого, что.

V /{} 2(о-" оптимальным методом является линейный оператор mr: L2(A) -" L2(Md), действующий по правилу где (ЗД (-) = .

Прокомментируем утверждения сформулированных теоремы и следствия. Первое утверждение теоремы означает, что если 0 ^ int А, то погрешность любого метода восстановления равна бесконечности и значит, никаким способом нельзя восстановить соответствующую дробную степень оператора Лапласа па всем классе..

Если 0 6 int, А и преобразование Фурье функции /(•) на Л известно точно (6 — 0), то чем больше радиус шара с центром в нуле, который можно вписать в А, тем погрешность оптимального восстановления меньше. Но знание преобразования Фурье за пределами этого шара оказывается лишним — оптимальный метод эту информацию не использует. При этом сам оптимальный метод есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой совпадает с преобразованием Фурье функции /(•) на шаре 5(0, г а) и равно пулю вне этого шара..

Если 0 G int, А и преобразование Фурье функции /(•) на, А известно с точностью до <5 > 0 в метрике L2(A), то погрешность оптимального восстановления также уменьшается с ростом радиуса вписанного шара в А, но лишь до определенного предела: при г л > г эта погрешность постоянна, т. е. за пределами шара 5(0, г) mr (g ())(•) = (-A^VC) или, равносильно, для п. в. х € Md информация о преобразовании Фурье функции из данного класса не нужна (см. рис. 1 и 2)..

Любой оптимальный метод, как и в предыдущем случае, есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой на шаре В (0,го) представляет собой «сглаженное» наблюдение д (-), а вне этого шара оно равно нулю..

Заметим, что неравенство г, а <г равносильно соотношению У.

А? < (2*)', которое можно трактовать как своеобразный «принцип неопределенности», связывающий объем полезной информации (преобразование Фурье на шаре В (О, г а)) и погрешность ее измерения..

Выделенная серия оптимальных методов устроена следующим образом. Если г > 0, то на шаре В (0, г) информация не «обрабатывается» (подставляется то. что наблюдается), а на шаровом слое {С I г < К! < } наблюдаемая информация «сглаживается». Это соответствует тому, что обычно происходит на практике. Высокие частоты отбрасываются, а низкие тем или иным способом обрабатываются..

Во второй главе рассматривается случай ц — 2, р — оо, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике /^(К1*) по информации о преобразовании Фурье.

12 функции, известном точно или приближенно в метрике L00 на некотором множестве А. Здесь же, в качестве следствия, их доказанного результата извлекается точное неравенство колмогоровского типа для дробных степеней оператора Лапласа..

Перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения. Для краткости обозначим.

Если, А — подмножество U. d такое, что 0 6 int А, то пусть гд обозначает то же, что и в теореме 1.1 и пусть также го = тт (гА, г)..

Теорема 2.1. Пусть О <? < а, 5 > О, А — выпуклое подмножество Rd и int, А ф 0. Тогда 1) если 0 ^ int А, то.

Оптимальным методом является линейный оператор т: Ьоо (Л) —> Ь2(Ш.'1)! действующий по правилу fh (gm-) = (-Д)^(-). где (Fip)(-) = a (-)g (-) на B (0,ro), (ЗД (-) = 0 вне В (0,го) и.

-y (d) = 2d~17Td/2r (d/2) где Г (-) — гамма-функция Эйлера..

Для каждых, а > 0 и 6 > 0 положим.

E2((-A)^W⁰⁰(Rd), L00(A), S) = +оо-.

2) если 0 6 int А, то.

E2((-Af'2,WZ00(md), L00(A), 5) = или, равносильно, для п. в. х Е.

ШШ = тЛ? [ dt.

2ir)d.

Как и в предыдущем случае, прокомментируем утверждения данной теоремы. Ее первое утверждение имеет тот же смысл, что и первое утверждение теоремы 1.1. Если же 0 6 int, А и преобразование Фурье функции /(•) па, А известно с точностью до S > О в метрике L00(A), то снова погрешность оптимального восстановления уменьшается с ростом радиуса вписанного шара в А, по до определенного предела: при г, а > г эта погрешность стабилизируется. За пределами шара В (0, г) информация о преобразовании Фурье функции из данного класса не нужна. Оптимальный метод, как и раньше, есть соответствующая дробная степень оператора Лапласа функции, преобразование Фурье которой на шаре 5(0, го) представляет собой «сглаженное» наблюдение .

Соотношение, связывающее объем полезной информации с точностью ее измерения (т. е. соотношение г, а < г) в данном случае имеет вид rd+2ao2 < 2d-1nd/2r (d/2){d + 2a)..

Следствие. Для всех функций /(•) е VVf^l^) справедливо точное неравенство.

2(о-б) d+2? где.

К = ld + 2a (1 d + 2/3 7(с ()(с? + 2а).

В третьей главе рассматривается случай д = р — со, т. е. когда дробная степень оператора Лапласа функции восстанавливается в метрике Ь00(Ша) по информации о преобразовании Фурье функции, известном точно или приближенно в метрике Ь^ на некотором множестве А, и также выводится соответствующее точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа. Снова, перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения..

14.

Пусть 7(с?) — то же, что и предыдущей теореме. Для /3 > О, а > 0 таких, что, а — (3 > й/2 и 5 > 0 положим 1 d+2a г — r (a? 6 d) = hm + 2a)(2a-2?-d) и если 0<�г<�ооиго = min (r, г), то полагаем.

Л = А (а,?, S, r, a) =, Ш.

V ' ' ' V2а -2?-d 4+2а d + 2aj.

Определим также функцию а (-) на Md по формуле.

0,r0), 5 где, напомним, Б (0, г) — замкнутый шар в Rd с центром в нуле радиуса г (считаем, что 0 < г < оо, полагая В (0, оо) = Md)..

Из условия го < г следует, что выражение в скобках в определении Л положительно и что функция о (-) неотрицательна..

Теорема 3.1. Пусть, а > 0,? > О, а —? > d/2, 0 < г < оо и O > 0. Тогда.

-Д)^2, Wf (Rd), L00(?(0, г)), 5) = 1 (l{d) o2 7{d)d + ?+^2a-2?-drd+2a d + 2a 1 '' Г ~ Г' rf+ff 2a-ff d/2 + a)3+^ / 2a-? d+2a 2a-2g-d 4 1 — 1 o rf+2″, г > г. ч^)(2а — 2(3 — d).

Оптимальным методом восстановления является линейный оператор т Ь^А) -> ^(Е^), действующий по правилу т (д (.))(-) = (-Д)^2^-), где = а ('Ж') иа 5(0, г0) и (-?"(•) = 0 вне В (0,го) — или, равносильно, для п. в. ж € М^.

Здесь, как и в теоремах предыдущих глав, наблюдается эффект насыщения — информация о преобразовании Фурье за пределами шара .6(0, г) оказывается лишней. Соотношение, связывающее объем полезной информации и величину погрешности ее измерения, в данном случае имеет вид а+2 2 7(с*)(а + 2а)(2а-2Р — й).

2{2а-{3).

Следствие. Пусть, а > 0, (3 > 0 и, а — /3 > в/2. Тогда для всех функций /(•) 6 Н^ооО^) справедливо точное неравенство.

2^+2/3.

1К-А)/3/2Л-)!иоо^) < АЦ^ЛОН^Й где й/2 + (2а- ?3 ¦г+2°.

К = d + fi -1(d)(2a-2/3 — d).

Предварительные сведения.

0.1. Некоторые обозначения. Пусть N, Z, Z+, Ш и С — множества соответственно натуральных, целых, неотрицательных целых, действительных и комплексных чисел..

Пусть d G N. Через Rd (К1 = M) обозначаем евклидово пространство всех упорядоченных наборов из d вещественных чисел со скалярным произведением (х, у) — ixiUi, ГДе х — (жь ., xd) и у = (уь ., yd)7 Евклидову «норму (длину)» вектора х = (xi,., Xd) G Rd обозначаем так х = Jx +. + х..

0.2. Пространства Lp (Rd). Пусть 1 < р < оо. Через Lp (Rd) обозначаем совокупность измеримых (комплекснозначных) функций /(•) на M. d, для которых конечна величина если 1 < р < оо и.

II/OIIwr') = inf{ а > 0 I mes {х G I |/(х)| > а} = 0 }..

Это банахово пространство с нормой ЦДОНьр^).

16.

0.3. Гармонический анализ. Пусть /(¦) 6 Li (Md). Функция (Ff)(•) на Rd, определенная равенством.

F№)= [ f (x)e-«x>dx, ?eRd, (o.i).

JRd называется преобразованием Фурье функции /(•)..

Теорема 0.1. Функция (F/)(-) непрерывна HaRd и (Ff)(?) О при |?| оо доказательство. Преобразование Фурье корректно определено, так как для каждого (бК^.

W№< [ №dx=\f (.)\Ll0t<)..

JRd.

Пусть (о е Rd. Поскольку f (x)e-^'x) /(х)е~г<6>-х> при С Со и = f (x) для всех х G Rd, то по теореме Лебега об ограниченной сходимости (см. [21]) lim (Ff)(О = lim I f (x)e~t{i,)dx= I lim f (x)e~z{L,)dx = i->fo ,/Rd ,/Rd f-Ko [ f (x)e-«°rtdx = (F№ 0),.

J Rd т. е. функция (Ff)(-) непрерывна на Rd..

Второе утверждение, для простоты записи, докажем для d — 1. Простые функции, т. е. функции, являющиеся линейными комбинациями характеристических функций отрезков, плотны Ьг® (см. [21]). Это, фактически, сразу следует из самого определения интеграла Лебега. Если Х[а, ь] («) — характеристическая функция отрезка [а, Ъ], то e*'dx =—и значит, (Fx[a, b){О -> 0 при |?| —>¦ оо. Но тогда ясно, что преобразование Фурье любой простой функции обладает этим свойством..

Пусть /(•) G Li (R и {/"(•)} — последовательность простых функций, сходящаяся к /(•) в Li®. Теперь из очевидных оценок (учитывая плотность простых функций в Li®) i (^/)(oi < mm — (Ffn)(oi + к^д)(01 < I f (x)-fn (x)dx + (Ffnm ./R.

17 следует, что (-Р/)(0 0 при —оо. ?.

ТЕОРЕМА 0.2 (Плапшереля). Существует единственный линейный непрерывный оператор, отображающий Ь2{Шс1) на Ь2(К^) (также называемый преобразованием Фурье и также обозначаемый через Р), который на ЬЦМ^) П Ь2(Ша) совпадает с (0.1) и при этом, справедливо равенство.

П/(Ж (К-) = (0−2).

Из (0.2) следует, что Е — взаимно однозначное отображение. Обратный оператор к Р называется обратным преобразованием Фурье и обозначается .Р-1. Это линейный непрерывный оператор..

Из (0.2) также следует, что для любых /г (-) 6 Ь2(М<�г), г = 1,2, справедливо равенство Парсеваля Мх) Ш<�ь = тА, / (РШОТЩШ^. (0.3) Jit^' (27т)а JЛd.

Для этого достаточно подставить в (0.2) функции /х () + /2(-)'и.

М-) + «/2(0.

Отметим здесь один частный случай формулы обращения для преобразования Фурье, который будет использоваться в дальнейшем..

ЛЕММА. Если функция /(•) 6 ½(М^) такова, что (Р/)(-) € Ь1(Мс!) П ?2(К<�г), то справедлива формула обращения = тА / С1£ для п. в. х е И". (0.4) к) JRd.

Доказательство. Ясно, что справедливо равенство [ [ ШМе-^*)^..

J&d Ук1'.

Интеграл справа под знаком сопряжения есть преобразование Фурье функции (Р/ХО е Ьг (К"*). Но так как СР/Х7) 6 Ь2(Ша), то по теореме Планшереля это и преобразование Фурье функции из Ь2(Ш (1) и тем самым интеграл принадлежит Ь2(Ш'1). Таким образом, выражение справа в (0.4) есть функция из Ь2(Ш'1)..

Напомним, что скалярное произведение в определяется по формуле /(¦))= / 9(*Ш<�Ь.

JKd 18.

Обозначим через /(•) выражение справа в (0.4). Для любой функции д (-) 6 1/1(Мсг) П Ь2(Ш.(1) имеем, используя теорему Фубини и равенство Парсеваля = [ ^(тАз [ <%)(1х = V (27Г) -/к* / 1.

2тт)с к* 1.

Поскольку пространство Ь^М^) П 1,2(1^) плотно в Ь2(М^) (см. 21]), то отсюда следует, что /(•) = /(•) и формула (0.4) доказана. ?.

0.4. Дробная степень оператора Лапласа и пространства Соболева. Оператор Лапласа Д на М^ для функции /(•), имеющей вторые частные производные, определяется, как известно, следующим образом.

Преобразование Фурье лапласиана А/() достаточно гладкой и быстро убывающей функции /(•) иа К'' имеет вид (^Д/)(^) = —1?|2-^/(?) Для всех С = (£ъ • ¦ ¦ >С*) € Это позволяет определить дробную степень оператора Лапласа..

Пусть, а > 0. Если функция /(•) 6 Ь2(№.'*) такова, что функция <р:? —> (.Р/)(£) также принадлежит Ь2(Ш.(1), то через (—Д)а/2/(-) обозначаем функцию, преобразование Фурье которой есть </?(•). Ясно, что при, а = 2 это обычный лапласиан и что.

-д)°/(0 = /(¦)•.

Соболевским пространством И^М6*) называется совокупность таких функций /(•) € Ь2(1Е^), что функция? ¦-> (1 + |?|2)а/2(Р/)(0 также принадлежит (>У20(М^) = Ь2(Жа))..

Если, а = п? К, то УУ^(М4*) — совокупность таких функций /(•) € Ь2(М^), что для любого /с = ,., ко)? для которого к +. + к, 1 < п, производная также принадлежит ½(К6*)..

Теорема 0.3. Если 0 < Р < а и /(•) € У^К*), то.

Если, дополнительно, а — ?3 > (½, то функция (—Д)/3/2/(-) непрерывна и (—Д)^/2/(£) —> 0 при |?| —> оо..

Доказательство. Пусть 0 < Р < а и /(•) е У^М" *). Из тождества (1+'^2)а/2(1 + КРГ'^/ХО следует, что функция? ь-> есть произведение ограниченной функции на функцию из 1,2 (К^) и тем самым сама является функцией из Ьг (К*1)..

Пусть теперь п — (3 > в/2 и /(-) 6 Покажем сначала, что функция? н-" (т. е. преобразование Фурье функции (—Д)^2/(-)) принадлежит Ь^М^). Действительно, обозначим ?>(0 = (1 + та/2(Г1№- Тогда.

Справа стоит произведение двух функций из ½ (Ки поэтому по неравенству Коши-Буняковского 1?№/)({)К < (щ^-^)1'2 М-)И""<>.

Итак, преобразование Фурье функции (—Д)/3/2/(-) принадлежит ?1 (К'*) П ½(1^). Из леммы п. 0.3 следует тогда, что для п. в. х ?.

-A)^f (x) = JL / #.

27Tju.

Но справа, как показано в п. 0.3, стоит непрерывная функция, которая стремится к нулю на бесконечности. ?.

0.5. Обобщенные функции медленного роста. Пусть 5(]Rd) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций </?(•) на Rd, удовлетворяющих условию sup xp (Da.

< оо (0.5) для всех наборов, а = (о,, o-d), Р — (Pi,, Pd) целых неотрицательных чисел, где Datp (x) — dai+ +ал<�р (х)/дх" 1. dx%d и rrP — ryP 1 X — Xj. xd.

Совокупность полунорм (0.5) (по всем, а и /3) превращает .

Сопряженное пространство (Rd) называется пространством (медленно растущих) обобщенных функций на Ш.'1. Если и € S'(Rd) и </?(•) е </?(•)) — значение линейного функционала и на элементе <р (-)..

Пусть /(¦) g Lp (Rd), 1 < р < оо. Тогда/(•) порождает линейный функционал Uf на 5(Rd) по формуле.

•)> = / f (x).

Отображение /(•) —> uj взаимно однозначно и в этом смысле отождествляют функцию /(¦) с обобщенной функцией uj..

Преобразование Фурье F: S (Rd) -«> 5(Rd), определяемое соотношением (0.1) (очевидно, (•) g Li (Rd)) является линейным непрерывным взаимно однозначным отображением .

Преобразованием Фурье обобщенной функции и g S'(M.d) называется обобщенная функция Fu, определенная формулой.

FuM-)) = {u,(F.

Это линейное непрерывное взаимно однозначное отображение (S'(Rd) на себя и обратное отображение также непрерывно..

Если функция /(•) принадлежит L{Rd) или Z/2(Rd)) то ее преобразование Фурье совпадает с «преобразованием Фурьё обобщенной функции uj (в смысле отмеченного выше отождествления). Действительно, пусть /(•) € Li (Rd). Тогда.

Fufl </>(•)> = <�"/, (*V)(-)> = [ f (x) ([ ?>(у)е-<**> dy) dx =.

JMd JVLd J [ ([ №e-^dx).

J"d JRd /.

Пусть теперь /(•) G L2(Rd). Заметим, что если </?(•) G 5(Rd), то (ЗД (О = (ад (-0 и (2тг)-" (^)(-0 = Для всех? G Rd, как следует из формулы (0.4), которая, очевидно, справедлива для функций из .

Учитывая сказанное, имеем (Fuf, <^(.)> = (и f., = [ f (x)(Fip)(0 dt =.

JWLd / = ^ / = [ {Ff)(SMZ)dt = (UfiM-)),.

J Rd откуда следует, что преобразование Фурье обобщенной функции и/ совпадает с преобразованием Фурье функции /..

0.6. Теорема отделимости. Пусть X — линейное пространство. Непустое множество, А С X называется выпуклым, если с любыми двумя своими точками х и у оно содержит отрезок [х, у] = { г g X | г = (1 — а) х + ау, 0 < а < 1 }, соединяющий эти точки. теорема 0.4 (отделимости). Пусть, А и В — выпуклые подмножества и, А П В = 0. Тогда существует такой вектор, А е Rd, |А| = 1, что sup (A, а) < inf (Л, Ь). а€А '.

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что множества, А и В расположены по разные стороны от гиперплоскости Н — { х G Rd | (Л, х) — 7 }, где supae/1(A, а) < 7 < infb6Jg (A, b). Доказательство этой теоремы можно найти в [23]..

0.7. Выпуклая оптимизация. Пусть X — линейное пространство. Функция /: X —> М называется выпуклой, если ее над-график epi / = { (ж, а) Е X х К | f (x) < а } выпуклое множество в линейном пространстве ХхК..

Пусть /г: X —> R, г — 0,1,., т, — выпуклые функции, аг 6 К, г = 1,., т, и С — выпуклое подмножество X. Задача о (ж) -> min, /г (ж) < аг, г — 1,., т, х Е С, (Р) заключающаяся в нахождении среди всех допустимых точек х (т. е. удовлетворяющих ограничениям задачи: /г (ж) < аг, г — 1,., т,.

22 ж € С) тех, на которых функция /0(-) достигает минимума, называется выпуклой задачей, или задачей выпуклого программирования. Точки минимума называют еще решениями данной задачи. Функция С: X х Ет+1, определенная равенством тп Аг/г (ж), г=0 где Л = (Ао, А1,., Лт), называется функцией Лагранжа задачи (Р), а числа Ао, Ах,., Хт — множителями Лагранжа. теорема 0.5 (Каруша-Куна-Таккера). Если ж — минимум в задаче (Р), то найдется такой ненулевой набор множителей Лагранжа, А = (Ао, ., Ато), что а) ттжеС С (х, А) = С (х, А) — б) Аг > 0, г = 0,1,., тс) Аг (/г (ж) — аг) = 0, г — 1,., т..

Если существует допустимая в (Р) точка х и набор множителей Лагранжа, А — (Ао, Аь ., Хт), удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и © и при этом Ао > 0, то х — решение задачи (Р)..

Если найдется точка х? С, такая, что /г (ж) < аг, г — 1,., т (-условие Слейтера), то Ао ^ 0..

Доказательство этой теоремы содержится в [23]. Докажем здесь последние два ее утверждения. Пусть х — допустимая точка^в задаче (Р). Используя это обстоятельство и (6), затем (а) и ©, будем иметь т тп.

А0/о (я) > Ао/о (х) + ^ А г (/г (ж) — аг) = £(х, А) — ^ А гаг >.

1=1 г=1 тп тп С (х, А) — ^ Агаг = Ао/о (ж) + ^ Аг (/г (ж) — аг) = А0/0(х). г=1 г=1.

Деля теперь левую и правую части А0, получаем, что ж — решение задачи (Р)..

Пусть выполнено условие Слейтера. Предположим, что Ао = 0. Тогда среди остальных множителей есть ненулевой и мы имеем,.

23 учитывая © т т т т л) = < = - а") + ^ Агаг = г=1 г=1 г=1 г=1 т £(ж, А), г=1 что противоречит (а)..

Заметим, что если выполнено условие Слейтера, то (а), (Ь) и © представляют собой необходимые и достаточные условия того, что допустимая в задаче (Р) точка х является решением этой задачи..

Заметим еще, что если условия (а), (Ь) и © выполнены для некоторого набора А, то они выполнены и для набора сА, где с > 0. Следовательно, если Ао > 0, то можно считать, что Ао = 1. В этом случае, если х — решение задачи (Р), то легко видеть, что /о (ж) = £(х, А) — Агаг..

Значением задачи (Р) называется нижняя грань чисел /о (ж) по всем допустимым х. Если х — решение задачи (Р), то, очевидно, значение задачи равно /о (ж)..

1. Колмогоров А. Н., «О наилучшем приближении функций заданного функционального класса», Ann. Math., 37, 107−110 (В «А. Н. Колмогоров. Избранные труды, том 1. Математика и механика», с. 209−212)..

2. Никольский С. М. Квадратурные формулы, М.: Наука, 1988..

3. Смоляк С. А., Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965..

4. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю., «Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек». Матем. заметки, 17:3, (1975), 359−368..

5. Магарил-Ильяев Г. Г., Чан Тхи Ле., «К задаче оптимального восстановления функционалов», Успехи мат. наук, 42:2 (1987), 237−238..

6. Арестов В. В., «Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи», Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189 (1989), 3−20..

7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. «Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным», Мат. заметки, 50:6 (1991), 85−93..

8. Micchelli С. A., Rivhn Т. J. A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C. A. Micchelli and T. J. Rivlin, Eds.). P. 1−54. New York: Plenum Press, 1977..

9. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V. 1129. P. 21−93. Berlin: Springer-Verlag, 1985..

10. Wozniakowski H. «A survey of information-based complexity», J. Complexity, 1 (1985), 11−44. «.

11. Tra. ub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980..

12. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М., «О неравенствах для производных колмогоровского типа» Матем. сб., 187:12 (1997), 73−106..

13. Melkman A. A., Micchelli С. A. «Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data», SIAM J. Numer. Anal., 16 (1979) 87 105..

14. Осипенко К. Ю., «Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева», Матем. сб., 197:3 (2006), 15−34..

15. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. «Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям», Матем. сб., 200:5 (2009), 37−54..

16. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. «О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации». Тр. МИ АН, 269 (2010), 181— 192..

17. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. «Об оптимальном гармоническом синтезе, но неточно заданному спектру», Функц. анализ и его прилож, 44:3 (2010), 76−79..

18. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. «Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?», Мат. заметки, 92:1 (2012), 59−67..

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976 (4-е изд.).

20. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975..

21. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2011 (3-е изд.).

22. Сивкова Е О. «Точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа». Вестник Тамбовского университета, 14:4 (2009), 796−798..

23. Магарил-Ильяев Г. Г. Сивкова Е О «Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру». Матем. сб.203:4 (2012), 119−130..

24. Сивкова Е. О. «Об оптимальном восстановлении лапласиана функции по ее неточно заданному преобразованию Фурье», -Владикавказский мат. жур- — — -нал, 14:4, (2012). 63−72..