Комплексные числа в геометрии

Квазиклассическая вероятность излучения Γ пропорциональна мнимой части квазиклассического действия, то есть.

Отбрасывая квадратичный член, получим Хокинговскую температуру.

Тогда дифференциальный спектр излучения при данной температуре запишется как.

где форм-фактор T (ω) описывает вклад частиц с различным спином и эффекты рассеяния на гравитационном потенциале. Интегрируя данный спектр (при больших массах он превращается в хорошо известный спектр Планка излучения абсолютно черного тела), получим скорость испарения черной дыры (то есть, знаменитую формулу Хокинга).

То есть, эффект пропорционален обратному квадрату массы черной дыры, поэтому он актуален только для черных дыр малой массы. Значит, для астрофизических черных дыр с массами, сравнимыми с массами Солнца, им можно полностью пренебречь, а для черных дыр на Большом адроном ускорителе в Европейском центре ядерных исследований именно этот эффект будет преобладающим.

Практическая часть.

В данной части мы построим модель испарения черной дыры с усложненной метрикой, взятой из работы [А.Бару, Г. Будул, О. Хованская, М. Сажин].

При описании процесса хокинговского испарения в приближении Вентцеля-Крамера-Брилье (WKB) все основные процессы происходят вблизи горизонта черной дыры. Рассмотрим усложненный вариант метрики вида.

Так как метрические функции Δ® и σ® зависят от радиальной координаты r, зададим разложения на горизонте в усложненном квази-шварцшильдовском виде:

где ε (M) и σ0 (M) — дополнительные поправочные функции к метрике, показывающие отличие поведения метрических функций нашей черной дыры от черной дыры Шварцшильда.

Зададим аналитические апроксимационные функции для ε (M) и σ0 (M). Так как нас интересуют последние стадии испарения, где отличие от стандартного сценария Хокинга будет уже существенным, используем ряды Тейлора в окрестности нулевого значения массы, которые отвечают одному из типов черных дыр из теоретической физики.

Используя эту технику, становится возможным найти скорость испарения уточненной черной дыры на последних стадиях в виде аналитического выражения.

Выражение для мнимой части действия, которую необходимо найти, имеет вид:

где ω - энергия частицы, H — полный гамильтониан (то есть, полная энергия системы). Параметризацию метрики необходимо выбрать так, чтобы избежать координатной сингулярности на горизонте. Следуя [7], мы используем координаты Пейнлеве, общий вид которой имеет вид в данном случае:

В приближении ВКБ мнимая часть квазиклассического действия.

Im (S), описывающая вероятность туннелирования через горизонт, имеет вид:

где pr — канонический импульс.

Для черной дыры с изучаемой метрикой радиальные геодезические описываются уравнением:

После подстановки данного выражения в уравнение получим:

Подставляя полученное выражение в уравнение, получим выражение для мнимой части:

Вводим новую переменную y по правилу:

Тогда мнимая часть действия Im (S) примет вид:

В результате всех преобразований получаем, что:

где α - следующее выражение, полученное при помощи системы аналитических вычислений «Математика»:

Таким образом, вычислена мнимая часть действия, дальше необходимо интегрировать полученное выражение, что, в данный момент, не входит в рамки поставленной задачи.

А.Бару, Г. Будул, О. Хованская, М. Сажин,.

A.Barrau, G. Boudoul, O. Khovanskaya, M. Sazhin, «Black hole Relics in String Gravity: Last Stages of Hawking Evaporation» // Class.Quant.Grav. том 19, стр. 4431−4443, 2002.

Бекенштейн Дж.Д.

Bekenstein J.D. «The Limit of Information» // Stud. Hist. Philos. Mod.

Phys. т.32, стр.

511−524, 2001.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. «Теория поля» // М.: Наука, 1988.

Новиков И., Фролов В. П. «Физика черных дыр» // М.: Наука, 1986.

М.К.Парикх, Ф, Вильчек,.

M.K.Parikh, F. Wilczek, «Hawking Radiation As Tunneling» // Phys.Rev.Lett. том 85, стр 5042, 2000.

Сажин М.В., «Общая теория относительности для астрономов», // Курс лекций,.

http://www.astronet.ru/db/msg/1 170 927.

Чандрасекар С. «Математическая теория черных дыр» В двух томах // М.:

Мир, 1986.

Шанкаранарайан С, Падманабхан Т, Сринивасаран К,.

Shankaranarayanan S., Padmanabhan T., and Srinivasan K. «Hawking radiation in different coordinate settings: complex paths approach» //.

Class.Quant.Grav. том 19, стр.

2671−2688, 2000.

И.М.Яглом, «Комплексные числа и их применение в геометрии», // М: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1963.