Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций матье-ханкеля

Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т. В. Пак — научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т. п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.

Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:

(1)

где — некоторая вещественная положительная константа и — оператор Лапласа.

Эллиптические координаты, допускающие разделение переменных связаны с декартовыми:, .

Полагая в методе разделения переменных, получаем уравнения:

,

где — константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.

Дифференциальное уравнения Матье имеет вид

(2)

где обычно переменная имеет вещественное значение, а — заданный вещественный ненулевой параметр.

Собственные значения и граничные условия

(3)

соответствуют чётным функциям Матье, а собственные значения и граничные условия

(4)

нечётным функциям Матье В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную р-периодическую, чётную 2р-периодическую, нечётную 2р-периодическую, нечётную р-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом:, ,, .

Собственные значения, отвечающие функциям, ,, , обозначаются через, ,, .

Модифицированное уравнение Матье

(5)

получается из уравнения Матье (2) подстановкой. В зависимости от того, будет в (5) или, это уравнение имеет либо решение, либо решение, которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от о.

Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).

Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода:, ,, .

Вычисление функций Матье I рода

Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка

(6)

удовлетворяющие в нуле условию

если (7)

если

И на бесконечности условию

~, (8)

где — задано, а () — собственные значения задачи (2), (3), (4),

Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для р и 2р периодических собственных функций:

Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.

Введём замену переменных:

(9)

(10)

Здесь — «масштабирующая» функция, положительная на, удовлетворяющая условию при, её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и :

(11)

(12)

где и .

Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках. На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как решение задач Коши

(13)

где .

Поскольку для любых решений и, уравнений (12) и (13) справедливо соотношение, получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления, ,

, (14)

причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины, , ;

2. Полагая, по формуле (14) вычисляем, ;

3. По формуле (10) вычисляем функции, ;

4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

.

В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция

где .

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

. (15)

Условие на бесконечности

~,. (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

и при достаточно больших линейному соотношению:

.

(17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций. Для их вычисления нужно перенести граничное условие

где, справа налево от точки до точки .

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку переносим соотношение

потребовав выполнение условия для всех, , где и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

.

Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:

где .

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

.

функция матье дифференциальное уравнение Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

1. Абрамов А. А., Дышко А. Л., Пак Т. В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. — Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. — Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. — с.4.

2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 342 с.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. — М. — 1979. — 832 с.:ил.