Некоторые вопросы конформной геометрии квази-сасакиевых многообразий

Отправной точкой к активному развитию теории контактных структур и их естественного обобщения — почти контактных структур — послужили появившиеся в 50-х годах прошлого века работы С. Чженя [27], Дж. Грея [40, 41, 42], В. Бутби и X. Вана [26]. С тех пор уже практически полвека эта теория является предметом пристального внимания геометров. Наиболее полная картина диапазона исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлена в работах [2], [12], [20] и [21]. Такая заинтересованность данной темой среди современных исследований в дифференциальной геометрии обусловлена ее богатым внутренним содержанием, а также многочисленными приложениями в современной математической физике, в частности, в классической и квантовой механике. Есть еще одно важное обстоятельство изучения почти контактных метрических структур: они являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур в эрмитовой геометрии, которая традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. В связи с этим отметим тот факт, что на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия естественным образом строится почти контактная метрическая структура, а на многообразии М х М, где М несет почти контактную метрическую структуру, канонически индуцируется почти эрмитова структура.

Контактной структурой, или контактной формой на нечетномерном многообразии М2п+1 называется 1-форма 77, такая, что в каждой точке многообразия ?] л ¿-ц л. д йт] -Ф 0, то есть ранг формы ц совпадает с размерностью 1-«-' п рев.

М2а+1. Многообразие, наделенное контактной структурой, называется контактным. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году с работы С. Чженя [27]. Он показал, что дифференцируемое нечетномерное многообразие с фиксированной контактной формой т/ допускает С-структуру со структурной группой {е}хЫ{п). Дж. Грей [42] назвал такие многообразия почти контактными. Исследовавший это направление Сасаки в своей статье [59] доказал, что допускающее С-структуру многообразие внутренним образом несет структурную тройку тензоров (>7, Ф), где ц — ковектор,? — вектор, Ф — тензор типа (1,1). При этом тройка тензоров удовлетворяют тождествам = Ф2 = —/с/ + т- ® из которых выводятся еще два: г) о ф = О, Ф (£) = 0. Более того, произвольная риманова метрика к на таком многообразии достраивается до метрики.

ФХ, ФУ) = (Х, У)-т1(Х)т1(У), где Хи У-гладкие векторные поля на многообразии. Построенная таким образом метрика дополняет структуру (ц, Ф) до почти контактной метрической структуры [12].

После того, как в 1980 году вышла работа А. Грея и Л. Хервеллы [39] о классификации почти эрмитовых структур, перед геометрами возникла естественная задача о систематизации классов почти контактных метрических структур. По этой проблеме вышло несколько работ разных авторов, но наиболее интересной оказалась совместная работа Д. Чинеи и X. Марреро [31]. Для классификации указанных структур они изучили представление группы {е}хЫ{п) на некотором специальном пространстве тензоров с определенными свойствами симметрии. Но геометрами с течением времени выделялись новые классы почти контактных метрических структур, поэтому более прозрачным решением проблемы их систематизации стала вышедшая в 2003 году работа В. Ф. Кириченко [12]. В этой работе автор предложил «контактный» аналог классификации Грея-Хервеллы для почти контактных метрических структур и получил удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу. В. Ф. Кириченко определил число таких классов, которое оказалось практически необозримым (2,1=2048; внутри классов естественным образом можно определять подклассы).

Достаточно полный обзор изучаемых в настоящее время структур в контактной геометрии и полученные результаты в этой области приведены в работе [12]. Среди многочисленных исследований контактных и почти контактных метрических структур следует выделить получившие широкую известность в работах такие их специальные классы, как /¡-¿-" -контактные, косим-плектические, сасакиевы, квази-сасакиевы, структуры Кенмоцу. Особый интерес здесь представляют квази-сасакиевы структуры, которые являются обобщающими для сасакиевых и косимплектических структур. Разделение на классы этих структур возникло естественным образом — оно основано на ранге контактной формы /7, причем, сасакиевы и косимплектические структуры являются «пограничными» классами:⁷⁷ = 1 (?/77 = 0) для косимплектических и rgг} = 2п +1 {г] а (?/77)" ф о| для сасакиевых структур.

Основополагающей в теории квази-сасакиевых структур была статья Д. Блэра [23]. Им было доказано, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, а вектор? является вектором Киллинга. Д. Блэр установил, при каких условиях квази-сасакиево многообразие является произведением сасакиева и келерова многообразий, а также что квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является сасакиевым либо косимплектиче-ским (с точностью до гомотетии) [23]. Ш. Канемаки [47] изучал квази-сасакиевы многообразия, каждое из которых локально является произведением сасакиева и келерова многообразий. Г. Янамото [68] нашел условия, при которых на произвольных гиперповерхностях почти эрмитова многообразия возникают квази-сасакиевы структуры, и изучал свойства последних. С. Голдберг [34] исследовал гиперповерхности келеровых многообразий, имеющие (квази-сасакиеву) косимплектическую структуру. С. Танно [64] изучал (квази) сасакиевы структуры.

Далее квази-сасакиевы структуры изучались В. Ф. Кириченко и А. Р. Рустановым [11]. Для их изучения систематически использовался метод присоединенных С-структур [12]. Среди результатов этой работы выделим следующие: 1) получена полная группа структурных уравнений квази-сасакиевой структуры- 2) на их основе изучено строение классических тензоров — Римана-Кристоффеля, Риччи, скалярной кривизны- 3) найдены четыре ключевых тождества для тензора Римана-Кристоффеля квази-сасакиевых многообразий- 4) с помощью указанных тождеств были выделены три класса рассматриваемых многообразий и изучено их строение- 5) с помощью дополнительных свойств симметрии тензора кривизны был выделен новый класс квази-сасакиевых многообразий — класс СЯ, приведено исчерпывающее описание локального строения многообразий этого класса.

В дифференциальной геометрии интересными для исследований являются свойства изотропности многообразий. В частности, изучаются свойства почти контактных метрических многообразий, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей [5]. В связи с этим для указанных многообразий Д. Блэром и С. Сасаки было введено понятие Ф-голоморфной секционной кривизны [24], [61]. Существенный вклад по этой линии исследований внесли работы С. Танно [63] и В. Ф. Кириченко [51], [5] и [6]. На квази-сасакиевых многообразиях значительные результаты по этой проблематике получены в работах А. Р. Рустанова и В. Ф. Кириченко. Именно, для квази-сасакиевых многообразий [18] и квази-сасакиевых многообразий класса СЯ [11] были найдены критерии точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны и выполнимости аксиомы Ф-голоморфных плоскостей. Более того, получена полная классификация квази-сасакиевых многообразий класса СЯ (с точностью до (Впреобразования метрики) точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей [11].

Необходимо отметить актуальность еще одного направления почти контактной геометрии, которое в последнее время привлекает внимание исследователей: изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Вообще конформные отображения и конформные структуры нашли свое применение не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики.

Большую практическую роль играют конформные отображения плоских и лежащих на гладких поверхностях двумерных областей. Конформные отображения широко применяются в картографии (стереографическая проекция и проекция Меркатора). Следует заметить, что постановка в общем виде задачи конформного отображения привела в свое время к возникновению и развитию теории поверхностей.

Внимание к конформной геометрии почти эрмитовых структур усилилось после того, как И. Вайсман [67] обнаружил, что структура многообразия Хопфа является локально конформно-келеровой. Напомним, что многообразие Хопфа — это классический пример некелерова локально конформно-келерова многообразия [67]. Укажем здесь еще один существенный результат, определивший дальнейшее изучение конформной эрмитовой геометрии: в конце 80-х годов С. Ианус и М. Васинеску [43], [44] показали, что конформно плоское локально конформно келерово многообразие с параллельной в римановой связности формой Ли может служить моделью для теории супергравитации Калуцы-Клейна. Поэтому основной поток работ ведется в рамках локально конформно-келеровых структур [54], в изучении которых существенный вклад внесли работы И. Вайсмана [65], [66], [67] и мн. др., а также Т. Кашивады [48], [49], С. Голдберга и И. Вайсмана [36], К. Икуты [45], В. Ф. Кириченко [7], [8], М. Х. Шахида [62], и мн. др.

Из сказанного выше становится ясной причина заинтересованности геометров и областью конформных преобразований почти контактных метрических структур. Много работ по этой тематике вышло у Д. Чиньи и X. Марреро [29], [30], в соавторстве их с М. де Леоном [28] и Ж. Роша [32], где рассматривались локально конформно косимплектические многообразия в различных аспектах. Д. Чинья и X. Марреро нашли условия, при которых почти контактное метрическое многообразие является локально конформно (почти) косимплектическим. Авторы доказали, что в таких многообразиях на листах голономного распределения т] = 0 индуцируется локально конформ-но-келерова структура [30]. Проблемы приложения локально конформно косимплектических многообразий к актуальным вопросам теоретической механики рассматриваются в работе [28]. Заметим, что теория конформных преобразований почти контактных метрических структур имеет естественные точки соприкосновения с теорией почти контактных метрических субмерсий, активно изучаемых в последнее время [32], [33]. Сравнительно недавно внимание геометров обратила на себя геометрия локально конформно почти ко-симплектических структур, в исследованиях которых с различных точек зрения отметим работы 3. Ольжака ([57], в соавторстве с Р. Роша [58]), К. Ма-цумото и др. [55], [56], Д. В. Юна и др. [69].

Изучение нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, было начато в работах В. А. Левковца. Автор использовал метод структурных уравнений и их дифференциальных продолжений, записанных в специализированном репере. Он выделил подклассы нормальных почти контактных метрических многообразий, названные ¿—многообразиями и локально конформно квази-сасакиевыми (короче, IcQS-) многообразиями, соответственно [17]. В совместной работе с В. Ф. Кириченко [13] было доказано, что эти классы совпадают, если контактная форма Ли замкнута и кол-линеарна контактной форме в римановой связности. Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля IcQS-многообразий, с их помощью выделено два класса этих многообразий и получено описание каждого из них. Также В. А. Левковцом получено описание локально симметрических /¿-^-многообразий [16], и в соавторстве — IcQS-многообразий постоянной кривизны [13].

Настоящее исследование в определенной степени можно назвать обобщающим и продолжающим работу В. А. Левковца, потому что здесь рассматриваются вопросы конформной геометрии почти контактных метрических структур, допускающих в окрестности каждой своей точки конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру. Заметим, что исходная структура не обязательно нормальна, т. е. априори является произвольной почти контактной метрической структурой.

Объект исследования — почти контактные метрические структуры, локально конформные квази-сасакиевым структурам. Далее объект исследования будем называть локально конформно квази-сасакиевыми структурами, или, короче, Ь С^-стру ктурами.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании свойств локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

В соответствии с целью диссертационного исследования поставлены следующие основные задачи:

1. Получить полную группу структурных уравнений? С^-структур и на их основе изучить строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2. Получить новые тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля. На их основе выделить и изучить наиболее интересные классы локально конформно квази-сасакиевых структур, охарактеризовав строение выделенных классов в терминах структурных тензоров и контактной формы Ли.

3. Получить условия вполне интегрируемости контактного распределения? С^-структур.

4. Изучить строение контактной формы Ли и ее связь с контактной формой на многообразиях с ЬС0 $ структурой.

5. Построить и изучить внутренним образом определенную (отличную от римановой) связность на многообразиях с структурой.

6. Изучить строение некоторых типов распределений ЬС ()8-структур и получить контактный аналог теоремы Икуты для исследуемых структур.

7. Установить, как свойства квази-сасакиевых структур изменяются при нетривиальных конформных преобразованиях? С^-структур.

Новизна результатов. Основные результаты данной диссертационной работы являются новыми. Эти результаты решают поставленные в исследовании основные задачи, а именно:

1. На пространстве присоединенной (/-структуры получена полная группа структурных уравнений структур и изучено строение компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2. Рассмотрены классы кривизны СЯг и СЯз локально конформно ква-зи-сасакиевых структур. В терминах контактной формы Ли и тензора Риччи найдены условия, при выполнении которых изучаемые структуры будут принадлежать этим классам.

3. Получено условие вполне интегрируемости контактного распределения? С^-структур.

4. Доказано, что контактная форма Ли локально конформно квази-сасакиевых структур определена внутренним образом. Найдено явное выражение контактной формы Ли в терминах структурных тензоров.

5. Введено понятие первой канонической связности почти контактных метрических структур. Изучен геометрический смысл обращения в нуль элементов спектра тензора кручения этой связности в случае LCQS-c^pyк^yp.

6. Введено понятие келерова распределения Я? С^-многообразия и найдены условия, при которых интегральные многообразия любого распределения 2) с Я? С^-многообразия являются вполне вещественными подмногообразиями. Этот результат является контактным аналогом известной теоремы Икуты.

7. Установлено, что квази-сасакиевы структуры не переводятся в ква-зи-сасакиевы структуры нетривиальным локально конформным преобразованием.

8. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых почти контактная метрическая структура является нормальной ЬС ()8-структурой.

9. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная? С^-структура является регулярной.

10. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых нормальная регулярная 1. С ()3-структура является структурой Кенмо.

ДУ.

Методы исследования. Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана — метода присоединенных (7-структур. Суть метода заключается в изучении дифференциально-геометрических свойств структур на естественным образом присоединенной к многообразию с изучаемой структурой главного расслоения, которое рассматривается как подрасслоение всех комплексных реперов над этим многообразием. Это подрасслоение называется С-структурой. В изучении отдельных вопросов использовался метод инвариантного исчисления Кошуля и аппарат классического тензорного анализа. Заметим, что для? С^-структур ключевым характеристическим свойством является наличие введенной нами глобально определенной 1-формы — контактной формы Ли.

Теоретическое и прикладное значение работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Все полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения локально конформно ква-зи-сасакиевых структур, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении ее естественных контактов с математической физикой. Кроме того, данная работа может быть использована при чтении спецкурсов по близкой тематике, для написания дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии математического факультета МПГУ (руководитель семинара — доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко) — на международной конференции «Колмогоровские чтения — III» г. Ярославль, май 2005 г.) — на международной конференции «Геометрия в 0дессе-2006» (г. Одесса, май 2006 г.).

Публикации по теме работы. Содержание основного текста диссертации и полученных основных результатов отражено в 5 публикациях [70] -[74], две из которых выполнены в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертационное исследование состоит из введения, 4 глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, список литературы включает 69 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Бишоп, Р. Геометрия многообразий Текст. / Р. Бишоп, Р. Дж. Крит-тенден. — М.: «Мир», 1967. — 335 с.

2. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст. / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. — Т. 9. — С. 5−246.

3. Картан, Э. Риманова геометрия в ортогональном репере Текст. / Э. Картан. М.: МГУ, 1960. — 94с.

4. Кириченко, В. Ф. Дифференциальная геометрия К-пространсте Текст. / В. Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1973. — Т. 8. — С. 139−161.

5. Кириченко, В. Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии Текст. / В. Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1984. — Т. 48. — № 4. — С. 711−734.

6. Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий Текст. / В. Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 18. -С. 25−71.

7. Кириченко, В.Ф. Конформно-плоские локально-конформно келеровы многообразия Текст. / В. Ф. Кириченко // Матем. заметки. 1992. — Т. 51.-Вып. 5.-С. 57−66.

8. Кириченко, В. Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны Текст. / В. Ф. Кириченко // Матем. сборник. -1991. Т. 182, — Вып. 3, — С. 354−363.

9. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст.: монография. М.: МПГУ, 2003. — 495 с.

10. Кириченко, В.Ф. О геометрии Ь-многообразий Текст. / В. Ф. Кириченко, В. А. Левковец // Матем. заметки. 2006. — Т. 79. — Вып. 6. — С. 854 869.

11. Кобаяши, Ш. Основы дифференциальной геометрии Текст.: в 2-х т. / Ш. Кобаяши, К. Номидзу. М.: «Наука», 1981. — Т. 1. — 344 с.

12. Кобаяши, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Текст.: в 2-х т. / Ш. Кобаяши, К. Номидзу. М.: «Наука», 1981. — Т. 2. — 414 с.

13. Левковец, В. А. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий Текст.: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04 / Левковец Вадим Александрович. М, 2004. -11 е.- Библиогр.: с. 75−77.

14. Рустанов, А. Р. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей для квази-сасакиевых многообразий Текст. / А. Р. Рустанов // Науч. труды МПГУ.- М., 1994. С. 39−45.

15. Уорнер, Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли Текст. / Ф. Уорнер. М.: Мир, 1987. — 304 с.

16. Широков, А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст. / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т.6. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1969. — С. 127−188.

17. Широков, А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст. / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т. П. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1974. — С. 153−208.

18. Bishop, R.L. Manifolds of negative curvature Text. / R.L. Bishop, B. O’Neil // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. — Vol. 145. — Nov. -P. 1−49.

19. Blair, D.E. The theory of Quasi-Sasakian structures Text. / D.E. Blair // J. Diff. Geom. 1967. — V. 1. — N. 4. — P. 331−345.

20. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry Text. / D.E. Blair // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 1976. — V. 509 — 146 p.

21. Blair, D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds Text. / D.E. Blair// Birkhauser, Boston, Basel: Progr. Math, 2002. V. 203. 304 p.

22. Boothby, W. On contact manifolds Text. / W. Boothby, H.C. Wang // Ann. of Math. 1958. — 2nd Ser. — Vol. 68. — N. 3. — P. 721−734.

23. Chern, S.-S. Pseudo-groupes continus infinis Text. / S.-S. Chern // Colloqe de Geometrie Differentielle. Strasbourg, 1953. — P. 119−136.

24. Chinea, D. Locally conformai cosymplectic manifolds and time-dependent Hamiltonian systems Text. / D. Chinea, M. de Leon, J.C. Marrero // Comment. Math. Univ. Carolinae. -1991. V. 32. — N. 2. — P. 383−387.

25. Chinea, D. Conformai changes of almost contact metric structures Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Riv. mat. Univ. di Parma. 1992. -V. 5. — N. 1. -P. 19−31.

26. Chinea, D. Conformai changes of almost cosymplectic manifolds Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Rend, di Mat. 1992. — Ser. VII. — V. 12. — P. 849 867.

27. Chinea, D. Classifications of almost contact metric structures Text. / D. Chinea, J.C. Marrero // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1992. — V. 37. -P. 199−212.

28. Goldberg, S.I. Totally geodesic hypersurfaces ofKaehler manifolds Text. / S.I. Goldberg // Pacific J. Math. 1968. — Vol. 27. — N. 2. — P. 275−281.

29. Goldberg, S.I. Integrability of almost cosymplectic structure Text. / S.I. Goldberg, K. Yano // Pacific J. Math. 1969. — Vol. 31. — N. 2. -P. 373−382.

30. Goldberg, S.I. On compact locally conformai Kaehler manifolds with curvature non-negative sectional curvature Text. / S.I. Goldberg, I. Vaisman // Annales de la faculte des sciences de Toulouse. 1980. — Serie 5e. — Tome 2. — № 2. — P. 117−123.

31. Gray, A. Nearly Kahler manifolds Text. / A. Gray // J. Diff. Geom. 1970. -Vol.4.-N.3.-P. 283−309.

32. Gray, A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds Text. / A. Gray // Tohoku Math. J. 1976. — Vol. 28. — N. 4. — P. 601−612.

33. Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants Text. / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Pure end Appl. -1980.-Vol. 123.-N. 4.-P. 35−58.

34. Gray, J.W. A theory of pseudo groups with applications to contact structures Text.: Thesis / J.W. Gray // Stanford Univ. 1957. Tech. Rep. ONR.

35. Gray, J.W. Contact structures Text. / J.W. Gray // Abst. short com. Int. Congress Math, in Edinburgh. Edinburgh: Univ. Edinburgh, 1958. — P. 113.

36. Ishihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasacian spase form Text. /1. Ishihara // Kodai Math. J. 1976. — Vol. 2.-P 171−186.

37. Kanemaki, S. Quasi-Sasakian manifolds Text. / S. Kanemaki // Tohoku Math. J. 1977. — Vol. 29. — N. 2. — P. 227−233.

38. Kashiwada, T. Some properties of locally conformai Kahler manifolds Text. / T. Kashiwada // Hokkaido Math. J.- 1979. Vol. 8. — P. 191−198.

39. Kashiwada, T. On V-harmonic forms in compact locally conformai Kahler manifolds with the parallel Lee form Text. / T. Kashiwada // Kodai Math. J. 1980.-Vol.3.-P. 70−82.

40. Kirichenko, V.F. Generalized Quasi-Kaehlerian Manifolds and Axioms of CR-Submanifolds in Generalized Hermitian Geometry, II Text. / V. F Kirichenko // Geometriae Dedicata. Vol. 51. — N. 1. — P. 53−85.

41. Kobayashi, S. Principal fibre bundles with 1-dimensional toroidal group Text. / S. Kobayashi // Tohoku Math. J. 1956. — V. 8. — N. 2. — P. 29−45.

42. Libermann, P. Sur les structures presque complexes et autres structures infinitisimales regulieres. / P. Libermann // Bull. Soc. Math. Franse. 1955. -V. 83.-P. 195−224.

43. Matsumoto, K. A certain locally conformai almost cosymplectic manifolds and its submanifolds Text. / K. Matsumoto, I. Mihai, R. Rosea // Tensor (N.S.).- 1992.-V. 51.-P. 91−102.

44. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. I Text. / S. Sasaki // Tohoku Math. J. 1960. — V. 12. — N. 3. — P. 459−476.

45. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure Text. / S. Sasaki, Y. Hatakeyama //Tohoku Math. J. -1961. V. 13. — P. 281−294.

46. Sasaki, S. Almost contact manifolds Text.: Lect. Notes I / S. Sasaki // Math. Inst. Tohoku Univ., 1965. — P. 1−250.

47. Shahid, M.H. CR-submanifolds of a locally conformai Kaehler space form Text. / M.H. Shahid // International J. of Math. & Math. Sei. (U.S.A.). -1994.-Vol. 17.-N. 17-P. 511−514.

48. Tanno, S. Sasakian manifolds with contact 0-holomorphic sectional curvature Text. / S. Tanno // Tohoku Math. J. 1969. — V. 21. — N. 3. — P. 501 507.

49. Tanno, S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+l Text. / S. Tanno // J. Diff. Geom. -1971. V. 5. — N. 3−4. — P. 317−324.

50. Vaisman, I. On locally conformai almost Kuhler manifold / I. Vaisman // J. Math. 1976. — V. 24. — N. 3−4. — P. 338−351.

51. Vaisman, I. Some curvature properties of locally Kuhler manifolds Text. / I. Vaisman // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. -Vol. 259. — N. 2. — P. 439 447.

52. Vaisman, I. On locally and globally conformai Kuhler manifolds Text. /1. Vaisman // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. — Vol. 262. — N. 2. — P. 533−542.

53. Yanamoto, H. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds Text. / H. Yanamoto // Res. Repts. Nagaoka Techn. 1965. — Coll. 5. — N. 2. -P. 93−103.

54. Yoon, D.W. Some inequalities for warpedproducts in locally conformai almost cosymplectic manifolds Text. / D.W. Yoon, K.S. Cho, S.G. Han II Note di Matematica. 2004. — V. 23. — N. 1. — P. 51−60.Публикации автора по теме диссертационной работы.

55. Баклашова, Н. С. Структурные уравнения LCQS-структур и их приложение Текст. / Н.С. БаклашоваМое. пед. гос. ун-т. М., 2005. — 34 с. -Библиогр.: с. 33−34. — Деп. в ВИНИТИ 01.07.05, № 935-В2005.

56. Баклашова, Н. С. Некоторые свойства кривизны LCQS-многообразий Текст. / Н. С. Баклашова // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей. М.: ГНО Изд-во «Прометей», 2006. — С. 25−30.

57. Кириченко, В. Ф. Об интегрируемости фундаментальных распределений LCQS-структуры Текст. / В. Ф. Кириченко, Н. С. Баклашова // Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания. М.: МПГУ, 2006. — С. 98−102.

58. Кириченко, В. Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты Текст. / В. Ф. Кириченко, Н. С. Баклашова // Матем. заметки. 2007. — Т. 82. — Вып. 3. — С. 347−360.