a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен a. b — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен b. c — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен c. d — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен d. [ 11]Решение произвольного тригонометрического уравнения обычно сводится к решению одного или нескольких простых уравнений.
Одной из основных идей решения является идея, общая для всех типов уравнений: переход от одного уравнения к уравнению или эквивалентному уравнению (или их системе или множеству) от него к другому и т. Д., Пока мы не придем к простейшим уравнениям, из которых мы получаем решение исходного уравнения. При переходе используются как общие методы (подходящие для любых типов уравнений) и частные, основанные на использовании формул, идентичных преобразованиям тригонометрических выражений. [ 12]5.2 Рекомендации по решению тригонометрических уравнений1. Если аргументы функции одинаковы, попробуйте получить одну и ту же функцию с помощью формул без изменения аргументов.
2. Если аргументы функций отличаются дважды, попробуйте получить те же аргументы, используя формулу двойного аргумента.
3. Если аргументы функции отличаются четыре раза, попробуйте применить их к промежуточному двойному аргументу. Если есть одна переменная, выше первой, попытаться понизить уровень, используя формулу сокращения степени или формулы уменьшенного умножения. Например, cos4x+ cos5x=a; (16)sin4xcos4x=b. (17)5. Если существует сумма функций одного и того же имени первой степени с разными аргументами (кроме 2,3), попробуйте преобразовать сумму в произведение для появления полного множителя.
6.Если существует сумма противоположно названных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробуйте использовать формулы сокращения, а затем получим случай 5.
7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синус) различных аргументов, попытайтесь свести его к синусоидальной формуле двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента: (18)8.Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например: (19)6Методы решения тригонометри00ческих уравнений6.
1 Алгебраический метод.
Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).Пример 1. Решить уравнение Рисунок 12-пример решение задания6.
2 Разложение на множители.
Приводим уравнение к виду f (x)=0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f1(x)*f2(x)*…* fm (x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f1(x)=0, f2(x)=0,…, fm (x)=0. Следует помнить, что это множество не всегда эквивалентно исходному уравнению и что здесь необходимо следовать правилу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а все остальные имеют смысл. Этот метод рассмотрим на примерах. Пример 2. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.Решение. Перенесём все члены уравнения влево: x + cos x — 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
Рисунок 13 — преобразования1). sin () = 0, 2). cos () — sin () = 0, =, tg () = 1, = 2 = arctg 1 +, =, Пример 3. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.Решение. cos 2x + sin x· cos x — sin 2x — cos 2x = 0, x· cos x — sin 2 x = 0, x· (cos x — sin x) = 0 Рисунок 14 — преобразования.
Пример 4. Решить уравнение: cos 2x — cos 8x + cos 6x = 1. Решение. cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x, cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x, 4x · (cos 2x — cos 4x) = 0, 4x · 2 sin 3x · sin x = 0, 4x = 0, 2). sin 3x = 0, 3). sin x = 0, Рисунок 15 — решение примера6.
3 Приведение к однородному уравнению.
Уравнение называется однородным по sin и cos, если все его члены имеют одинаковую степень по sin и cos одного угла. Для решения однородного уравнения необходимо:
а) переместить всех своих членов влево;
б) выдерживать все скользящие множители для круглых скобок;
в) установить все факторы и скобки в ноль;
г) скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое должно быть разделено на cos (или sin) в высшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение для tg. Пример 5. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos2 x = 2.Решение. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2x, x + 4sin x· cos x + 3cos 2 x = 0, 2 x + 4 tg x + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y1=1, y2=3, отсюда1) tg x = -1, 2) tg x = -3, Рисунок 16 — решение уравнения6.
4 Переход к половинному углу.
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x — 5 cos x = 7. Решение.
6 sin (x/2) · cos (x/2) — 5 cos ² (x/2) + 5 sin ² (x/2)=7 sin ² (x/2) + 7 cos ² (x / 2), sin ² (x / 2) — 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0, tg ² (x / 2) — 3 tg (x / 2) + 6 = 0, 6.5 Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида: asinx + bcosx = c, (20)где a, b, c — коэффициенты; x — неизвестное. Рисунок 17 — Разложение выражения.
Теперь коэффициенты уравнения имеют свойства синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cosи sin (здесь — так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид: Рисунок 18 — замена функций.
Пример 7. Решить уравнение: Рисунок 19 — решение уравнения6.
6 Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы. Пример 8. Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.Решение. Преобразуем левую часть в сумму: cos 4x — cos 8x = cos 4x, 8x = 0, x = π/ 2 + πk, = π/ 16 + πk / 8 .
6.7 Универсальная подстановка.
Как известно, метод замены переменной (метод подстановки) удобен в случае, если уравнение можно представить в виде F (j (x)) = 0, где F и j — некоторые функции. Метод заключается в том, что вводят новую переменную t = j (x). Тогда исходное уравнение принимает вид: F (t) = 0. Находим корни последнего уравнения и для каждого его корня to решаем уравнение j (x) = to. В результате получаем корни исходного уравнения. Рассмотрим этот метод на примере. Пример 9. Решить уравнение: 3 sin x — 4 cos x = 3. Рисунок 20 — решение уравнения.
Таким образом, решение даёт только первый случай.
6.8 Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени.
Пример 10. Рисунок 21 — решение уравнения.
При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные. Ответ: Пример 11. Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:
Рисунок 22 — график распределения.
Ответ:
Пример 12. Решение: Рисунок 23- график распределения.
Ответ: ЗАКЛЮЧЕНИЕВажный аспект — исследование тригонометрии — как Автономная отрасль математики. Доктрина тригонометрических функций широко используется на практике, в исследовании многих физических процессов, в промышленности, и даже в медицине. В последние годы тригонометрический материал постепенно «сжимался» из начальной и средней школы. Другими словами, тригонометрический материал на практике становится все более отборным инструментом выбора. Соответственно, есть возрастающая потребность для хорошей организации обучения в этом разделе. Таким образом анализ учителя возможных подходов к планированию и организации исследования тригонометрии в школе, распределении материала и выборе его сложности, принимая во внимание тип школы, предпочтения учителя и желаний и способностей студентов становится чрезвычайно релевантным. Исследование тригонометрических уравнений позволяет ученикам приобретать определенное математическое знание, необходимое за применение на практике, за исследование связанных дисциплин, развитие умственных способностей, способность извлечь образовательную информацию на основе сравнительного анализа графов, независимо выполнить различные творческие работы. Учащиеся демонстрируют теоретические и практические знания о типах тригонометрических уравнений, способность решить различные методы тригонометрических уравнений. Они знают, как использовать элементы причинно-следственного и структурно-функционального анализа. Учащиеся могут свободно использовать знание о типах тригонометрических уравнений; способность решить тригонометрические уравнения различными методами. Они обладают навыками, чтобы управлять и оценить их действия, способность предвидеть возможные последствия их действий. В моей работе я изучил историю тригонометрии, полагал, что Общие вопросы исследования тригонометрических функций в школьном курсе, формировании понятия «тригонометрических уравнений», характеризовали фундаментальные понятия формул тригонометрии, учитывая понятие решения тригонометрических уравнений, которые рассматривают рекомендациями для решения тригонометрических уравнений, а также методов решения тригонометрических уравнений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Алексеев А.
Тригонометрические подстановки. // Квант. — 1995. — № 2. -с. 40 — 42.
2.Бескин Н. М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. — М.: Учпедгиз, 1950.
3. Гилемханов Р. Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001;№ 6 -с. 26−28.
4. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре. // Квант. 1989;№ 5 — с. 68−70.
5. Зарецкий В. И. Изучение тригонометрических функций в средней школе / Зарецкий В. И. — Минск: Народная асвета, 1970.
6. Калинин С. И. Задачи и упражнения по началам математического анализа. — Киров: ВГПУ, 1997.
7. Крамор В. С. Тригонометрические функции. — М.: Просвещение, 1979.
8. Мишин В. И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). — М.: Просвещение, 1987.
9. Мордкович А. Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной. //Математика в школе. 2002 — № 6 — с.32−38.
10. Панчишкин А. А. Тригонометрические функции в задачах — М.: Наука, 1986.
11. Раббот Ж. Тригонометрические уравнения// Квант. 1972; № 5- с. 36−38.
12. Синакевич С. В. Тригонометрические уравнения — М.: Учпедгиз, 1959. 13. Цукарь А. Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993;№ 3- с 12−15.
14. Шаталов В. Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. — М.: Новая школа, 1993.
15.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
16. Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников. М.: АЙРИС РОЛЬФ, 1996.
17. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И., Вуколова Т. М. Функции. Уравнения. Неравенства. — М.: Изд-во Московского Университета, 1995.
18. Ярахмедов Г. Я. Избранные вопросы школьной математики. — Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1983.
19.Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа 10−11. Учебник — М.: Просвещение, 2001.
20. Башмаков Алгебра и начала анализа 10−11. Учебник — М.: Просвещение, 1992.
21. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа 10−11. Учебник — М.: Просвещение, 1999.
22. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10−11 // УчебникМ.: Мнемозина, 2003. ПРИЛОЖЕНИЕ АФормулы зависимости между функциями одного и того же аргумента. 1.
4.2.
5.3.
6.Формулы сложения. Формулы двойных и половинных углов. 1.
5.2.
6.3.
7.4.
8.Формулы преобразования суммы в произведение. Формулы преобразования произведения в сумму.
