Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств

Цель работы. Важную роль в многочисленных исследованиях, относящихся к проективным и неевклидовым пространствам над алгебрами, играют вещественные интерпретации этих пространств. Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в вещественных интерпретациях одномерных проективных, аффинных, эрмитовых евклидовых и неевклидовых пространств над алгебрами широкого класса, включающими в себя тела, тензорные произведения тел и алгебры, имеющие те же комплексные формы, что тела и их тензорные произведения, а также алгебры, получаемые из перечисленных выше алгебр, определенными алгоритмами, называемыми в работе картановым и квазикартановым алгоритмами. Все эти геометрии являются геометриями простых, полупростых и квазипростых групп Ли. Рассматриваемые в работе пространства над алгебрами интерпретируются в виде многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками. В работе решаются также задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств.

Актуальность темы

определяется тем, что в настоящее время интенсивно развиваются такие разделы геометрии как геометрия пространств над алгебрами и геометрия семейств прямых и плоскостей в пространствах с фундаментальными группами. Исследования в этих областях ведут многие советские и зарубежные геометры: В. В. Вишневский, Р. М. Гейдельман, В. Ф. Кириченко, Г. И. Кручкович,.

A.П.Норден, Б. А. Розенфельд, А. П. Широков и их ученики, а также.

B.Бенц, Ш. Кобаяси, Ж. Титс, Г. Фрейденталь и многие другие.

Актуальность темы

исследования определяется также важностью геометрщ пространств над алгебрами и геометрии групп Ли для современной физики.

Предмет исследования. Предметом настоящего исследования являются проективные, аффинные, эрмитовы евклидовы, эллиптические и гиперболические прямые над телами ^ (р=2,4,8) комплексных чисел, кватернионов и октав, над простыми и полупростыми алгебрами двойных чисел, антикватернионов и антиоктав, над квазипростыми алгебрами Др и ft^ дуальных чисел, полукватернионов и полуантикватернионов, полуоктав и полуантиоктав и над их тензорными произведениями Hdp®^ л SCp® jftp&Nlp и т. д., а также вещественные интерпретации этих прямых в виде многообразии прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками и решение некоторых задач дифференциальной геометрии в этих пространствах.

Научная новизна. В работе впервые найдены общие закономерности вещественных интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых, в пространствах над тензорными произведениями тел и над алгебрами, полученными из этих тензорных произведений алгоритмом Картана и квазикартановым алгоритмом. Определены углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел и найдена их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных симметрических пространств, изометричных этим эрмитовым пространствам. Найдена система инвариантов, определяющая моносистемы т. -плоскостей вещественных эллиптических пространств, являющихся моделями эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел с точностью до движений этих пространств и тем самым найдена система инвариантов, определяющих вещественные кривые эрмитовых пространств с точностью до движений эрмитовых пространств. Решены также некоторые задачи теории конгруэнции прямых в вещественных эллиптических пространствах, равносильных задачам теории вещественных поверхностей эрмитовых пространств.

Практическое и теоретическое значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Опираясь на результаты исследований этой работы, можно построить аналогичные интерпретации многомерных пространств над рассматриваемыми алгебрами, а также интерпретации пространств над более сложными алгебрами. Опираясь на задачи дифференциальной геометрии, решенные в работе, можно решить более сложные задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств. Результаты диссертации можно использовать для чтения спецкурса в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина, МГПИ имени В. И. Ленина, Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте и других высших учебных заведениях.

Методика исследования. Методы построения вещественных интерпретаций пространств над алгебрами, применяемые в диссертации, состоят в систематическом использовании всех известных ранее интерпретаций рассматриваемых пространств и в применении к этим интерпретациям комплексных расширений, унитарных ограничений, алгоритма Картана и квазикартанова алгоритма. При решении задач дифференциальной геометрии используется метод внешних форм и подвижного репера.

Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии «150 лет геометрии Лобачевского» в Казани (1976 г.), на геометрических семинарах Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (1979 г., 1983 г.), Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина (1982, 1983 гг.), на научно-практических конференциях в Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте (1977;1984 гг.).

Публикации.По теме диссертации опубликовано 10 статей, из которых 5 в соавторстве с указанием, какая часть работы написана каждым автором. Результаты, полученные соавторами, в работе не использовались.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и 5 глав. Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулированы задачи исследования, перечислены методы исследования. Первая глава носит в основном реферативный характер. Это объясняется тем, что необходимый для исследования материал рассредоточен в различных книгах и научных статьях. Приводятся необходимые сведения из теории простых и квазипростых алгебр и групп Ли и указываются известные ранее геометрические интерпретации этих групп. Здесь же доказывается, что в многообразиях эллиптических, гиперболических и параболических прямых пространств.

§-п, ^ «S™ можно определить комплексные, двойные и дуальные структуры. Во второй главе определяются и изучаются геометрии аффинных и проективных пространств над телами (р=1,2,4,8), над простыми и полупростыми алгебрами Lp, получаемыми алгоритмом Картана из тел, а также над квазипростыми ал-гебрамиАри ГЦр, получаемыми квазикартановым алгоритмом из тел Dip и алгебр Lp. Строятся интерпретации этих алгебр с геометрией аффинных прямых в виде евклидовых, псевдоевклидовых, квазиевклидовых пространств с группами подобий, а расширенных алгебр с геометрией проективных прямых — в виде конформных, псевдоконформных и квазиконформных пространств.

В третьей главе определяются и изучаются эрмитовы эллиптические, гиперболические и евклидовы пространства над телами и тензорными произведениями тел, над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные формы, что и тензорные произведения тел, а также над квазипростыми алгебрами, полученными из тензорных произведений тел квазикартановыми алгоритмами. Строятся интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых в пространствах над алгебрами ^vld^ ,.

1/1Ц, , — в виде многообразий взаимно полярных (р-I) — иплоскостей в вещественных эллиптических, гиперболических, квазиэллиптических или квазигиперболических (p+fy-l)-пространствах.

В четвертой главе строятся конструкции отображений многообразий прямых вещественных 3- и 5-пространств и 3-плоскостей 7-пространств на соответственные алгебры.

В пятой главе приведены деривационные уравнения подвижного репера в эрмитовых пространствах над рассматриваемыми алгебрами. По аналогии с введенным П. А. Широковым понятием утла наклона вещественной 2-площадки в пространстве определяются углы и орты наклонов вещественных 2-шющадок в пространен ос ствах S" ОКр^ку и и находится их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных римановых пространств, яв.

Л/ ляющихся моделями пространств Строится теория моносистем мплоскостей эллиптических^{-пространств} и находится система инвариантов, определяющих моносистему с точностью до движений этих пространств. Эта система инвариантов, в силу изложенных выше интерпретаций, совпадает с системой инвариантов, определяющих вещественную кривую в пространствах.

Б эрмитовых пространствах над алгебрами определяются инвариантные вещественные, комплексные, двойные и дуальные метрики, которые тем самым определяются в многообразиях прямых и плоскостей, образующих интерпретации рассматриваемых пространств над алгебрами. Эти интерпретаций применяются для изучения структуры окрестности прямой в многообразиях прямых вещественных 3- и 5-пространств и в окрестности З-плоокости в многообразий З-плоскостей вещественных 7-пространств. В качестве примера изучения вещественных поверхностей в эрмитовых пространствах над алгебрами решен ряд задач теории прямолинейных конгруэнций вещественных 3-пространств, равносильных задачам теории вещественных 2-поверх-ностей прямых ЗДв^Е.^) .

Результаты исследования опубликованы в работах [12, 13, 14, 15], [16, § i], [ivj, [49, § 2], [50, § 1,2j, [51, § 2,3], 52, § 2,3].

1. Аббасов Н. Т. Бикомплексные эллиптические пространства. -В кн.: Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1962, № 2, с. 3−9.

2. Аббасов Н. Т. Бикватернионные эллиптические пространства. В кн.: Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1963, й 2, с.3−9.

3. Адамушко Н. Н. Геометрия простых и квазипростых групп Ли класса 0г%. В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н. К. Крупской. -М., 1969, т.253, с. 32−42.

4. Андреева Л. П., Шестырева Л. В. Предельные симшгектичес-кие пространства. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. — Коломна, 1964, т. 8, с.23−44.

5. Атанасян СЛ., Абдурахманова Х. К., Гурьева В. П. Комплексные и двойные полярные координаты в многообразиях прямых трехмерных квазинеевклидовых пространств. В кн.: Труды геом. семинара. — КГУ, 1976, вып. 9, с. 5−10.

6. Баранова В. А. Линейчатые поверхности в многомерных евклидовом и эллиптическом пространствах. В кн.: Труды геометр. семинара. — КГУ, 1983, вып. 15, с.5−12.

7. Богуславская Т. М., Семенова И. Н. Образы симметрии комплексных и двойных эрмитовых квазинеевклидовых пространств и вещественного биквазиаффинного пространства. В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н. К. Крупской. — М., 1962, т.262, вып. 13, с. 4−24.

8. Баранова В. А., Узденов О. М. Комплексные, двойные и дуальные норденовы координаты в многообразиях прямых трехмерных неевклидовых и евклидова пространств. В кн.: Труды геом. семинара. — ГО", 1976, вып. 9, с.11−17.

9. Баранова В. А., Власова Л. А., Семенова И. И. Вещественные кривые в эрмитовых эллиптических пространствах. В кн.: Геометрический сб., 2. — Томск: йзд-во Томск, ун-та, 1982, с.92−100.

10. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982. — 480 с.

11. Выплавина Р. П. Применение геометрии эрмитовых прямых над алгебрами бикомплексных чисел и их аналогов к линейчатой геометрии 3-мерных пространств. В кн.: Геометрия одн. простр. Сб. трудов каф. геометрии МШИ им. В. И. Ленина. — М., 1976, с. II6−124.

12. Выплавина Р. П. Аффинные прямые над телами, тензорными произведениями тел и над алгебрами, получаемыми из них кар-тановым и квазикартановым процессами. В кн.: Геометрия одн. простр. Сб. трудов каф. геометрии МГПИ им. В. И. Ленина. — М., 1976, о.125−131.

13. Выплавина Р. П. Биэрмитовы прямые над тензорными произведениями тел. В кн.: Украинский геометрический сборник, 1977, вып. 20, с. 27−34.

14. Выплавина Р. П., Денисова Н. С. Применение бикватернионов и их аналогов к дифференциальной геометрии 5-мерных пространств.-В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. трудов каф. геометрии МИШ им. В. И. Ленина. М., 1978, с.85−91.

15. Выплавина Р. П. Дифференциальная геометрия эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел. В кн.: Труды геом. семинара. — КГУ, 1982, вып. 14, с.13−23.

16. Гиберт К. Я. Проективные пространства над алгебрами и-геометрии. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. трудов каф. геометрии МГПИ им. В. И. Ленина. — М., 1983, с. 33−37.

17. Егорова Л. Д., Маркина Л. М. Дуальные симплектические пространства. В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н. К. Крупской. M. t 1969, т.262, вып. 13, с. I04-II8.

18. Железина И. И. Линейчатая геометрия вырожденных неевклидовых пространств. ДАН, 1964, т. 106, № 6, с.959−962.

19. Климанова Т. М. Унитарные полуэллиптические пространства. Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-мат. и техн. наук, 1963,3, с.21−29.

20. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера.М., 1963.

21. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., Х949. — 384 с.

22. Карпова Л. М., Макарова И. И. Нормальные п.-цепи в комплексных и бикомплексных эллиптических пространствах. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. — Коломна, 1965, т.8, с.81−98.

23. Лутцицкая Н. Г. Полукватернионные пространства. Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1968. — 18 с.

24. Лумисте Ю. Г. Минимальные «.-мерные поверхности, имеющие в каждой точке itl-i)-мерное асимптотическое направление. В кн.: Уч. записки Тартуского ун-та, 1958, вып. 62, с.117−141.

25. Машанов В. И. О дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей пространства Лобачевского. В кн.: Геометрический сб., I. — Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1962, с. 131−137.

26. Машанов В. И. К дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей пространства Римана. Геометр, сб., 2. — Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1962, с.140−153.

27. Магаоумов Г. С. Дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей 3-пространств с проективными метриками. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. научных трудов МГПИ им. В. И. Ленина. -М., 1980, с.54−61.

28. Маркина Л. М. Дуальные эрмитовы неевклидовы пространства. В кн.: Уч. записки МПОПИ им. Н. К. Крупской. — М., 1969, т. 262, вып. 13, с. 147−165.

29. Норден А. П. Об одном классе четырехмерных А-пространств.-Известия вузов. Математика. Казань, I960, № 4 (17), с.145−157.

30. Норден А. П. Пространства декартовой композиции. Известия вузов. Математика. — Казань, 1963, № 4, с.117−128.

31. Никитина Л. С. Полуантикватернионные пространства. -В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н. К. Крупской. М., 1969, т.262, вып. 13, с. 166−190.

32. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.520 с.

33. Персиц Д. Б. Геометрия над вырожденными октавами. -ДАН, 1967, т.173, № 5, с. I0I0-I0I3.

34. Персиц Д. Б. Октавные геометрии. Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. М., 1967, — 21 с.

35. Пецко Н. Д. Проективные мероопределения и комплексные числа. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. — Коломна, 1964, т.8, с.127−143.

36. Пецко Н. Д. Бикватернионные эллиптические пространства и их применение к вещественным геометриям. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. — Коломна, 1964, т.8, с. 144−164.

37. Пецко Н. Д. Бикватернионные и дуокватернионные. гиперболические пространства и их применение к вещественным геометриям.- В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н. К. Крупской. М., 1969, т. 262, вып. 13, с. 217−229.

38. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: Госуд. из-во техн.-теорет. лит-ры, 1955, — 744 с.

39. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969, — 547 с.

40. Розенфельд Б. А., Карпова Л. М. Флаговые группы и сжатие групп Ли. В кн.: Труды семин. по вект. и тенз. анализу при МГУ. — М., 1966, вып. 13, с. 168−202.

41. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. — 648 с.

42. Розенфельд Б. А., Замаховский М. П., Орловская Т. Г., Семенова И. Н. Квазипростые алгебры, квазиматрицы и спинорные представления квазинеевклидовых движений. Известия вузов. Математика. — Казань, 1969, № 4 (83), с. 62−73.

43. Розенфельд Б. А. Метод подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами. В кн.: Тезисы докладов на УП Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии. -М., 1979.

44. Розенфельд Б. А. К теории симметрических пространств ранга I. В кн.: Матем. сб., 1957, № 41 (83), с. 373−380.

45. Розенфельд Б. А., Бахолдина Т. М., Любишева Л. В., Могаль-кова С. Н. Риманова кривизна квадратичных комплексных, двойных и дуальных эллиптических пространств. Известия вузов. Математика. — Казань, 1971, JB 5 (108), с. 82−91.

46. Розенфельд Б. А., Власова Л. А., Юхтина Т. Н. Применение угла наклона 2-площадки в эрмитовых пространствах к дифференциальной геометрии этих пространств. Известия вузов. Математика. -Казань, 1984, Jfe 7 (266), с. 64−70.

47. Розенфельд Б. А., Выплавина Р. П., Колокольцева И. И., Малютин В. В. Дробно-линейные преобразования йордановых алгебр. -Известия вузов. Математика. Казань, 1974, J® 5 (144), с. 169−184.

48. Розенфельд Б. А., Выплавина Р. П., Зернова Т. А. Эллиптические прямые и евклидовы плоскости над тензорными произведениями тел. Известия вузов. Математика. — Казань, 1975, $ 12 (163), с. 1-Ю.

49. Розенфельд Б. А., Выплавина Р. П. Структура алгебр в многообразиях вещественных прямых и плоскостей. В кн.: Геометрический сб., 17. — Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1976, с.90−98.

50. Розенфельд Б. А., Выплавина Р. П. Углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел. Известия вузов. Математика. — Казань, 1984, № 7 (266), с. 70−74.

51. Розенфельд Б. А. Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве. Изв. АН СССР, серия матем., 1941, 5, с. 105−126.

52. Розенфельд Б. А. Внутренняя геометрия множества прямых эллиптического пространства. В кн.: Уч. записки МГУ. Математика, 1944, В 5, с. 49−58.

53. Розенфельд Б. А., Могалькова С. Н. Применение спинорныхпредставлений групп движений 3-пространств линейчатой геометрии. В кн.: Труды семинара кафедры геометрии КГУ. — Казань, 1974, вып. 7, с. II8-I27.

54. Румянцева Л. В. Кватернионная симплектическая геометрия. В кн.: Труды семин. по вект. и тенз. анализу при МГУ. -М., 1963, вып. 12, с. 287−314.

55. Румянцева Л. В. Квадрикватернионные эллиптические пространства. В кн.: Уч. зап. Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1963, № 3, с. 35−38.

56. Семянистый В. И. Об изометричности пространств КГ&С0и. В кн.: Уч. зап. Грозненского гос. пед. института, № 7, физ.члат. серия, 1956, вып. 4, с. 69−73.

57. Цыренова В. Б. Дифференциальная геометрия трехмерного квазиэллиптического пространства. Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1978, — 18 с.

58. Широков П. А. Об одном типе симметрических пространств. -В кн.: Матем. сб., 1957, 41(83), с. 361−372.

59. Щербаков Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск, 1977. — 248 с.

60. Юрьев В. А. Некоторые вопросы линейчатой геометрии многообразий гиперболических прямых. В кн.: Труды семинара кафедры геометрии. — КГУ, 1974, вып. 7, с. 176−184.

61. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М., 1963. — 104 с.

62. Яглом И. М. Розенфельд Б.А., Ясинская Е. У. Проективные метрики. УМН, 1964, т. 19, вып. 5, с. 51−113.

63. Benz W. Vorlesungen Uber Geometrie der Algebren. Berlin, Heidelberg, New York, 1973.

64. Juzova A., Eukleidovskfc invarianty monosystenni. Casopis pestovanl matem., 1963, 88, 1, c.1−13.69″ Ravaska T. On curves in a complex Hilbert space. Acta Univ. Oulu., Ser. A 60, Math., IT 13.

65. Study E., Schraubenflache als Extreme. American Journal of mathematics, 1906, vol. 29, p. 160−169.