Метод Гильберта-Роона и устранения некоторых особых точек вещественных алгебраических кривых

I. Описание основных объектов. Предмет исследования настоящей диссертации — плоские вещественные алгебраические кривые.

Предварительно напомним ряд общепринятых определений и обозначений, Плоской проективной кривой степени М называется однородный полином Fе ?[Хо, У1) Х2.2 степени М, рассматриваемый с точностью до постоянного множителя. Буквой F будем обозначать также (в теоретико-множественном контексте) множество.

ZF (p)~0]• Кривая назевается вещественной, если определяющий ее полином F имеет вещественные коэффициенты и рассматривается с точностью до постоянного вещественного множителя. Множество вещественных точек вещественной кривой h обозначается ERF. Вещественная кривая принадлежит типу I, если множество F RF несвязно, и принадлежит типу П в противном случае.

Полные действительные ветви вещественной кривой, гомологичные нулю в IRP1 и не содержащие особых точек кривой, называются овалами. Схемой степени Ж называется схема взаимного расположения овалов неособой вещественной кривой степени Ж. Схема называется насыщенной, если она не является частью большей схемы той же степени. Схема степени Ж принадлежит типу I (типу П), если все кривые степени Ж с этой схемой принадлежат типу I (типу П), Схемы (а также фрагменты чертежей, состоящие из овалов) кодируются по Виро [а! — в частности, символ означает И пустых овалов, символ, А Л В означает дизъюнктное объединение схем, А и В, символ КАЪ означает, чтр один овал охватывает овалы, расположенные по схеме, А ,.

Множество комплексных кривых степени Ж стандартно отождествляется с пространством CP", множество вещественных кривых степени Ж — с пространством КРИ, где п-=м (ил+ъ)/2.

Для рассмотрения локальных вопросов в случае необходимости будем.

2. выбирать аффинную часть плоскости CP, приравнивая одну из проективных координат к единице, и аффинную часть пространства CP*, приравнивая один из коэффициентов кривой к единице. В CP2″ и CP* считается введенной стандартная метрика. Если М е (ГРк (или MelRPK), то через СЦ (М,?) (соответственно К (М, С)) обозначим? -окрестность точки М в CP (соответственно в! RPK).

Через (F'Cr)(U) обозначается кратность пересечения кривых Fj G во множестве CP. Для краткости положим (FG-)= (F'G)(Ff)G). Через $Си$ F обозначается множество особых точек кривой F .

2. Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Задача исследования топологии вещественных алгебраических многообразий и, в частности, алгебраических кривых, является одной из фундаментальных и классических проблем математики. Решение ее далеко от завершения.

В 1876 г. А. Гаряак [49] доказал, что число полных действительных ветвей неособой плоской кривой не превосходит + 1, где д, — род кривой. Ф. Клейн f52, 53 J доказал это для неприводимых особых кривых. Это утверждение называется неравенством Гарнака. Далее (M-L) -кривой называется неприводимая вещественная кривая с (%.+ 1~L) полными действительными ветвями. В 1900 г. Д. Гильберт f50J в своей 16-й проблеме поставил задачу изотопической классификации неособых вещественных алгебраических кривых и поверхностей и предложил применить к ее решению «метод непрерывного изменения коэффициентов». В согласии с этой идеей Гильберта Г. Кан f5IJ и-К.Лёбенштейн f54j пытались запретить (Лсхему 6-й степени (11/>. Далее этот метод был существеяно развит К. Роояом и применен для запрещения Л1 -схем 6-й степени <11> и 1<Ю? ?55, 56J, однако доказательства оставались нестрогими. Д. А. Гудков [10, II, lb] дал строгое построение этого метода, названного им методом Гильберта-Роона, для кривых 6-й степени и с его помощью завершил классификацию схем 6-й степени Г. М. Полотовский [2AJ применил тот же вариант метода Гильберта-Роона при классификации кривых 6−1 степени, распадающихся на две неособые трансверсальные компоненты. Однако до настоящего времени не были выяснены возможности применения метода Гильберта-Роона к исследованию кривых других степеней.

Классические способы построения вещественных неособых кривых, предложенные Гарнаком, Гильбертом, Брюзотти, Виманом, а также построения кривых серии Гудкова [llj заключаются в построении кривых с обыкновенными двойными точками и их последующем возмущении (подробности см. в fl3j, §§ 3,4,7). Эти способы (в сочетании с известными запретами [2, 13, 31, 34, 59, J) не давали возможности расклассифицировать схемы степени > 7. Предложенный О. Я. Виро f4, 6, 8J метод построения вещественных кривых, основанный на устранении особенностей с невырожденной диаграммой Ньютона, оказался весьма эффективным. Этим методом О. Я. Виро [4, 6, 8 ] завершил классификацию схем 7-й степени и реализовал 42 новые Мсхемы 8-й степени, Ю. С. Численко С38.0реализовала более 500 новых Мсхем 10-й степени, Г. М. Полотовский С26, 27,] реализовал 200 (М-2.)-схем 8-й степени. Дальнейшее продвижение наталкивается на проблему классификации типов устранений особых точек и возможности их реализации методом Виро. В частности, в р4, 6, 8, 26, 27, 38] существенно использовались устранения точки квадратичного касания четырех ветвей и обыкновенной пятикратной точки N1() (здесь и далее обозначения из [I]). Устранения более простых полуквазиоднородных особых точек расклассифицированы О. Я. Виро 8J. Полная классификация устранений особых точек типа 2, о и не получается из известных запретов и построений, в то же время отсутствие такой классификации является одним из препятствий к реализации новых схем степени 8. О. Я. Виро высказал мысль о целесообразности применения метода Гильберта-Роона к классификации устранений особенности. Однако разработанный вариант метода Гильберта-Роона ?" 15/] не годился в данном случае.

Настоящая диссертация посвящена развитию и обобщению метода Гильберта-Роона, приложению его к классификации устранений особых точек типа ОС^о и.

3. Метод Гильберта-Роона. Перед формулировкой основных результатов диссертации более подробно опишем метод Гильберта-Роона. Метод Гильберта-Роона применяется для доказательства существования или несуществования гипотетической плоской вещественной алгебраической кривой данной степени м конкретного изотопического типа, с конкретным набором особенностей, конкретным расположением относительно заданных кривых или с другими интересующими нас свойствами.

Сначала суть метода Гильберта-Роона поясним на примере запрета Мсхемы 6-й степени <11У (см. [?I3j, § 7). Пусть неособая вещественная кривая 6-й степени F0 имеет схему <11 >. ггч О 2.

Легко показать, что, двигаясь в пространстве IRP вещественных кривых 6-й степени по отрезкам «прямых», кривую F0 можно преобразовать в кривую F10, состоящую из 10 у.е.диненных точек типа Ai л одного пустого овала о (. Множество кривых 6-й степени с неподвижными особыми точкамитипа А1 и еще двумя (подвижными) особыми точками типа A i является квазипроективной «кривой» ft, вещественная часть которой состоит из конечного числа компонент, гомеоморфных интервалу или окружности. Замыкание ft включает также конечное число «точек», соответствующих более сложным кривым. Особые точки Zf-.-V2g кривой F10 можно варьировать (т.е. произвольно перемещать в своих окрестностях), сохраняя еще две особенности Ai. Тем самым варьируется «кривая» ft и можно добиться того, чтобы принадлежащие ей усложненные кривые были наиболее просты. Все возможные такие усложнения можно перечислить, описать все возможные перестройки (бифуркации) вещественной части кривой при переходе через усложнение по ветви «кривой» Л. Теперь, исходя из кривой Fi0, будем двигаться по «кривой» ft так, чтобы овал сжимался. Тогда, очевидно, компонента «кривой» ft, по которой мы движемся, незамкнута и неизбежно усложнение. Затем доказывается, что при переходах по «кривой» # через усложнения (либо, в случае некоторых усложнений, при переходах по «прямым» на другие компоненты «кривой» Jt), кривая сохраняет пустой овал, который все время сжимается. А так как компоненты «кривой» Jb замкнуты и их число конечно, то неизбежно возвращение в уже пройденную «точку» на «кривой» ft, что противоречит монотонному сжатию овала о<. .

Теперь опишем общую схему применения метода Гильберта-Ро-она. Сначала разрабатывается подходящий вариант метода Гильбер-та-Роона. Именно: а) По гипотетической кривой выбирается конечный набор семейств одномерных алгебраических подмногообразий пространства вещественных кривых данной степени. б) Исследуются свойства общих подмногообразий из этих семейств. Почти все кривые, принадлежащие подмногообразию из какого-либо семейства, имеют одинаковый набор особенностей, некоторое неспециальное расположение относительно заданных кривых и т. д. Конечное число «точек» на подмногообразии соответствует усложненным кривым, которые характеризуются увеличенной суммой чисел Милнора особых точек, специальным расположением относительно заданных кривых и т. д. Общность подмногообразия из данного семейства означает, что принадлежащие ему усложненные кривые наиболее просты (в строго формулируемом смысле). Неусложненные вещественные кривые заполняют в общем подмногообразии конечное число «дуг», гомеоморфных интервалу, и «петель», гомеоморфных окружности. Для усложненных кривых из общего подмногообразия описываются все возможные наборы особых точек, характер распадения, особенности расположения относительно заданных кривых. Исследуется особоеть ветвей общего подмногообразия с центром на «дуге», «петле» или в усложненной «точке». в) Описывается поведение вещественной кривой при движении по «дугам» или «петлям» общих подмногообразий. Описываются все возможные бифуркации кривой при переходе через усложненную «точку» по ветви общего подмногообразия, устанавливаются необходимые условия для каждой из таких бифуркаций.

Разработка вариантов метода Гильберта-Роона осуществляется на основе исследования I) пересечения близких алгебраических кривых в окрестности особой точки- 2) гладкости, трансверсальности и размерности стратов j^-covst в пространстве кривых фиксированной степени- 3) независимости упрощений и вариаций особых точек алгебраических кривых.

Доказательство несуществования гипотетической кривой проводится от противного. Строится путь в пространстве кривых данной степени с началом в гипотетической кривой, носитель которого является объединением конечного числа «дуг», «петель» и «точек» общих подмногообразий из выбранных семейств. Если при движении по этому пути исходная кривая после ряда неизбежных бифуркаций превращается в заведомо несуществующую кривую, либо при движении по какой-либо «дуге» никакие усложнения невозможны, то гипотетическая кривая не существует.

Для доказательства существования гипотетической кривой строится некоторая исходная кривая и путь с началом в исходной кривой. Носитель пути составлен из конечного числа «дуг», «петель» и «точек» общих подмногообразий из выбранных семейств. Затем показывается, что при движении по этому пути исходная кривая после ряда неизбежных бифуркаций превращается в кривую искомого типа.

4. Основные результаты диссертации и их новизна. Формулировки основных результатов, помеченные заглавными буквами АУ, будем сопровождать необходимыми определениями и примечаниями.

Развитие и обобщение метода Гильберта-Роона, данное автором, основывается на теоремах А}В?С о плоских кривых произвольной степени. Ведем следующие обозначения. Пустьр — изолированная особая точка кривой F, J^-^ip,^) — число Милнора, к= ord (p, F) порядок, J4+K-1 — класс особой точки р. Пусть €U (p,^)f) Scw^F= {р}^ и фиксированы прямые, проходящие через р. Положим.

U (F/?)l3p, e CUfa*), ja (р',<�Р)=уч] М0(р)={фе .

М (p, L) = {Ф е CV (F,?) I Эр L П CV (Fl (.

Пусть Фе (СМ^б). Будем говорить, что при переходе от F к особая точка р кривой F а) сохраняется, если М (р б) упрощается до типа, если Sc^^f) €U (p, 5)=. рf — особая точка кривой Ф типа 5, в) устраняется, если Sug^fl.

А. Теорема о пересечении близких кривых. Если? ? О доста-точно^мало^то.

1) Для^всех <�реМ (р) выполнено.

F¦

2) Для^сех Ф? М0(р) выполнено.

3) Длявсех *Р <= M (p, L) выполнено.

СР-<�Р)(СЧ (р, Х))г (F-L)(p)-lc .

4) Если F неприводша^то £и (F, ?) f кщ^что Г).

F-)(Cu (p, Z)) ^ «tun {?

J 2 €.

6. Теорема о гладкости, трансверсальности и размерности стратов J*-. Пусть на кривой F^тепени лл отмечет следующие 1шожровшныеособыеточки: — типа Aij? = - типа A2mj ге*] -произвольных типов. Пусть F^.^jF^ - все^омпонент^ F, щшодя-щиечерезотмеченные^точки, Fj-m^ j — 4t^. Фиксируем целое и’б-Г^и]. Если^лявсех j= выполнено ±-агА Fj) + ^ 4 () где пробегает всеветви кривой Fj^{центрами} z^ С = 1, и, и F) — некоторой инвариант ветви кривой F (см. определение 3.2.1), то многообразия неособы и трансверсальны в «точке» F, jiprneM.

М0 te?) = ^ где С — коразмерность^собеш.

С. Теорема о независимости вариаций и упрощений особых точек. Пусть в условиях теоремы 3 дополнительно заданы: а) изолированные особые точки i= f^ gi= (лежащие^на /у ~), 6) целыечисла c^ e [о, F)]y i = s'</)(! Si^ F= /p]r для каждой изолированной особоиточки peF, г) точки СК/в^т)^ Пусть для всех выполнено: |? arJiU?, Fj)+ Ж. PJ +? «nit*'?, Fj) 5 M^ (ил- - IMcy-hZ) — 1..

Тогда для достаточно малого > О найдется такая кривая что.

I) при переходе от F ja Ф особые^тошш у не «» ¦ ГТ зависимо сохраняются или устраняются, особые точки гу независимо сохраняются, упрощаются до типа или устраняются- {^FTT^^T.

Ь) — V > F)-i, i= s ..

Если F — вещественная кривая и условия теоремы инвариантны относительно комплексного сопряжения, то существует кривая удовлетворяющая утверждениям (1)-(5), причем^вещественные особые точки t независимо устраняются шп упрощаются любым возможным способом, мнимые сопряженные особые точки испытывают одинаковые изменения..

Более общие и подробные формулировки содержатся в теоремах 2.3.3, 3.2.4 и 4.3..

Теоремы А/В/ С использованы для решения следующих задач: Построен вариант метода Гильберта-Роона для изотопической классификации кривых 8-й с тепени с особеннос тью о ..

Е. Построен вариант метода Гильберта-Роона для изотодичее-кой классификации кривых 5-й степени, пересекающих заданную^пря-мую в фиксированных точках..

Эти варианты включают в себя описание шести семейств одномерных подмногообразий пространства кривых 8-й степени и одного семейства одномерных подмногообразий пространства кривых 5-й степени. Вариант применен в диссертации для получения запретов, вариант Е — для доказательства существования..

Пусть pelRP2 — изолированная особая точка вещественной кривой F степени /г?, вещественная прямая Z-р проходит через р и не касается кривой р. Пусть в замкнутом круге eb (p) ^ HR. P2 с центром р кривая LpF имеет ровно одну особую точку, множество LpF f) гомеоморфно букету отрезков и трансверсально к Э?)(р). Обозначим Z-р Л = Устранением особой точки р кривой F называется множество.

Сг П 3D (р) «где Сг — достаточно близкая к F вещественная кривая степени м, неособая в ZD (р). Тип устранения — это класс устранений, изотопных в ?0 (р) 11 $± } о.

Пусть ре ЕР — особая точка типа А/и кривой F «неособая вещественная квинтика С5 пересекает фиксированную вещественную прямую L ф jp] в тех же точках, что и касательные к F в точке р. Пусть {$} = L (L?1 2 непрерывное отображение, такое, чт0 Opj^^^y^t^bip)-^IKPL— гомеоморфизм, @р ^ Ж Р) RL — двужстное накрытие, • Тогда методом Виро [6], п. 5.3, можно построить устранение особой точки р, изотопное множеству Э~1 (Сs) • Типом расположения неособой квинтики и аффинной прямой L{*} назовем класс квинтик, соединяющихся в RP ({?},) изотопией, составленной из гладких кривых, транс-версально пересекающих прямую RL ..

F. Теорема 16.1.2. У всякой особой точки р типа ji пятью вещественными касательными любой тип устранений реализуется методом Виро. Отображение v Qp индуцирует биекцию между типами устранений точки р и типами расположения неособой квинти-ки и аффинной прямой, пересекающихся в пяти вещественных точках..

Таким образом, классификация устранений особых точек типа No, с пятью вещественными касательными завершена, так как все типы взаимного расположения в IRP квинтики и прямой расклассифицированы [22 — 25J. Доказательство опирается на вариант метода Гильберта-Роона..

Методом Виро устранение особой точки типа 9Cs. to кривой F строится с помощью кривой 8-й степени бг с особой точкой типа VC^o ПРИ условии, что кривизны ветвей кривых F и Gс центром в особых точках типа 9C.

Для построения неособых /Чи (М — 1) — кривых пригодны устранения особых точек типа /0, доставляемые только Ми (№~1) -кривыми 8-, й степени с особой точкой типа, у которых одна полная действительная ветвь четырежды проходит через особую точку. Особая ветвь таких кривых с точностью до подходящего квадратичного преобразования плоскости (RP2 имеет вид, А (рис. I) или вид 3 (рис. 2). Символом А (к1/(соответственно Si (к^^г^ъ)j обозначается изотопический тип кривой с особой ветвью вида, А (соответственно В) и пустыми овалами в области 0Li=.

Рис. I. Рис. 2. (см. рис. I, 2)..

Символ B>z обозначает тип кривой с особой ветвью вида Б и d+oL-t-Jb) овалами в области, из которых единственный непустой овал охватывает оС других овалов. О. Я. Виро [б, 8J реализовал 20 типов /Чкривых:.

А (0,А 10,5, Ч) — A (5t о A (S, у, о).

В, (Ь В3 L5f 3), В, 0,8, 0 BL (2 О, BL (8,0,1) k (0,4,5 Вс (2,4,1)^^4,4,1), ес 10,2,1), i = f, 2.

Несложной модификацией построений Виро строятся все 39 типов (М -1) -кривых, получающихся из /Итипов (I), (2) удалением одного пустого овала (такие (М- 1) -типы назовем сокращениями Мтипов)..

G. Теорема 10.3. I) Не существуют Мкривые серии А.

1).

2) типов, отличных^от (I)..

2) Не^существуют Мкривые серий В^В^ В3 типов, отличных j) t (2) и от Вi (0,0,4), 1,2. ..

Остается неизвестным, реализуются ли типы В), Н. Теорема 10.4″ I) Существуют (М-1) -кривые типов АО, 1) А (1,0! 7-). Не существуют (М~1) -кривые серии, А типов, отличных от сокращений /Итипов (I) и от, А Ы, 0,8-^ ~ 1, %? ..

2) Не существуют (М — 1) -кривые серий Btf В2/ типов, от-жчных от сокращений /Чтипов (2) и от ^ to, Of 8), Bi (1,Зу =? 2..

Остается неизвестным, реализуются ж типы.

WW*), WW.

В качестве примера приложения сформулированных выше результатов в диссертации построены неособые кривые новых типов (теорема 15.1): .-.г..

J. Теорема. I) Существуют (М-1) -схемы В^й^степени.

ZjLK1.lL1<10>, 21L</<5~A1<12>? CRKSiLi<2??j.

81LK11L 4<Ю", ЯЛКГЖ 1<6"у 1011<1JL1<8>>.

12.1L 1<5? 1<2."у 16М1<1А1<2>?, и (М-%.) -схемы 8-й степени.

10IL 1<2>JL1<4>, 6, lLi<2.>U.i<4>lL1, (4).

2) Существует насыщенная. схема 8-й степени типа П..

Второй пункт теоремы опровергает предположение Рохлина [31], и 3.9, справедливое для схем степени ^ 7, о том, что схема любой степени насыщена тогда и только тогда, когда она типа I. Примеры насыщенных схем типа П доставляют схемы (4), либо гипотетические (М-1) -схемы 111LK1>1L1<2>I1<4>, ШКШКШЩ, но неизвестно, какие именно. Если справедлива гипотеза Виро.

3).

2.3.В [д] о том, что у Мсхем 8-й степени о (JL 'KjbJM^" числа ^ нечетны, то схемы (3), принадлежащие типу П, являются насыщенными..

Укажем, что в отношении результатов, А — 3 было известно ранее..

Утверждение, А было доказано для особых точек р типа КАЧ fI0J' § 4' ?" 473> СТР- 429−430, [15], стр. &-I0. Утверждения В>у С были доказаны в случае, когда кривая F приведена, все ее особые точки имеют тип ели являются обыкновенными кратными точками [" 4б], [13], стр. 11−17..

Относительно устранений особой точки р типа Ni (t было известно (теорема 7.3.С И), что всякое устранение является m 2. замыканием образа какой-либо неособой квинтики в К при подходящем гомеоморфизме JR* —> Х (р). Поэтому утверждение F следует из доказанной в диссертации теоремы: пусть ориентированная, прямая RL последовательно пересекает неособую квинтику.

С5 в различных точках W1).JbJ5, тогда для любых последовательных точек Z-,.,^? RL существует квинтика «пересекающая L в точках и связанная в [RP2 с С5 изотопией, составленной из гладких трансверсально пересекающих JRL кривых, причем при изотопии иг. переходит в 1~15. Для доказательства достаточно рассмотреть лишь насыщенные (не дополняемые новыми овалами) типы взаимного расположения квинтики и прямой в КР1, среди которых лишь изображенные на рис. 3 индуцируют устранения, пригодные для построения неособых М-кривых: L.

2- 3.3 Ъ. Ч.

Рис. 3..

Всего насыщенных типов 21 [22, 23, 25J. Для II из них, в том числе для изображенного на рис. 3.1, утверждение теоремы следует из построения по Гарнаку (см. [13], § 3), еще для двух, в том числе для изображенного на рис. 3.2, — доказано О. Я. Виро [б]. Для остальных 8 типов, в том числе для изображенных на рис. 3.3, 3.4, утверждение теоремы доказано автором..

Для кривых F степени 8 с особенностью %3.l0 серий А, В^ Въ ранее из сравнений Виро-Харламова [9] были получены сравнения: для Мкривых *лМ2>, для (М-1) -кривых %(F+)= 2±1 мЫ 8 «где F+ = {peRpz (F (р) > о} - ориентируемо. Эти сравнения допускают существование 50 типов /Чкривых и 72 типов (М-1) -кривых. О. Я. Виро (личное сообщение) доказал, что квадратичным преобразованием плоскости RP можно преобразовать кривую типа Afa/fljX) в кривую типа, А (X, ft, «О, кривую типа Bi X) в кривую типа З3~с, а также запретил 12 типов Мкривых: Si у L- 1,1 у У? Оу Х^ОилМ^. Таким образом, автором запрещено 16 типов Мкривых и 25 типов (М-1) -кривых, реализовано 2 новых (М-1') -типа..

Отмечу также, что Г. М. Полотовским и автором показано, что для вещественных кривых S-й степени с особой точкой типа о «у которых либо через эту особую точку проходит более одной полной действительной ветви, либо имеется мнимая ветвь с центром в этой точке, неравенство Гарнака, сравнения Виро-Харламова [9] и ограничения на число точек пересечения с прямой и коникой, вытекающие из теоремы Безу, составляют полную систему запретов (теоремы 9.3 — 9.7)..

5. Применение результатов диссертации..

I) Реализация новых типов неособых вещественных кривых с помощью теорем F, Н. Так, Г. М. Полотовский, используя теоремы F Н, реализовал ряд новых (М — 22Jсхем 8-й степени, в частности, еще две (М-2.) -схемы, доставляющие контрпримеры к гипотезе Рохлина. Имеется набор гипотетических типов кривых 8−1 степени с особенностью N, реализация которых в сочетании с теоремой F позволила бы существенно продвинуться в классификации схем 8-й степени. Отметим также, что Г. М. Полотовским с использованием теорем G-, Н установлена неполнота известной системы запретов (в том числе и гипотетических) и имеющихся способов построения для классификации схем 8-й степени..

2) Теоремы А/ 8>у С найдут применение при разработке новых вариантов метода Гильберта-Роона для изучения других классов кривых небольших степеней, например, для классификации плоских кривых 8~й степени с особенностью } кривых 9-й степени на гиперболоиде, неособых плоских кривых 8-й и 9-й степени, для выяснения произвольности кривизн ветвей с центром в особой точке у кривых 8-й степени с особенностью. Возможно построение вариантов метода Гильберта-Роона, использующих многомерные подмногообразия пространства кривых..

3) Результаты диссертации позволяют получать достаточные условия для возможности и независимости устранений особых точек вещественных алгебраических кривых, для склеивания в смысле Виро [6J особых алгебраических кривых..

6. Распределение материала, публикации и апробация работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Содержание глав разбито на 16 параграфов. В первой главе изучены некоторые свойства плоских особых алгебраических кривых произвольной степени и доказаны теоремы А/ В, С. Вторая глава посвящена разработке вариантов метода Гильберта-Роона и Е .В третьей главе.

1. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М.Гусейн-заде. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Наука, 1982..

2. В. И. Арнольд, О. А. Олейник. Топология действительных алгебраических многообразий. Вестник МГУ, сер.1. Математика и механика, № 6, 1979, с. 7−17..

3. О. Я. Виро. Обобщения неравенств Петровского и Арнольда на кривые с особенностями. Успехи матем. наук, т.33, вып. З, 1977, с. 145−146..

4. О. Я. Виро. Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл. Доклады АН СССР, т.254, № 6, 1980, с. I306-I3I0..

5. О. Я. Виро. Кривые степени 7 и 8: новые запреты. Изв. АН СССР, сер. матем., т.47, & 5, 1983, с. II35-II50..

6. О. Я. Виро. Склеивание алгебраических гиперповерхностей, устранения особенностей и построения кривых. В кн.: Труды Ленинградской международной топологической конференции, Л., Наука, 1983, с. 149−197..

7. О. Я. Виро. Вещественные алгебраические многообразия с предписанными топологическими свойствами: Дисс. на соискание уч. степ. докт. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1983, 252 с..

8. О. Я. Виро. Успехи последних 5 лет в топологии вещественных алгебраических многообразий. Proc. Internat. Congress Math., Aug.16−24,1983, Warsawa, p.595−611..

9. О. Я. Виро, В. М. Харламов. Сравнения для вещественных алгебраических кривых с особенностями. Успехи матем. наук, т.35, вып.4, 1980, с. 154−155..

10. Д. А. Гудков. О некоторых вопросах топологии плоских алгебраических кривых. Матем. сборник, т.58, вып.1, 1962, с. 95.

11. Д. А. Гудков. О понятиях грубости и степеней негрубости для плоских алгебраических кривых. Матем. сборник, т.67, вып.4, 1965, с. 481−527..

12. Д. А. Гудков. Построение новой серии /Чкривых. Доклады АН COOP, т.200, В 6, 1971, с. 1289−1292..

13. Д. А. Гудков. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий. Успехи матем. наук, т.29, вып.4, 1974, с. 3−79..

14. Д. А. Гудков, А. Д. Крахнов. О периодичности эйлеровой характеристики вещественных алгебраических (М-1) многообразий. — Функц. анализ, т.7, вып.5, 1973, с. 15−19..

15. Д. А. Гудков, Г. А. Уткин. Топология кривых 6-го порядка и поверхностей 4-го порядка. Уч.зап. Горьк. ун-та, вып.87, Горький, 1969, 215 с..

16. Д. А. Гудков, Е. И. Шустин. Инварианты особых точек и кривые 5-го порядка. Успехи матем. наук, т.37, вып.4, 1982, с. 94−95..

17. Д. А. Гудков, Е. И. Шустин. О пересечении близких алгебраических кривых. В кн.: Ленинградская международная топологическая конференция (тезисы), Л., Наука,. 1982, с. 58..

18. В. И. Звонилов. Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых с особенностями. Доклады АН СССР, т.268,I, 1983, с. 22−26..

19. Дж.Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. -М.: Мир, 1971..

20. П.Монтель. Нормальные семейства функций. М.-Л.: 1936..

21. И.Ньютон. Метод флюксий и бесконечных рядов с применением его к геометрии кривых. Математические работы Исаака Ньютона. М.-Л., 1937..

22. Г. М. Полотовский. Каталог /Ираспадающихся кривых 6-го порядка. Доклады АН СССР, т.236, № 3, 1977, с. 548−551..

23. Г. М. Полотовский. (М-1) и (М-2) — распадающиеся кривые 6-го порядка. — В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений, межвуз.сб., Горький, 1978, с. 130−148..

24. Г. М. Полотовский. Полная классификация М распадающихся кривых 6-го порядка в вещественной проективной плоскости. — Деп. ВИНИТИ № 1349−78 (РЖ Мат 9А584 (1978)), 100 с..

25. Г. М. Полотовский. Письмо в редакцию. В кн.: Методы качественной теории дифференциальных-уравнений, межвуз.сб., Горький, 1980, с. 217..

26. Г. М. Полотовский. (М-2) кривые 8-го порядка и некоторые гипотезы. — Успехи матем. наук, т.36, вып.4, 1981, с. 235−236..

27. Г. М. Полотовский. О классификации (М-2.) кривых 8-го порядка. — В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений, межвуз.сб., Горький, 1983, с. 127−138..

28. В. А. Рохлин. Сравнения по модулю 16 в 16-й проблеме Гильберта. I. функц. анализ, т.6, вып.4, 1972, с. 58−64..

29. В. А. Рохлин. Сравнения по модулю 16 в 16-й проблеме Гильберта П. функц. анализ, т.7, вып.2, 1973, с. 91−92..

30. В. А. Рохлин. Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых. Функц. анализ, т.8, вып.4, 1974, с. 71−75..

31. В. А. Рохлин. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых. Успехи матем. наук, т.33, вып.5, 1978, с. 77−89..

32. Ж.-П.Серр. Алгебраические группы и поля классов. М.: Мир, 1968..

33. Р.Уокер. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952..

34. Т.Фидлер. Пучки прямых и топология вещественных алгебраических кривых. Изв. АН СССР, сер. матем., т.46, № 4, 1982, с. 853−863..

35. В. М. Харламов. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий. функц. анализ, т.7, вып.2, 1973, с. 74−78..

36. В. М. Харламов. Неравенства Петровского для вещественных плоских алгебраических кривых. Успехи матем. наук, т.33, вып. З, 1978, с. 145..

37. Р.Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1982..

38. Ю. С. Численко. М кривые десятой степени. — В кн.: Исследования по топологии 1У. (Зап. науч.семин. ЛОМИ, т.122), Л., Наука, 1982, с. 147−162..

39. Е. И. Шустин. О приложении метода Гильберта-Роона к исследованию кривых 8-го порядка. Деп. ВИНИТИ JS 2745−83, с. 63−84 (РЖ Мат 9А450 (1983))..

40. Е. И. Шустин. Метод Гильберта-Роона и бифуркации сложных особых точек кривых 8-го порядка. Успехи матем. наук, т.38, вып.6, 1983, с. 157−158..

41. Е. И. Шустин. Об инвариантах особых точек алгебраических кривых. Мат. заметки, т.34, вып.6, 1973, с. 929−931..

42. Е. И. Шустин. О многообразиях особых алгебраических кривых. В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений, межвуз.сб., Горький, 1983, с. 148−163..

43. Е. И. Шустин. Вещественные устранения обыкновенной пятикратной особой точки. Деп. ВИНИТИ J& 6872−83, 21 с..

44. Е. И. Шустин. Одномерные подмногообразия пространства кривых 8-й степени. Деп. ВИНИТИ В 763−84, 31 с..

45. Е. И. Шуетин. Изменение топологии кривой 8-го порядка при непрерывном изменении ее коэффициентов. Деп. ВИНИТИ, }& 1846−84, с. 43−59..

46. L. Brusotti, Sulla «piccola variazione» di una curva piana algebrica reali. Rend, Rom. Acc. Lirtdcei (5), v.30, 1921, P.375 379.47. j.l. Coolidge. A treatise on algebraic plane curves. -Oxford, 1931..

47. T. Fiedler. Eine Beschrankung fur die Lage von veelen eben-en algebraischen Kurven, Beitrage zur Algebra und Geomet-rie, N211, 1981, S.7-^..

48. A.Harnak. Uber die Vielfatigkeit der ebenen algebraischen Kurven. -Math. Ann., B.10, 1976, S.199−210..

49. D.Hilbert. Mathematische Probleme. Arch. Math. Phys., B.1, 1901, S.213−237..

50. G.Kahn. Eine allgemeine Methode zur Untersuchung der Ge-stalten algebraischer Kurven. Inaugural Dissertation, Gottingen, 1909, 43 S..

51. P.Klein. Riemannsche Plachen (lit), Vorles., I, II, Gat-tingen, 1892 (Neudruck., 1906)..

52. P.Klein. Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd.2. -Berlin, 1922..

53. K.Lobenstein. Uber den Satz, daB ebene algebraische Kurve 6, Ordnung mit 11 sicheinander ausschiessenden Ovalen nicht existiert. Inaugural Dissertation, Gottingen, 19Ю, 31 S..

54. K.Rohn. Die ebene Kurve 6. Ordnung mit elf Ovalen. -Berichte uber die Verhandl., B.63, 1911, 3.540−555..

55. K.Rohn. Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6. Ordnung und bei der Flache 4. Ordnung. -Math. Ann., B.73, 1913, S.177−229..

56. B.Teissier. The hunting of invariants in the geometry of discriminants. In: Real and Complex singularities. /R. Holm, editor. Oslo: Sijthoff — Noordhoff Publ., Alphen aan den Rijn, 1977, p.%5−677..

57. B.L. van der Waerden. Einfiihrung in die algebraische Geomet-rie. 2. Auflage — Berling etc.: Springer, 1973..

58. G.Wilson. Hilbert’s sixteenth problem. Topology, v.17, 1151, 1978, p.53−73..