Геометрия и гамильтонов формализм интегригуемых цепочек

Одним из замечательнейших достижений математики XIX века является теория классических интегрируемых систем. В работах Якоби, Вейерштрасса, Ковалевской, Неймана и других в результате синтеза идей алгебраической и дифференциальной геометрии и теории аналитических функций были достигнуты значительные результаты в интегрировании динамических систем классической механики. Однако после работ Пуанкаре в начале XX века интересы сместились от точного интегрирования к качественным методам исследования динамических систем.

Новый период в теории интегрируемых систем начался в шестидесятых годах нашего столетия с открытием метода обратной задачи рассеяния. Созданный для интегрирования уравнения Кортевега — де Фриза, этот метод скоро нашел гораздо более широкие приложения.

Вскоре после этого в работах С. П. Новикова, Б. А. Дубровина, В. Б. Матвеева, А. Р. Итса, И. М. Кричевера и других [3], [4], [5], [6], [15], [16], [17], [20] в результате синтеза идей алгебраической геометрии, спектральной теории и гамильтоновой геометрии появился метод ко-нечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования. Для конечномерных систем этот метод позволил не только проинтегрировать их, но и выписать их решения явно в ^-функциях.

Одним из популярных приложений методов обратной задачи и конечнозонного интегрирования являются интегрируемые цепочки, такие как цепочки Тоды, система Воль-терра и другие (см., например, [4], [5], [17]). Система Воль-терра находится в центре внимания в первых трех главах настоящей работы.

Система Вольтерра г = сг'(сг'+1 — сг-) возникла впервые в работах В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование [38] и описывает динамику популяций видов в иерархической структуре «хищник-жертва», где особи ¿—го вида суть хищники для г + 1-го и жертвы для % — 1-го. Также система Вольтерра возникает в физике, где описывает тонкую структуру спектров ленгмюровских колебаний в плазме [14], [19], поэтому иногда называется «Ленгмюровской цепочкой». В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение КдФ (см., например, [23]), поэтому иногда называется еще «дискретным КдФ».

С. В. Манаков [19] и независимо М. Кац и П. ван Мер-беке [29] доказали интегрируемость системы Вольтерра.

Исследованию системы Вольтерра посвящены многие работы, см., например, [1], [5], [7], [18], [19], [23], [26], [29], [32], различные ее обобщения рассмотрены в [1], детальное обсуждение можно найти в [22].

Новый период теории интегрируемых систем характеризуется повышением интереса к гамильтонову формализму и симплектической геометрии. С одной стороны, отметим работы И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфман [2], Ф. Магри [30], в которых введено и исследовано важное понятие согласованных скобок Пуассона. С другой стороны, в теории интегрируемых систем имеется следующее замечательное явление: переменные, естественные с точки зрения спектральной теории и алгебраической геометрии, обладают «хорошими» симплектическими свойствами.

Впервые это было отмечено, по-видимому, Г. Флаш-кой и Д. Маклафлином на частных примерах уравнения КдФ и цепочки Тоды [27]. Попытка сформулировать это явление в математически аккуратной форме привела С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35], к понятию алгебро-геометрической (аналитической) скобки Пуассона на универсальном пространстве расслоения гиперэллиптических кривых (или пространстве конечнозонных потенциалов Шредингера).

Целью первых двух глав настоящей работы является обобщение результатов работ [11], [12], [27], [35] на случай системы Вольтерра.

Интерес к подобному обобщению был вызван, в частности, тем, что соответствующие спектральные кривые обладают дополнительной симметрией. Это приводит к тому, что число полюсов собственной функции (разностного аналога функции Бейкера-Ахиезера) вдвое превосходит число угловых переменных. Тем самым, общий рецепт, сформулированный впервые, по-видимому, Е. К. Скляниным [36] о том, что координаты этих полюсов являются координатами разделения переменных, оказывается неприменимым (по крайней мере, буквально).

В нашем случае оказывается, что можно выделить (неоднозначно) ровно половину полюсов, в координатах которых каноническая 1-форма имеет «разделенный» вид.

Отметим, что в аналогичном, но гораздо более сложном случае обобщенного волчка Ковалевской, где спектральная кривая также обладает симметрией [25] подобный вопрос до сих пор, насколько известно автору, не исследован.

Известно, что система Вольтерра является гамильто-новой относительно двух согласованных скобок Пуассона (см., например, [22], [26]): квадратичной.

Сг, С¹ = СзСД^+х^- и кубической сг-, С]}2 = сг-сДсг- + с?-)(5г-+1^- - 5г-1)?')+.

Первая глава диссертации посвящена построению при периодических граничных условиях (то есть при условии С{+т = С{) для обеих упомянутых скобок канонически сопряженных переменных, то есть таких координат б/г-, что.

PhPj} = {РьЧз} = {<�И, Яз} = 0.

Рассмотрим связанный с системой Вольтерра оператор Якоби.

1у)(п) = ап+у (п + 1) + а"у (п — 1), щ = (0.1) и соответствующую спектральную задачу.

1у)(п) = Ху (п) с периодическим условием аг-+г = щ. Рассмотрим такие собственные значения 7г-, что существует такое решение спектральной задачи.

1у)(п) =7 ?у (п), что ?/(0) = у (Т) = 0. Как и в случае цепочки Тоды и уравнения КдФ, рассмотренном Г. Флашкой и Д. Маклафли-ном [27], 7гоказываются в инволюции относительно обеих скобок. Теоремы 1.1 и 1.5 содержат точную формулировку данного результата и явный вид сопряженных к ним величин. Теорема 1.12 и следствие 1.13 дают также полное описание аннуляторов для обеих скобок, таким образом глава 1 содержит полное описание квадратичной и кубической скобок в периодическом случае.

В главе 2 с помощью результатов главы 1 вводится обобщение рассмотренных скобок в случае нечетного периода. В четном случае спектральные кривые имеют другую геометрию симметрий, что приводит к заметным отличиям и дополнительным трудностям в соответствующей теории. Для этого вводится специальное расслоение, база которого состоит из параметров, определяющих спектральные кривые, а слой состоит из дивизоров, инвариатных относительно специальной инволюции. Универсальное пространство такого расслоения изоморфно пространству периодических операторов Якоби вида (0.1) и, таким образом, фазовому пространству системы Вольтерра. Структура этого расслоения согласована как с динамикой системы Вольтерра (гиперэллиптические якобианы суть интегральные уровни системы Вольтерра), так и со структурой рассмотренных скобок Пуассона. Это позволяет ввести целый класс алгебро-геометрических скобок Пуассона на пространстве операторов вида (0.1). Такие скобки согласованы со структурой расслоения. Они задаются аннулятором А (Г), который зависит лишь от проекции точки на базу расслоения и некоторой мероморфной формой Q (T: A) d, которая удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. На симплектических листах А (Г) = const алгебро-геометрическая скобка задается своей пред-симплектической формой, а — pdq, равной.

Далее в главе 2 рассматривается естественное обобщение потоков Вольтерра — высшие потоки Вольтерра, после чего вводится понятие согласованности: алгебро-геометрическая скобка Пуассона назывется согласованной с высшими потоками Вольтерра, если все они гамильто-новы в данной скобке. Теорема 2.2 дает описание таких скобок, а именно: a) Если алгебро-геометрическая скобка Пуассона согласована с высшими потоками Вольтерра, то с точностью до членов с коэффициентами из аннулятора имеет место разложение в одной из бесконечно удаленных точек.

Q (r, A) =J22hk~2k-1 (mod A-2jV-2), где hk — гамильтониан &—того потока Вольтерра. b) Скобка согласована с потоками Вольтерра тогда и только тогда, когда производные Q (T, X) d вдоль базисных векторных полей, касательных к поверхности уровня аннулятора, образуют базис в пространстве сг-инвариантных голоморфных дифференциалов на Г, где, а — каноническая инволюция на спектральных кривых.

Таким образом, глава 2 довольно подробно описывает алгебро-геометрические скобки, согласованные с высшими потоками Вольтерра. Данные результаты являются обобщениями на случай Вольтерра результатов работ С. П. Новикова и А. П. Веселова [11], [12], [35].

Глава 3 посвящена градиентной интерпретации системы Вольтерра с нулевыми граничными условиями. Интерес к градиентным интерпретациям восходит к работе Ю. Мо-зера [31], в которой предложена неявная градиентная интерпретация цепочки Тоды. Двадцать лет спустя А. Блох, Р. Брокетт и Т. Рэтью [24] предложили отличное от мозе-ровского градиентное описание цепочки Тоды. Наше представление цепочки Вольтерра в градиентном виде основано на той же идее двойного скобочного представления (см. [24]). Отметим, что также как и в случае цепочки Тоды получающаяся градиентная интерпретация не является единственно возможной: известный изоморфизм между этими двумя задачами (см., например, [7]) и результаты [24] позволяют дать еще одно градиентное представление для цепочки Вольтерра. Наша интерпретация, содержащаяся в теореме 3.1, представляется более естественной. Отметим, что градиентное описание цепочки Тоды использовалось для исследования нетривиальной геометрии изоспектрального многообразия в работах К. Томен [37] и Д. Фрида [28].

В главе 4 исследуются лагранжевы системы с дискретным временем [10]. Лагранжевыми системами с дискретным временем описываются стационарные точки функционалов вида.

S (x) = J2 L (xk, xk+i), kzZ где х = (хь), к G Z, — последовательность точек на многообразии М, L — функция на М х М, называемая лагранжианом. При изучении таких систем на группах Ли особый интерес представляют такие лагранжианы, которые являются симметричными и левоили правоинвариантными (мы будем рассматривать последние):

Цх, у) = Цу, х), 1(хд, уд) = Ь (х, у) Уд Е С, где (7 — данная группа [8].

Такие системы рассматривались в [8], [9], [33] на конечномерных многообразиях и в [34] на бесконечномерной группе ББЩМ2). В главе 4 настоящей работы построен второй пример подобных систем на бесконечномерном многообразии — группе Вирасоро.

Группа Вирасоро является единственным нетривиальным центральным расширением группы диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию. В известной степени интерес к таким системам вызван тем, что уравнение Эйлера на группе Вирасоро эквивалентно уравнению КдФ с периодическим граничным условием [21].

В данной работе построен пример лагранжевой дискретной системы на группе Вирасоро, которая определяется симметричным правоинвариантным лагранжианом и в непрерывном пределе переходит в уравнение КдФ с периодическим граничным условием. К сожалению, как и в работе Ю. Мозера и А. П. Веселова [34], вопрос об интегрируемости данной системы остается пока открытым.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на конференции им. П. С. Александрова (МГУ) в 1997 году и на XX конференции молодых ученых МГУ в 1998 году. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре «Геометрия и приложения» кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ, проходящем под руководством проф. А. П. Веселова, проф. А. Б. Шабата и доц. О. А. Чалых.

Основные результаты диссертации изложены в работах автора [39], [40], [41].

Автор хотел бы выразить свою глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук проф. А. П. Веселову за постановку задач и полезные обсуждения.

1. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I // В сб. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4."(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М.: 1985. С. 179−285.

2. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега — де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. // УМН. 1976. Т.31. № 1. С. 55−136.

3. ВЕРЕЩАГИН В. Л. Спектральная теория однофазных решений цепочки Вольтерра. // Мат. Заметки. 1990. Т. 48. Ш. С. 145−148.

4. Веселов А. П. Интегрируемые отображения //УМН. 1991. Т.46. вып. 5. С. 3−45.

5. Веселов А. П., Новиков С. П. О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конечнозонных потенциалов // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 3.

6. Веселов А. П., Новиков С. П. Скобки Пуассона и комплексные торы // Труды МИАН. 1984. Т. 165. С. 4961.

7. Винберг Э. Б., Онищик А. J1. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС. 1995.

8. Захаров В. Е., Мушер С. Л., Рубенчик А. М. О нелинейной стадии параметрического возбуждения волн в плазме //Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. № 5. С. 249 253.

9. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и iV-солитонные решения уравнения КдФ //ТМФ. 1978. Т.23. № 1. С. 57−67.

10. МЛНАКОВ С. В. О полной интегрируемости и сто-хастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. 1974. Т.67. № 2. С. 543−555.20. новиков С. П. Периодическая задача для уравнения КдФ. I //Функцион. анализ и его прил. 1974. Т.8. № 5. С. 54−66.

11. Овсиенко В. Ю., Хесин Б. А. Суперуравнение Кортевега-де Фриза как уравнение Эйлера. //Функцион. анализ и его прил. 1987. Т.21. Ш. С. 81−82.

12. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986.

13. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Под ред. С. П. Новикова. М.: Наука. 1980.

14. Bloch А. М., Brockett R. W., Ratiu T.S. Completely integrable gradient flows // Comm. Math. Phys. 1992. V. 147. m. P. 57−74.

15. Bobenko A. I., Reyman A. G. Semenov-Tian-Shansky M. A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Comm. Math. Phys. 1989. V. 122. № 2. P. 321−354.

16. Damianou P. A. The Volterra model and its relation to the Toda lattice. // Phys. Letters A. 1991. V.155. № 2−3. P.126−132.

17. Flaschka H., McLaughlin D. W. Canonically conjugate variables for the Korteweg de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary conditions // Prog. Theor. Phys. 1976. V.55. № 2. P.438−456.

18. Fried D. The cohomology of an isospectral flow. // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 98. № 2. P. 363−368.

19. MOSER J. Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential — an integrable system. //Lecture Notes in Phys. 1975. V.38. P. 467−497.

20. MOSER J. Three integrable Hamiltonian systems, connected with isospectral deformations //Advances in Math. 1975. V.16. P. 197−220.

21. Moser J., Veselov A. P. Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. //Comm. Math. Phys. 1991. V.139. P.217−243.

22. Moser J., Veselov A. P. Two-dimensional «Discrete hydrodynamics» and Monge-Ampere equation. // Preprint ETH. Zurich, 1993.

23. Tomei C. The topology of isospectral manifolds of tridi-agonal matrices. // Duke Math. J. 1984. V. 51. № 4. P. 981 996.

24. VOLTERRA V. Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie. — Cahiers scientifiques. VII. — Paris: Gauthier-Vollars, 1931. Публикации по теме диссертации.

25. ПЕНСКОЙ А. В. Дискретные лагранжевы системы на группе Вирасоро //Вестник МГУ, сер. Математика, Механика. 1996. № 4. С. 99−102.

26. ПЕНСКОЙ А. В. Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями // Мат. Заметки. 1998. Т. 64. № 1. С. 115−128.

27. ПЕНСКОЙ А. В. Система Вольтерра как градиентный поток // Регулярная и Хаотическая Динамика. 1998. Т. 3. № 1. С. 76−77.