(П) — распределения проективного пространства

1. Постановка вопроса, В данной работе представлены исследования по теории т-полосных распределений (т<�п-1) проективного пространства.

Рп.

Определение. Пару распределений соответственно гмерных плоскостей Л (Л-распределение) и т-мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности.

ХеАсМ (<г <�т<�п-) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем тполосным распределением П или, короче, П-распределением, в котором Араспределение назовем базисным, а М-распределение — оснащающим распределением.

Показано, что к П-распределению в первой дифференциальной окрестности внутренним образом присоединяется распределение гиперплоскостей Н (//-распределение). П-распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем 7^(П)-распределением. Ясно, что теория Праспределений (точнее 7^(П) -распределений) проективного пространства Рп включается в общую теорию распределений в однородных пространствах.

Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану, В. Гловатого, И. А. Схоутена (см. обзор в работе [93]), Е. Бомпьяни [132], А. Пантази [142], Д. М. Синцова [77], В. В. Вагнера [148], в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например, в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [37], [41], [42], [56] при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур. Кроме того, истолкование, например, распределения ш-мерных элементов в Рп как расслоенного многообразия специального типа расширяет и обновляет проблематику этой теории [57], превращая ее в одну из наиболее актуальных проблем дифференциальной геометрии.

При изучении структуры 7^(П)-распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности 7i (П) распределения. Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита [139] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль [149] дал понятие пространства аффинной связности. Р. Кениг [138] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э. Картан ввел общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G» [135]. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И. А. Схоутен [143], [144]. В 1950 г. В. В. Вагнер [7], [8] и Ш. Эресман [137] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э. Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г. Ф. Лаптева [37], [38], [40], где он отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности, согласно теории Г. Ф. Лаптева [58], является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка (например, проективной дифференциальной группы [40]). Очерк дальнейшего развития теории связности приведен в работе Ю. Г. Лумисте [44].

Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностей в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства.

Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [37], [58] если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия): где coh — главные (первичные) формы, а со" 2 — вторичные формы Пфаффа на многообразии, тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций (g), определяющих оснащающий объект ga. В зависимости от строения основных функций y/°2(g) получаем различные оснащения погруженного многообразия (например, в смысле А. П. Нордена [55], Э. Картана [134], Э. Бортолотти [133] и др.).

В.В. Вагнер [147], а затем и Ю. Г. Лумисте [43] с помощью теории связностей в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах.

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э. Картан [134]. Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А. П. Норден [55] (он называет такую связность внешней) и Chen B.Y. [136], далее отметим исследования А. В. Чакмазяна [46], [118], [121]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в монографию Chen B.Y. [136] и освещена в работе Ю. Г. Лумисте [45]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [46]. В работах [5], [121], [116], [117] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью.

В настоящее время (в связи с актуальностью проблемы) продолжаются исследования по теории нормальных связностей на различных подмногообразиях классических пространств. Прежде всего, отметим цикл работ А. В. Чакмазяна [114] - [121] по изучению подмногообразий проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Затем, ряд работ А. В. Столярова [78] - [92], который вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства). Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная А. В. Столяровым [88], позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных).

П.А. Фисунов [97] - [106] и С. В. Фисунова [107] - [111], а так же в их совместных работах [112], [113] продолжают исследования двойственных нормальных связностей, соответственно, на гиперполосах, гиперполосных распределениях и на гиперплоскостных распределениях, гиперповерхностях проективного пространства. Работы Л. Ф. Филоненко [94], [95], А. В. Столярова [91], [92], А. Н. Михайловой [52] - [54] посвящены исследованиям линейных нормальных связностей на распределениях и гиперполосах конформного пространства.

Ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, А. К. Рыбников [75] изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.

Ю.И. Попов [65], [66] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т. Ю. Максакова [47], [48] исследует двойственные нормальные аффинные и проективные связности на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства, а С. Ю. Волкова [13] - [16] - на скомпонованных трехсоставных распределениях (S-распределениях) проективного пространства. С. Н. Юрьева [131] изучает линейные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Ю. И. Шевченко [123] изучает связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями.

Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является Н (П) -распределение и нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей на оснащенном базисном Л-подрасслоении Н{П)-распределения, погруженного в пмерное проективное пространство Рп.

2.

Актуальность темы

Актуальность исследуемой темы обусловлена с одной стороны тем, что в интенсивно развивающихся теориях расслоений и связностей, дифференциальной геометрии подмногообразий грассманова многообразия и многообразий пар фигур (при этом теория распределений трактуется как составная часть одной из указанных теорий, либо теснейшим образом с ней связана) исследование гиперполос, занимает исключительно важное место в связи с приложением в вариационном исчислении, в физике, в механике (например, [7], [19], [83]). Да и сама теория распределений (в различных пространствах), как это показано в работах [140], [146], [64], [145] связана с приложениями в механике, теоретической физике, вариационном исчислении и в динамике склерономных механических систем с нелинейными связями [7], [19]. С другой стороны, теория связностей в однородных расслоениях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.

При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э. Картан [33], [134], [135], Г. Ф. Лаптев [34], [36], [40] и А. П. Норден [55]. В частности, А. П. Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П. А. Широков и А. П. Широков [129] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А. В. Столяров [88].

В рамках теории связностей чаще всего находят приложение, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [5], [70], [46], [55], [116], [122], [130]). При этом в классических однородных пространствах исследования ограничивались, в основном, изучением связностей а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного подмногообразия, б) в случае, когда данное подмногообразие является голономным, в) без привлечения теории двойственности.

Следует отметить, что нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [45], [46], [55], [84], [121], [136]). Однако, с 90-х годов XX века усилились исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях) и двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных) благодаря работам А. В. Столярова [88], [89] и его учеников П. А. Фисунова [97] - [106], С. В. Фисуновой [107] - [111], А. Н. Михайловой [52], [53], Д. А. Абрукова [1], [2].

Все вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.

Цель работы. Цель диссертационной работы — заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии ш-полосных распределений (7^(П) -распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи: построение полей фундаментальных и охваченных объектов 7^(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей А-подраслоения данного 7^(П) -распределенияпостроение двойственного образа Н (П) -распределенияпостроение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и.

3. Бортолотти Л-подраслоения данного 7i (П) -распределенияпостроение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного 7^(П) -распределения.

4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [37] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [96]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядкаэто позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [37].

5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что:

7^(П)-распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности 7i (П) -распределения ранее в геометрии распределений не изучалисьв работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных тполосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами [37], [96] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия. В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия 7^(П) -распределений может найти и находит теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или неполного ранга, двухсоставных [124] - [128] и трехсоставных [60] - [64] распределений, скомпонованных распределений [13] - [18], специальных классов регулярных гиперполос [10] -[12], [68], вырожденых гиперполос [47] - [49], а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях [67] проективного пространства.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории полосных распределений проективного пространстваб) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02−2.1К-739) по теме «Н (П)-распределения проективного пространства» (диплом АСП № 302 176).

8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [21] - [32] автора.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

1. Абруков Д. А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. -Чебоксары: ЧПГУ, 2001. -В.9. -С. 9−15.

2. Абруков Д. А. О взаимном распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве. Чебоксары, 2001. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 872-В2001.

3. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. — Т. 1. — С.7−31.

4. Акивис М. А., Чакмазян А. В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН СССР.- 1975. Т.60. № 3. — С.137−143.

5. Акивис М. А., Чакмазян А. В. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью // ДАН АрмССР. 1976. — Т.62. — № 2. -С.75−81.

6. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии // ДАН СССР. 1945. — Т.46. — № 8. — С.335−338.

7. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. 1950. — Вып.8. — С. 197−272.

8. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. 1950. — Вып.8. — С. 11−72.

9. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН АрмССР. Мат. 1977. — Т.6. — № 6. — С.477−481.

10. Волкова С. Ю. Касательно (/*,/) — оснащенные гиперполосы SHmпроективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1994. № 25. — С.28−37.

11. Волкова С. Ю. Нормализации Нордена-Чакмазяна, ассоциированные с регулярной гиперполосой Hr (L) проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. — № 27. — С.24−33.

12. Волкова С. Ю. Инвариантные подпространства, ассоциированные с регулярной гиперполосой Hr{L) II Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. — № 28. — С.23−21.

13. Волкова С. Ю. Двойственные аффинные связности S-распределения // Дифференц. геометрия, многообразий фигур. Калининград, 1999. — № 30. -С.21−26.

14. Волкова С. Ю. Двойственные проективные связности S-распределения // Дифференц. геометр, многообразий фигур. Калининград, 2000. — № 31-С. 17−24.

15. Волкова С. Ю. Двойственные аффинные и проективные связности S-распределения. Калининград, 2001. — 70 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 15.08.2001 -№ 1871-В2001.

16. Волкова С. Ю. О двойственных проективных связностях S-распределения // Дифференц. геометр, многообразий фигур. Калининград, 2001; № 32-С.22−29.

17. Волкова С. Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов S-распределения. Калининград, 2001 — 96 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 343-В2001.

18. Волкова С. Ю. Скомпонованные распределения проективного пространства // Изв. вузов. Мат. 2001. — № 7(470). — С.69−72.

19. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. — T. l — С.111−138.

20. Домбровский Р. Ф. К геометрии касательно оснащенных поверхностей в Р&bdquo- // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1974. — Т.6. — С.171−188.

21. Елисеева Н. А. 7i{П) -распределения проективного пространства // Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Материалы Межд. молодежной школыконф. «Лобачевские чтения» Казань, 2001. — Т.12 — С. 86.

22. Елисеева Н. А.

Введение

проективных связностей на 7^(П) -распределении // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы пост. науч. семинаров. Калининград, 2001.-С.11−14.

23. Елисеева Н. А. «Н (П) распределения проективного пространства. -Калининград, 2002. — 49 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 01.02.2002 — № 206-В2002.

24. Елисеева Н. А. Двойственный образ Н (П) -распределения проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 2002. -№.33. С.29−34.

25. Елисеева Н. А. Инвариантные оснащения 7i (Il)-распределения в смысле Э. Бортолотти // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы пост. науч. семинаров. Калининград, 2002. С.31−33.

26. Елисеева Н. А. Полосные распределения проективного пространства // Доклады Межд. матем. семинара: К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кёнигсберга и 25-летию математического факультета. -Калининград, 2002. С. 105−115.

27. Елисеева Н. А. Двойственные нормальные связности ТС (П)~распределения, ассоциированные с А-подрасслоением. Калининград, 2003. -96 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 06.02.2003 — № 233-В2003.

28. Елисеева Н. А. Двойственные нормальные связности 7^(П)-распределения, ассоциированные с подрасслоениями L и М. Калининград, 2003. 117 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 23.07.2003 — № 1442-В2003.

29. Елисеева Н. А. Изучение двойственных нормальных связностей ш-полосного распределения // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. -Казань, 2003. Т.21 — С.105−107.

30. Елисеева Н. А. Изучение двойственных нормальных связностей Л (ТГ)~распределения, ассоциированных с А-подрасслоением // Современные проблемы науки и образования: Матер. 4-й Межд. междисципл. науч.-практ. конф. г. Ялта. -Харьков, 2003. С. 27.

31. Елисеева Н. А. Пучки плоскостей Нордена-Тимофеева Н (П) -распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 2003. -№.34. — С.42−49.

32. Картам Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Изд. Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

33. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. 1943. -41. — № 8. — С.329−391.

34. Лаптев Г. Ф. Аффинное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий // ДАН СССР. 1945. — 58. — № 4. — С.529−531.

35. Лаптев Г. Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство // ДАН СССР. 1945. — 47. — № 8. — С.551−554.

36. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. — Т.2. — С.275−382.

37. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всес. Мат. съезда. 1961, 1964. — Т.2. — С.226 — 233.

38. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия. 1963 / Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. 1965. — С.5−64.

39. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР 1966.-Т.1.-С.139−189.

40. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. О распределениях m-мерных линейных элементов в n-мерном проективном пространстве. М., 1971. 16с. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР. — № 3683−71.

41. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. семинара/ВИНИТИ АН СССР 1971. — Т.З. — С.49−94.

42. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. Ун-та. 1965. — В.177. — С.6−42.

43. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 / ВИНИТИ АН СССР 1971 -С.123−168.

44. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР 1975. — Т. 13. -С.273−340.

45. Лумисте Ю. Г., Чакмазян А. В. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны II Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР 1980. -Т. 12.-C.3−30.

46. Максакова Т. Ю. Двойственные нормальные связности на вырожденной гиперполосе // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 2001. — № 32. — С.65−69.

47. Максакова Т. Ю. Двойственные аффинные связности гиперполосы CHrm И Дифференц. геометрия, многообразий фигур. Калининград, 2002. — № 33. -С.48−53.

48. Максакова Т. Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHrm И Дифференц. геометр, многообразий фигур. -Калининград, 1999. № 30. — С.50−54.

49. Малаховский B.C. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий // Изв. вузов. Мат. 1972. — № 9. — С.54−65.

50. Малаховский B.C.

Введение

в теорию внешних форм: Учеб. пособие. -Калининград, 1978. — 4.1. — 84 е.- - 1980. — 4.2. — 84 с.

51. Михайлова А. Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства. Чебоксары, 2001. — 14 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 1950;В2001.

52. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства. Чебоксары, 2001. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 719-В2001.

53. Михайлова А. Н. Ортогональные сети на гиперполосе конформного пространства // Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Материалы Межд. молодежной школы конф. «Лобачевские чтения». — Казань, 2001. — Т. 12 -С.103−104.

54. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. -432 с.

55. Остиану Н. М. Распределение m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. геометр. семинара/ВИНИТИ АН СССР. 1971.-Т.З.-С.95−114.

56. Остиану Н. М., Балазюк Т. Н. Многообразия, погруженные в пространства проективной структуры // Проблемы геометрии. М., 1978. Т.10. — С.75−115.

57. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1973. — Т.4. — С.7−70.

58. Остиану Н. М. О геометрии многомерной поверхности // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. — Т.1. — С.239−263.

59. Попов Ю. И. Трехсоставные регулярные распределения НТтпхпроективного пространства. Калининград, 1982. — 126 с. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР 16.12.82 — № 6192−82.

60. Попов Ю. И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с Н (М (А)) -распределением проективного пространства. I. Калининград, 1984. — 93 с. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР 02.07.84. — № 4481−84.

61. Попов Ю. И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с Н (М (А)) -распределением проективного пространства // Тез. докладов VI Прибалтийской геометрической конференции. Таллинн, 1984. — С.96−97.

62. Попов Ю. И. О голономности Н (М (А)) -распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1984. -№ 15. — С.71−77.

63. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства: Монография //Из-во С.-Петербургского ун-та, 1992. 172 с.

64. Попов Ю. И. Нормальная аффинная связность оснащенной гиперполосы аффинного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1998. № 29. — С.53−59.

65. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства.: Учеб. пособие. Калининград, 2001. 112 с.

66. Попов Ю. И. Почти контактные структуры многообразия И Изв. вузов. Мат. 2002. — № 1(476). — С.57−63.

67. Попов Ю. И. Кооснащенные гиперполосы проективного пространства. -Калининград, 2003. 40 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 22.12.2003 — № 2223-В2003.

68. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства. Калининград, 2003. — 35 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 29.09.2003; № 1743-В2003.

69. Попов Ю. И. О двойственности трехсоставных распределений. -Калининград, 2004. 17 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 26.01.04 — № 131-В2004.

70. Попов Ю. И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос: Учеб. пособие. Калининград, 1992, -80 с.

71. Попова Т. Ю. Нормальная центропроективная связность гиперполосыCHrm проективного пространства // Дифференц. геометрия многобразий фигур. -Калининград, 1998. № 29. — С.59−63.

72. Похша М. М. Обобщенные многомерные полосы // Тез. докладов 6-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Вильнюс, 1975. — С. 198−199.

73. Похша М. М. Инвариантные оснащения многомерных полос проективного пространства // Тез. докл. Всес. конф. по неевклидовой геометрии «150 лет геометрии Лобачевского». Казань, 1976. — С.170.

74. Рыбников А. К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Мат. 1986. — № 7. — С.60−69.

75. Рыжков В. В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях // Тр. Моск. матем. об-ва. 1958. — Т.7. — С.179−226.

76. Синцов ДМ. Работы по неголономной геометрии. Киев. -1972. — 294с.

77. Столяров А. В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. — № 10. — С.97−99.

78. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. 1975. — Т.7. — С.117−151.

79. Столяров А. В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. — № 11. — С.106−108.

80. Столяров А. В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространств проективной связности // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. -Т.8. С.25−46.

81. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1977. -№ 8. — С.68−78.

82. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полосы // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.- М., 1978. Т.10. -С.25−54.

83. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности I. // Изв. вузов. Мат. 1980. — № 1. — С.79−82.

84. Столяров А. В. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982. -№ 13. — С.95−102.

85. Столяров А. В. Двойственная теория регулярной гиперполосы Нт, а Рпп.

86. Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1988. — № 19. -С.88 -93.

87. Столяров А. В. Об оснащениях в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти регулярной гиперполосы // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1991. № 22. — С.104−108.

88. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994. — 290с.

89. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. — № 6. — С.9−14.

90. Столяров А. В. Об оснащениях неголономной гиперповерхности // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1997. — № 4. — С.25−29.

91. Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных распределений. Чебоксары, 2000. — 21 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 2000 -№ 629-В00.

92. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства // Изв. вузов. Мат. -2001. № 3(466). — С.60−72.

93. Схоутен И. А., Стройк Д.Дж.

Введение

в новые методы дифференциальной геометрии // Пер. с нем. T.I. М.- Л., 1939. 182 е.- Т.П. М., 1948. — 346 с.

94. Фшоненко Л. Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства // Уч. зап. Тарт. ун-та. 1988. -№ 803.-С.115−131.

95. Фшоненко Л. Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. — № 26. — С.89−102.

96. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М., JL, 1948. — 432 с.

97. Фисунов П. А. Связность в нормальных расслоениях на гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов. Чебоксары: 41 ПИ, 1997. В.2. — С.59−63.

98. Фисунов П. А. Нормальные связности на оснащенном гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. — Чебоксары: ЧПГИ, 1998. -В.З. С.13−18.

99. Фисунов П. А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе. Чебоксары, 1998. — 20 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН1998.-№ 3394-В98.

100. Фисунов П. А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. — 17 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 1998. № 627-В98.

101. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. Чебоксары, 1999. — 33 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 1999.-№ 1835-В99.

102. Фисунов П. А. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах // Сб. науч. тр. студ. и аспирантов. Чебоксары: ЧГПУ, 1999. -В.5.-С.14−17.

103. Фисунов П. А. Связности в нормальных расслоениях гиперполос специальных классов // XI Межд. летняя школа-семинар по совр. проблемам теоретич. и мат. физики: Тезисы докладов.- Казань, 1999. С. 53.

104. Фисунов П. А. Связности в расслоениях нормалей второго рода на неголономной гиперполосе // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат. всеросс. школы-конф., посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Казань, 1999. — С.234−235.

105. Фисунов П. А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 1998 — № 627-В98.

106. Фисунова С. В. Нормальные связности на распределениях гиперплоскостных элементов // Сб. науч. тр. студ. и аспирантов. Чебоксары, 1997. — В.2. — С.49−55.

107. Фисунова С. В. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов. Чебоксары, 1998. — 14 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 1998. — № 1098-В98.

108. Фисунова С. В. Двойственные центропроективные связности в нормальных расслоениях на неголономной гиперповерхности // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары, 1998. — В.З. — Т.1. — С.3−8.

109. Фисунова С. В. Линейные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности. Чебоксары, 1998. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 1998. -№ 2847-В98.

110. Фисунова С. В. Двойственные линейные связности на распределении гиперплоскостных элементов. // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1999, № 30. — С.94−97.

111. Фисунова С. В., Фисунов П. А. Нормальные связности на оснащенном распределении m-мерных линейных элементов // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары, 1998. — В.4.-Т.1. — С. 1−5.

112. Фисунова С. В., Фисунов П. А. Связности в нормальных расслоениях распределения ш-мерных линейных элементов // Тез. докл. VII Межд. конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999. -С.108−109.

113. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР 1959. -Т.28. -№ 4.-С.151−157.

114. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Тез. докл. Всес. геометр, конф. «150 лет неевклидовой геометрии». Казань, 1976. — С.209.

115. Чакмазян А. В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства с плоской нормальной аффинной связностью // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1977. — С.120−129.

116. Чакмазян А. В. Об оснащениях с плоской нормальной связностью для подмногообразия аффинного пространства // Изв. вузов. Мат. -1978.-№ 1.-С.48−53.

117. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Рп // Проблемы геометрии / Итоги науки и техникиВИНИТИ АН СССР. М., 1978. — Т. 10. — С.55−74.

118. Чакмазян А. В. Нормализованное по Нордену подмногообразие с параллельным полем нормальных направлений в Рп II Изв. вузов. Мат. 1980. -№ 1. — С.57−63.

119. Чакмазян А. В. О нормальной связности нормализованного многообразия плоскостей в проективном пространстве // Изв. вузов. Мат. 1984. — № 7. -С.74−79.

120. Чакмазян А. В. Нормальная связность геометрии подмногообразий: Монография. Ереван, 1990. — 116с.

121. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. -Т.15. — С.61−93.

122. Шевченко Ю. И. Связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Матер. Всеросс. школы-конф. Казань, 1999.-С.234−235.

123. Шейдорова Н. М. К геометрии двухсоставных распределений // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983, — № 14. -С.111−115.

124. Шейдорова Н. М. О нормализации двухсоставных распределений проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1984. -№ 15. С. 111−114.

125. Шейдорова Н. М. Задание двухсоставных распределений ?^сРл // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1985. — № 16. -С.110−112.

126. Шейдорова Н. М. Поле гиперплоскостей, ассоциированное с М (А)-распределением проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986. — № 17. — С.103−105.

127. Шейдорова Н. М.

Введение

проективных связностей в подрасслоениях М (Л)-распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1987. № 18. — С.121−123.

128. Широков ПЛ., Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия. -М.: Физ.-мат. изд., 1959.

129. Шуликовкий В. И. Проективная теория сетей. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. — 78с.

130. Юрьева С. П. Гиперполосное распределение аффинного пространства // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Матер. Всеросс. школы-конф. Казань, 1999. — С.254−255.

131. Bompiani Е. Sulbe varieta anolonome // Rend. Dei Lincei.1938. Vol. XXVII. — P. 37−52.

132. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alia geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. — V.3. — P. 81−89.

133. Cartan E. Les espaces? connexion projective // Тр. семинара по векторн. и тензорн. Анализу. М., 1937. — Вып.4. — С.147−159.

134. Cartan Е. Les groups d’holonomie des espaces generalises 11 Acta math.-1926.-V.48. P. 1−42 (см. русск. перевод: Э. Картан. Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

135. Chen B.Y. Geometry of submanifolds. New York, 1973. — P.308.

136. Ehresmann C. Les connectionsinfinitesimales dans espace fibre differentiable // Collque de Topologie. Bruxelles, 1950. — P.29−55.

137. Konig R. Beitrage zu einer allgemeiner Mannigfaltigkeitslehre. Jahresl // d. Deutsch. Math. Ver. 1920. — V.28. — P.213−228.

138. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismoin unavarieta qualunque e consequente specificazione geometrica della curvature Riemanniana // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917. V.42. — P. l73−205.

139. LucrSrile conferinjei nationale de spafii neolonome, Ja§ i, 28−30 mai 1976,-Bu6ure§ ti // Ed. Acad. Rep. Popul. Roumaine. 1979. — 176 p.

140. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucure§ ti Acad. RPR, 1958.-494 p.

141. Pantazi A. Sur la deformation projective des surfaces non holomones de l’espace Ez // Bull. Math. Soc. Roum. Sci. 1943. — Vol.45. — P.39−47- Opera matematica // Ed. Acad. Rep. Popul. Roumaine. 1956. — 496 p.

142. Schouten J.A. Erlanger Programm und Ubertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometric // Rend. circ. matem.- Palerno, 1926.-V.50.-P. 142 169.

143. Schouten J.A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire generale de la connexion lineaire generate de M. Konig // C. r. Acad. sci. 1924. — V.178. — P.2044;2046.

144. Schouten J.A., van Kampen E.R. Zur Einbettungeund Krummungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Annal. Bd 103, H. 4−5. 1930. — S. 752−753.

145. Teodorescu Jon. D. Asupra teorici unitare eolonome // Stud. Si. Cer. Mat. 1981. Vol. 33. — # 6. — P.627−636.

146. Vagner V. Differential geometry of family of?1^ c: Pn in Rn and of the family of totally geodesic Skl s in of positive curvature // Матем.сб. 1954.-T. 10(52).-C.165−212.

147. Wagner V. Sur la geometrie differentiate des multiplicites anholonomes // Tp. сем. по вект. и тенз. анализу. 1935. — Вып. 2−3. — С.269−314.

148. Weyl Н. Raum, Zeit, Materie.-Berlin, 1918.